第二章 標(biāo)量衍射理論

1、第二章第二章 標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論 光波是電磁波，其傳播過(guò)程滿(mǎn)足電磁波波動(dòng)方程。光波是電磁波，其傳播過(guò)程滿(mǎn)足電磁波波動(dòng)方程。當(dāng)遇到障礙物時(shí)，光波會(huì)發(fā)生衍射。當(dāng)遇到障礙物時(shí)，光波會(huì)發(fā)生衍射。何為衍射何為衍射 索末菲定義：不能用反射或折射來(lái)解釋的光線(xiàn)對(duì)直線(xiàn)光路的任何偏離。衍射是光傳播的普遍屬性，是光的波動(dòng)性的表現(xiàn)。 惠更斯菲涅爾定義：光波在傳播過(guò)程中波面受到限制，使自由完整的波面產(chǎn)生破缺的現(xiàn)象稱(chēng)為衍射 現(xiàn)代定義：光波在傳播過(guò)程中不論任何原因?qū)е虏ㄇ暗膹?fù)振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改變，使自由傳播光場(chǎng)變?yōu)檠苌涔鈭?chǎng)的現(xiàn)象，都稱(chēng)為衍射。衍射問(wèn)題的解決方式：衍射問(wèn)題的解決方式： 1 1，電磁波

2、是矢量波，考慮光波的矢量性，嚴(yán)格，電磁波是矢量波，考慮光波的矢量性，嚴(yán)格電磁場(chǎng)衍射理論必須用矢量波方法求解。數(shù)學(xué)上很復(fù)電磁場(chǎng)衍射理論必須用矢量波方法求解。數(shù)學(xué)上很復(fù)雜，但是在某些問(wèn)題雜，但是在某些問(wèn)題 （如研究高分辨率光柵時(shí)）必（如研究高分辨率光柵時(shí)）必須要用這個(gè)方法。須要用這個(gè)方法。 2 2，標(biāo)量的方法（基爾霍夫標(biāo)量衍射理論），一，標(biāo)量的方法（基爾霍夫標(biāo)量衍射理論），一定條件下，可以不考慮電磁場(chǎng)矢量各個(gè)分量之間的聯(lián)定條件下，可以不考慮電磁場(chǎng)矢量各個(gè)分量之間的聯(lián)系，電磁波矢量方程可以寫(xiě)為分量方程（標(biāo)量方程），系，電磁波矢量方程可以寫(xiě)為分量方程（標(biāo)量方程），把光作為標(biāo)量來(lái)處理，只考慮電磁場(chǎng)一個(gè)分

3、量的復(fù)振把光作為標(biāo)量來(lái)處理，只考慮電磁場(chǎng)一個(gè)分量的復(fù)振幅。幅。標(biāo)量衍射理論條件：標(biāo)量衍射理論條件：（1 1）衍射孔徑比光波長(zhǎng)大得多）衍射孔徑比光波長(zhǎng)大得多; ;（2 2）觀察點(diǎn)距離衍射孔足夠的遠(yuǎn)。）觀察點(diǎn)距離衍射孔足夠的遠(yuǎn)。2.12.1 歷史引言歷史引言a a. .”衍射衍射”現(xiàn)象現(xiàn)象最早研究衍射現(xiàn)象的是格里馬第最早研究衍射現(xiàn)象的是格里馬第( (F.H.Grimaldi)F.H.Grimaldi)光是能夠作波浪式運(yùn)動(dòng)的流體，不同顏色代表不同光是能夠作波浪式運(yùn)動(dòng)的流體，不同顏色代表不同頻率頻率 16551655年發(fā)表論文年發(fā)表論文b b. .”衍射衍射”的最初定義（索莫菲的最初定義（索莫菲A.S

4、ommerfeld)A.Sommerfeld)不能用反射或折射定律來(lái)解釋的，光線(xiàn)不能用反射或折射定律來(lái)解釋的，光線(xiàn)對(duì)直線(xiàn)光路的任意偏離現(xiàn)象，稱(chēng)為對(duì)直線(xiàn)光路的任意偏離現(xiàn)象，稱(chēng)為衍射衍射。d d.18.18世紀(jì)牛頓在科學(xué)領(lǐng)域處于權(quán)威地位，由世紀(jì)牛頓在科學(xué)領(lǐng)域處于權(quán)威地位，由于他摒棄了光的波動(dòng)理論，使得這一理論停于他摒棄了光的波動(dòng)理論，使得這一理論停滯了近一個(gè)世紀(jì)。滯了近一個(gè)世紀(jì)。c c. .惠更斯惠更斯( (F.M.Huygens)F.M.Huygens)子波源假設(shè)理論子波源假設(shè)理論 -波動(dòng)說(shuō)的第一位倡導(dǎo)者波動(dòng)說(shuō)的第一位倡導(dǎo)者波前上每一點(diǎn)起著一個(gè)次級(jí)波源波前上每一點(diǎn)起著一個(gè)次級(jí)波源( (子波源子波

