工程力學(xué) 第四章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)

1、第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第四章 運(yùn)動(dòng)學(xué) 第一節(jié) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)第二節(jié) 剛體的基本運(yùn)動(dòng)小小 結(jié)結(jié)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)是研究物體在空間的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，而不涉及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的原因。 物體在空間的位置必須相對(duì)于某給定的物體來確定。這個(gè)給定的物體稱為參考體參考體。固連在參考體上的坐標(biāo)系稱為參考系參考系。在不同的參考系上觀察同一物體的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果可以完全不同，所以運(yùn)動(dòng)具有相對(duì)性相對(duì)性。在研究大多數(shù)的工程實(shí)際問題時(shí)，總是將固連于地球上的坐標(biāo)系作為參考系，稱為靜參考靜參考系系

2、或定參考系定參考系。第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 在描述物體在空間的位置和運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用到瞬瞬時(shí)時(shí)和時(shí)間間隔時(shí)間間隔兩個(gè)概念。瞬時(shí)是指物體運(yùn)動(dòng)經(jīng)過某一位置所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，用t表示；時(shí)間間隔是兩瞬時(shí)之間的一段時(shí)間，記為tt2-t1。第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第一節(jié) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一、用矢徑法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度一、用矢徑法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度 2、點(diǎn)的速度3、點(diǎn)的加速度rvvva tttddlim0ttrv0limrrt dd單位單位 : m/s2(t)rr 1、運(yùn)動(dòng)方程即：點(diǎn)的速度等于矢

3、徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 即：點(diǎn)的加速度等于點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于位置矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡未知時(shí)，常利用直角坐標(biāo)投影原理將矢量關(guān)系轉(zhuǎn)變成代數(shù)量關(guān)系來方便運(yùn)算。 二、用直角坐標(biāo)法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度二、用直角坐標(biāo)法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度 1動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M在某曲線軌跡上運(yùn)動(dòng)，它在位置也由矢徑確定。kjirzyx第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 123xftyftzft 上式是點(diǎn)的直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程。由上式中消去參數(shù)t

4、，便得到點(diǎn)的軌跡方程。 2點(diǎn)的速度與加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影ddddddddxyzttttrvijk速度矢量沿直角坐標(biāo)軸的分量 .,dtdzvdtdyvdtdxvzyx 動(dòng)點(diǎn)速度在各坐標(biāo)上的投影，分別等于對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) (3) 加速度 vvivx),cos(vvjvy),cos(vvkvz),cos(222dtdzdtdydtdxvvvv2z2y2x 大小 方向22222222ddddddddxyzttttraijkxyzaaaaijk222222,dtzddtdvadtyddtdvadtxd

5、dtdvazzyyxx第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 動(dòng)點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相對(duì)的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù). 222222222222dtzddtyddtxdaaaazyxaakaaajaaaiazyx),cos(,),cos(,),cos(大小方向222222,dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxx第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)橢圓規(guī)的曲柄可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)與規(guī)尺的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，規(guī)尺的兩端分別在互相垂直的滑槽中運(yùn)

6、動(dòng)，為規(guī)尺上的一點(diǎn)。已知： （其中 為常數(shù)）試求：點(diǎn)點(diǎn) A, B, P的運(yùn)動(dòng)方程和運(yùn)動(dòng)軌跡。的運(yùn)動(dòng)方程和運(yùn)動(dòng)軌跡。,OCACBCl PCdt第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)解 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程:P點(diǎn)的軌跡方程:1)()(2222dlydlxPPPx)cos(CPAC tdlcos)( )sin-(CPCByPtdlsin)-(第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的

7、基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，工程上常以軌跡為坐標(biāo)軸，并用動(dòng)點(diǎn)到設(shè)定原點(diǎn)的距離s（弧坐標(biāo)）來確定點(diǎn)的位置。1弧坐標(biāo)與自然軸系弧坐標(biāo)與自然軸系 當(dāng)點(diǎn)M沿已知軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)s是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，記為 s=f (t) 該式稱為以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程以弧坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 MOssnv* vBA（-）（+）M三、用弧坐標(biāo)法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度三、用弧坐標(biāo)法確定點(diǎn)的位置、速度和加速度 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程

