復(fù)習(xí)-數(shù)值計(jì)算方法

1、絕對誤差和絕對誤差限絕對誤差和絕對誤差限*)(xxxe*( )e xxx*( )rxxe xx*xxx*( )rrxxe xx相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限概念一：絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字概念一：絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字nxx1021*則說則說x*近似表示近似表示x準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第位，并從這第n位起位起直到左邊的第一個(gè)非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為直到左邊的第一個(gè)非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。0000926. 01415. 3有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位位概念一：絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字概念一：絕對誤差、相

2、對誤差和有效數(shù)字nxx1021*則說則說x*近似表示近似表示x準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第位，并從這第n位起位起直到左邊的第一個(gè)非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為直到左邊的第一個(gè)非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。0000926. 01415. 3有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位位一般的，如果近似值一般的，如果近似值x*的規(guī)格化形式為的規(guī)格化形式為x*=0.a1a2an10mnmxx1021*例例 x*=1452.046是具有是具有7位有效數(shù)字的近似值，則它的誤差限為位有效數(shù)字的近似值，則它的誤差限為3*1021 xx概念一：絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字

3、概念一：絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字X*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字概念二：誤差的傳播和累積概念二：誤差的傳播和累積),.,(*)(*1nxxdfyyye)(),.,(*1*1iiniinxxxxxf)(),.,(*1*1iniinxexxxf)(ln*)(*)(fdyyeyer),.,()(),.,(*1*1*1niiniinxxfxxxxxf),.,()(),.,(*1*1*1niniinxxfxexxxf)(),.,(),.,(*1*1*1irniniinxexxfxxxxf和、差、積、商的誤差限為和、差、積、商的誤差限為)()()()()(*2*12121xexexexexxe)()

4、()()()(*212121xexexexexxerrrrr)()()()()(*212121xexexexexxerrrrr例例 設(shè)設(shè)y=xn，求，求y的相對誤差與的相對誤差與x的相對誤差之間的關(guān)系的相對誤差之間的關(guān)系例例 假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求x*=1.213.65-9.81的絕對誤差限和相對誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字的絕對誤差限和相對誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字習(xí)題習(xí)題1 1：為了保證計(jì)算球體體積時(shí)的相對誤差不超：為了保證計(jì)算球體體積時(shí)的相對誤差不超過過1%1%，問測量半徑，問測量半徑R R時(shí)允許的相對誤差限是多少？時(shí)允許的相對誤差

5、限是多少？34( )3Vf RR解：球體的體積計(jì)算公式為解：球體的體積計(jì)算公式為( )( )( ( )( )( )rrfRe Vef Re Rf R23( )4( )( )( ) *( )4/3rrfRRe Ve Re RRf RR( )3( )0.01rre Ve R( )0.01/3re R 1要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法2要避免兩個(gè)相似數(shù)相減要避免兩個(gè)相似數(shù)相減例：求例：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。的值。10dx5xxInnxxy1的值。的值。當(dāng)當(dāng)x = 1000，y 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為0.01580 例例: 求求3. 絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)絕對值太小的

6、數(shù)不宜作除數(shù)掌握確定方程有根區(qū)間的方法，能正確使用逐掌握確定方程有根區(qū)間的方法，能正確使用逐步搜索法或二分法求方程具有足夠精度的近似步搜索法或二分法求方程具有足夠精度的近似解。解。掌握迭代法求方程根的基本思想、幾何意義及掌握迭代法求方程根的基本思想、幾何意義及相關(guān)理論和概念，會構(gòu)造方程求根的迭代格式，相關(guān)理論和概念，會構(gòu)造方程求根的迭代格式，并進(jìn)行迭代格式的收斂性判斷和收斂階的確定。并進(jìn)行迭代格式的收斂性判斷和收斂階的確定。本章重點(diǎn)是本章重點(diǎn)是NewtonNewton迭代法，要求熟練掌握迭代法，要求熟練掌握NewtonNewton法求根公式的幾何解釋、局部收斂性和法求根公式的幾何解釋、局部收斂

7、性和收斂階。了解弦截法求根過程。收斂階。了解弦截法求根過程。一、簡單迭代法一、簡單迭代法(基本迭代法基本迭代法)-(2)將非線性方程將非線性方程(1)化為一個(gè)同解方程化為一個(gè)同解方程)(xx為連續(xù)函數(shù)并且假設(shè))(x得的右端代入任取一個(gè)初值,)2(,0 x)(01xx)(12xx)(1kkxx繼續(xù)繼續(xù)-(3),2,1,0(k稱稱(3)式為求解非線性方程式為求解非線性方程(2)的簡單迭代法的簡單迭代法xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1定理