5、源) )的的作用，每一個(gè)次級(jí)波源發(fā)出次級(jí)球面波作用，每一個(gè)次級(jí)波源發(fā)出次級(jí)球面波( (子子波波) )，它向著四面八方擴(kuò)展，所有這些次級(jí)波，它向著四面八方擴(kuò)展，所有這些次級(jí)波的包絡(luò)面便是新的波前。的包絡(luò)面便是新的波前。可解釋可解釋”衍射衍射”現(xiàn)象，但無(wú)法定量分析現(xiàn)象，但無(wú)法定量分析e e. 1801. 1801年年, ,楊氏干涉原理?xiàng)钍细缮嬖? (T.Young)T.Young)證實(shí)了證實(shí)了光的波動(dòng)性光的波動(dòng)性振幅疊加振幅疊加f f.1818.1818年，菲涅耳年，菲涅耳( (A.J.Fresnel)A.J.Fresnel)提出惠更提出惠更斯斯- -菲涅耳原理。菲涅耳原理?？煽啥ㄐ远ㄐ苑治鲅苌?/p>

6、現(xiàn)象，提出了定量初步模型。分析衍射現(xiàn)象，提出了定量初步模型。g g. .基爾霍夫基爾霍夫( (G.Kirchhoff)G.Kirchhoff)提出了基爾霍夫提出了基爾霍夫衍射理論，完善了惠更斯衍射理論，完善了惠更斯- -菲涅耳理論。菲涅耳理論?？煽啥ㄐ?、定量分析定性、定量分析衍射現(xiàn)象。衍射現(xiàn)象。h h. .索末菲利用格林函數(shù)理論修正了基爾霍夫索末菲利用格林函數(shù)理論修正了基爾霍夫衍射理論，成為瑞利衍射理論，成為瑞利- -索末菲理論索末菲理論2.2 從矢量理論到標(biāo)量理論光的電磁理論 00EHHEtEHt 麥克斯韋方程組介質(zhì)中無(wú)自由電荷符號(hào)：E電場(chǎng)強(qiáng)度H 磁場(chǎng)強(qiáng)度直角坐標(biāo)系分量(,)xyzEEE直角

7、坐標(biāo)系分量(,)xyzHHH,E Hx y zt 都是位置（ , , ）和時(shí)間 的函數(shù)=, ,ijkxyzi j kx, y, z 符號(hào) 和 代表矢量的叉乘和點(diǎn)乘為方向的單位矢量根據(jù)矢量理論2()()EEE 若介質(zhì)是線(xiàn)性、各向同性、均勻、無(wú)色散介質(zhì)是線(xiàn)性、各向同性、均勻、無(wú)色散，則222222222200nEEctnHHct 其中 n 為介質(zhì)折射率，c 為真空中的光速0001,nc 分量Ex , Ey , Ez , Hx , Hy, Hz 的標(biāo)量波動(dòng)方程222220 xxEnEct用一個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程慨括 和 的各分量的行為EH 22222( , , , )( , , , )0nu x y z

8、tu x y z tctu與位置和時(shí)間有關(guān)矢量理論到標(biāo)量理論前提條件：介質(zhì)同時(shí)具有線(xiàn)性、各向同性、均勻性且無(wú)色散結(jié)論：電場(chǎng)和磁場(chǎng)的所有分量的行為完全相同，可由單一的一個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程描述，標(biāo)量理論可以完全準(zhǔn)確的代替矢量理論若介質(zhì)不具備上述前提，則用標(biāo)量理論來(lái)表征矢量理論就會(huì)引入誤差1678年，惠更斯為解釋波的傳播提出子波的假設(shè)，認(rèn)為波面上每一點(diǎn)都可以作為次級(jí)子波的波源，后一時(shí)刻的波陣面（相位相同的點(diǎn)組成的平面）波陣面（相位相同的點(diǎn)組成的平面）則可看作是這些子波的包絡(luò)面1818年，菲涅耳引入干涉概念對(duì)惠更斯原理進(jìn)行了補(bǔ)充，認(rèn)為子波源應(yīng)當(dāng)是相干的，后空間光場(chǎng)是子波干涉的結(jié)果?；莞棺鲌D法加上干涉原理

9、，就稱(chēng)為惠更斯-菲涅爾原理dsreKPUCQUjkr)()()(02.3 基爾霍夫基爾霍夫標(biāo)量標(biāo)量衍射理論衍射理論2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理與基爾霍夫衍射公式1、 惠更斯-菲涅耳原理p pS S * *Q QdU(Q)dU(Q)rp pdSdSS(S(波前波前) )設(shè)初相為零設(shè)初相為零n n 主要問(wèn)題：1 該理論缺乏嚴(yán)格的理論依據(jù)。常數(shù)c中應(yīng)包含exp(-j/2)因子，惠更斯-菲涅爾原理無(wú)法解釋。2K()的具體函數(shù)形式難以確定。衍射理論所要解決的問(wèn)題 光場(chǎng)中任一點(diǎn)光場(chǎng)中任一點(diǎn)Q的復(fù)振幅的復(fù)振幅能否用光場(chǎng)中其它各點(diǎn)的復(fù)能否用光場(chǎng)中其它各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來(lái)？振幅表示出來(lái)？ 例如能否由如圖孔徑平

10、面例如能否由如圖孔徑平面上的場(chǎng)分布計(jì)算孔徑后面任上的場(chǎng)分布計(jì)算孔徑后面任一點(diǎn)一點(diǎn)Q處的復(fù)振幅？這是一處的復(fù)振幅？這是一個(gè)根據(jù)邊界值求解波動(dòng)方程個(gè)根據(jù)邊界值求解波動(dòng)方程的問(wèn)題。的問(wèn)題。Q入射光入射光 基爾霍夫利用數(shù)學(xué)工具格林定理，通過(guò)基爾霍夫利用數(shù)學(xué)工具格林定理，通過(guò)假定衍射屏的邊界條件，求解波動(dòng)方程，假定衍射屏的邊界條件，求解波動(dòng)方程，導(dǎo)出了更嚴(yán)格的衍射公式導(dǎo)出了更嚴(yán)格的衍射公式 ，從而把惠更，從而把惠更斯斯菲涅耳原理置于更為可靠的波動(dòng)理論菲涅耳原理置于更為可靠的波動(dòng)理論基礎(chǔ)上基礎(chǔ)上 。2、 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射公式QPnP0r0r P0點(diǎn)的單色點(diǎn)光源點(diǎn)的單色點(diǎn)光源 P

