常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積R正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 形的面積形的面積n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出設(shè)有數(shù)列un:u1, u2, , un, , 則稱表達(dá)式nnnuuuu211為一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù). 其中， un稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).例例1. 下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)； 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1nnu的前n項(xiàng)之和：,211nn

2、kknuuuuS稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和.若SSnnlim存在，則稱級(jí)數(shù)1nnu收斂，S稱為級(jí)數(shù)的和：.1Sunn觀察雪花分形過(guò)程觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為設(shè)三角形設(shè)三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為面積為面積為)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉次分叉：n于是有于是有 nnPlim)9413

3、11(lim1 AAnn.532)531(1 A結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）例例2. 討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.11nnar解解：等比級(jí)數(shù)的部分和為：.1)1 (1111rrarraraarSnnnkkn當(dāng)公比 | r |1時(shí)，.1)1 (limlimrraSnnnn當(dāng)公比 r =1時(shí)，naSnnnlimlim當(dāng)公比 r = 1時(shí)，Sn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù), 故不存在.nnSlim 綜上所述，當(dāng)公比| r |1時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)公比| r |1時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散.例例3. 討論級(jí)數(shù)的斂散性.

4、1) 12)(12(1nnn解：解：12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n而21121121limlimnSnnn故，即該級(jí)數(shù)收斂.21) 12)(12(11nnn收斂級(jí)數(shù)稱為收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為1nnu的和S與其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr顯然. 0limnnr：若級(jí)數(shù)1nnu收斂，則必有. 0limnnu 設(shè)SSSunnnnlim ,1則)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件例例4. 判別的斂散性.111) 1(nnnn解解：由

5、于, 11) 1(lim|lim1nnunnnn故該級(jí)數(shù)發(fā)散., 0limnnu例例5. 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.11nn證證 調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和有：， 11S，211122 SS，221212114131211224 SS328SS 2312121211817161514131211由數(shù)學(xué)歸納法，得，212kSk k=0, 1, 2, 而21limlim2kSkkk故 nnSlim不存在，即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 若c0為常數(shù)，則1nnu與1nncu有相同的斂散性，且.11nnnnuccu四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)四、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)證證1nnu的部分和為，nkknuS11nncu的部分和為,11nnkknkkn

6、cSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim從而同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.11nnnnuccu若收斂，與11nnnnvu其和分別為S1和S2，則級(jí)數(shù),)(1也收斂nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn證證1)(nnnvu的部分和為：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn即 級(jí)數(shù)1)(nnnvu收斂，且.)(21111SSvuvunnnnnnn例例6. 因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)收斂，與113121nnnn所以級(jí)數(shù).31211也收斂nnn例例7. 問(wèn)題

7、(1) 一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問(wèn)題(2) 兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定. 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后，所得到的新的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同. (但對(duì)收斂級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，它的和將改變.)證證 設(shè)級(jí)數(shù)1nnu的部分和為Sn,去掉級(jí)數(shù)的前面m項(xiàng)后得到的級(jí)數(shù)1mkku的部分和為S k:kmmmkuuuS21)( )(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS由于Sm當(dāng)m固定時(shí)為一常數(shù)，所以mkmkkkSSSlimlim故 級(jí)數(shù)1nnu與級(jí)數(shù).1有相同的斂散性mkku 對(duì)收斂的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.例例

8、8. 考慮一下幾個(gè)問(wèn)題：(1) 收斂的級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2) 發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3) 如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)仍發(fā)散，原級(jí)數(shù)是否也發(fā)散？答：原級(jí)數(shù)也發(fā)散.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nun 五、級(jí)數(shù)收斂的必要條件五、級(jí)數(shù)收斂的必要條件注意注意1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例例如如

9、發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .lim0,nnu雖然有但級(jí)數(shù)不收斂. n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散)(210 n便便有有.這這是是不不可可能能的的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng) 項(xiàng)m221每每項(xiàng)項(xiàng)均均大大于于21)1(1 mm項(xiàng)大于項(xiàng)大于即前即前.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. .思考題思考題 設(shè)設(shè) 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？思考題解答思考題解答能能由極限的夾逼準(zhǔn)則即知由極限的夾逼準(zhǔn)則即知課堂