8、力學(xué) 如圖，動(dòng)點(diǎn)M沿已知軌跡AB運(yùn)動(dòng)，以動(dòng)點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以軌跡上過M點(diǎn)的切線和法線為坐標(biāo)軸，此正交坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)軸系自然坐標(biāo)軸系，簡(jiǎn)稱自然軸系自然軸系，矢量在自然坐標(biāo)軸上的投影為其自然坐自然坐標(biāo)標(biāo)。切向軸和法向軸的單位矢量分別用 和n表示。 顯然，自然軸系是隨動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡運(yùn)動(dòng)的。單位矢量 和n的大小為1，但方向隨點(diǎn)在軌跡上的位置變化而變化。因此，在曲線運(yùn)動(dòng)中， 和n為變矢量。 用弧坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，用自然坐標(biāo)表示點(diǎn)的速度、加速度，這種研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法稱為自然法自然法 。MOssnv* vBA（-）（+）M第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)

9、 速度是表示動(dòng)點(diǎn)位置隨速度是表示動(dòng)點(diǎn)位置隨時(shí)間變化快慢程度的物理量時(shí)間變化快慢程度的物理量。2用自然坐標(biāo)表示點(diǎn)的速度用自然坐標(biāo)表示點(diǎn)的速度 按速度定義vdtdsdsrddtdssrtstssrtrvtttt0000limlim)(limlim第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 速度是一個(gè)矢量，其大小為M點(diǎn)的弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，其方向?yàn)檐壽E在處的切線方向，速度的單位一般用m/s或km/h。 速度指向由 的正負(fù)號(hào)確定，若 0 則v指向弧坐標(biāo)的正向，反之為負(fù)。tsddvtsddtsddMOssnv* vBA（-）（+）M第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛

10、體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 加速度表示動(dòng)點(diǎn)速度的大小與方向隨時(shí)間改變的快慢加速度表示動(dòng)點(diǎn)速度的大小與方向隨時(shí)間改變的快慢程度程度。按定義，點(diǎn)的加速度應(yīng)為3用自然坐標(biāo)表示點(diǎn)的加速度用自然坐標(biāo)表示點(diǎn)的加速度 可以導(dǎo)出ttttdddd)(dddd vvvvanvt dd (為動(dòng)點(diǎn)處軌跡的曲率半徑) 于是上式可寫成 na2ddvv tnaaannaa 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)由式可見，動(dòng)點(diǎn)的加速度由兩項(xiàng)組成， 第一項(xiàng) 其大小為 ，方向?yàn)榍邢?，故稱為切向加切向加速度速度，記作 ，它反映了速度大小隨時(shí)間的變化率。 第二項(xiàng) 大

11、小為 ，方向?yàn)榉ㄏ?，并始終指向該點(diǎn)軌跡的曲率中心，故稱為法向加速度法向加速度，記作 。na2ddvv t t ddvn2v t ddvana2nv2vt ddv第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) a與an兩項(xiàng)之和即為動(dòng)點(diǎn)的加速度a 有時(shí)也被稱為全加速全加速度度，它反映了速度矢量v的瞬時(shí)變化率，根據(jù)矢量運(yùn)算，存在 法向加速度為法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬時(shí)變化率。法向加速度越大，速度的方向變化的越快；反之亦然。當(dāng)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的法向加速度恒為零，點(diǎn)的速度方向?qū)⒈３植蛔儭?22naaanaatan第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)

12、動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 式中， 為a與n所夾之銳角，至于a在n的哪一側(cè)則由a的正負(fù)決定，如圖所示。加速度的單位一般用m/s2或km/s2。Oaana22naaanaatan第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 1）勻速直線運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于v為常量，故a=0，an=0 ，此時(shí)a =0。 2）勻速曲線運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于v為常量，故a=0，an0 ，此時(shí)a = an。 3）勻變速直線運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，a為常量，an為零，若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件，即當(dāng)t=0時(shí)。v=v0，s=s0，由dv=adt，積分可得其速

13、度與運(yùn)動(dòng)方程為v=v0+at （4-21）s=s0+v0t+at2/2 （4-22）由以上兩式消去t得v2=v02+2a（s-s0） （4-23）4點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾種特殊情況點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾種特殊情況 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 4）勻變速曲線運(yùn)動(dòng) 當(dāng)點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，a為常量，an=v2/ ，若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件，即當(dāng)t=0時(shí)。v=v0，s=s0，由dv=adt，ds=vdt，積分可得其速度與運(yùn)動(dòng)方程為v=v0+at （4-24 ）s=s0+v0t+at2 （4-25）由以上兩式消去t得v2=v02+2a(s-s0) （4-26）式（4-21）（

