淺談不等式的證明

1、 淺談不等式的證明 不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，考察學(xué)生對(duì)不等式理論熟練掌握的程度也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的重要方面，同時(shí)，不等式也是高中數(shù)學(xué)的根底，因此，在每年的數(shù)學(xué)高考題中，有關(guān)不等式的相關(guān)題目占有一定的比例，命題主要涉及解不等式、不等式的證明、不等式的應(yīng)用這三方面，現(xiàn)將不等式的證明進(jìn)行研究。 證明不等式有利于提高學(xué)生的分析與綜合能力，證明不等式?jīng)]有固定的程序，一個(gè)不等式的證法往往不止一種，證明過(guò)程往往是幾種方法的綜合運(yùn)用，但無(wú)論是哪種方法，都離不開(kāi)不等式的根本性質(zhì)，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟記并能運(yùn)用的話(huà)，在證明不等式的過(guò)程中會(huì)有很大的幫助。下面

2、將詳細(xì)列舉證明不等式的方法。一、 比擬法比擬法是證明不等式的一種最根本也是最重要的方法，主要有作差比擬和作商比擬兩種形式。1作差比擬法的步驟一般為：作差式差式變形判斷差式的正負(fù)下結(jié)論；在這些步驟中，最難的就是差式變形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。2作商比擬法的步驟為：作商式商式變形判斷商式的值是大于1、小于1還是等于1下結(jié)論。3當(dāng)不等式兩邊為多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)形式時(shí)，往往選擇作差法；當(dāng)不等式兩邊為指數(shù)時(shí)，常采用作商法。下面將列舉例子進(jìn)行分析，以進(jìn)一步加深比照擬法的認(rèn)識(shí)。例1 假設(shè)，那么證明 二、放縮法放縮法是證明不等式所特有的方法，把要證的不等式中的一局部量進(jìn)行放大或縮小，形成新

3、的不等式，而這個(gè)新的不等式必須是比原不等式更容易證明的，同時(shí)，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放縮目標(biāo)必須明確，從實(shí)際出發(fā)，從原不等式過(guò)渡到新的不等式是證明的關(guān)鍵。下面就實(shí)際例子進(jìn)行分析。例2 假設(shè)三、數(shù)形結(jié)合法中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大局部，一局部是數(shù)，一局部是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合，作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：1、借助于數(shù)的精確性來(lái)說(shuō)明形的某些屬性，2、借助形的幾何直觀(guān)性來(lái)說(shuō)明數(shù)之間某種關(guān)系。解決不等式的證明問(wèn)題，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法, 構(gòu)造一些幾何圖形，這種解法別有新意。例3：求證 四、綜合法 從不等式

4、的一邊出發(fā)，借助有關(guān)性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后到達(dá)待證結(jié)論，證明不等式成立，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，利用綜合法證明不等式時(shí)，要利用已經(jīng)證明過(guò)的不等式作根底，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，逐步推出所要證明的不等式。 分析:證明這個(gè)不等式時(shí)，要從不等式的左端出發(fā)，利用根本不等式五、分析法由條件推導(dǎo)出結(jié)論時(shí)，采用綜合法為宜，但當(dāng)證明不知如何下手時(shí)，往往采用分析法，分析法是從求證的不等式出發(fā)，尋求其成立的充分條件，直至與題設(shè)相同為止，從而斷定所要證明的不等式成立。其特點(diǎn)是“執(zhí)果索因 六、反證法 反證法是一種間接證法，首先從假設(shè)結(jié)論不成立開(kāi)始，推出矛盾，從而判定假設(shè)不成立，最后判定結(jié)論成立，當(dāng)我們所要證明的不等式具有特點(diǎn)：1、直接證明比擬困難；2、結(jié)論的反面比結(jié)論本身更具明確性。這時(shí)我們可考慮使用反證法。 七、數(shù)學(xué)歸納法這是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整數(shù)有關(guān)的