十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)學習教案

1、會計學1十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)第一頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。上每一點上收斂。這時在數(shù)集上每一點都收斂，則稱DDED) 1 (.) 1 (,)(,的極限函數(shù)稱為數(shù)列上的函數(shù)定的，由這個對應(yīng)法則所確的一個極限值與之對應(yīng)都有Dxfxn，則有若把此極限函數(shù)記作f),()(limxfxfnnDx或)()(xfxfn.),(Dxn第1頁/共19頁第二頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。時，使得當恒存在正數(shù)任給正數(shù)定義：對每一固定的函數(shù)列極限NnNDxN, 總有)()(xfxfn例例,),(, 2 , 1,)(上的函數(shù)列為定義在設(shè) nxxfnn證明它的收斂且有極限函數(shù)域是

2、,1 , 1(1, 11, 0)(xxxf證證:時，由于，當不妨設(shè)任給10) 1( , 0 x時，就有當只要取),(,lnln),(,)()(xNnxxNxxfxfnn)()(xfxfn(3)第2頁/共19頁第三頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。 , 1 , 1, 1 , 1都有時，則對任何正整數(shù)或當,10nxx0) 1 () 1 (,0)0()0(ffffnn 式所表示的極限函數(shù)上收斂，且有在這就證得)3( 1 , 1(nf時，對應(yīng)的數(shù)列為當時，則有當1,1xxxn它顯然是發(fā)散的,所以函數(shù)列 外都是發(fā)散的。在區(qū)間 1 , 1(nx),(,sin)(xnnxxfn),()(xf例例2 2 設(shè)

3、 證明它的收斂域為極限函數(shù)為 =0。證：證：由于對任何實數(shù)都有,1sinnnnx 故，對任意給定的1, 0Nn只要，就有第3頁/共19頁第四頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。定義定義1 總存在某上，若對任給的正數(shù)定義在同一數(shù)集與函數(shù)設(shè)函數(shù)列,Dffn,)()(,xfxfDxNnNn都有時，對一切，使得當一正整數(shù) 記作上一致收斂于在則稱函數(shù)列, fDfn)()(xfxfn.),(Dxn)(xfnnxsin),(所以數(shù)列的收斂域為無限區(qū)間為極限函數(shù)為=0。0sinnnx對于函數(shù)列，我們不僅要討論它在哪些點上收斂，而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)。比如能否由函數(shù)列每項的連續(xù)性，判斷出極限

4、函數(shù)的連續(xù)性，即下面要討論一致收斂性問題。第4頁/共19頁第五頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。,0N，對任何正整數(shù)存在某正數(shù)使得與正整數(shù)上某一點都有,NnxD.)()(0 xfxfn 我們證明它在）上收斂于，在（中知道，函數(shù)列從例. 0)(101xfxn及，取正整數(shù)對任何正數(shù)，令上不一致收斂。事實上1,21) 1 , 0(0NnNn則有),1 , 0()11 (1nnx21110nxn一致收斂于一致收斂于f 的幾何意義的幾何意義:的，對于一切序號大于存在正整數(shù)對任何正數(shù)NN,)()()(),(xfyxfyxfyxfyn為邊（即以曲線與都落在以曲線曲線的帶形區(qū)域內(nèi)為中心線，寬度為)2不一致收

5、斂于不一致收斂于f 的幾何意義的幾何意義: 某個事先內(nèi)不一致收斂，指存在在區(qū)間函數(shù)列) 1 , 0(nx為邊與不能全部地落在以多大，總有曲線，無論給定的yyNnxyNn)() 1( 函數(shù)列在函數(shù)列在D上不一致收斂的定義：上不一致收斂的定義：第5頁/共19頁第六頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。 bnbbxnlnln) 1)(, 0(213內(nèi)討論，只要只限于在區(qū)間所示，若函數(shù)列的帶形區(qū)域內(nèi)，如圖 nnxyyxy。所以為上下邊的帶形區(qū)域內(nèi)和就全部落在以，曲線其中) 10(內(nèi)是一致收斂的。在), 0(box)(xf)(xfn)(xf)(xfaby113圖2xxy1x3x213圖定理定理13.1 (

6、函數(shù)列一致收斂的柯西準則函數(shù)列一致收斂的柯西準則) 上一致收斂的充要在數(shù)集函數(shù)列Dfn都有時，對一切，使得當，總存在正數(shù)條件是：對任給正數(shù),DxNmnN)()(xfxfmn(4)第6頁/共19頁第七頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。證證: 必要性)()(xfxfn設(shè)，存在，即對任給0),(Dxn都有時，對一切，使得當正數(shù),DxNnN2)()(xfxfn就有由于是當)5(,Nmn.22)()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn充分性 上任在西準則，成立，由數(shù)列收斂的柯若條件Dfn)4(一點都收斂，記其極限函數(shù)為，讓）式中的現(xiàn)固定（nDxxf4.),(都有時，對一切于是當,DxNn