11、為孔徑平面上任一點(diǎn)，為孔徑平面上任一點(diǎn)，Q為孔徑為孔徑 后方的觀察點(diǎn)。后方的觀察點(diǎn)。 r和和r0分別是分別是Q和和P0到到P的距離，二的距離，二者均比波長(zhǎng)大得多。者均比波長(zhǎng)大得多。 n表示衍射屏面法線(xiàn)的正方向。表示衍射屏面法線(xiàn)的正方向。 在單色點(diǎn)光源照明下，平面孔在單色點(diǎn)光源照明下，平面孔徑后方光場(chǎng)中任一點(diǎn)徑后方光場(chǎng)中任一點(diǎn)Q的復(fù)振幅為的復(fù)振幅為 0000cos( , )-cos( , )1( )2jkrjkra en rn reU Qdsjrr 基爾霍夫衍射公式孔徑平面上的復(fù)振幅分布是球面波，有代入基爾霍夫衍射公式，有其中：若 并代入衍射公式，該公式與惠更斯-菲涅爾衍射公式完全相同。0000

12、()jkraUPer01( )( )( )jkreU QUP KdSjr1cj0cos( , )-cos( ,)( )2n rn rK 基爾霍夫衍射公式說(shuō)明： 上述基爾霍夫衍射公式僅僅是單個(gè)點(diǎn)光源發(fā)射上述基爾霍夫衍射公式僅僅是單個(gè)點(diǎn)光源發(fā)射的球面波照明孔徑的情況作出的討論，但衍射公式的球面波照明孔徑的情況作出的討論，但衍射公式卻適用于更普遍的卻適用于更普遍的任意單色光波照明孔徑任意單色光波照明孔徑的情況。的情況。 因?yàn)槿我鈴?fù)雜的光波可分解成簡(jiǎn)單的球面波的因?yàn)槿我鈴?fù)雜的光波可分解成簡(jiǎn)單的球面波的線(xiàn)性組合，波動(dòng)方程的線(xiàn)性性質(zhì)允許對(duì)每一單個(gè)球線(xiàn)性組合，波動(dòng)方程的線(xiàn)性性質(zhì)允許對(duì)每一單個(gè)球面波分別應(yīng)用上

13、述原理，把所有點(diǎn)源在面波分別應(yīng)用上述原理，把所有點(diǎn)源在Q點(diǎn)的貢獻(xiàn)點(diǎn)的貢獻(xiàn)疊加。疊加。 因此，因此， 基爾霍夫衍射公式中基爾霍夫衍射公式中 可以理解為在可以理解為在任意單色光照明下在孔徑平面產(chǎn)生的光場(chǎng)分布任意單色光照明下在孔徑平面產(chǎn)生的光場(chǎng)分布 0U (P)基爾霍夫衍射公式 根據(jù)基爾霍夫?qū)ζ矫嫫聊患僭O(shè)的邊界條件，孔徑外根據(jù)基爾霍夫?qū)ζ矫嫫聊患僭O(shè)的邊界條件，孔徑外的陰影區(qū)內(nèi)的陰影區(qū)內(nèi) ，則衍射公式的積分限可以擴(kuò)展，則衍射公式的積分限可以擴(kuò)展到無(wú)窮，從而有：到無(wú)窮，從而有：這里省略常數(shù)項(xiàng)這里省略常數(shù)項(xiàng)c。 0()0UP01()()()jkreU QUP KdSjr 衍射與障礙物衍射與障礙物 不論以什

14、么方式不論以什么方式改變光波波面改變光波波面 （1）限制波面范圍限制波面范圍 （2）振幅以一定分布衰振幅以一定分布衰減減，（，（3）以一定的空間分布使復(fù)振幅）以一定的空間分布使復(fù)振幅相位延相位延遲遲，（，（4）相位與振幅相位與振幅兩者兼而變化，都會(huì)引兩者兼而變化，都會(huì)引起衍射，均稱(chēng)為衍射。起衍射，均稱(chēng)為衍射。所以障礙物的概念，除去不透明屏上有所以障礙物的概念，除去不透明屏上有開(kāi)孔這種情況以外，還包含具有一定復(fù)振幅開(kāi)孔這種情況以外，還包含具有一定復(fù)振幅的透明片。把能引起衍射的障礙物統(tǒng)稱(chēng)為的透明片。把能引起衍射的障礙物統(tǒng)稱(chēng)為衍衍射屏。射屏。衍射屏處光場(chǎng)衍射屏處光場(chǎng)描寫(xiě)衍射屏自身宏觀光學(xué)性質(zhì)的物理量

