第自動控制原理課件三章

1、3-5 高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)兩種處理方法：兩種處理方法：1.通過因式分解，把高階系統(tǒng)分解為若干個低通過因式分解，把高階系統(tǒng)分解為若干個低階系統(tǒng)的組合，其過渡過程是各分曲線量的疊階系統(tǒng)的組合，其過渡過程是各分曲線量的疊加；加；2.通過降階，把高階系統(tǒng)近似表示為低階（一、通過降階，把高階系統(tǒng)近似表示為低階（一、二階加純滯后）系統(tǒng)。二階加純滯后）系統(tǒng)。3.5.1典型三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)傳遞函數(shù)：)1)(2()(222 Tssssnnn 221nnjp當(dāng) 0 0 時，系統(tǒng)的極點具有時，系統(tǒng)的極點具有負實部負實部，系統(tǒng)過渡過程是，系統(tǒng)過渡過程是衰衰減減的，系統(tǒng)是的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的穩(wěn)定的；0

2、時，系統(tǒng)極點是時，系統(tǒng)極點是純虛數(shù)純虛數(shù)，過渡過程，過渡過程等幅振蕩等幅振蕩，系統(tǒng)處于系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)；0 時，系統(tǒng)特征根具有時，系統(tǒng)特征根具有正實部正實部，過渡過程，過渡過程曲線發(fā)曲線發(fā)散散，系統(tǒng)，系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定。122, 1 nns推廣結(jié)論：推廣結(jié)論：q 解析方法解析方法 求解系統(tǒng)的特征方程求解系統(tǒng)的特征方程q 高階系統(tǒng)求解困難高階系統(tǒng)求解困難q 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件是系統(tǒng)特征根是系統(tǒng)特征根（極點）（極點）全部全部具有負實部。具有負實部。 二、勞斯二、勞斯(E. J. Routh)穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)的特征方程式為：已知系統(tǒng)的特

3、征方程式為：)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1)(1) 系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正 必要條件必要條件；(2) 勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正 充分條件充分條件；(3) 第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)等于實部為正的根第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)等于實部為正的根的個數(shù)。的個數(shù)。0).()(.21001101 nnnnnpspspsaasaasaas)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1)式中 （當(dāng) 時，可將方程兩邊同乘以-1）。若該方程的特征根為 （1,2,.n）,該n個根可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則式（3

4、-6-1）可改寫成為：00 a00 aip將上式展開：將上式展開：)(1321101nnniippppppaa)nnjijijippppppppppaa )()1()1(132110nnnniinnppppppaa )(1321101nnniippppppaa )nnjijijippppppppppaa )()1()1(132110nnnniinnppppppaa 0)32)(32)(3)(2)(1(.001101 jsjssssaasaasaasnnnn l l 根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)

5、定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用可以使用勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)。)0(01110 nnnnnaasasasa(3-6-1),2, 1 ,0(0niai l l 由此可見，如果特征方程的根由此可見，如果特征方程的根 都具有負實部都具有負實部，則式（，則式（3-29）的所有系

6、數(shù)）的所有系數(shù) 必然都大于零。故必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正，即即naaa,10nppp,21勞斯行列式：勞斯行列式：0432143214321753164204321sddddccccbbbbaaaaaaaasssssnnnnn ,130211aaaaab ,150412aaaaab ,170613aaaaab ,121311bbaabc ,121211ccbbcd ,131512bbaabc ,141713bbaabc ,131312ccbbcd 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中系統(tǒng)

7、特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號。第一列的系數(shù)全為正號。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：勞斯穩(wěn)定判據(jù)：0122110 nnnnnasasasasa l l 系數(shù)的計算一直進行到其余的系數(shù)的計算一直進行到其余的b值全部等于零為止。用同樣的前兩值全部等于零為止。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計算行系數(shù)交叉相乘的方法，可以計算下面下面c , d, e , f , g各行的系數(shù)。各行的系數(shù)。 l l 這個計算過程一直進行到這個計算過程一直進行到n+1行為止。為了簡化運算，可以用一行為止。為了簡化運算，可以用一個正整數(shù)去乘或除其一行的各項，個正整數(shù)去乘或除其一行的各項，這將不改變穩(wěn)定

8、性的結(jié)論。這將不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。例例3-6-1 利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 102118712)()(234 ssssssXsY解：解： 它的特征方程式是：它的特征方程式是： 01021187234 ssss特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式：勞斯行列式： 勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實際上該系統(tǒng)的實際上該系統(tǒng)的4個根為：個根為： jsss73. 015. 1,76. 2,94. 14,321 01234sssss0