8、2.且滿足上連續(xù)在設(shè)迭代函數(shù),)(bax;)(,)1(bxabax時(shí)當(dāng)有且滿足存在一正數(shù),10,)2(baxLLLx|)(|*,)(.1xbaxxo內(nèi)有唯一解在方程則*)(,.210 xxxbaxkko均收斂于迭代法對于任意初值11*.3kkkoxxLLxx011*.4xxLLxxkko-(5)-(6)-(7)定理定理3 3：如果函數(shù)如果函數(shù)(x)(x)在在x x* *的一鄰域的一鄰域O(xO(x* *, ,* *) )內(nèi)可導(dǎo)連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)連續(xù)，x x* *為方程為方程x= x= (x)(x)的根，且的根，且| |(x(x* *)|1)|1，則存在正數(shù)，則存在正數(shù)，( ( * *) )，使得對任

9、意，使得對任意，迭，迭代序列代序列x xn+1n+1= = (x(xn n)(n=0,1,2)(n=0,1,2) )收斂于收斂于x x* *。*0,xxx迭代過程的收斂速度迭代過程的收斂速度設(shè)由某方法確定的序列設(shè)由某方法確定的序列xkxk收斂于方程的根收斂于方程的根x x* *，如果存在正實(shí)數(shù)如果存在正實(shí)數(shù)p p，使得，使得Cxxxxpkkk*1*lim（C C為非零常數(shù)）為非零常數(shù)）定義：定義：則稱序列則稱序列xkxk收斂于收斂于x x* *的收斂速度是的收斂速度是p p階的，或稱階的，或稱該方法具有該方法具有p p 階斂速。當(dāng)階斂速。當(dāng)p = 1p = 1時(shí)，稱該方法為線時(shí)，稱該方法為線性

10、（一次）收斂；當(dāng)性（一次）收斂；當(dāng)p = 2p = 2時(shí)，稱方法為平方（二時(shí)，稱方法為平方（二次）收斂；當(dāng)次）收斂；當(dāng)1 p 21 p 2時(shí)，稱方法為超線性收斂。時(shí)，稱方法為超線性收斂。 如何判斷迭代函數(shù)的收斂速度呢？如何判斷迭代函數(shù)的收斂速度呢？設(shè)迭代函數(shù)設(shè)迭代函數(shù)(x)(x)在在x x* *的鄰域有的鄰域有r r階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(r2)(r2)，且且x x* *= =(x(x* *) )，(k)(k)(x(x* *)=0(k=1,)=0(k=1,r-1), ,r-1), (r)(r)(x(x* *)0)0，則迭代公式所產(chǎn)生的序列，則迭代公式所產(chǎn)生的序列xxn n 是是r r階收階收斂的

11、。若斂的。若0|0|(x(x* *)|1)|1，則迭代序列是線性收斂的。，則迭代序列是線性收斂的。定理定理4 4：4.5 Newton迭代法（Newton-Raphson）如果將非線性方程0)(xf)()(xfxkxx0)(xk且令)()()(xfxkxx)()()()(1)(xfxkxfxkx,0)(*的根為設(shè)xfx則收斂速度越快附近越小在,*|)(|xx化為等價(jià)方程如果0*)( xf*)(*)(*)(*)(1xfxkxfxk00*)( x令*)(1*)(xfxk即則于是取)(1)(xfxk)()()(xfxfxx-(10)-(11)式構(gòu)造迭代法由取初值)11(,0 x)()(1kkkkxf

12、xfxx),2 , 1 ,0(k-(12)(12)式稱為Newton迭代法,0*)( xf只要Newton迭代法至少平方收斂局部收斂性Newton法的收斂性依賴于法的收斂性依賴于x0 的選取。的選取。x*x0 x0 x0牛頓法收斂性示意圖牛頓法收斂性示意圖 與二分法不同，牛頓法一般不在與二分法不同，牛頓法一般不在x軸的有限范圍內(nèi)求根，軸的有限范圍內(nèi)求根，因此其二次收斂是有限制的，在最壞的情況下會出現(xiàn)因此其二次收斂是有限制的，在最壞的情況下會出現(xiàn)迭代發(fā)散現(xiàn)象，一般用于求解良性函數(shù)。迭代發(fā)散現(xiàn)象，一般用于求解良性函數(shù)。牛頓法的收斂性牛頓法的收斂性牛頓法收斂性示意圖牛頓法收斂性示意圖)()(1kkk