15、描寫(xiě)衍射屏自身宏觀光學(xué)性質(zhì)的物理量復(fù)振幅復(fù)振幅透過(guò)率：透過(guò)率： ：衍射屏前表面的復(fù)振幅或照射到衍射屏上的：衍射屏前表面的復(fù)振幅或照射到衍射屏上的光場(chǎng)的復(fù)振幅；光場(chǎng)的復(fù)振幅； ：是衍射屏后表面的復(fù)振幅。：是衍射屏后表面的復(fù)振幅。 若衍射屏是具有開(kāi)孔的不透明屏，則公式中的若衍射屏是具有開(kāi)孔的不透明屏，則公式中的 既可理解為衍射屏前表面的復(fù)振幅，也可理解既可理解為衍射屏前表面的復(fù)振幅，也可理解為衍射屏后表面的復(fù)振幅，因?yàn)榉e分范圍為為衍射屏后表面的復(fù)振幅，因?yàn)榉e分范圍為。 若將衍射過(guò)程看作衍射屏后表面光振動(dòng)若將衍射過(guò)程看作衍射屏后表面光振動(dòng)到觀察面到觀察面的傳播，則的傳播，則 ( )( )( )tiU

16、 PPU Pt()iUP()tUP0()UP0( )( )( )( )tiUPU PU Pt P2.3.2 基爾霍夫衍射與疊加積分 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式 令令 有有1( ,)( )jkreP QKjrh01( )( )( )jkreU QUP KdSjr0( )( ) ( ,)U QUPP Q dSh 物理意義 衍射屏面上任一點(diǎn)P ，其復(fù)振幅為 P點(diǎn)處的小面元dS對(duì)觀察點(diǎn)Q的貢獻(xiàn) 表示在P點(diǎn)有一個(gè)單位脈沖即 時(shí)，在觀察點(diǎn)Q造成的復(fù)振幅分布，稱(chēng)為脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。 由上面衍射公式可知，觀察點(diǎn)Q的復(fù)振幅，是上所有面元的光振動(dòng)在Q點(diǎn)引起的復(fù)振幅的相干疊加。 如果把衍射過(guò)程看作是一種變

17、換，衍射公式便是將函數(shù) 變換成 的變換式。 按照系統(tǒng)的觀點(diǎn)，衍射過(guò)程或傳播過(guò)程也可以等效為一種線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性變換， 代表了這個(gè)系統(tǒng)的全部特性 0( )UP0( )UP0( )( ) ( ,)dU QUPP Q dsh( ,)P Qh0( )( ) ( ,)U QUPP Q dSh0()1UP dS ( )U Q( ,)P Qh( ,)P Qh光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)不僅存在于單光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)不僅存在于單色光波在自由空間中的傳播，同樣色光波在自由空間中的傳播，同樣存在于孔徑和觀察平面之間是非均存在于孔徑和觀察平面之間是非均勻媒質(zhì)的情況，如兩者之間存在有勻媒質(zhì)的情況，如兩者之間存在有光學(xué)系統(tǒng)，則線(xiàn)性

18、系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)，則線(xiàn)性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)函數(shù)h（P，Q）有不同的形式而已）有不同的形式而已 2.3.3 相干光場(chǎng)在自由空間傳播的平移不變性對(duì)于近軸有： 1K20202yyxxzr reKjyxyxhjkr1,;,00則：zjyyxxzjk20202exp00,yyxxh故有： 000000,( , )( , )U x yU xyh xxyydx dyU x yh x y 00, yxU00,yyxxh即：觀察平面上光場(chǎng)的復(fù)振幅分布，等于孔徑平面上透射光場(chǎng)的復(fù)振幅與脈沖響應(yīng) 的卷積2.1.6因此，衍射系統(tǒng)可以等效于一個(gè)線(xiàn)性空不變系統(tǒng)，故可用線(xiàn)性系統(tǒng)理論分析衍射現(xiàn)象，這一結(jié)論是傅里葉變換與

19、光學(xué)互相結(jié)合的紐帶之一。2.3.4 相干光場(chǎng)在自由空間傳播的脈沖響應(yīng)的近似表達(dá)式212020202021zyyzxxzyyxxzr當(dāng)時(shí)1),cos(rn20zxx和20zyy都是小量42202022020821zyyxxzyyxxzr20202020221211zyyzxxzyyxxzr菲涅耳近似或傍軸近似菲涅耳近似或傍軸近似2020002exp)exp(),(yyxxzkjzjjkzyyxxh脈沖響應(yīng)可表示為脈沖響應(yīng)可表示為： 000000,U x yU xyh xxyydx dy 代入0020200002exp),()exp(),(dydxyyxxzkjyxUjkzjkzyxU 菲涅耳衍射

20、如果在菲涅耳衍射的基礎(chǔ)上進(jìn)一步限定 的線(xiàn)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳播距離z，以至于 小到可以忽略不計(jì)；而觀察范圍的線(xiàn)度與z相比盡管很小，但還未小到可以略去 的程度， zyx2)(2020zyx2)(2220202020221211zyyzxxzyyxxzr可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化得出：zyyxxzyxzr00222這一近似稱(chēng)為夫瑯禾費(fèi)近似或遠(yuǎn)場(chǎng)近似夫瑯禾費(fèi)近似或遠(yuǎn)場(chǎng)近似，在這一條件下，脈沖響應(yīng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：002200exp)(2exp)exp(),;,(yyxxzkjyxzkjzjjkzyxyxh不再具有空間平移不變性。不再具有空間平移不變性。2.4 2.4 衍射的角譜理論衍射的角譜理論2.4.1 單色平面波與本