9、217101810100001010517157105由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個正數(shù)不會改有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個正數(shù)不會改變第一列系數(shù)的符號，所以為簡化運算，常把勞斯表的變第一列系數(shù)的符號，所以為簡化運算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運算。本例中，勞某一行同乘以以一個正數(shù)后，再繼續(xù)運算。本例中，勞斯表可按如下方法計算：斯表可按如下方法計算：勞斯行列式：勞斯行列式： 01234sssss)105()7(010001715070105 由于第一列系數(shù)的符號相同

10、，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。217181010例例3-6-2 若一系統(tǒng)的特征方程為：若一系統(tǒng)的特征方程為： 05432234 ssss利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解：解：列寫勞斯行列式：列寫勞斯行列式： 該系統(tǒng)的特征方程式有兩個實部為正的特征根，該系統(tǒng)的特征方程式有兩個實部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的系統(tǒng)的4個根為：個根為：jsjs42. 19 . 2,87. 029. 14,32, 1 符號改變一次符號改變一次 符號改變一次符號改變一次 01234sssss04253105

11、006051 02120 asasa012sss21200abaaa 0, 0, 0210 aaa0322130 asasasa0123ssss00311302113120acaaaaabaaaa 30213210, 0, 0, 0, 0aaaaaaaa 幾種特殊情況幾種特殊情況（1）第一列有零值出現(xiàn)）第一列有零值出現(xiàn)q 用一很小的正數(shù)用一很小的正數(shù)來代替這個零，并繼續(xù)勞斯行列式來代替這個零，并繼續(xù)勞斯行列式的計算；的計算；q 當(dāng)?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶?，令?dāng)?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶螅?，檢驗第一列的，檢驗第一列的符號變化次數(shù)；符號變化次數(shù)；q 若符號沒有發(fā)生變化，則說明系統(tǒng)具有一對純虛根若符號

12、沒有發(fā)生變化，則說明系統(tǒng)具有一對純虛根,可可利用輔助方程求出；利用輔助方程求出；q若符號發(fā)生變化，符號變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不若符號發(fā)生變化，符號變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個數(shù)。穩(wěn)定根的個數(shù)。例例3-6-3 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程,02223 sss判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：勞斯行列式：勞斯行列式： 01232211ssss上下符號相同，說明系統(tǒng)有一對共軛虛根。上下符號相同，說明系統(tǒng)有一對共軛虛根。,022)(2 ssp通過解輔助方程通過解輔助方程。js 可知，可知， 02例例3-6-4 015106322345 sssss試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為

13、：試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：解：計算勞斯行列式如下：計算勞斯行列式如下：15621031012345ssssss首列整理為首列整理為:1510/25/521012345 ssssss系統(tǒng)有二個實部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)有二個實部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 方程解為：方程解為： 1.3690j 0.9073- -1.84231.5272j 0.82844,532, 1 s ss15151012302530562 05/2 符號改變一次符號改變一次 符號改變一次符號改變一次 （2）某行的系數(shù)都為零）某行的系數(shù)都為零l l 表明系統(tǒng)具有成對的實根或共軛復(fù)根，這些根表明

14、系統(tǒng)具有成對的實根或共軛復(fù)根，這些根 大小相等，符號相反；大小相等，符號相反；l l 利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項式利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項式 P（s），然后由），然后由 的系數(shù)代替零行，繼續(xù)的系數(shù)代替零行，繼續(xù) 勞斯行列式的計算；勞斯行列式的計算；dssdP)(l l 輔助多項式為系統(tǒng)特征多項式的因子式，可以輔助多項式為系統(tǒng)特征多項式的因子式，可以 通過求解輔助方程求出那些對根。通過求解輔助方程求出那些對根。例例3-6-5 05025482422345 sssss試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為：試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為： 解：解：計算勞斯行列式計算勞

15、斯行列式0123455048225241ssssss 輔助方程式為：輔助方程式為： 050482)(24 sssP00求求p(s)對對s 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù):ssdssdP968)(3 導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代入導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代入s3 行。行。896507 .1125024 0161620128223456ssssss)2)(5)(5)(1)(1( sjsjsss原原方方程程5007 .1125024)96(0)8(05048225241012345 ssssssjss5, 1 例例3-6-5 可利用輔助方程求出那些大小相等，符號相反的根：可利用輔助方程求出那些大小相等，符號相反的根： 50482)(24