7、m.| )()(|xfxfn.),()()(1Dxnxfxfn，由定義(5)第7頁/共19頁第八頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。定理定理13.2的充要條件是：上一致收斂于在區(qū)間函數(shù)列fDfn0| )()(|suplimxfxfnDxn證證: 必要性,.),()()(則對任給的正數(shù)若Dxnxfxfn時，有，當?shù)恼麛?shù)存在不依賴于NnNx.| )()(|Dxxfxfn，由上確界的定義有| )()(|supxfxfnDx由此證得（6）式成立。充分性時，使得當存在正整數(shù)對任給由假設(shè)NnN , 0,有| )()(|supxfxfnDx總有對一切,Dx| )()(|sup| )()(|xfxfxfxf

8、nDxn由（7）式得| )()(|xfxfn.fDfn上一致收斂于在即（6）（7）第8頁/共19頁第九頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22xnnnxnxnnnxxnxfn例例3上的函數(shù)列已知定義在 1 , 0證明上不一致收斂。但在 1 , 0, 0)(limxfnn證：證：上有因此，在，就有時，只要當 1 , 0(. 0)(110 xfxnxn. 0)0(lim)0(, 0)0(. 0)(lim)(nnnnnfffxfxf于是， . 0)(lim)( 10 xfxfnn上有，在但由于 021| )()(|max

9、1 , 0 nnfxfxfnnx) (n因此 ， 該函數(shù)列在 1 , 0 上不一致收斂。第9頁/共19頁第十頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。二二. 函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性式上的一個函數(shù)列，表達是定義在數(shù)集設(shè)Exun)(Exxuxuxun ,)()()(21稱為定義在上的函數(shù)項級數(shù)， , 2 , 1, )()().()(11nExxuxSxuxunkknnnn稱或簡記為為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列。DxxuxuxuxSn ,)()()()(21級數(shù)的和函數(shù)：即DxxSxSnn),()(lim)(,00 xSExn0 x)(xun若收斂，則稱為的收斂點。若)(,00 x

10、SExn發(fā)散，則稱0 x為)(xun的收發(fā)散點。也就是說函數(shù)項級數(shù)的收斂性就是指它的部分和數(shù)列的收斂性。第10頁/共19頁第十一頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。當當;11)() 1 , 1(.11)(lim)(1|xxSxxSxSxnn內(nèi)收斂于和函數(shù)在時，當當。時，幾何級數(shù)是發(fā)散的1|x定理定理13.3（一致收斂的柯西準則）上一致在數(shù)集函數(shù)項級數(shù)Dxun)(，使得當，總存在某正整數(shù)任給的正數(shù)收斂的充要條件為：對N都有和一切正整數(shù)時，對一切, pDxNn| )()(|xSxSnpn或.| )()()(|21 xuxuxupnnn推論：推論：)()(xuDxunn列是函數(shù)上一致收斂的必要條件在

11、數(shù)集函數(shù)項級數(shù)上一致收斂于零。在D定義定義2在的部分和函數(shù)列。若是函數(shù)項級數(shù)設(shè))()()(xSxuxSnnn.)()(上一致收斂在，則稱上一致收斂于函數(shù)數(shù)集DxuxSDn例例4級數(shù)）上的函數(shù)項級數(shù)（幾何定義在),(.11)(1:2xxxSxxxnnn 的部分和函數(shù)為因為解第11頁/共19頁第十二頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。定理定理13.4的充要條件是上一致收斂于在數(shù)集函數(shù)項級數(shù))()(xSDxun. 0| )()(|suplim)(suplimxSxSxRnDxnnDxn由此可知我們來看例4中的級數(shù)11nnx若僅在-a，a（aN時，對一切Ix | )(|xvn有第16頁/共19頁第十七頁，編輯于星期一：十六點 二十四分。所以 .6)2(2)()()()(11MMxvxuxvxupnpnnn于是由一致收斂性的柯西準則，級數(shù))()(xvxunn在區(qū)間I上一致收斂 。1)() 1(nnnnnxnnnnnxxvnxu)1 ()(,) 1()(例例6 6 函數(shù)項級數(shù)在0，1上一致收斂。因為記時，由阿貝耳判別法即得結(jié)果。 nanxancos2 ,例例7 7 若數(shù)列單調(diào)且收斂于零，則級數(shù)在上一致收斂 。)0(2 ,證：證：因為在上有21