21、征函數(shù)如果不考慮夫瑯禾費(fèi)近似，則相干光場(chǎng)在給定的二平面間的傳播過(guò)程就是通過(guò)一個(gè)二維線(xiàn)性空不變系統(tǒng)。在1.6.4節(jié)中，形如 的函數(shù)應(yīng)該是這種系統(tǒng)的本征函數(shù)，在1.7節(jié)中我們知道 的函數(shù)表示振幅為1的平面波在xy平面上形成的復(fù)振幅分布?？臻g頻率分量 表示單色平面波的傳播方向。)(2expyxj)(2expyxjcos/,cos/ 2.2.22.2.2角譜的傳播角譜的傳播 衍射角譜分析方法衍射角譜分析方法0 x0yxyzz000( ,0)U x y( , , )U x y z0coscos(,0)Acoscos(, )Az000000coscoscoscoscoscos( , ,0)(,0)exp

22、2 ()U x yAjxy ddcoscoscoscoscoscos( , , )(, )exp 2 ()U x y zAzjxy dd000000(,0)( , ,0)exp 2 ()UxyAjxyd d ( , , )( , , )exp 2 ()U x y zAzjxy d d 令：coscos,如果能夠找到 和的關(guān)0coscos(,0)Acoscos(, )Az系，就知道了每一平面波的分量在傳播過(guò)程中振幅和位相發(fā)生的變化，自然也就可以確定整個(gè)光場(chǎng)由孔徑平面?zhèn)鞑サ接^察平面所發(fā)生的變化。由于在所有無(wú)源點(diǎn)上， 必須滿(mǎn)足亥姆霍玆方程),(zyxU220kU 將上式代入亥姆霍玆方程：coscos

23、coscoscoscos( , , )(, )exp 2 ()U x y zAzjxy dd22222coscos2coscos(, ) () 1 coscos (, )0dAzAzdzcoscos(, )Az在空域坐標(biāo)系中僅是z的函數(shù)，解這個(gè)二階齊次偏微分方程，得到這個(gè)方程的基本解為：22coscos(, )coscos(,)exp(1 coscos)Azcjkz式中 由邊界條件決定，在 處，即為孔徑平面，角譜是 。因此)cos,cos(c0z0coscos(,0)A0coscoscoscos(,)(,0)cA220coscos(, )coscos(,0)exp(1 coscos)AzAjk

24、z上式表明，我們只要知道 平面上光場(chǎng)的角譜就可以求出觀察面的角譜，然后通過(guò)傅里葉逆變換可以求出觀察面的復(fù)振幅分布。0z),(Hcoscoscoscoscoscos( , , )(, )exp 2 ()U x y zAzjxy dd1exp),(),(,220jkzAAH),(),(),(0HAA相移當(dāng) 時(shí)，1coscos22式中對(duì)應(yīng)這些傳播方向波動(dòng)分量稱(chēng)為倏逝波倏逝波平方根是虛數(shù))exp(),(),(0zAA1coscos22k 該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是低通濾波器，截止頻率為 。在頻率平面上，這個(gè)濾波器的半徑為 的圓孔。11這一結(jié)論告訴我們，對(duì)于孔徑中比波長(zhǎng)還小的精細(xì)結(jié)構(gòu)，或者空間頻率高于 的信息，

25、在單色平面波照明下不能沿 方向向前傳播。1z222221exp1( , )0jkzH 其他基爾霍夫理論和角譜理論的比較球面子波干涉疊加的衍射理論衍射的平面波理論線(xiàn)性不變系統(tǒng)空域頻域孔徑平面上的光場(chǎng)看做點(diǎn)源的集合觀察平面上的光場(chǎng)等于球面子波的相干疊加球面子波在觀察平面上 復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)孔徑平面光場(chǎng)分布看成許多不同方向平面波的線(xiàn)性組合觀察平面上的場(chǎng)分布仍然等于這些平面波分量的相干疊加。但每個(gè)平面波分量引入一個(gè)相移相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.2.3 孔徑對(duì)角譜的影響),(),(),(0000000yxtyxUyxUi），（），（），（coscoscoscoscoscosi0TAA

26、000000)coscos(2exp),(coscosdydxyxjyxtT ），（用單位振幅的平面波垂直照射衍射屏?xí)r），（），（coscoscoscos0A因而），（），（），（），（coscoscoscoscoscoscoscosTTA通過(guò)衍射屏后，由 函數(shù)所表征的入射光場(chǎng)的角譜變成了孔徑函數(shù)的傅里葉變換，顯然角譜分量大大增加了。因此，從空域看，孔徑的作用限制了入射波面的大小，從頻域看則是展寬了入射光場(chǎng)的角譜2.3.2.3. 菲涅耳衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射菲涅耳衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射 2.3.1菲涅耳衍射220000001,exp,exp2kU x yjkzU x yjx xy ydxdyj zz將

27、r展開(kāi)：2120202yyxxzr2120201zyyzxxz222220000211128xxyyxxyyzzzz令略去第三項(xiàng)-菲涅耳近似202021211zyyzxxzr得菲涅耳公式為:220000001,exp,exp2kU x yjkzU x yjx xy ydxdyj zz在指數(shù)項(xiàng)中，被略去的第三項(xiàng)不應(yīng)引起明顯的位相誤差，即28322020zyyxxk移項(xiàng)得：22020381yyxxz（2.3.1）2.3.2 000000,U x yU xyh xxyydx dy 上式稱(chēng)為菲涅耳衍射成立的充分條件，但不是必要條件。取菲涅耳近似的目的是要能夠用公式2.3.1來(lái)等效以下積分公式實(shí)際上，當(dāng)

