奧數(shù)第4講-巧求周長與面積

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四講 巧求周長與面積教學(xué)目標(biāo)1. 掌握巧求周長與面積的基本方法；2. 理解并掌握割補(bǔ)、平移等數(shù)學(xué)思想方法。經(jīng)典精講巧求周長【例1】 （年“希望杯”第一試）右圖中的陰影部分是正方形，線段長厘米，線段長厘米，則長方形的周長是_厘米?！痉治觥?由于圖中陰影部分是個(gè)正方形，其四條邊的邊長都相等，且等于長方形的寬。的和應(yīng)為長方形的長加上正方形的邊長，所以等于長方形的長與寬之和。所以長方形的周長為：厘米?！纠?】 如右圖所示，在一個(gè)正方形內(nèi)畫中、小兩個(gè)正方形，使三個(gè)正方形具有公共頂點(diǎn)，這樣大正方形被分割成了正方形區(qū)域甲，和形區(qū)域乙和丙。甲的邊長為厘米，乙的邊長是甲的邊長的倍，丙

2、的邊長是乙的邊長的倍，那么丙的周長為多少厘米？長多少厘米？【分析】 乙的周長實(shí)際上是正方形的周長（我們可將乙與甲重合的兩條線段分別向左、向下平移），同樣的，丙的周長也就是正方形的周長。由于，所以丙的周長為厘米，（厘米）?！纠?】 用若干個(gè)邊長都是厘米的平行四邊形與三角形（如右圖）拼接成一個(gè)大的平行四邊形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？【分析】 大平行四邊形上、下兩邊的長為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，所以共有小平行四邊形個(gè)，三角形的數(shù)量與小平行四邊形的數(shù)量相等，也是個(gè)。拓展 用若干個(gè)邊長都是厘米的平行四邊形與三角形（如右圖）拼接成一個(gè)大的平行四邊

3、形，已知大平行四邊形的周長是厘米，那么平行四邊形和三角形各有多少個(gè)？分析 大平行四邊形上、下兩邊的長為厘米，觀察上邊，每厘米有兩個(gè)平行四邊形的邊，所以有三角形個(gè)，小平行四邊形個(gè)?！纠?】 有個(gè)小長方形，它們的長和寬分別相等，用這個(gè)小長方形拼成的大長方形(如圖)的面積是平方厘米，求這個(gè)大長方形的周長。【分析】 從圖上可以知道，小長方形的長的倍等于寬的倍，所以長是寬的倍。每個(gè)小長方形的面積為平方厘米，所以寬寬，所以寬為厘米，長為厘米。大長方形的周長為厘米。拓展 右圖的長方形被分割成個(gè)正方形，已知原長方形的面積為平方厘米，求原長方形的長與寬。分析 大正方形邊長的倍等于小正方形邊長的倍，所以大正方形的

4、邊長是小正方形邊長的倍，大正方形的面積是小正方形面積的倍，所以小正方形面積為平方厘米，所以小正方形的邊長為厘米，大正方形的邊長為厘米，原長方形的長為厘米，寬為厘米?！纠?】 （希望杯培訓(xùn)題）如右圖所示，在一個(gè)正方形上先截去寬分米的長方形,再截去寬分米的長方形，所得圖形的面積比原正方形減少平方分米。原正方形的邊長是_分米?！痉治觥?把截去的兩個(gè)長方形拼在一起，如右下圖所示，再補(bǔ)上長分米、寬分米的小長方形，所得長方形的面積是平方分米，這個(gè)長方形的長等于原正方形的邊長，寬為分米，所以原正方形邊長為：分米。巧求面積【例6】 如圖，一個(gè)矩形被分成八個(gè)小矩形，其中有五個(gè)矩形的面積如圖中所示（單位：平方厘米

5、），問大矩形的面積是多少平方厘米？【分析】 通過分析題目中的已知條件可以看出，面積為平方厘米和面積為平方厘米的兩個(gè)長方形的寬相等，即相等，不妨假設(shè)厘米，可以算得：厘米，厘米。于是可以算得：厘米，厘米，厘米。于是大長方形的長為厘米，寬為厘米，因此大長方形的面積為平方厘米?！纠?】 一塊正方形的苗圃（如右圖實(shí)線所示），若將它的邊長各增加米（如圖虛線所示），則面積增加平方米，問原來這塊正方形苗圃的面積是多少平方米？【分析】 小正方形的面積為：平方米。用增加的面積減去小正方形的面積就得到增加的兩個(gè)長方形的面積和，為：平方米。而增加的兩個(gè)長方形的面積相等，于是其中一個(gè)長方形的面積為平方米。長方形的寬為米