13、kxfxfxxNewton迭代法需要求每個(gè)迭代點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù))(kxf 復(fù)雜！得中的近似替代用,)(0kkxxfx)()(01xfxfxxkkk-(12)-(13)這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低)(kxf 如果用數(shù)值導(dǎo)數(shù)代替11)()()(kkkkkxxxfxfxfNewton迭代法的變形則Newton迭代法變?yōu)?()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx-(14)這種格式稱為弦截法收斂階約為1.6181kx11)()(,kkkkABxxxfxfKAB的斜率為如圖11)()(tankkkkxxxfxf*x)(xfy 1kxkxAB)()()()(111kkkkkkkxxxf

14、xfxfxx)(cotkkxfx)(cotkxf幾何意義(1)(cossin )/4;xxx(2)42xx ( )1xL已知已知x x* *是是f(x)=0f(x)=0的的m m重根，則可用下面迭代法重根，則可用下面迭代法1()()kkkkf xxxmfx如果未知如果未知x x* *是是f(x)=0f(x)=0的幾重根，則可用下面迭代法的幾重根，則可用下面迭代法12()()()()()kkkkkkkf xfxxxfxf xfx得到至少二階收斂的解序列。得到至少二階收斂的解序列。1*lim0*kkkxxxx2251/kkkxpxqa xrax kx3a*(),()0,()0 xxxx22515/

15、95/9 /1/9/kkkxxa xax(1)( )()kkxxR(1)( )( )1()11kkkxxx理解高斯消去法的基本原理及實(shí)現(xiàn)條件，理解理解高斯消去法的基本原理及實(shí)現(xiàn)條件，理解按列選主元策略的原因，掌握消去法的計(jì)算過按列選主元策略的原因，掌握消去法的計(jì)算過程，熟練使用高斯消去法解線性方程組。理解程，熟練使用高斯消去法解線性方程組。理解高斯消去法對應(yīng)的矩陣操作。高斯消去法對應(yīng)的矩陣操作。熟練掌握矩陣的三角分解法，熟練掌握矩陣的三角分解法，LULU分解法。能夠分解法。能夠利用其求解線性方程組。利用其求解線性方程組。掌握向量和矩陣泛數(shù)的定義及其性質(zhì)，會計(jì)算掌握向量和矩陣泛數(shù)的定義及其性質(zhì)，

16、會計(jì)算常用的常用的3 3種泛數(shù)。了解矩陣條件數(shù)的定義，明種泛數(shù)。了解矩陣條件數(shù)的定義，明確條件數(shù)與方程組性態(tài)的關(guān)系，能夠進(jìn)行初步確條件數(shù)與方程組性態(tài)的關(guān)系，能夠進(jìn)行初步的擾動分析。的擾動分析。列主元消元法列主元消元法在在GaussGauss消元第消元第k k步之前，步之前，做如下的事情：做如下的事情：|max)()(kjkkiknikaa若若交換交換k k行和行和j j行行例：例： 211111091,112 xx 110211 11102119 行的交換，不改變方程組的解，同時(shí)又有效地克行的交換，不改變方程組的解，同時(shí)又有效地克服了服了GaussGauss消元地缺陷。消元地缺陷。設(shè)設(shè)A為為n

17、階方陣，若階方陣，若A的順序主子式的順序主子式Ai均不為零，則矩陣存均不為零，則矩陣存在唯一的在唯一的LU(Doolittle 杜利特爾）分解。杜利特爾）分解。11121n21222n313212(1)nn ( 111 U 1nnn nGaussLUALULuuuluulllllu 由消去法加上列主元或全主元）有分解：用LU分解法解方程組1391444321131243301024321xxxx72510A7251013914443211312433010272510139142432211312423301021rju1ja11111ualii413725101391424322113124

18、23301021r72201013911624311321217121123301022r11rkkjrkrjrjulaurrrkkrikiriruulal1172201013911624311321217121123301022r11rkkjrkrjrjulaurrrkkrikiriruulal11711172010139116211211311321217121123301023r161117201049116211211311321217121123301024rLU4321xxxxx4321所以*y求解求解 時(shí)，時(shí)，A 和和 的誤差對解的誤差對解 有何影響？有何影響？bxA bx 設(shè)設(shè)