28、z較小時(shí)，上述條件雖不滿(mǎn)足，也能觀察到菲涅耳衍射從角譜理論出發(fā)，對(duì)描述光波傳播的傳遞函數(shù)H做出近似，導(dǎo)出菲涅耳衍射公式)cos,cos()cos,cos()cos,cos(0HAA觀察面上和孔徑面上的光擾動(dòng)關(guān)系式22coscos1exp,jkzH傳遞函數(shù)2.3.52.4.7當(dāng) 時(shí)，可對(duì)位相因子中的根式作二項(xiàng)式展開(kāi)，即1coscos22222222122)cos(cos81)cos(cos211)cos(cos1 若上式中第三項(xiàng)所貢獻(xiàn)的位相遠(yuǎn)小于 ，則上式中第三項(xiàng)都可以忽略不計(jì)，即z 應(yīng)滿(mǎn)足21)cos(cos82max22z2.5.7zyyzxx00cos,cos代入2.5.722020381

29、yyxxz傍軸近似下：傍軸近似下：在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)2222coscos211coscos122coscos1exp,jkzH代入)cos(cos2expexpcos,cos22kzjjkzH由于 ，傳遞函數(shù)也可表示為cos,cos)(expexp,22zjjkzH)cos,cos()cos,cos()cos,cos(0HAA對(duì)下式作逆傅里葉變換 000000,U x yU xyh xxyydx dy 2200002200(,)exp()exp()exp2 ()()exp()exp2h xxyyjkzjzjxxyyd djkzkjxxyyj zz 上式積分過(guò)程使用到高斯積分公式：上式積分過(guò)程使用

30、到高斯積分公式：2axedxa2.3.3 2.3.3 菲涅耳衍射與傅里葉變換的關(guān)系菲涅耳衍射與傅里葉變換的關(guān)系一般情況：一般情況：220000001,exp,exp2kU x yjkzU xyjxxyydx dyj zz 指數(shù)項(xiàng)展開(kāi)得0020202220202yyxxyxyxyyxx)(2exp),()exp(122yxzkjyxUjkzzj代入上式整理得：222expexp1,yxzkjjkzzjyxU22000000002,expexp2jkjU xyxyxxyydx dyzz 222expexp1yxzjkjkzzj220000,exp2jkU xyxyz-菲涅爾衍射公式的傅里葉變換表達(dá)

31、形式尤其當(dāng)照明衍射屏是匯聚球面波時(shí)， 中將包含關(guān)于 的二次位相因子，在一定條件下可以與 相消。這時(shí)的菲涅耳衍射計(jì)算變得比較簡(jiǎn)單。 ),(000yxU)2exp(0202zyxjk00, yx頻率取離散值的無(wú)窮多個(gè)平面波的疊加現(xiàn)討論與物平面相距為z的觀察平面上的光場(chǎng)分布，這是一個(gè)菲涅耳衍射問(wèn)題。對(duì)這個(gè)問(wèn)題從頻域研究比從空域研究更為方便)()(0dncGnn由菲涅耳衍射傳遞函數(shù)的表達(dá)式得：)exp()exp()(2zjikzH觀察平面上得到的場(chǎng)分布的頻譜為：)exp()exp()()exp()exp()()()(220）（）（dnzjikzdnczjikzdncHGGnnnn000000( , )

32、 (,)(,) (,)f x yxxyyf xyxxyy當(dāng)z滿(mǎn)足條件)3 , 2 , 1(22mmdz則有1)exp(2）（dnzj在這種情況下)exp()()(ikzdncGnn 對(duì)上式作傅里葉逆變換得到觀察平面上的場(chǎng)分布為)exp()()(000jkzxgxg其強(qiáng)度分布與物體相同，即200200)()()(xgxgxI于是在 的整數(shù)倍距離上，可觀察到物體的像。 成為泰伯距離22dzTTz2.5.3 夫瑯和費(fèi)衍射公式夫瑯和費(fèi)衍射公式 000000,dydxyyxxhyxUyxU 式中:jkrerjyyxxh1,00r 的簡(jiǎn)化：2120202yyxxzr2120201zyyzxxz222220

33、000211128xxyyxxyyzczzz220011122xxyyzzz2222000012()2zxyxxyyxyz令略去第三項(xiàng)-菲涅耳近似2222000012()2zxyxxyyxyz22002xxyyxyzzz -夫瑯和費(fèi)近似代入U(xiǎn)(x,y)式得夫瑯和費(fèi)衍射公式為：221( , )expexp2kU x yjkzjxyjzz0000002,expjU xyxxyydx dyz -夫瑯和費(fèi)衍射公式夫瑯和費(fèi)近似條件及范圍令22)(22020zyx)(212020yxz2.5.4 簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射（舉例）簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射（舉例）求幾個(gè)簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射(單位振幅的平面波照明

34、：透過(guò)孔徑的場(chǎng)等于振幅透過(guò)率)矩形孔的衍射矩形孔的復(fù)振幅透過(guò)率為：byrectaxrectyxt0000,得：2000000,xyjf xf yxyt xyrectrectedx dyab 000220000yxyxjfja fbaxxyyarectedbrectedaabb112222112211yxjbf yja f xaedx bedy122122xjaf xxaeja fcossincossin2xxxaa fja fa fja fjafcoscossinsin2xaafafjafjafjaf2 sin2xxaja fja f sinsinxxxaa fac a fa fsinsinx