6、，那么長為：米，這就是原來這塊正方形苗圃的邊長，原來這塊正方形苗圃的面積為（平方米）。【例8】 長方形的周長是厘米，以這個(gè)長方形的每一條邊為邊長向外畫正方形。已知這四個(gè)正方形的面積之和為平方厘米，那么長方形的面積是多少平方厘米？【分析】 從圖形我們可以看出，的長度恰好為長方形的長與寬之和，即為長方形周長的一半，可以看出若以和為邊能構(gòu)成大正方形（如右圖所示），其中包含兩個(gè)長方形和兩個(gè)正方形，而且兩個(gè)長方形的面積是相等的，兩個(gè)正方形的面積剛好是平方厘米的一半。這樣我們?nèi)菀浊蟪觯捍笳叫蔚倪呴L為厘米，面積為：平方厘米，正方形與正方形的面積之和為：（平方厘米）。長方形與長方形的面積相等。所以，長方形的

7、面積為：（平方厘米）。鞏固 用兩塊長方形紙片和一塊正方形紙片拼成一個(gè)大正方形，長方形紙片面積分別為平方厘米與平方厘米，原正方形紙片面積是多少平方厘米？分析 做輔助線，如右下圖，小正方形的面積為，所以,，原正方形面積為（平方厘米）?！纠?】 如圖，正方形的邊長是，分別是和的中點(diǎn)，求四邊形的面積?！痉治觥?如下圖，利用割補(bǔ)法，原正方形面積等于個(gè)小正方形面積之和，所以每個(gè)小正方形面積是，而陰影部分面積等于個(gè)小正方形面積，所以也是。綜合應(yīng)用【例10】 把正三角形的每條邊三等分，以各邊的中間一段為邊向外作小正三角形，得到一個(gè)六角形。再將這個(gè)六角形的六個(gè)“角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它的中間段為

8、邊向外作更小的小正三角形，這樣就得到如右圖所示的圖形。如果所作的最小的小正三角形的面積為平方厘米，求如圖中整個(gè)圖形的面積?！痉治觥?題目中出現(xiàn)了大、中、小三種規(guī)格的正三角形(如圖)，由已知，圖中最小的小正三角形的面積是平方厘米，于是我們就以平方厘米的小正三角形為單位，對圖進(jìn)行分割，得到圖。從圖可以看出，一個(gè)大正三角形中包含個(gè)中正三角形，一個(gè)中正三角形中包含個(gè)小正三角形。由此可以求出，一個(gè)大正三角形中包含個(gè)小正三角形，在圖中，除了一個(gè)大三角形之外，還有個(gè)中正三角形和個(gè)小正三角形，所以整個(gè)圖形中共含有小三角形的個(gè)數(shù)為：個(gè)，而每個(gè)小正三角形的面積為平方厘米，所以圖中圖形的面積為平方厘米。【例11】

9、（“迎春杯”初賽）如右圖，甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形拼成一個(gè)正方形，中間陰影為正方形。已知甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形面積的和是平方厘米，四邊形的面積是平方厘米，求甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形周長的總和?！痉治觥?甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形的長與寬之和的總和等于大正方形的周長，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形的周長的總和等于大正方形的周長的倍。大正方形的面積等于四邊形的面積加上甲、乙、丙、丁面積和的一半，即平方厘米，所以大正方形邊長為厘米，所以甲、乙、丙、丁四個(gè)長方形周長的總和為厘米?！纠?2】 （年“希望杯”第二試）如右圖，用標(biāo)號(hào)為，的五種大小不同的正方形拼成一個(gè)大長方形，大長方形的長和寬分別是，則標(biāo)號(hào)為的