19、 A 精確，精確， 有誤差有誤差 ，得到的解為，得到的解為 ，即，即bb xx bbxxA )(bAx 1 |1bAx 絕對誤差放大因子絕對誤差放大因子|xAxAb 又又|1bAx |1bbAAxx 相對誤差放大因子相對誤差放大因子線性方程組的性態(tài)和解的誤差分析線性方程組的性態(tài)和解的誤差分析 設(shè)設(shè) 精確，精確，A有誤差有誤差 ，得到的解為，得到的解為 ，即，即bA xx bxxAA )( bxxAxxA)()()(1xxAAx(只要只要 A充分小，使得充分小，使得)|11AA|1|1|1111AAAAAAAAAAAAxx )()(xxAAxxAAx11xAAxAAx11 是關(guān)鍵是關(guān)鍵的誤差放大

20、因子，稱為的誤差放大因子，稱為A的的條件數(shù)條件數(shù)，記為，記為cond (A) ,越越大大則則 A 越病態(tài)，越病態(tài)，難得準(zhǔn)確解。難得準(zhǔn)確解。|1 AA定義定義5：設(shè)：設(shè)A 為為n 階非奇矩陣，稱數(shù)階非奇矩陣，稱數(shù) 為矩陣為矩陣A的條件數(shù)，的條件數(shù)，AA1條件數(shù)的性質(zhì)：條件數(shù)的性質(zhì)： ）cond ( A )1）cond ( kA )= cond ( A ) k 為非零常數(shù)為非零常數(shù)）若）若 ， 則則1A1)(cond AA記為記為cond( A )。 1241234123412343421323234xxxxxxxxxxxxxxx 1234124742358345692789101xxxx1011

21、/2221 ,1/30222/3Ab61102b求解求解 時(shí)，時(shí)，A 和和 的誤差對解的誤差對解 有何影響？有何影響？bxA bx 設(shè)設(shè) A 精確，精確， 有誤差有誤差 ，得到的解為，得到的解為 ，即，即bb xx bbxxA )(bAx 1 |1bAx |xAxAb 又又|1bAx |1bbAAxx 線性方程組的性態(tài)和解的誤差分析線性方程組的性態(tài)和解的誤差分析理解向量序列及矩陣序列收斂極限的定義與收理解向量序列及矩陣序列收斂極限的定義與收斂的充分必要條件。掌握線性方程組迭代法求斂的充分必要條件。掌握線性方程組迭代法求解的思路。能夠解的思路。能夠利用迭代法收斂的充分必要條利用迭代法收斂的充分必

22、要條件（迭代矩陣譜半徑小于件（迭代矩陣譜半徑小于1 1）或充分條件（迭）或充分條件（迭代矩陣泛數(shù)小于代矩陣泛數(shù)小于1 1），），判別迭代方法的收斂性。判別迭代方法的收斂性。熟練掌握熟練掌握J(rèn)acobiJacobi迭代法、迭代法、Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代法迭代法的計(jì)算過程。的計(jì)算過程。對方程組bAx 做等價(jià)變換gGxxbMNxMxNxbMxbxNMbAx11)(如：令NMA，則則，我們可以構(gòu)造序列g(shù)xGxkk)()1( 若*)(xxkbAxgxGx* *同時(shí)：*)(*)()()1(xxGGxGxxxkkk*)()0(1xxGk0kG所以，序列收斂與初值的選取無關(guān)與初值

23、的選取無關(guān)1,(2)kkxBxg0,x01,nxxx*lim,nnxx一、一、Jacobi迭代法迭代法),2 , 1(0niaii設(shè)ix則可從上式解出,nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111000132121223211111312nnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbBngggg21gBxx例例1.用用Jacobi迭代法求解方程組迭代法求解方程組,誤差不超過誤差不超過1e-41233204121114238321xxx解解:4121114238A4000110008DADIBJ104121111011441830bDf133

24、5.2迭代法使用取初值JacobixT,000)0(fxBxkJk)()1(),2 , 1 ,0(nk fxBxJ)0()1(04121111011441830335.2000335 . 2924.4)0()1( xx04121111011441830fxBxJ)1()2(335.2335.2T1,3636.2,875.21320.2)1()2( xx04121111011441830fxBxJ)2()3(335.213636.2875.2T9716.0,0455.2,1364.34127.0)2()3( xx依此類推迭代次數(shù)迭代次數(shù)為為12次次 x4 = 3.0241 1.9478 0.92

