高數(shù)下第八章

1、第八章第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量及其線性運算一、向量及其線性運算1. 空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11 .21221221221zzyyxxMM 2. 空間兩點間的距離空間兩點間的距離3.向量的線性運算向量的線性運算加法：平行四邊形法則加法：平行四邊形法則數(shù)乘數(shù)乘：大小與方向大小與方向4. 空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 0() 二、向量坐標及坐標線性運算二、向量坐標及坐標線性運算kzzjyyixxMM)()()(12121221 向量的向量

2、的坐標表達式坐標表達式：,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM ,zyxaaaa ,zyxbbbb 設設,xxyyzzabababab ,zyxaaaa 則則非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模與方向余弦的坐標表示式向量的模與方向余弦的坐標表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量

3、的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：特殊地：解解設設向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 設設2P的的坐坐標標為為),(zyx,1c

4、os x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標為的坐標為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 三、兩向量的數(shù)量積、向量積三、兩向量的數(shù)量積、向量積 cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式：數(shù)量積的坐標表達式：關于數(shù)量積的說明：關于數(shù)量積的說明：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba （3）兩向量夾角余弦的坐標表示式）兩向量夾角余弦的坐標表示式222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb 解

5、解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .關于向量積的說明：關于向量積的說明：. 0)1( aa（2）.abba （4）向量積的坐標表達式）向量積的坐標表達式zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa （5）解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjABC

6、解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD四四.曲面方程曲面方程如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程； 2202020Rzzyyxx xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz |122yyxd

7、 2. 旋轉曲面：旋轉曲面：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf例例1 1 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czyax122222 czayx旋轉雙曲面旋轉雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉12

8、2222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面定義定義3. 柱面柱面平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL 這條定曲線這條定曲線 C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直，動直線線 L 叫柱面的叫柱面的母線母線.柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22

9、拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y 0),(0),(zyxGzyxF 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：五、空間曲線的一般方程五、空間曲線的一般方程類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在

10、面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例1 1 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z例例2.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設一個立體設一個立體xoyyxzyxz 解解半球

11、面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyxxyzo0MM六、平面方程六、平面方程000()()()0A xxB yyC zz n1. 平面的點

12、法式方程平面的點法式方程2. 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx例例 1 1 求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,

13、10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 3 3 設設平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩

14、平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 3、兩平面的夾角、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例4 4 研究以下各組里兩平面的位置關系：研究以下各組里兩平面的位置關系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012

15、)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.4. 點到平面距離公式點到平面距離公式000222|.AxByCzDdABC xyzo1 2 0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA

16、0022221111DzCyBxADzCyBxA1. 空間直線的一般方程空間直線的一般方程L七、空間直線方程七、空間直線方程xyzosL0M M ,pnms 2、直線的對稱式方程與參數(shù)方程、直線的對稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx解解設所求直線的方向向量為設所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所

17、求直線的方程所求直線的方程解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式3、兩直線的夾角、兩直線的夾角兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角