14、4-26）早已為大家所熟悉。引入它們的目的在于說明在研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知運(yùn)動(dòng)方程，可應(yīng)用求導(dǎo)的方法求點(diǎn)的速度和加速度；反之，已知點(diǎn)的速度和加速度如果初始條件已知的話，亦可用積分法也可得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 總之，本節(jié)所介紹的方法是一種普遍的方法，可應(yīng)用于各種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析，而中學(xué)時(shí)期所學(xué)式（4-21）（4-26）等公式不過是在一定前提下的特例而已。第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 桿AB的A端鉸接固定，環(huán)M將AB桿與半徑為R的固定圓環(huán)套在一起，AB與垂線之夾角為=t，如圖所示求套環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 解一解一 以環(huán)M為研究對(duì)象，由于環(huán)M的運(yùn)動(dòng)

15、軌跡已知，故采用自然坐標(biāo)法求解。 以圓環(huán)上O點(diǎn)為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，順時(shí)針為弧坐標(biāo)正向，建立弧坐標(biāo)軸。 1）建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。由圖中幾何關(guān)系，建立運(yùn)動(dòng)方程為 s = R(2)= 2R t2）求點(diǎn)M的速度。由式（4-2）知點(diǎn)M的速度為sBAMOO2Rts2ddv（+）v第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 已知：=t，求：M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 解一解一 1）建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 s = R(2)= 2R t2）求點(diǎn)M的速度。Rts2ddv 3）求點(diǎn)M的加速度。由式（4-3）知點(diǎn)M的切向加速度為 0)2(ddddRttav222n4)(2RRRav由式（4

16、-3） 知點(diǎn)M的法向加速度為sBAMOO2（+）v第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)sBAMOO2 已知：=t，求：M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 解一解一 1）建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 s = R(2)= 2R t2）求點(diǎn)M的速度。Rts2ddv 3）求點(diǎn)M的加速度。0)2(ddddRttav222n4)(2RRRav由式（4-4）知點(diǎn)M的全加速度為 2224Raaanav其方向沿MO且指向O，可知套環(huán)沿固定圓環(huán)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 （+）第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 解二解二 用直角坐標(biāo)法求解，建立圖示的

17、直角坐標(biāo)系。 1）建立點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。由圖中幾何關(guān)系，建立運(yùn)動(dòng)方程為 x=Rcos(90-2)=Rsin2t y=Rcos2=Rcos2t2）求點(diǎn)M的速度。由式（a）求導(dǎo)，得速度在x、y軸上的投影vx= =2Rcos2t vy= =-2Rsin2t BAMOO2xy 已知：=t，求：M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 （a）txddtydd（b）vxvy第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 解二解二 1）建立點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t2）求點(diǎn)M的速度。vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t BAMOO2xy 已知：=t，求：

18、M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 （a）（b） 由式（4-14）知點(diǎn)M的加速度大小和方向余弦為 Ryx222vvv cos(v，i)=vx/v= cos2tvvxvy第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 解二解二 1）建立點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t2）求點(diǎn)M的速度。vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t BAMOO2xy 已知：=t，求：M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 （a）（b）3）求點(diǎn)M的加速度。由式（4-3）對(duì)式（b）求導(dǎo)求導(dǎo)，得加速度在x、y軸上的投影 ax= =-4R2sin2tay= =-4R2cos2t cos

19、(v，i)= cos2taxaytxddvtyddv第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 解二解二 1）建立點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t2）求點(diǎn)M的速度。vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t BAMOO2xy 已知：=t，求：M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 （a）（b）3）求點(diǎn)M的加速度。ax=-4R2sin2t ay=-4R2cos2t R2vcos(v，i)= cos2ta由式（4-15）知點(diǎn)M的加速度大小和方向余弦為 2224Raaayxcos(a，i)= ay /a=-sin2t axay或 a =axi+ay

20、j =-4R2(sin2ti+ cos2tj) =-4R2 rM此結(jié)果也說明a與點(diǎn)M的位矢rM反向。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 經(jīng)比較不難看出，兩種解法計(jì)算的結(jié)果是一致的；也可看出，用自然坐標(biāo)法解題簡(jiǎn)便，結(jié)果清晰，但只適用于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情況。在機(jī)械工程中，多數(shù)物體處于被約束狀態(tài)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是確定的，故自然坐標(biāo)法得到廣泛應(yīng)用。用直角坐標(biāo)法，解題較繁，但它既適用于點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知時(shí)，也適用于點(diǎn)的軌跡未知時(shí)，故應(yīng)用范圍廣，在航空、航天工程中的彈道設(shè)計(jì)計(jì)算中常用這種方法。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程

