數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題課件

1、數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題1 在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分方程解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分方程的解的解2數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 積分變換法積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積解方法對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直

2、至化為常微分方程，這就分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，這就使問題得到大大簡化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏微分方程使問題得到大大簡化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏微分方程的解積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方的解積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為程等）中亦具有廣泛的用途尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決

3、方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解利用積分變得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的量法不能得到的3數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 特別是特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積分變換來，用積分變換來 求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：用積分變換求解定解問題的步驟為： 第一第一：根據(jù)自變量的

4、：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件變化范圍和定解條件確定選擇適當(dāng)確定選擇適當(dāng)?shù)牡姆e分變換積分變換；對(duì)于自變量在對(duì)于自變量在 (,) 內(nèi)變化的定解問題內(nèi)變化的定解問題（如無界域（如無界域的坐標(biāo)變量）常采用的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換傅氏變換，而自變量在，而自變量在 (0,)內(nèi)變化內(nèi)變化的定解問題（如時(shí)間變量）常采用的定解問題（如時(shí)間變量）常采用拉氏變換拉氏變換 4數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 第二第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量含兩個(gè)自變量的偏微分的偏微分方程化為方程化為一個(gè)含參量一個(gè)含參量的常微分方程；的常微分方程； 第三第三：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，

5、導(dǎo)出常微分方程的定解：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定解條件；條件； 第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；，即為原定解問題的變換； 第五第五：對(duì)所得解取：對(duì)所得解取逆變換逆變換，最后得，最后得原定解問題的解原定解問題的解5數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 用用分離變量法求解有限空間的定解問題分離變量法求解有限空間的定解問題時(shí)，所得到時(shí)，所得到 的的本本征值譜征值譜是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的傅里傅里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解問題時(shí)，所對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解

6、問題時(shí)，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對(duì)連續(xù)本征對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分值求積分的傅里葉積分 因此，對(duì)于因此，對(duì)于無限空間的定解無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法本節(jié)將通過幾個(gè)例子說明運(yùn)用傅里葉變換適用的求解方法本節(jié)將通過幾個(gè)例子說明運(yùn)用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個(gè)重要的解的公式并給出幾個(gè)重要的解的公式 6數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)下面的討論我們假設(shè)待

7、求解的函數(shù) u及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的 . .12.1.1 12.1.1 弦振動(dòng)問題弦振動(dòng)問題例例1 求解無限長弦的自由振動(dòng)定解問題求解無限長弦的自由振動(dòng)定解問題（假定假定：函數(shù)：函數(shù) u及其及其一階導(dǎo)數(shù)是有限一階導(dǎo)數(shù)是有限的的) ) 2000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux 7數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e簡化表示為簡化表示為 ( , )( , )u x tUtF對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為( )( ) ( )( )xxFF

8、解解 應(yīng)用傅里葉變換，即用應(yīng)用傅里葉變換，即用 i xe遍乘定解問題中的各式，遍乘定解問題中的各式，并對(duì)并對(duì)空間變量空間變量x積分積分（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)傅氏變換對(duì)： 8數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題于是原定解問題變換為下列于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題常微分方程的定解問題222200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解為上述常微分方程的通解為ii( , )( )( )atatUtAeBe代入代入初始條件初始

9、條件可以定出可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa9數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題這樣這樣iiii1111( , )( )( )( )( )22i22i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeeaaatata 最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作并作逆傅氏變換逆傅氏變換應(yīng)用應(yīng)用延遲定理和積分延遲定理和積分定理得到定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式. .10數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 為了說明

10、為了說明傅氏變換法解非齊次方程傅氏變換法解非齊次方程特別簡便，我們特特別簡便，我們特舉一舉一強(qiáng)迫弦振動(dòng)強(qiáng)迫弦振動(dòng)問題：問題： 求解無限長弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題求解無限長弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 解解根據(jù)與例根據(jù)與例1 1 相同的方法，相同的方法，作傅氏變換作傅氏變換例例2 2 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF11數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微

11、分方程的問題常微分方程的問題222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt 上述問題的解為上述問題的解為 01( )( , )( , )sin()d( )cos()sin()tUtFa tata taa 利用利用傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì)有有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf FF12數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題i()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx

12、 atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatxata 故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F13數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題12.1.2 12.1.2 熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題例例 3 求解無限長細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題求解無限長細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題200, (,0)|( ) txxtua uxtux 解解 作傅氏變換作傅氏變換 ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解問題變換為定

13、解問題變換為22( , )0( ,0)( )Ua UtU14數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題常微分方程的初值問題的解是常微分方程的初值問題的解是 22( , )( )a tUte 再進(jìn)行逆傅里葉變換，再進(jìn)行逆傅里葉變換，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交換積分次序交換積分次序22i ()1( , )( )d d2a txu x tee 15數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題引用積分公式引用積分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用積分公式，即以便利用積分公式，即得到得到22()

14、41( , )( )d2xa tu x teat 16數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題例例4 求解無限長細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題求解無限長細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 解解 利用利用 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF對(duì)定解問題作對(duì)定解問題作傅氏變換傅氏變換，得到常微分方程的定解問題，得到常微分方程的定解問題 22( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU 上述問題的解為上述問題的解為2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe

15、 17數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題為了求出上式的逆變換，利用下面為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式傅氏變換的卷積公式，即，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF則則 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF而積分而積分 222i211dexp242atxxea tat即為即為 222121exp42atxea tatF最后得到定解問題的解為最后得到定解問題的解為2222()()t4 ()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 18數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題12.1.3 12.1.3