16、sssP行列式第一列系數(shù)符行列式第一列系數(shù)符號變化一次，號變化一次，說明系統(tǒng)有一個正實說明系統(tǒng)有一個正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。0)1)(25(22 ss輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個因子式。輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個因子式。勞斯表出現(xiàn)全零行勞斯表出現(xiàn)全零行: :系統(tǒng)在系統(tǒng)在s s平面有對稱分布的根：平面有對稱分布的根：大小相等符號相反的實根大小相等符號相反的實根共軛虛根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根 j0 j0 j0三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響、分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)

17、穩(wěn)定性的影響例例3-6-6 控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示，確定能保證該控制系統(tǒng)方塊圖如圖所示，確定能保證該系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。值范圍。KssssKsXsY )2)(1()()(2解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：X(s)Y(s)2)(1(2 ssssK其特征方程為：其特征方程為：0233234 Kssss其勞斯行列式為：其勞斯行列式為：02331K為使系統(tǒng)穩(wěn)定，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K必須大于零，同時還必須滿足必須大于零，同時還必須滿足:, 0279 K914 K即即01234sssssKKK)7/9(23/7 因此，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的因此，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是值范圍是。9/14

18、0 K(2) 若要求閉環(huán)極點全部位于若要求閉環(huán)極點全部位于s = -1垂線的左側(cè)，求垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。的取值范圍。例例3-6-7 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )177()(20 sssKsG確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，并求振蕩的取值，并求振蕩 頻率。頻率。分析：分析： (1) 若使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則必有一對虛根存在。系若使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，則必有一對虛根存在。系統(tǒng)的振蕩頻率就是此根的虛部值。統(tǒng)的振蕩頻率就是此根的虛部值。1 ss (2) 只要把虛部向左平移只要把虛部向左平移1，構(gòu)成新的，構(gòu)成新的s 復(fù)平面復(fù)

19、平面: 用勞斯判據(jù)求出所有落在用勞斯判據(jù)求出所有落在s平面的根對應(yīng)的平面的根對應(yīng)的K值。值。-10確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K的取值，確定振蕩頻率。的取值，確定振蕩頻率。解：解： （1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) )(1)()(00sGsGs KsssK 17723勞斯行列式：勞斯行列式： 007K11971710123KssKss ,07119 K令令由全為零的上一行組成輔助方程：由全為零的上一行組成輔助方程：則則K=119。07)(2 KssP可求出：可求出：。17,17,172njss（振蕩頻率）（振蕩頻率）)177()(20 sssKsG119 0解解：（

20、：（2） 代入閉環(huán)特征方程：代入閉環(huán)特征方程： ,1 ss令令, 0)1(17)1(7)1(23 Ksss0116423 Ksss勞斯行列式：勞斯行列式：01104K35114610123 KssKss,011035 kK令令則有則有11K35。當(dāng)當(dāng)11K35時，所有閉環(huán)極點落在時，所有閉環(huán)極點落在s=-1垂線左側(cè)。垂線左側(cè)。 (2) 若要求閉環(huán)極點全部位于若要求閉環(huán)極點全部位于s = -1垂線的左側(cè)，求垂線的左側(cè)，求K的取值范圍。的取值范圍。 KsssKs 177)(23 例例3-6-8 粗略畫出特征方程粗略畫出特征方程05025482422345sssss所對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線所對應(yīng)的階躍響

21、應(yīng)曲線y(t)。分析：此題主要考察對勞斯穩(wěn)定判據(jù)的掌握情況及分析：此題主要考察對勞斯穩(wěn)定判據(jù)的掌握情況及特征方程的特征根的分布與過渡過程的關(guān)系。特征方程的特征根的分布與過渡過程的關(guān)系。勞斯行列式：勞斯行列式： 05007 .112050240)96(0)8(05048225241012345ssssss根據(jù)勞斯判據(jù)：根據(jù)勞斯判據(jù)：勞斯行列式中第一列某行為零，且上下符號相同，勞斯行列式中第一列某行為零，且上下符號相同， 說明有一對虛根存在，輸出分量曲線呈等幅振蕩。說明有一對虛根存在，輸出分量曲線呈等幅振蕩。行列式首列中，存在負系數(shù)，說明有正實根，系行列式首列中，存在負系數(shù)，說明有正實根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。統(tǒng)不穩(wěn)定。解解:第一列系數(shù)符號改變一次，說明有一個正實根存第一列系數(shù)符號改變一次，說明有一個正實根存 在，輸出分量曲線呈發(fā)散振蕩狀態(tài)。在，輸出分量曲線呈發(fā)散振蕩狀態(tài)。根據(jù)以上三條，根據(jù)以上三條， 判定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線為判定系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)單調(diào)發(fā)散振蕩曲線。發(fā)散振蕩曲線。1ty(t) 在系統(tǒng)的分析中，勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特