10、正方形的面積是多少？【分析】 如果標(biāo)號(hào)為的正方形的邊長是，那么號(hào)比號(hào)大，號(hào)比號(hào)大，所以號(hào)比號(hào)大，又因?yàn)樘?hào)和號(hào)的邊長之和是，號(hào)和號(hào)的邊長之和是，所以號(hào)比號(hào)大，即，標(biāo)號(hào)為的正方形的面積是。鞏固 （希望杯培訓(xùn)題）小軍用編號(hào)為，的大小不同的正方形拼出一個(gè)長方形，如右圖所示，則中間陰影部分正方形的周長是多少厘米？分析 因?yàn)檎叫蔚倪呴L正方形的邊長正方形的邊長厘米， 正方形的邊長正方形的邊長厘米，所以 正方形的邊長(厘米)，正方形的邊長正方形的邊長厘米，所以正方形的邊長厘米，周長為厘米。拓展 一個(gè)大長方形若能分割成若干個(gè)大小不同的小正方形，則稱為完美長方形。下面一個(gè)長方形是由個(gè)小正方形組成的完美長方形。圖

11、中正方形和的邊長分別是厘米和厘米，那么這個(gè)完美長方形的面積是多少平方厘米？分析 為了敘述方便，我們將圖中各個(gè)小正方形分別用字母表示(如圖)。設(shè)最小的正方形邊長為厘米，又因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L為厘米，小正方形的邊長為厘米，所以小正方形的邊長可以表示為（厘米），小正方形的邊長可以表示為（厘米），小正方形的邊長可以表示為（厘米），小正方形的邊長可以表示為（厘米），小正方形的邊長可以表示為（厘米），小正方形的邊長可以表示為（厘米），觀察大長方形可知：小正方形、的邊長之和等于小正方形、的邊長之和，可以列方程為：，解得。從而可得小正方形、的邊長分別為厘米、厘米、厘米、厘米、厘米、厘米。大長方形的長為：（厘米）

12、，寬為：（厘米），大長方形的面積為：（平方厘米）?！纠?3】 有一大一小兩塊正方形試驗(yàn)田，他們的周長相差米，面積相差平方米，那么小正方形試驗(yàn)田的面積是多少平方米？【分析】 根據(jù)已知條件，我們將兩個(gè)正方形試驗(yàn)田的一個(gè)頂點(diǎn)對齊，畫出示意圖（如圖），將大正方形在小正方形外的部分分割成兩個(gè)直角梯形，再拼成一個(gè)長方形（如圖）。由于兩個(gè)正方形的周長相差米，從而它們的每邊相差米，即圖中的長方形的寬是米。又因?yàn)殚L方形的面積是兩個(gè)正方形的面積之差，即為平方米，從而長方形的長為：（米）。由圖可知，長方形的長是大正方形與小正方形的邊長之和，長方形的寬為大正方形與小正方形的邊長之差，從而小正方形的邊長為：（米）。所以

13、小正方形的面積為：（平方米）。附加題目【附1】 從一塊正方形的玻璃板上鋸下寬為米的一個(gè)長方形玻璃條后，剩下的長方形的面積為平方米，請問鋸下的長方形玻璃條的面積等于多少？【分析】 我們先按題目中的條件畫出示意圖(如圖)，我們先看圖中剩下的長方形，已知它的面積為平方米，它的長和寬相差米，我們可以將這樣形狀的四個(gè)長方形拼成一個(gè)弦圖(如圖)。圖是一個(gè)大正方形，它的邊長等于長方形的長和寬之和，中間的那個(gè)小正方形的邊長，等于長方形的長和寬之差，即米。所以中間的小正方形的面積為平方米，那么大正方形的面積為平方米。因?yàn)?，所以大正方形的邊長等于米。所以原題中剩下的長方形的長與寬的和為米，而長與寬的差為米，所以剩

14、下的長方形的長為：米，即原正方形的邊長為米。又知鋸下的長方形玻璃條的寬為米，于是可得鋸下的長方形玻璃條的面積為平方米?！靖?】 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合（如右圖），已知露在外面的部分中，紅色面積是，黃色面積是，綠色面積是，那么正方形盒的底面積是多少？【分析】 黃色紙片露出部分與綠色紙片露出部分面積不同，由于三塊紙片的大小一樣，把黃色紙 片向左移動(dòng)，在這個(gè)移動(dòng)過程中，黃色紙片露出部分減少的面積等于綠色紙片紙片露出部分增加的面積，它們露出部分的面積和不變，為。當(dāng)黃色紙片移動(dòng)到正方形盒的最左邊時(shí)，如右下圖所示，可知此時(shí)黃色紙片露出部分與綠色紙片露出部

