北郵數(shù)學物理方法1-2

1、n熱傳導和擴散方程熱傳導和擴散方程1.熱傳導方程熱傳導方程熱傳導熱傳導：當物體內(nèi)各處的溫度分布不均勻時，就會有熱量從溫度高的：當物體內(nèi)各處的溫度分布不均勻時，就會有熱量從溫度高的地方流向溫度低的地方，這就是熱傳導。地方流向溫度低的地方，這就是熱傳導。熱量的傳遞又會引起溫度分布的變化。解決熱傳導的問題，歸結(jié)為求熱量的傳遞又會引起溫度分布的變化。解決熱傳導的問題，歸結(jié)為求溫度的分布與變化。溫度的分布與變化。推導推導均勻且各向同性均勻且各向同性的導熱體在傳熱過程中溫度所的導熱體在傳熱過程中溫度所滿足的微分方程滿足的微分方程采用微元法，在物體中任取一個閉曲面采用微元法，在物體中任取一個閉曲面S,它所包

2、圍它所包圍的區(qū)域記作的區(qū)域記作V假設在時刻假設在時刻t區(qū)域區(qū)域V內(nèi)點內(nèi)點 處的溫度為處的溫度為 , 為曲面元素為曲面元素 的法向（從的法向（從V內(nèi)指向內(nèi)指向V外）外）( , , )M x y z( , , , )u x y z tnS傅里葉（傅里葉（Fourier）定律：物體在無窮小時間段）定律：物體在無窮小時間段 內(nèi)，流過一個無窮小內(nèi)，流過一個無窮小面積面積 的熱量的熱量 與時間與時間 ，曲面面積，曲面面積 ，以及物體溫度沿曲面的法，以及物體溫度沿曲面的法線方向的方向?qū)?shù)線方向的方向?qū)?shù) 三者成正比，三者成正比，dtdSdQdtdSun即即udQkdSdtkgradu ndSdtkgradu

3、 dsdtn 其中其中k稱為物體的稱為物體的熱傳導系數(shù)熱傳導系數(shù)，當物體為均勻且各向同性的導熱體時，當物體為均勻且各向同性的導熱體時，k為常數(shù)。為常數(shù)。負號是由于熱量的流向和溫度梯度的正向方向相反而產(chǎn)生的。負號是由于熱量的流向和溫度梯度的正向方向相反而產(chǎn)生的。從時刻從時刻 到到 ,通過曲面通過曲面S流入?yún)^(qū)域流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為的全部熱量為1t2t211ttSQkgradu ds dt 流入的熱量使流入的熱量使V內(nèi)溫度發(fā)生了變化，在時間間隔內(nèi)溫度發(fā)生了變化，在時間間隔 內(nèi)區(qū)域內(nèi)區(qū)域V內(nèi)各點溫內(nèi)各點溫度從度從 變化到變化到 ，則在，則在 內(nèi)內(nèi)V內(nèi)溫度升高所內(nèi)溫度升高所需要的熱量為需要的熱量為21

4、1ttSQkgradu ds dt 12 , t t1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t12 , t t221 ( , , , )( , , , )VQcu x y z tu x y z tdV其中，其中，c為物體的比熱，為物體的比熱， 為物體的密度，對各向同性的物體來說，它們都為物體的密度，對各向同性的物體來說，它們都是常數(shù)。是常數(shù)。由于熱量守恒，流入的熱量應等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即由于熱量守恒，流入的熱量應等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即2121 ( , , , )( , , , )ttSVkgradu ds dtcu x y z tu

5、x y z tdV 2121 ( , , , )( , , , )ttSVkgradu ds dtcu x y z tu x y z tdV 此式左端的曲面積分中此式左端的曲面積分中S是閉曲面，利用是閉曲面，利用Gauss公式將它化為三重積分，即公式將它化為三重積分，即2()SVVkgradu dskdiv gradu dVkudV同時，右端的體積分可以寫成同時，右端的體積分可以寫成2211()()ttVttVuucdt dVcdV dttt 因此有因此有22112()()tttVtVukudV dtcdV dtt 由于時間間隔由于時間間隔 及區(qū)域及區(qū)域V都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所