25、05 d = 0.1573 x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914 x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175 x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059 x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040 x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.7669e-004x12 = 3.0000

26、2.0000 1.0000 d = 3.0647e-0050000.10000.20000.3321xxx令0000002121nnaaaL0000002112nnaaaUULDAULADADIBJ1)(11ULDADIBJ考慮迭代式gxBxkJk)()1(),2 , 1 ,0(kbDxULDxkk1)(1)1()(即bUxLxDxkkk)()()1(),(不含對角線下三角的形式注意到L將上式改為bUxLxDxkkk)()1()1(bUxxLDkk)()1()(可逆時(shí)當(dāng)LD 部分包括對角線的下三角即為)(ALD bLDUxLDxkk1)(1)1()()(得設(shè),)(,)(11bLDfULDBGG

27、GkGkfxBx)()1(上式稱為Gauss-Seidel迭代法,簡稱G-S法),2 , 1 ,0(k121 ( )(,x,m)a ini nAA 稱為矩陣 的譜。12 (,)(1,2,), () ( )kkkkkknAAAAkAA由特征值的定義知，矩陣的譜是因而2)(AA 定理定理3.6：對任意初始向量：對任意初始向量x(0)和右端項(xiàng)和右端項(xiàng)g，由迭代格式：，由迭代格式：(1)( ) (0,1,2,) kkxAxgk推論推論1：收斂收斂若若)(1kxM迭代法的收斂條件迭代法的收斂條件推論推論2：20是是松馳法收斂的必要條件松馳法收斂的必要條件產(chǎn)生的向量序列產(chǎn)生的向量序列xk收斂收斂()1A

28、充分必要條件充分必要條件 ( (A A) ) 難計(jì)算，而難計(jì)算，而|A A|、|A A|1 1計(jì)算容易，計(jì)算容易，迭代法收斂與否只覺定于迭迭代法收斂與否只覺定于迭代矩陣的譜半徑，與初始值代矩陣的譜半徑，與初始值和方程右端的常數(shù)項(xiàng)無關(guān)！和方程右端的常數(shù)項(xiàng)無關(guān)！123211111111121xxx323,121Ab(1)( )( )(),0,1,2,.kkkxxabAxk 掌握函數(shù)插值的意義及概念；了解插值多項(xiàng)式掌握函數(shù)插值的意義及概念；了解插值多項(xiàng)式的存在唯一性；熟練掌握多項(xiàng)式插值的幾種經(jīng)的存在唯一性；熟練掌握多項(xiàng)式插值的幾種經(jīng)典方法及其適用條件，如典方法及其適用條件，如LagrangeLagr

29、ange插值，插值，NewtonNewton插值，帶導(dǎo)數(shù)條件的插值，帶導(dǎo)數(shù)條件的HermiteHermite插值，及插值，及分段低次插值中的分段線性插值，分段三次分段低次插值中的分段線性插值，分段三次HermiteHermite插值和分段三次樣條插值；會推導(dǎo)各插值和分段三次樣條插值；會推導(dǎo)各插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式并能應(yīng)用余項(xiàng)公式分插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式并能應(yīng)用余項(xiàng)公式分析和估計(jì)誤差。析和估計(jì)誤差。掌握函數(shù)逼近與曲線擬合的有關(guān)概念，了解其掌握函數(shù)逼近與曲線擬合的有關(guān)概念，了解其意義和推導(dǎo)過程，熟練掌握曲線擬合最小二乘意義和推導(dǎo)過程，熟練掌握曲線擬合最小二乘法求解的過程。法求解的過程。 nnnxa

30、xaxaaxPxP2210)()(01100nijjinnnxxxxVandermonde行列式1 1、n n 次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多項(xiàng)式nnnyxlyxlyxlxL)()()()(1100nkkkyxl0)(ik ik xlik01)(其中其中 n),0,1,( ki )()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)()()(101nnxxxxxxx令令)()()()(11101nkkkkkkkknxxxxxxxxxxx則則nkkknyxlxL0)()(nkknknkxxxxy011)()()( 插值余項(xiàng)定理插值

