道路與橋梁檢測第二章

1、2-1 振動(dòng)的分類2-2 簡 諧 振 動(dòng)2-3 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析第二章 振動(dòng)與波動(dòng)理論基礎(chǔ)道路橋梁工程動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)無損檢測：1）樁基高低應(yīng)變動(dòng)力檢測；2）橋梁上部結(jié)構(gòu)動(dòng)力檢測；3）FWD落錘式彎沉儀檢測等。 振動(dòng)是物質(zhì)的一種運(yùn)動(dòng)形式，是自然界十分廣泛的運(yùn)動(dòng)形式之一，波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程。美妙的音樂五顏六色的光無線電傳輸各信息.與振動(dòng)波動(dòng)相關(guān)什么是振動(dòng)什么是振動(dòng)從狹義上說，通常把具有時(shí)間周期性的運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)。從廣義上說，任何一個(gè)物理量在某一數(shù)值附近作周期性的往復(fù)變化，都稱為振動(dòng)。該物理量稱為“振動(dòng)量”。振動(dòng)量可以是力學(xué)量（位移，角位移），也可以是電磁學(xué)量（電量、電流、場強(qiáng)），也可以是其它物理量。

2、從數(shù)學(xué)上來描述，振動(dòng)量應(yīng)該是隨時(shí)間變化的周期函數(shù)。2-1 振動(dòng)的分類1、按產(chǎn)生振動(dòng)的原因分： 1）自由振動(dòng) 2）強(qiáng)迫振動(dòng)。2、按振動(dòng)的振型分： 1）單向振動(dòng)：僅用一個(gè)位移量或轉(zhuǎn)角就可表示質(zhì)點(diǎn)在某一個(gè)方向的瞬時(shí)位置（一個(gè)自由度），如圖2-4所示的豎向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。 2）耦合振動(dòng)：需用兩個(gè)或兩個(gè)以上的位移量或轉(zhuǎn)角才能表示剛體在某一個(gè)方向的瞬時(shí)位置（多自由度），其振動(dòng)特點(diǎn)是剛體在一個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)必將引起另一方向的運(yùn)動(dòng)，如圖2-5所示剛體。3、按振動(dòng)規(guī)律分： 1）諧和振動(dòng)：是指能用一項(xiàng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表達(dá)體系運(yùn)動(dòng)規(guī)律的周期性振動(dòng)。 2）復(fù)合周期振動(dòng)：是指由有限個(gè)不同頻率的諧和振動(dòng)所合成，且任意兩個(gè)諧

3、和振動(dòng)頻率之比為有理數(shù)的振動(dòng)。 3）隨機(jī)振動(dòng)：是指不能用諧和振動(dòng)或其簡單合成來表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的振動(dòng)，也就是無規(guī)律的非周期振動(dòng)。在一切振動(dòng)中，最簡單和最基本的振動(dòng)稱為簡諧運(yùn)動(dòng)。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡諧運(yùn)動(dòng)的合成。例：彈簧振子簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)公式2.2簡諧振動(dòng)例：彈簧振子彈簧振子的運(yùn)動(dòng)AO：彈性力向右，加速度向右，加速；OB： 向左， 向左，減速；BO： 向左， 向左，加速；OA： 向右， 向右，減速。物體在A、B之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)O點(diǎn)：彈簧處于自由狀態(tài)，m受力平衡。平衡位置物體受到一個(gè)始終指向平衡位置的彈性力 f ，稱為恢復(fù)力。在物體經(jīng)過平衡位置時(shí)，恢復(fù)力為零，但是物體由于慣性而繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。

4、由牛頓第二定律由牛頓第二定律22ddtxmkxmaF令令mk 2 則則xdtxd222位移 x 所遵從的運(yùn)動(dòng)微分方程由虎克定律： F=k x (負(fù)號(hào)表示彈性力的方向與位移方向相反)0222dtd（簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程）在振動(dòng)學(xué)中定義：如果描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的物理量 遵從微分方程：則該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就是簡諧振動(dòng)。由數(shù)學(xué)知識(shí)可以得到該微分方程的通解：)sin(0tA描述了振動(dòng)量隨時(shí)間的變化規(guī)律，因此 (2) 式也可以稱為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。(2)(1) A 和 是積分常數(shù)，由初始條件決定。 (2) 式是一個(gè)通解，但并不是唯一形式的解，余弦函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)也是 (1) 式的解可見： 與 A、 、 0 有關(guān)A

5、、 、 0是 描述簡諧振動(dòng)的特征量 2)sin(100222tAdtd注意1 振幅振幅A振幅A 振動(dòng)量在振動(dòng)過程中所能達(dá)到的最大值 在 A, A 之間變化，A 恒為正值2 周期、頻率、圓頻率周期、頻率、圓頻率周期T ：物體作一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間)(sin)2sin(00TtAtA2TkmT 2 彈簧振子二 簡諧振動(dòng)的特征量)sin(0tA頻率f ：單位時(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)圓頻率：物體在 2 秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)次數(shù)(又叫角頻率)Tf1單位：赫茲（Hz）22T單位：弧度每秒（rad/s）T、v、反映了振動(dòng)的快慢，由簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定，故稱它們?yōu)楣逃兄芷?、固有頻率、固有圓頻

6、率彈簧振子：mk 21 mk kmT 2 )sin(0tA3 相位相位 ( t + ) 在一個(gè)周期內(nèi)，振動(dòng)量的振動(dòng)狀態(tài)（、d /dt）與其相位是一一對(duì)應(yīng)的。振動(dòng)狀態(tài)的變化完全可以由相位的變化生動(dòng)地反映出來。因此，相位是標(biāo)示和決定振動(dòng)狀態(tài)的重要特征量。初相位 決定初始時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài))cos(tA15 4. 振動(dòng)的分類振動(dòng)的分類： 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度分類按振動(dòng)系統(tǒng)的自由度分類 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈性體的振動(dòng) 按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分類按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分類： 自由振動(dòng)： 無阻尼的自由振動(dòng) 有阻尼的自由振動(dòng)，衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)： 無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) 自激振動(dòng)本章