6、以都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以上式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即上式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即22112()()tttVtVukudV dtcdV dtt 12 , t t222222222()uuuuauatxyz其中其中2kac三維熱傳導方程三維熱傳導方程若物體內(nèi)有熱源，其強度為若物體內(nèi)有熱源，其強度為 , 則相應的熱傳導方程為則相應的熱傳導方程為( , , , )F x y z t2222222()( , , , )uuuuaf x y z ttxyz其中其中Ffc作為特例，如果所考慮的物體是一根細桿（或一塊薄板），或者即使不作為特例，如果所考慮的物體是一

7、根細桿（或一塊薄板），或者即使不是細桿（或薄板），而其中的溫度只與是細桿（或薄板），而其中的溫度只與 x，t（或（或x，y，t）有關(guān)，則三維）有關(guān)，則三維熱傳導方程就變成熱傳導方程就變成一維熱傳導方程一維熱傳導方程222uuatx和和二維熱傳導方程二維熱傳導方程22222()uuuatxyq擴散方程擴散方程擴散擴散：描寫擴散現(xiàn)象的特征物理量應選物質(zhì)的濃度描寫擴散現(xiàn)象的特征物理量應選物質(zhì)的濃度u(x,y,z,t)。濃度的不均勻可用濃度梯度濃度的不均勻可用濃度梯度 表征。表征。u擴散現(xiàn)象的強弱用擴散現(xiàn)象的強弱用擴散流強度擴散流強度q（單位時間、穿過單位截面的物質(zhì)流量）（單位時間、穿過單位截面的物質(zhì)

8、流量）來描述。來描述。擴散定律擴散定律：濃度的不均勻程度和引起的擴散現(xiàn)象的強弱之間的關(guān)系滿：濃度的不均勻程度和引起的擴散現(xiàn)象的強弱之間的關(guān)系滿足擴散定律足擴散定律k u q1xuqkkux 2yuqkkuy 3zuqkkuz 其中，其中，k稱為擴散系數(shù)。稱為擴散系數(shù)。物質(zhì)因空間濃度不均勻而引起從濃度高處到低處的運動，稱為擴散。物質(zhì)因空間濃度不均勻而引起從濃度高處到低處的運動，稱為擴散。負號表示擴散轉(zhuǎn)移的方向（濃度減少的方向）與濃度梯度（濃度增大的負號表示擴散轉(zhuǎn)移的方向（濃度減少的方向）與濃度梯度（濃度增大的方向）相反。方向）相反。在空間任取一個微小六面體，如圖所示。在空間任取一個微小六面體，如

9、圖所示。這個平行六面體內(nèi)濃度的變化取決于穿過這個平行六面體內(nèi)濃度的變化取決于穿過它的表面的流量。它的表面的流量。x方向：設方向：設 從左面流入，從左面流入，從右面流出，從右面流出，因此單位時間通過左右兩面流入的凈流量是：因此單位時間通過左右兩面流入的凈流量是：1xqdydz1x dxqdydz1111()x dxxqQqqdydzdxdydzx 將將 代入，得：代入，得：1xuqkkux 1()()xxQku dxdydzku dxdydzxx 1()xQku dxdydzx如果六面體中沒有源和匯，則濃度對時間如果六面體中沒有源和匯，則濃度對時間的變化率為：的變化率為：1()xkuQutdxd

10、ydzx如擴散系數(shù)在空間是均勻的，則方程可化為：如擴散系數(shù)在空間是均勻的，則方程可化為：txxuku一維擴散方程一維擴散方程令令 ，則方程寫為：，則方程寫為：2ka2txxua u如考慮如考慮x，y，z三個方向，則方程為：三個方向，則方程為：()()()yxzkukukuutxyz如擴散系數(shù)在空間是均勻的，則方程可化為：如擴散系數(shù)在空間是均勻的，則方程可化為：2()txxyyzzua uuu類似的，若物體內(nèi)存在生成該物質(zhì)的源，其強度（單位時間、單位體類似的，若物體內(nèi)存在生成該物質(zhì)的源，其強度（單位時間、單位體積產(chǎn)生之質(zhì)量）為積產(chǎn)生之質(zhì)量）為f(x,y,z,t），則得），則得非齊次的擴散方程非齊