16、 穩(wěn)定場問題穩(wěn)定場問題 我們先給出求半平面內(nèi)我們先給出求半平面內(nèi) (0)y 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換邊值問題的傅氏變換系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進(jìn)系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進(jìn)行比較）行比較）例例 5 5 定解問題定解問題x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 解解 對(duì)于變量對(duì)于變量 x作作傅氏變換傅氏變換，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xFFF19數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題定解問題變換為常微分方程定解問題變換為常微分方程 222( , ) 0,( ,0)

17、( )lim ( , ) 0UUyyUFUy因?yàn)橐驗(yàn)?可取正、負(fù)值，所以可取正、負(fù)值，所以常微分定解問題的通解常微分定解問題的通解為為 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe因?yàn)橐驗(yàn)?lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解為常微分方程的解為| |( , )( )yUyFe設(shè)設(shè) | |( , )yGye20數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題根據(jù)傅氏變換定義，根據(jù)傅氏變換定義， | |ye的的傅氏逆變換傅氏逆變換為為0| |iii22011111ddd 222ii()yxyxyxyeeeey x y xxy再利用再利用卷積公式卷積公式

18、 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到原定解問題的解原定解問題的解為為22( )( , )d()yfu x yxy容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式21數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題例例6 6 如果定解問題為下列第二邊值問題如果定解問題為下列第二邊值問題x0 (,0)( ,0)( ) lim( , )0 xxyyyuuxyuxf xu x y 解解 令令 ( , )( , ),yx yux yv即即 0( , )( , )dyyu x yxv容易得到容易得到 ( , )x yv滿足定解問題為滿足定解問題為x0

19、(,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyxyxf xx y vvvv22數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題則根據(jù)上述則根據(jù)上述穩(wěn)定場第一邊值問題公式穩(wěn)定場第一邊值問題公式22( )( , )d()yfx yxyv故得到故得到0002222221( )( , )( , )ddd()1d( )d()1( )ln()d( )yyyyyyfu x yxxfxfxyx v23數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題24數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 本節(jié)介紹另一種變換法：本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法求解定解問題求解定解問題 12.2.1 12.2.1 無界

20、區(qū)域的問題無界區(qū)域的問題例例12.2.1 12.2.1 求解無限長細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題求解無限長細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (12.2.1)(12.2.1)12.2 拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題由于要作由于要作傅氏變換的函數(shù)傅氏變換的函數(shù)必須定義在必須定義在 ),(上，故當(dāng)上，故當(dāng)我們討論我們討論 半無界問題半無界問題時(shí)，就不能對(duì)變量時(shí)，就不能對(duì)變量x作傅氏變換了作傅氏變換了 25數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf

21、x tF x pLL ( , )( , )( ,0) (12.2.2)tu x tpU x pu xL由此由此原定解問題中的泛定方程原定解問題中的泛定方程變?yōu)樽優(yōu)?22222d11( )( , )0 (12.2.3)dUpUxF x pxaaa對(duì)方程對(duì)方程(12.2.3)(12.2.3)實(shí)施傅氏逆變換來進(jìn)行求解實(shí)施傅氏逆變換來進(jìn)行求解. .利用利用傅氏逆變換公式傅氏逆變換公式1222b xbebF【解】【解】 先對(duì)時(shí)間先對(duì)時(shí)間 t作作拉氏變換拉氏變換 26數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題以及卷積定理以及卷積定理-1( ) ( )() ( )dFGf xgF得方程得方程(12.2.3)(1

22、2.2.3)的解為的解為11( , )( )d( , )d22ppxxaaU x peFpea pa p (12.2.4)(12.2.4)(12.2.4)(12.2.4)式作式作拉氏逆變換拉氏逆變換, ,并查閱拉氏變換表，并查閱拉氏變換表， 得得原定解問題原定解問題(12.2.1)(12.2.1)的解的解為為222201()( , )( )expd421() ( , )expd d (12.2.5)4()2()txu x ta tatxfa tat 27數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題2 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq

23、tu x tMxt (12.2.6)解首先作變量解首先作變量 t的的拉氏變換拉氏變換 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ()( ) tu xtU x pu xtpU x pu xqtQpLLL原定解問題即為原定解問題即為12.2.212.2.2半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 2 求定解問題求定解問題28數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題222d( , ) 0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式的解為式的解為( , )( )( ) (12.2

24、.9)ppxxaaU x pC peD pe( , ) (0)u x pMx ( )0 (12.2.10)D p 29數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)pxaaU x pQ p ep由于由于221411 (12.2.13)xpxaa teeptL及拉氏變換的卷積定理及拉氏變換的卷積定理10 ( ) ( )( ) ()d (12.2.14)tF p G pfg tL最后最后, ,得得原定解問題的解原定解問題的解為為224()0( , )( )d (12.2.15)()xtatau x tqet30數(shù)

25、學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題2 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt 【解解】首先作變量首先作變量 t的的拉氏變換拉氏變換 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (12.2.7) ( )( ) tu x tU x pu x tpU x pu xq tQ pLLL原定解問題即為原定解問題即為222d( , )0 d(0, )( ) , ( , ) (12.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM12.2.212.2.2半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 2 求定解問題求定解問題31數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題易得到易得到(12.2.8)(12.2.8)式的解為式的解為( , )( )( ) (12.2.9)ppxxaaU x pC p eD p e因?yàn)橐驗(yàn)?( , ) (0)u x pMx 所以所以( ) 0 (12.2.10)Dp 又又 (0, )( ) (12.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (12.2.12)pxaaU x pQ p ep 32數(shù)學(xué)物理方法13積分變換法求解定解問題利用利用221411 (12.2.13)xpx