35、yac afbc bf根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射公式得：22001,exp()exp(,)2kU x yjkzjxyt xyj zz00,t xy221exp()expsinsin2xykjkzjxyabc a fc b fj zzzbyczaxcyxzkjjkzzjabsinsin2exp)exp(22得衍射平面的光強(qiáng)度為：222,sinsinabaxbyI x ycczzz光強(qiáng)在x方向的分布如圖 中央（0級(jí)）最大光強(qiáng)為：當(dāng)0, 0yx時(shí)， sin (0)1c有20 , 0zabI由csin函數(shù)的定義知： sin ( )0c x 1x23當(dāng)，時(shí)， 因此：當(dāng)1zxa時(shí)， IU,有零值，故得中央亮斑的寬度

36、為：azx2bzy2單縫的衍射單縫的復(fù)幅透過(guò)率為： 00 xt xrecta得：0sinaxt xacz 201exp()exp()2kU xjkzjxt xj zz zaxcaxzkjjkzzjsin2exp)exp(12得強(qiáng)度分布為： 222sin0 sinaaxaxI xcIczzz2.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì))()(100JdJ（1）)()cos(exp21020Jdj（2）)()(01JdJd（3）圓孔衍射圓孔的復(fù)振透過(guò)率為： 其它101000ararcircrt圓對(duì)稱(chēng)，其付氏變換用傅里葉-貝塞爾變換表示由（1） 0000002( )2circ rcirc r r Jrdr100000212

37、r Jrdr 200222rdrJr rdrJr200221222112J21J（2）由 2rrga G aa得：12202Jarcircacirc aaaa 1122222222JaJaaaaa 故得圓孔夫瑯和費(fèi)衍射為：)(2exp)exp(1)(02rtrzkjjkzzjrU12222/1exp()exp22/rzJarzkjkzjraj zzarz zkarzkarJrzjkjkzzjka/22exp)exp(2122強(qiáng)度分布為： 2122/22zkarzkarJzkarI對(duì)于一階貝塞爾函數(shù)有：當(dāng)0r時(shí)， 10/1lim/2rJkar zkar z因此，衍射斑中心的強(qiáng)度分布為（光強(qiáng)） 2

38、2222102222kakaIzz故得： 12/0/Jkar zI rIkar z2.6 2.6 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì)u要在衍射屏后面的自由空間觀察夫瑯禾費(fèi)衍射，要在衍射屏后面的自由空間觀察夫瑯禾費(fèi)衍射，其條件相當(dāng)苛刻，要想近距離觀察夫瑯禾費(fèi)衍射，其條件相當(dāng)苛刻，要想近距離觀察夫瑯禾費(fèi)衍射，是借助會(huì)聚透鏡實(shí)現(xiàn)的。是借助會(huì)聚透鏡實(shí)現(xiàn)的。u研究光場(chǎng)復(fù)振幅經(jīng)過(guò)透鏡后的橫向光場(chǎng)分布（與研究光場(chǎng)復(fù)振幅經(jīng)過(guò)透鏡后的橫向光場(chǎng)分布（與普通光學(xué)中的區(qū)別）普通光學(xué)中的區(qū)別）u在單位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情況下，在單位振幅的平面波垂直照射衍射屏的情況下，夫瑯禾費(fèi)衍射就是屏函數(shù)的傅里葉變換。

39、對(duì)透射夫瑯禾費(fèi)衍射就是屏函數(shù)的傅里葉變換。對(duì)透射物體進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算的物理手段是實(shí)現(xiàn)它的物體進(jìn)行傅里葉變換運(yùn)算的物理手段是實(shí)現(xiàn)它的夫瑯禾費(fèi)衍射（即：透射物體后面加會(huì)聚透鏡）。夫瑯禾費(fèi)衍射（即：透射物體后面加會(huì)聚透鏡）。2.6.3 2.6.3 透鏡的一般變換特性透鏡的一般變換特性2.6.1 2.6.1 透鏡的相位變換作用透鏡的相位變換作用2.6.2 2.6.2 透鏡的透鏡的FTFT特性特性 本節(jié)包含：本節(jié)包含：透鏡：透鏡：光密介質(zhì)（玻璃、塑料等）光密介質(zhì)（玻璃、塑料等），v v 0 凸凸透鏡，指數(shù)位相因子顯示為透鏡，指數(shù)位相因子顯示為負(fù)負(fù)， 為為會(huì)聚會(huì)聚球球面波，面波，向透鏡后方向透鏡后方 f

40、 處的焦點(diǎn)處的焦點(diǎn)F F會(huì)聚的球面波。會(huì)聚的球面波。f 0 凹凹透鏡，指數(shù)位相因子顯示為透鏡，指數(shù)位相因子顯示為正正， 為為發(fā)散發(fā)散球面波，球面波，由透鏡前方由透鏡前方 處的虛焦點(diǎn)發(fā)散球面波。處的虛焦點(diǎn)發(fā)散球面波。f發(fā)散透鏡發(fā)散透鏡 f 0f221( , )exp()2kUx yjxyf1( , )Ux y1( , )Ux y球面透鏡將平面波變換成球面波（波前經(jīng)過(guò)透鏡發(fā)生變化）球面透鏡將平面波變換成球面波（波前經(jīng)過(guò)透鏡發(fā)生變化）, 在在很大程度上依賴(lài)于傍軸近似。很大程度上依賴(lài)于傍軸近似。),(yxp表示孔徑函數(shù)，01),(yxp透鏡孔徑內(nèi)其它)(2-exp),(),(22yxfkjyxpyxt