21、力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 1剛體的平行移動(dòng) 第二節(jié)第二節(jié) 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng) 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上任一直線始終平行它的初剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上任一直線始終平行它的初始位置，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平行移動(dòng)始位置，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平動(dòng)平動(dòng)。例如，直線軌道上車廂的運(yùn)動(dòng)，擺式輸送機(jī)送料槽的運(yùn)動(dòng)等都是剛體平動(dòng)的實(shí)例。 DCDCOO 剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡若是直線，則稱剛體作直線剛體作直線平動(dòng)平動(dòng)。其上各點(diǎn)軌跡若是曲線，則稱剛體作曲線平動(dòng)剛體作曲線平動(dòng)。第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與

22、剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 下面研究平動(dòng)剛體上各點(diǎn)的軌跡、速度、加速度的特征。 在平動(dòng)剛體上任取兩點(diǎn)A、B，作矢量BA，如圖所示。 根據(jù)剛體不變形的性質(zhì)和剛體平動(dòng)的特征，矢量BA的長(zhǎng)度和方向始終不變，故BA是常矢量。如將點(diǎn)B 的軌跡沿BA方向平行移動(dòng)BA距離，則必然與A點(diǎn)軌跡重合。 動(dòng)點(diǎn)A、B位置的變化用矢徑的變化表示。由圖得rA= rBBAOxyzrA A BA1B1rB第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得 OxyzrA A BA1B1rBrA= rBBA由于BA是常矢量，因此 =0，于是vA= vBtttBAddddddBArr

23、t ddBA再對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得 aA= aB 因?yàn)锳、B是剛體上任意兩點(diǎn)，因此上述結(jié)論對(duì)剛體上所有點(diǎn)都成立，即剛體即剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀相同彼此平行，每一跡形狀相同彼此平行，每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度、加速度瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度、加速度也相同也相同。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 上述結(jié)論表明，剛體的平動(dòng)可以用其上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代替，即剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，可以歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題來研究。 剛體的平動(dòng)在工程實(shí)際中應(yīng)用很廣，圖示仿形車床上刀架A0A作平動(dòng)，A0與靠模板接觸，刀尖A切削工件，由于A0與A的運(yùn)動(dòng)軌跡相同，

24、從而保證了工件形狀與靠模板形狀一致。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)如圖所示，曲柄OA繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，通過滑塊A帶動(dòng)導(dǎo)桿BC在水平導(dǎo)槽內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。已知OA= r，=t（為常量），求導(dǎo)桿在任一瞬時(shí)的速度和加速度。 解解 由于導(dǎo)桿在水平直線導(dǎo)槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以其上任一直線始終與它的最初位置相平行，且其上各點(diǎn)的軌跡均為直線，因此，導(dǎo)桿作直線平動(dòng)。導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)可以用其上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來表示。選取導(dǎo)桿上M點(diǎn)研究，M點(diǎn)沿x軸點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為例4-6xM=OAcos=rcost第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本

25、運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)已知：OA= r，=t ，求：導(dǎo)桿在任一瞬時(shí)的速度和加速度。 解解則M點(diǎn)的速度、加速度分別為vM=aM= =-r2cost trtxMsinddtMddv則M點(diǎn)的速度、加速度分別為vM=aM= =-r2cost xM=OAcos =rcosttrtxMsinddtMddv第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上或其延伸部分有一條其上或其延伸部分有一條直線，始終固定不動(dòng)，這直線，始終固定不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。位置保持不變的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。工

26、程中齒輪、帶輪、飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)床主軸、傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等，都是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)例。 xyzO第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 1）轉(zhuǎn)動(dòng)方程 為確定轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在空間的位置，過轉(zhuǎn)軸z作一固定平面為參考面。在圖中，半平面過轉(zhuǎn)軸z且固連在剛體上，初始半平面、共面。當(dāng)剛體繞軸z轉(zhuǎn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，剛體在空間的位置都可以用固定的半平面與之間的夾角 來表示， 稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角 隨時(shí)間t變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即 = (t)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 2）角速度角速度 角速度是描述剛體轉(zhuǎn)

27、動(dòng)快慢和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的物理量。角速度常用符號(hào)來表示，它是轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，即 t dd 這里角速度可用代數(shù)量表示，其的正負(fù)表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。當(dāng)0時(shí)，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；反之則順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度的單位是rad /s。 工程上常用每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù)表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，稱為轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速，用符號(hào)n表示，單位是r/min（轉(zhuǎn)/分）。轉(zhuǎn)速n與角速度的關(guān)系為=2n/60=n/30 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 3）角加速度角加速度 角加速度是表示角速度 變化的快慢和方向的物理量是角速度 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即 這里角加速度可用代數(shù)量表示，當(dāng)與 同號(hào)時(shí)，表示角速度的