11、次的擴散方程22( , , , )tuauf x y z tn泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1.靜電場的電勢靜電場的電勢靜電場中，電荷分布與電場強度滿足方程靜電場中，電荷分布與電場強度滿足方程/ E因為靜電場是保守場，存在勢函數(shù)，設電勢為因為靜電場是保守場，存在勢函數(shù)，設電勢為u，則，則u E代入方程式（代入方程式（*）中，即得靜電勢滿足的方程）中，即得靜電勢滿足的方程2/u 它稱為它稱為泊松方程泊松方程，是非齊次的。，是非齊次的。對于不存在電荷的區(qū)域，對于不存在電荷的區(qū)域， ，靜電勢滿足方程，靜電勢滿足方程020u此方程稱為此方程稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程。是齊次的。是齊次的

12、。（*）uuuuxyz ijkyxzaaaxyza由由和和可得：可得：q穩(wěn)定溫度場穩(wěn)定溫度場在熱傳導問題中，如果物體內(nèi)不存在熱源，物體周圍的環(huán)境溫度不隨在熱傳導問題中，如果物體內(nèi)不存在熱源，物體周圍的環(huán)境溫度不隨時間變化，則經(jīng)過相當長的時間后，物體各處的溫度將不再隨時間而時間變化，則經(jīng)過相當長的時間后，物體各處的溫度將不再隨時間而改變，趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。這時，改變，趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。這時， ，齊次的熱傳導方程便化為穩(wěn)，齊次的熱傳導方程便化為穩(wěn)定溫度場的拉普拉斯方程。定溫度場的拉普拉斯方程。0tu 222()0txxyyzztua uuuuau熱傳導方程：熱傳導方程：變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?0un亥姆霍茲方程

13、亥姆霍茲方程20uu方程形式為：方程形式為：在討論用分離變量法求解波動方程、熱傳導方程時會用到這個方程。在討論用分離變量法求解波動方程、熱傳導方程時會用到這個方程。薛定諤方程：薛定諤方程：22( , , )( , , ) ( , , )( , , )2hx y zV x y zx y zEx y zm其中，其中， 是粒子勢能，是粒子勢能， 是描述微觀粒子運動狀態(tài)的波是描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)。函數(shù)。( , , )V x y z( , , )x y z用用 來代替來代替 ，方程可化為：，方程可化為：( , , )u x y z( , , )x y z20uu當當 ，亥姆霍茲方程就退化為拉普拉

14、斯方程。，亥姆霍茲方程就退化為拉普拉斯方程。022()mEVh總結(jié)總結(jié)n波動方程波動方程n熱傳導方程熱傳導方程n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n齊次、非齊次（右端齊次、非齊次（右端+自由項自由項f(M,t)）n一維、二維、三維一維、二維、三維22uaut2222uaut22222220uuuuxyz1-2 定解條件定解條件n作為完整的定解問題，除了給出相應問題的泛作為完整的定解問題，除了給出相應問題的泛定方程外，還應給出定解條件。定方程外，還應給出定解條件。n定解條件定解條件q說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)初始條件初始條件q說明邊界上的物理情況說明邊界上的物理情況邊界條件邊界條件n初始條件初始

15、條件對于隨著時間變化的問題，必須考慮研究對象初始時刻的狀態(tài)，對于隨著時間變化的問題，必須考慮研究對象初始時刻的狀態(tài)，即即“初始條件初始條件”。1. 熱傳導方程熱傳導方程對熱傳導問題，初始狀態(tài)指的是物理量對熱傳導問題，初始狀態(tài)指的是物理量u的初始分布，即初始溫的初始分布，即初始溫度的分布。因此初始條件為：度的分布。因此初始條件為：0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z其中，其中， 是一個已知的函數(shù)。是一個已知的函數(shù)。( , , )x y z2. 波動方程波動方程波動問題既要給出初始位移分布，還要給出初始時刻的速率分布。波動問題既要給出初始位移分布，還要給出初始時刻的速