7、重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。 如果振動(dòng)系統(tǒng)中還存在阻尼力，那么振子在運(yùn)動(dòng)中所受到的作用力就是回復(fù)力與阻尼力的疊加。而阻尼力總是減小回復(fù)力，因此使得振動(dòng)的振幅隨時(shí)間而減小。從能量的角度來看，阻尼的發(fā)生有兩種形式，振動(dòng)系統(tǒng)的能量變成熱運(yùn)動(dòng)的能量，摩擦阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量變成波動(dòng)形式的能量，輻射阻尼阻尼振動(dòng) 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)總是阻尼振動(dòng)，那么系統(tǒng)要把振動(dòng)維持下去必須從外邊獲得能量，也就是說有外部力的作用。 外部作用力有兩種作用形式，即單方向的力和周期作用力。 一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)如果受到周期性的外部驅(qū)動(dòng)力，就稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。它在運(yùn)動(dòng)中所受到的力，就是在阻尼振動(dòng)的方程中再加一項(xiàng)周期驅(qū)動(dòng)力，如果外部的周

8、期驅(qū)動(dòng)力也是按照簡諧振動(dòng)的規(guī)律變化，則得到受迫振動(dòng)就會(huì)穩(wěn)定為簡諧振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 共振最重要的特征就是振幅和外力的頻率有關(guān)，而且當(dāng)外力頻率滿足一定條件時(shí)，振幅存在一個(gè)最大值，這就是說外力與振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生了共振。在外力不大的情況下，也能導(dǎo)致振子產(chǎn)生很大的振幅。 在周期性外力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)中，會(huì)發(fā)生一種特別的現(xiàn)象，就是共振。共振共振19 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng) 一、自由振動(dòng)的概念一、自由振動(dòng)的概念：20 21 運(yùn)動(dòng)過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)。 )

9、/( 0 , 22mkxxkxxmnn 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)： 22二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解 對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：0cqqa a, c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令acn/2則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn23 0022020arctg , qqqqAnn設(shè) t = 0 時(shí)， 則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始條件決定為nq Cq

10、C/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0024 三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時(shí) t 的位置 初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。 T 周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。 f 頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。 反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。 nT2n25 無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是： (2) 振幅A和初相位 取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動(dòng)規(guī)律為簡諧振動(dòng)；(3)周期T 和固有頻率 僅決定于系統(tǒng)本身

11、的固有參數(shù)(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。 26 2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯(lián)2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)271. 由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的

12、方法02qqn stngst：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Umax , 求出28 無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點(diǎn)）。 當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAUmgkst222max2121nmAxmT如：29 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡

13、便的一種方法。動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 例例1 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量 m ，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。30 解解：以 x 為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為 坐標(biāo)原點(diǎn)）RkgRmMst2)(gkmMst2則任意位置x 時(shí)：kxgmMxkFst22)2(靜平衡時(shí)：31 應(yīng)用動(dòng)量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23( 振動(dòng)微分方程：固有頻率：mMkxmMkxn2380238

14、32 解解2 ： 用機(jī)械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置為計(jì)算勢能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡時(shí)gxmMxkst)(222kxU 33 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 對(duì)時(shí)間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得x 34 例例2 鼓輪：質(zhì)量M，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m

15、, 不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：35 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系統(tǒng)的最大勢能為：36 設(shè) 則有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根據(jù)Tmax=Umax ,

16、 解得222221)()()(rRmRMRkkn37 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。38 二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22nxxnx mcnmkn 則令有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。39 其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形

17、、小阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率則時(shí)設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn40 衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：(1) 振動(dòng)周期變大，振動(dòng)周期變大， 頻率減小頻率減小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比有阻尼自由振動(dòng)：當(dāng) 時(shí)，可以認(rèn)為nn1TTdnd 222111ndddffTT41 (2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減 對(duì)數(shù)減縮率212lnln21dnTiinTeAAd2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkcc2)(000tnxxxexnt)

18、, , 0(00 xxxxt 時(shí)ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相鄰兩次振幅之比42 可見，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。 )(222221 tn tnntnneCeCex代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時(shí)220022222022012)( ; 2)(nnnnnxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、過阻尼（大阻尼）情形、過阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的增長，x 0，不具備振動(dòng)特性。43 例例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系

19、數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc44 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡諧激振力： H力幅； 激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、

20、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解45 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解為：穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡諧振動(dòng)。2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。46(1) =0時(shí)kHhbn20 (2) 時(shí)，振幅b隨 增大而增大；當(dāng) 時(shí)，n

21、 bn(3) 時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨 增大而減小； 0 ; , 20bbbn時(shí)時(shí) 振幅比或稱動(dòng)力系數(shù) 頻率比 曲線 幅頻響應(yīng)曲線 （幅頻特性曲線）147 4、共振現(xiàn)象 , 時(shí)nb，這種現(xiàn)象稱為共振。此時(shí)，)cos(2tBtxn)cos(2 2 , 2 2ttbxthbhBnnnn48 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin , , tHxckxxmsin 將上式兩端除以m ，并令mHhmcnmkn ; 2 ; 2thxxnxnsin22 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。21xxx49 x1是齊次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角振動(dòng)微分方程的全解為)sin()sin(22tbtAexnnt 衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)50 振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程瞬態(tài)過程。僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nnnbb ; , 0令 頻率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg; 4)1