高考數學復習統計與統計案例、概率第3節(jié)變量間的相關關系與統計案例

1、最新考綱1.會作兩個有關聯變量的數據的散點圖,會利用散點圖認識變量間的相關關系;2.了解最小二乘法的思想,能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數公式不要求記憶);3.了解獨立性檢驗(只要求22列聯表)的基本思想、方法及其簡單應用;4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.1.相關關系與回歸分析回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法;判斷相關性的常用統計圖是:;統計量有相關系數與相關指數.(1)在散點圖中,點散布在從到的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為正相關.(2)在散點圖中,點散布在從到的區(qū)域,兩個變量的這種相關關系稱為負相關

2、.(3)如果散點圖中點的分布從整體上看大致在 附近,稱兩個變量具有線性相關關系.知知 識識 梳梳 理理散點圖左下角右上角左上角右下角一條直線2.線性回歸方程距離的平方和斜率3.回歸分析(1)定義:對具有的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心:對于一組具有線性相關關系的數據(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中稱為樣本點的中心.相關關系(3)相關系數當r0時,表明兩個變量;當r0時,表明兩個變量.r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性.r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常|r|大于時,認為兩個變量有很強的線性相關性.(4)相關

3、指數:R2.其中 是殘差平方和,其值越小,則R2越大(接近1),模型的擬合效果越好.正相關負相關越強0.754.獨立性檢驗(1)利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量”的方法稱為獨立性檢驗.(2)列聯表:列出的兩個分類變量的頻數表,稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數列聯表(22列聯表)為則隨機變量K2 ,其中n為樣本容量. y1y2總計x1abx2cdcd總計 acabcd有關系a+bb+dabcd1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系.()(2)通過回歸直線方程 可以估計

4、預報變量的取值和變化趨勢.()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程,所以沒有必要進行相關性檢驗.()(4)事件X,Y關系越密切,則由觀測數據計算得到的K2的觀測值越大.()答案(1)(2)(3)(4)診診 斷斷 自自 測測2.(必修3P90例題改編)某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析,所得數據如表:答案Cx68 10 12y23563.兩個變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個不同模型,它們的相關指數R2如下,其中擬合效果最好的模型是()A.模型1的相關指數R2為0.98B.模型2的相關指數R2為0.80C.模型3的相關指數R2為0.50D.模型4的相關指數R

5、2為0.25解析在兩個變量y與x的回歸模型中,它們的相關指數R2越近于1,模擬效果越好,在四個選項中A的相關指數最大,所以擬合效果最好的是模型1.答案A4.(2015全國卷)根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結論不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關解析對于A選項,由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多,故A正確.對于B選項,由圖知,由2006年到2007年矩形高

6、度明顯下降,因此B正確.對于C選項,由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外,其余年份都是逐年下降的,所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關,D不正確.答案D5.為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系,現隨機抽取50名學生,得到如下22列聯表: 理科 文科男1310女720解析K2的觀測值k4.844,這表明小概率事件發(fā)生.根據假設檢驗的基本原理,應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立,并且這種判斷出錯的可能性約為5%.答案5%考點一相關關系的判斷考點一相關關系的判斷【例1】 (1)已知變量x和y近似滿足關系式y0.1x1,變量y與z正相關.下列結論

7、中正確的是()A.x與y正相關,x與z負相關B.x與y正相關,x與z正相關C.x與y負相關,x與z負相關D.x與y負相關,x與z正相關(2)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A,B兩變量的線性相關性做試驗,并用回歸分析方法分別求得相關系數r與殘差平方和m如下表:則哪位同學的試驗結果體現A,B兩變量有更強的線性相關性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 甲乙丙丁r0.82 0.78 0.69 0.85m106115124103解析(1)由y0.1x1,知x與y負相關,即y隨x的增大而減小,又y與z正相關,所以z隨y的增大而增大,減小而減小,所以z隨x的增大而減小,x與z負相關.(2)在驗證兩個變量之間的

8、線性相關關系時,相關系數的絕對值越接近于1,相關性越強,在四個選項中只有丁的相關系數最大;殘差平方和越小,相關性越強,只有丁的殘差平方和最小,綜上可知丁的試驗結果體現了A,B兩變量有更強的線性相關性.答案(1)C(2)D【訓練1】 (1)某公司在2018年上半年的收入x(單位:萬元)與月支出y(單位:萬元)的統計資料如下表所示:根據統計資料,則()A.月收入的中位數是15,x與y有正線性相關關系B.月收入的中位數是17,x與y有負線性相關關系C.月收入的中位數是16,x與y有正線性相關關系D.月收入的中位數是16,x與y有負線性相關關系月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314

9、.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18(2)x和y的散點圖如圖所示,則下列說法中所有正確命題的序號為_.答案(1)C(2)考點二線性回歸方程及應用考點二線性回歸方程及應用【例2】 (2015全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1,2,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.【訓練2】 (2018日照調研)某地隨著經濟的發(fā)展,居民收入逐年增長

10、,下表是該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額),如下表1:為了研究計算的方便,工作人員將上表的數據進行了處理,tx2 012,zy5得到下表2:年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810表1時間代號t12345z01235表2所以預測到2022年年底,該地儲蓄存款額可達15.6千億元.考點三獨立性檢驗考點三獨立性檢驗【例3】 (2017全國卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”,估計A的概率;

11、(2)填寫下面列聯表,并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關;(3)根據箱產量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附: 箱產量6.635,故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關. 箱產量50 kg箱產量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466(3)箱產量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高.因此,可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.【訓練3】 (2018合肥質檢)某校在高一年級學生中,對自然科學類、社會科學類校本選修課程的選課意向進行調查. 現從高一年級學生中隨機抽取180名學生,其中男生105名;在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45名.(1)試問:從高一年級學生中隨機抽取1人,抽到男生的概率約為多少?(2)根據抽取的180名學生的調查結果,完成下面的22列聯表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關? 選擇自然科學類選擇社會科學類合計男生 女生 合計 P(K2k0)0.5000.4000.250 0.15