16、率分布。0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z0( , , , )|( , , )ttu x y z tx y z從數(shù)學角度看，熱傳導方程中只出現(xiàn)時間從數(shù)學角度看，熱傳導方程中只出現(xiàn)時間t的一階導數(shù)，因此只需要的一階導數(shù)，因此只需要一個初始條件，而波動方程中出現(xiàn)時間一個初始條件，而波動方程中出現(xiàn)時間t的二階導數(shù)，因此需要兩個的二階導數(shù)，因此需要兩個初始條件。初始條件。3. 穩(wěn)定分布問題穩(wěn)定分布問題對于穩(wěn)定分布的問題，例如穩(wěn)定溫度場，靜電場等，不隨時間而變對于穩(wěn)定分布的問題，例如穩(wěn)定溫度場，靜電場等，不隨時間而變化，因此不需要給出初始條件?；?，因此不需要給出初始條件。

17、3/u 如靜電場方程如靜電場方程4. 有源問題有源問題在周期性外源引起的傳導和周期性外力作用下的振動問題中，經(jīng)過在周期性外源引起的傳導和周期性外力作用下的振動問題中，經(jīng)過很多周期后，初始條件引起的自由傳導或自由振動可以認為已經(jīng)消很多周期后，初始條件引起的自由傳導或自由振動可以認為已經(jīng)消失。這時的傳導或振動可以認為完全是由周期性外源或外力引起的。失。這時的傳導或振動可以認為完全是由周期性外源或外力引起的。處理這類問題時，完全可以忽略初始條件的影響，將其當作無初始處理這類問題時，完全可以忽略初始條件的影響，將其當作無初始條件問題。條件問題。n邊界條件邊界條件物理量在其所占范圍（即區(qū)域）的邊界上的分

18、布總是比內(nèi)部的分物理量在其所占范圍（即區(qū)域）的邊界上的分布總是比內(nèi)部的分布直觀得多，因為邊界上的情況總可以通過觀察、測量甚至規(guī)定布直觀得多，因為邊界上的情況總可以通過觀察、測量甚至規(guī)定得出，通過邊界上的條件來探索物理量在區(qū)域內(nèi)部的分布，實際得出，通過邊界上的條件來探索物理量在區(qū)域內(nèi)部的分布，實際上是解決數(shù)學物理問題的重要方法，所以給出邊界條件非常重要。上是解決數(shù)學物理問題的重要方法，所以給出邊界條件非常重要。所謂邊界，即區(qū)域邊界點所組成的集合，一維區(qū)域（例如弦）的邊所謂邊界，即區(qū)域邊界點所組成的集合，一維區(qū)域（例如弦）的邊界，即兩個端點：界，即兩個端點：x=0，x=l；二維區(qū)域的邊界為曲線或折

19、線；三維；二維區(qū)域的邊界為曲線或折線；三維區(qū)域的邊界為曲面。區(qū)域的邊界為曲面。一維區(qū)域，一維區(qū)域，A和和B為邊界點為邊界點二維區(qū)域二維區(qū)域D，邊，邊界為曲線界為曲線 和和1C2C三維區(qū)域三維區(qū)域 ，邊，邊界為曲面界為曲面1.第一類邊界條件第一類邊界條件直接給出物理量在邊界上的分布條件直接給出物理量在邊界上的分布條件例如，弦的橫振動問題中，若其一端例如，弦的橫振動問題中，若其一端x=0處被固定，任何時候也不能產(chǎn)處被固定，任何時候也不能產(chǎn)生位移，則該點的邊界條件就是生位移，則該點的邊界條件就是0( , )|0 xu x t對熱傳導問題，如果在導熱過程中，物體邊界對熱傳導問題，如果在導熱過程中，物體