15、分的面積相等，所以黃色紙片露出部分面積為，綠色紙片露出面積也為。右下圖中，由于紅色部分面積是綠色部分面積的倍，所以黃色部分面積是空白部分面積的倍。所以空白部分的面積為，正方形盒的底面積為。解答此題的關(guān)鍵是讓黃色紙片移動(dòng)，使復(fù)雜的圖形變?yōu)榛緢D形?！靖?】 右圖中外側(cè)的四邊形是一個(gè)邊長為厘米的正方形，求陰影部分的面積。【分析】 如右下圖所示，可知陰影部分面積與空白部分面積之差即為小長方形的面積，為平方厘米，所以陰影部分面積為平方厘米。鞏固精練1. 右圖中正方形的邊長為厘米，每邊被等分，求圖中所有正方形周長的和。【分析】 分類進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：邊長為厘米的正方形的周長的和是：(厘米)，邊長為厘米的正方形周

16、長的和是：(厘米)，邊長為厘米的正方形周長是：(厘米)，圖中所有正方形周長的和是：(厘米)。2. 用同樣的長方形條磚，在一個(gè)盆的周圍砌成一個(gè)正方形邊框，如右圖所示。已知外面大正方形的周長是厘米，里面小正方形的面積是平方厘米，每塊長方形條磚的長是_厘米，寬是_厘米?！痉治觥?外面大正方形的邊長為厘米，里面小正方形的邊長為厘米，從圖中可以看出，長方形的寬為厘米，長方形的長為厘米。3. 右圖的長方形被分割成個(gè)正方形，已知每個(gè)大正方形比每個(gè)小正方形面積大平方厘米，求原長方形的面積?！痉治觥?大正方形邊長的倍等于小正方形邊長的倍，所以大正方形的邊長是小正方形邊長的倍，大正方形的面積是小正方形面積的倍，小

17、正方形面積為平方厘米，原長方形的面積為平方厘米。4. 有大、小兩個(gè)長方形（右圖），對應(yīng)邊的距離均為厘米，已知兩個(gè)長方形之間部分的面積是平方厘米，且小長方形的長是寬的倍，求大長方形的面積?！痉治觥?如圖，由于已知兩個(gè)長方形之間部分的面積是平方厘米，而個(gè)角上的小正方形面積均為平方厘米，所以劃分出來的四個(gè)新長方形的面積之和為平方厘米，這四個(gè)新長方形的寬均為厘米，長則分別為原來的小長方形的四條邊，所以原來的小長方形的長、寬之和為厘米。由于小長方形的長是寬的倍，所以長為厘米，寬為厘米。所以大長方形的長為厘米，寬為厘米，面積為平方厘米。專心-專注-專業(yè) 競技跳水比賽主要包括跳臺(tái)和跳板，比賽時(shí)運(yùn)動(dòng)員要完成規(guī)

18、定和自選動(dòng)作，最后以兩種動(dòng)作的總分決定名次。年北京奧運(yùn)會(huì)設(shè)男、女個(gè)人米跳臺(tái)和米跳板，以及男、女雙人米跳臺(tái)和米跳板共個(gè)項(xiàng)目。比賽在北京奧林匹克公園的國家游泳中心舉行。跳水池面積為米×米，池深.米。    跳水的男子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成個(gè)動(dòng)作，女子個(gè)人和雙人項(xiàng)目各需完成個(gè)動(dòng)作。跳板比賽中，女子包括個(gè)不同組別無難度系數(shù)限制的動(dòng)作，男子則包括個(gè)無難度系數(shù)限制的動(dòng)作，其中個(gè)動(dòng)作來自不同的組別，另個(gè)動(dòng)作從個(gè)組別中任選。跳臺(tái)的女子比賽含個(gè)不同組別的無難度系數(shù)限制的動(dòng)作，男子比賽包括個(gè)不同組別的無難度系數(shù)限制的動(dòng)作。奧運(yùn)會(huì)跳水比賽先進(jìn)行預(yù)賽，然后選出名成績最好的運(yùn)動(dòng)員參加決賽。決賽時(shí)，必須重復(fù)預(yù)賽時(shí)的全部動(dòng)作，最后以決賽成績總分多者為