31、余項(xiàng)定理: :設(shè)設(shè)x0, x1,x0, x1, xn, xn是區(qū)間是區(qū)間a, ba, b上的上的互異節(jié)點(diǎn)，互異節(jié)點(diǎn)，p pn n(x)(x)是過這組節(jié)點(diǎn)的是過這組節(jié)點(diǎn)的n n次插值多項(xiàng)式。如次插值多項(xiàng)式。如果果f(x)f(x)在在a, ba, b上上n+1n+1次連續(xù)可導(dǎo)，則對次連續(xù)可導(dǎo)，則對a,ba,b內(nèi)任意內(nèi)任意點(diǎn)點(diǎn)x x，插值余項(xiàng)為：，插值余項(xiàng)為： )( )()!1()()()()(1)1(a,bxnfxpxfxRnnnn 5.35.3.2 2 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 根據(jù)差商的定義，有：根據(jù)差商的定義，有：000)()(,xxxfxfxxf)(,)()(000 xxxxfxfxf

32、110010,xxxxfxxfxxxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf221010210,xxxxxfxxxfxxxxf)(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxfnnnnxxxxxfxxxfxxxxf,101010)(,01010nnnnxxxxxfxxxfxxxf)(,)(,)()(10100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf)()(,)()(,)(,)(,)()(101011010102100100nnnnxxxxxxxxxxf xxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxf 取取)()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnx

33、xxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxN這種用差商表示系數(shù)的多項(xiàng)式，稱為這種用差商表示系數(shù)的多項(xiàng)式，稱為牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式。)(ixfix0 x1x2x3x)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf一階差商一階差商,10 xxf,21xxf,32xxf二階差商二階差商,210 xxxf,321xxxf,3210 xxxxf三階差商三階差商4x)(4xf,43xxf,432xxxf,4321xxxxf,43210 xxxxxf四階差商四階差商 解解：根據(jù)差商的遞推定義，列差商表如下：根據(jù)差商的遞推定義，列差商表如下：的牛頓插值多項(xiàng)式的牛頓插值多項(xiàng)式 ？ 例：試求通過下列數(shù)

34、據(jù)點(diǎn)例：試求通過下列數(shù)據(jù)點(diǎn) )(ixfix1032415712)(ixfix1347021512一階差商一階差商1131二階差商二階差商42745三階差商三階差商)()(,)(,)(,)()(21032101021001003xxxxxxxxxxf xxxxxxxfxxxxfxfxN)4)(3)(1(45) 3)(1(4) 1(10 xxxxxx)104155565(4123xxx通過通過 4 個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式為：個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式為：4.5 Hermite 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)即：要

35、求插值函數(shù) P P(x) (x) 滿足滿足 p(xp(xi i)=f(x)=f(xi i), ), P P(x(xi i)= f)= f(x(xi i),), P, P(m)(m)(x(xi i) = f) = f(m)(m)(x(xi i).). 在實(shí)際問題中，對所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，在實(shí)際問題中，對所構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，不僅不僅把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（把此類插值多項(xiàng)式稱為埃米爾特（HermiteHermite）插值多項(xiàng)式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為插值多項(xiàng)式或稱帶導(dǎo)數(shù)的插值多項(xiàng)式，記為H(x)H(x)。 2100( )( ) ( )nnniiiiiiHxy h xy h x)()(21

36、)(2xlxxxlxhiiiii hi)(x)(ili2(x)xx 定理定理: :f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b存在存在2n+22n+2階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,則其則其HermiteHermite插值插值余項(xiàng)為余項(xiàng)為: : ( (x)=(x-xx)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) ).(x-x.(x-xn n) ),()!22()()()()()(2)22(12banxfxHxfxRnn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 例：在例：在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf),., 0(1

37、05niinxi n 越大，越大，端點(diǎn)附近抖動端點(diǎn)附近抖動越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 是否次數(shù)越高越好呢？是否次數(shù)越高越好呢？ 1n ,0,1,i xxx yxxxxyxxxxxiiiiiiiiii),()(11111)()()()()()()()(1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxx y xxxxxxxx yxxxxxxxxyxxxxxxxxx)()!1()(1)1(xnfnn)()()(xPxfxRnn分段插值的誤差估計(jì)分段插值的誤差估計(jì)GXF01TnXaaa01TmFyyymii0222miiiyxS02