41、透鏡的位相變換因子可寫(xiě)作透鏡的位相變換因子可寫(xiě)作 會(huì)聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個(gè)最突出和會(huì)聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個(gè)最突出和最有用的性質(zhì)就是它能夠進(jìn)行二維最有用的性質(zhì)就是它能夠進(jìn)行二維FTFT。 正因如此，傅立葉分析方法才得以用于光學(xué)。正因如此，傅立葉分析方法才得以用于光學(xué)。2.6.22.6.2透鏡的傅里葉變換特性透鏡的傅里葉變換特性ss pq1p2p),(yx),(00yx0d0p),(yx1. 物在透鏡之前物的前表面上造成的光場(chǎng)分布物的前表面上造成的光場(chǎng)分布)(2)(exp020200dpyxjkA透過(guò)物體，輸出面上的光場(chǎng)分布透過(guò)物體，輸出面上的光場(chǎng)分布)(2)(exp),(0202

42、0000dpyxjkyxtA000exp()Acik pdpd220000001,exp,exp2kU x yjkzU xyjxxyydx dyj zz 根據(jù)菲涅耳衍射到達(dá)透鏡平面，其復(fù)振幅分布：根據(jù)菲涅耳衍射到達(dá)透鏡平面，其復(fù)振幅分布：00020200220002exp)(2exp),(),(000dydxdyyxxjkdpyxjkyxtdjAyxU ydxdqyyxxjkfyxjkyxUdjyxUl 2exp2exp),(1),(22220光源光源s s的共軛面上的光場(chǎng)分布：的共軛面上的光場(chǎng)分布：ydxddydxkjyxtqdAyxUyxp 0000020)(2exp),(),(0把把 代

43、入代入),(yxU先將先將 積出積出pU)(exp)(2exp002200yyxxafjkyxadfjkafqdjUp00)(fddfqa其中其中，0000000000220)()(exp),()( 2)(exp,dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkcyxU ）（1. 1.輸入平面位于透鏡前焦面輸入平面位于透鏡前焦面fd 0000000)exp(),(,dydxfyyxxjkyxtcyxU ）（計(jì)算光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式計(jì)算光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式0( , )T 衍射物體衍射物體的的復(fù)振幅透過(guò)率復(fù)振幅透過(guò)率與與衍射場(chǎng)衍射場(chǎng)的的復(fù)振幅分布復(fù)振幅分布存在準(zhǔn)確存在準(zhǔn)

44、確的傅里葉變換關(guān)系，并且只要照明光源和觀察平面滿(mǎn)足共的傅里葉變換關(guān)系，并且只要照明光源和觀察平面滿(mǎn)足共軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，不管照軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，不管照明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系，始終為的關(guān)系，始終為fxfyss ),(yx),(00yx),(yx觀察平面上坐標(biāo)觀察平面上坐標(biāo) (x, y)處的光場(chǎng)的振幅和相位，由衍射物體中處的光場(chǎng)的振幅和相位，由衍射物體中頻率為頻率為 的傅立葉分量的傅立葉分量 的振幅和相位決定。的振幅和相位決定。 0( , )T ( , ) （2

45、2）輸入面緊貼透鏡）輸入面緊貼透鏡00d00000022exp),(2exp,dydxqyyxxjkyxtqyxjkcyxU ）（衍射物體的復(fù)振幅透過(guò)率與觀察面上的場(chǎng)分布，衍射物體的復(fù)振幅透過(guò)率與觀察面上的場(chǎng)分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次位相因不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次位相因子子, ,但對(duì)強(qiáng)度分布不影響但對(duì)強(qiáng)度分布不影響 。0( , )T 觀察面上的空間座標(biāo)與空間頻率的關(guān)系為qxqy對(duì)光信息處理的應(yīng)用將帶來(lái)一定的靈活性。并且也有利于充分利用透鏡孔徑強(qiáng)度分布為強(qiáng)度分布為: :2200o00()(,)( , ) expfffx xy yIxyctx yjkdx dyq 0(

46、, )T ss pq1p2p),(yx),(yx0d0p),(00yx物在透鏡之后的變換2.物在透鏡的后方透鏡前表面的場(chǎng))2(exp220pyxjkA透鏡的出射場(chǎng)為)2(exp)2(exp22220fyxjkpyxjkAydxddyyxxjkfyxjkPyxjkdjAyxUp 2exp2exp2exp),(02020222200000透過(guò)物體后的出射光場(chǎng)為透過(guò)物體后的出射光場(chǎng)為),(),(),(00000000yxUyxtyxU這個(gè)光場(chǎng)傳輸?shù)接^察平面這個(gè)光場(chǎng)傳輸?shù)接^察平面 上造成的場(chǎng)分上造成的場(chǎng)分布為布為：),(yx0002020000000)(2exp),(),()(1),(0dydxdqyyxxjkyxUyxtdqjyxU ydxddydxkjyxtdqdAyxUyxp 00000020)(2exp),(),(0不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面和觀察面之間的關(guān)系是傅里葉變換關(guān)系，即面，則物面和觀察面之間的關(guān)系是傅里葉變換關(guān)系，即觀察觀察面是物的頻譜面面是物的頻譜面，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯禾費(fèi)型。物，即觀察面上的衍射場(chǎng)都是夫瑯禾費(fèi)型。物從兩面緊貼透鏡