20、邊界 上的溫度為已知，上的溫度為已知，則邊界條件為則邊界條件為0uu也為第一類邊界條件。也為第一類邊界條件。第一類邊界條件又稱為第一類邊界條件又稱為Dirichlet條件條件以下我們將區(qū)域通記為以下我們將區(qū)域通記為 ，將其邊界記為，將其邊界記為 ，則邊界條件主要有以下，則邊界條件主要有以下三種類型：三種類型：1(, )(, )Mu M tf M t2.第二類邊界條件第二類邊界條件給出物理量的梯度在邊界上的分布（即物理量在邊界處的法向微商）給出物理量的梯度在邊界上的分布（即物理量在邊界處的法向微商）法向的正向為指向系統(tǒng)外法向的正向為指向系統(tǒng)外例如：桿的熱傳導問題中，若桿的一端例如：桿的熱傳導問題

21、中，若桿的一端x=a處，是絕熱的，沒有熱流通處，是絕熱的，沒有熱流通過，那里的邊界條件就是過，那里的邊界條件就是又如：均勻弦的橫振動問題中，如果在其一端又如：均勻弦的橫振動問題中，如果在其一端x=L處，是未加固定的自處，是未加固定的自由端，弦在自由端處不受位移方向的外力，從而在這個端點上弦在位由端，弦在自由端處不受位移方向的外力，從而在這個端點上弦在位移方向的張力應該為零，即移方向的張力應該為零，即|0 xx Luux22sin|0 xx LTT tgTu所以邊界條件是：所以邊界條件是：2(, )ufM tn其中其中 為邊界為邊界 的法線方向的法線方向n0un第二類邊界條件又稱為第二類邊界條件

22、又稱為Neuman條件。條件。(0)udQkds dtn 3.第三類邊界條件第三類邊界條件給出物理量及其邊界上法線方向?qū)?shù)的線性關(guān)系給出物理量及其邊界上法線方向?qū)?shù)的線性關(guān)系3()(, )uuf M tn其中其中 為常數(shù)。為常數(shù)。弦振動問題的彈性支承，即是這類邊界條件。弦振動問題的彈性支承，即是這類邊界條件。在彈性支承時，由在彈性支承時，由Hooke定律可知：定律可知：x lx luTkux 即即()0 x luux其中其中 為彈性體的彈性系數(shù)。為彈性體的彈性系數(shù)。,kkT在桿的熱傳導問題中，在桿的熱傳導問題中，x=L的一端既不固定為某一溫度，又不是處于絕的一端既不固定為某一溫度，又不是處于絕

23、熱狀態(tài)，而是處于一種自由冷卻情況下。這樣的狀態(tài)由牛頓冷卻定律熱狀態(tài)，而是處于一種自由冷卻情況下。這樣的狀態(tài)由牛頓冷卻定律反映其規(guī)律：若周圍媒質(zhì)的溫度為反映其規(guī)律：若周圍媒質(zhì)的溫度為 ，則物體和媒質(zhì)在邊界上交換熱，則物體和媒質(zhì)在邊界上交換熱量，其沿外法線方向的熱流強度與物體和媒質(zhì)的溫差成正比：量，其沿外法線方向的熱流強度與物體和媒質(zhì)的溫差成正比：|( |)xx Lx LKuH u令令 ，上式化為：，上式化為：/hK H()|xx Luhu4.齊次邊界條件齊次邊界條件上面三類邊界條件，可用統(tǒng)一的線性關(guān)系式表示：上面三類邊界條件，可用統(tǒng)一的線性關(guān)系式表示：( , )uuftn如果如果 ，則：，則： ，稱為，稱為齊次邊界條件齊次邊界條件，否則稱，否則稱為為非齊次邊界條件非齊次邊界條件。( , )0ft0uun第三類邊界條件（混合邊界條件）又稱為第三類邊界條件（混合邊界條件）又稱為Robin條件。條件。5.自然邊界條件和周期邊界條件自然邊界條件和周期邊界條件自然邊界條件：只要求邊界上保持有限值自然邊界條件：只要求邊界上保持有限值u有限