28、絕對(duì)值隨時(shí)間增加而增大，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之，則作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。角加速度的單位是rad /s2。 雖然剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式不同，但它們相對(duì)應(yīng)的變量之間的關(guān)系卻是相似的，其相似關(guān)系如表4-1所列。 22ddddtt第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程 s=s(t) 轉(zhuǎn)動(dòng)方程 =(t) 速度 v=ds/dt 角速度 =d/dt 切向加速度 角加速度 勻速運(yùn)動(dòng) v=常數(shù) 勻速轉(zhuǎn)動(dòng) =常數(shù) s=s0+vt =0+t 勻變速運(yùn)動(dòng) a=常數(shù) 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) =常數(shù) v=v0+at =0+t

29、s=s0+vt+at2/2 =0+t+t2/2tstadddd2v22ddddtt 表表4-1 點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)變量之間的關(guān)系比較點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)變量之間的關(guān)系比較第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 某發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子在起動(dòng)過程中的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 = t3（rad），t以s計(jì)。試計(jì)算轉(zhuǎn)子在2s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)和t =2s時(shí)轉(zhuǎn)子的角速度、角加速度。 解解 由轉(zhuǎn)動(dòng)方程 = t3可知 t =0時(shí)，00，轉(zhuǎn)子在2s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 0= t3023 rad08rad 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 N 1.27圈 由式（4-17）和式（4-18）得轉(zhuǎn)子的角速度和角加

30、速度為 =d/dt=3t2 = d/dt =6t 當(dāng)t=2s時(shí) =3t2 =12rad/s = 6t =12rad/s2 2820第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)RO5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度、加速度 前面研究了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體整體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在工程實(shí)際中，還往往需要了解剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。例如，車床切削工件時(shí)，為提高加工精度和表面質(zhì)量，必須選擇合適的切削速度而切削速度就是轉(zhuǎn)動(dòng)工件表面上點(diǎn)

31、的速度。下面將討論轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度、加速度與整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，除了轉(zhuǎn)軸以外的各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心是該平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑是點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。 設(shè)剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為、角加速度為。 第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)ROsO 在剛體轉(zhuǎn)角 =0時(shí)，M點(diǎn)位置為弧坐標(biāo)原點(diǎn)O，以轉(zhuǎn)角 的正向?yàn)榛∽鴺?biāo)s的正向，則用自然法確定的M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、切向加速度、法向加速度分別為 s=R av全加速度的大小和方向?yàn)?MRtRtsddddvRtRtaddddv22nRRavaan222n2Raaa2nta

32、naa第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)由以上分析可得如下結(jié)論： 1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度、切向加速度、法向加速度、全加速度的大小分別與其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。同一瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑上各點(diǎn)的速度、加速度分布規(guī)律如圖，呈線性分布。 2）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，其指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致。vRvRa 2nRa 22 Ra2tanO aO第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 3）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的切向加速度垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，其指向與角加速度轉(zhuǎn)向一致。 4）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體一上各點(diǎn)的法向加速度方向，沿半徑指向轉(zhuǎn)軸。 5）任

33、一瞬時(shí)各點(diǎn)的全加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的夾角相同。vRv2nRa 2tanaO aOanRa 22 Ra第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 滑輪的半徑r =0.2 m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩的一端掛有物體A（如圖），已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 =0.15 t3 ，其中t以s計(jì)， 以rad計(jì)，試求t = 2s 時(shí)輪緣上M點(diǎn)和物體A的速度和加速度。 r第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué) 首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求得它的角速度和角加速度求得它的角速度和角加速度，245.

34、0t t 9 . 0 代入代入 t =2 s， 得得， srad 8 . 11 2srad 8 . 1 輪緣上輪緣上 M 點(diǎn)在點(diǎn)在 t =2 s 時(shí)的速度時(shí)的速度為為 sm 36. 01 rvM解：解：r第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)2tsm 360 .ra 22nsm 648. 0 ra全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2t aaaM,556. 0 tan2 29 因?yàn)槲矬wA與輪緣上M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不同，前者作直線移動(dòng)，而加速度的兩個(gè)分量r第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體的基本運(yùn)動(dòng)工程力學(xué)工程力學(xué)后者隨滑輪作圓周運(yùn)動(dòng)，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細(xì)繩