38、)(mii022222GXF22() ()TGXFGXFGXF()()TTTX GFGXFTTTTTTX G GXF FF GXX G F2TTTTX G GXF FF GX()2TTTTf XX G GXF FF GX令0( )()g tf Xte000()()2()TTTTXteG G XteF FF G Xte0( )()g tf Xte0000TTTTTTXG GXtXG Gete G GX2022TTTTTt e G GeF FF GXF Gte200()2()TTTTTf Xt e G GeteG GXG F0(0)()0TTTgeG GXG F00TTG GXG F0TTG GX

39、G F0( )njijijj ixxl xxx0( ),0,1,.,nkkiiix l xxkn121(.)nxxxxn20( )()niixxx1yabx1zy了解數(shù)值積分與微分的基本思想，掌握代數(shù)精了解數(shù)值積分與微分的基本思想，掌握代數(shù)精確度的概念和插值型的求積公式，如梯形公式、確度的概念和插值型的求積公式，如梯形公式、SimpsonSimpson公式和公式和Newton-CotesNewton-Cotes公式，以及相應(yīng)公式，以及相應(yīng)的復(fù)化求積公式；掌握求數(shù)值微分的插值型求的復(fù)化求積公式；掌握求數(shù)值微分的插值型求導(dǎo)公式。并能對上述數(shù)值方法進(jìn)行誤差分析。導(dǎo)公式。并能對上述數(shù)值方法進(jìn)行誤差分析

40、。對任意次數(shù)不高于對任意次數(shù)不高于n n次的多項(xiàng)式函數(shù)次的多項(xiàng)式函數(shù)f(x)f(x)，數(shù)值積分沒有誤差（截?cái)啵磾?shù)值積分沒有誤差（截?cái)啵?，即R R（f f）=0=0。代數(shù)精度代數(shù)精度)()(0knkknxfAfI為數(shù)值積分，badxxffI)()(為理論積分若f(x)為任意次數(shù)不高于m次的多項(xiàng)式時(shí)， 精確成立而對某個(gè)m+1次多項(xiàng)式，公式不精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度。)()(fIfIn nkkknxlxfxLxf0)(n則插值型求積公式為：則插值型求積公式為：nkjjjkjkxxxxxl0)(A Ak k僅與節(jié)點(diǎn)僅與節(jié)點(diǎn)x xk k和積分和積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間有關(guān)，與f(x)f

41、(x)的的具體形式無關(guān)。具體形式無關(guān)。 nkkbakbanbaxfdxxldxxLdxxf0)(68)誤差？誤差？(69)dxxnfdxxLdxxffRbannbanban)()!1()()()()()1()1(求積公式求積公式(6(68)8)的截?cái)嗾`差為：的截?cái)嗾`差為：LagrangeLagrange插值插值L Ln n(x)(x)的插值余項(xiàng)為：的插值余項(xiàng)為：),()()!1()()()1()1(baxnfxRnnn若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)點(diǎn)。對區(qū)間做等距分割。點(diǎn)。對區(qū)間做等距分割。 bankjjjkjbakkdxxxxxd

42、xxlA0)()(設(shè)設(shè)xk=a+kh (k=0，1，n)，h=(b-a)/n（6-86-8）式中的求積系數(shù)可寫為：）式中的求積系數(shù)可寫為： bankjjdxhjkjhax0)( nnkjjknnnkjjkdtjtknkhhdtjkjtA0000)() !( !) 1()(令令x=a+thx=a+th， nnkjjknnkdtjtnknkC00)()() !( !) 1()()(nkkCabA(611)nkknkbaxfCabdxxffI0)()()()()(稱為稱為n n階階Newton-CotesNewton-Cotes積分積分稱為稱為n n階階CotesCotes系數(shù)系數(shù) nnkjjknn

43、kdtjtnknkC00)()() !( !) 1(CotesCotes系數(shù)僅與等分區(qū)間數(shù)有關(guān)，與積分區(qū)間和被積系數(shù)僅與等分區(qū)間數(shù)有關(guān)，與積分區(qū)間和被積函數(shù)均無關(guān)。函數(shù)均無關(guān)。1/21/21/64/61/61/83/83/81/37/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/28841/8409/359/28034/1059/2809/3541/840)(nkC誤差？誤差？(612)dxxxnffRbanjjnn0) 1()()!1()()(N-CN-C公式的截?cái)嗾`差為：公式的截?cái)嗾`差為：dtjtfnhnnjnn00)1(2)()()!1(代數(shù)精度代數(shù)精度2122121210( ).nnnnnPxaxa xa xaN-CN-C公式的實(shí)質(zhì)是利用公式的實(shí)質(zhì)