直線與平面平行的判定和性質(zhì)

1、直線與平面平行的判定和性質(zhì)【課前復(fù)習(xí)】 溫故會(huì)做了，學(xué)習(xí)新課才會(huì)有保障 1空間兩直線的位置關(guān)系有 2公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè) 平面內(nèi)，那么 答案： 1平行，相交，異面 2這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 知新先看書(shū)，再來(lái)做一做1直線 a 在平面 外是指直線 a 和平面 2直線 a 和平面的位置關(guān)系有 ，其中與統(tǒng)稱(chēng)直線在平面外， 記作3直線和平面平行的判定定理： 4直線和平面平行的性質(zhì)定理： 學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解直線與平面的三種位置關(guān)系，能用符號(hào)語(yǔ)言表示這些關(guān)系并能畫(huà)出正確的圖形；2掌握直線與平面平行的判定定理，并能 予以證明；3掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，并能 用符號(hào)語(yǔ)言表示定理的條

2、件和結(jié)論； 會(huì)用性質(zhì)定 理解決有關(guān)問(wèn)題；4提高空間想象能力，能綜合運(yùn)用知識(shí)分 析和解決問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)精講】課文全解1直線和平面的位置關(guān)系 （1）直線與平面平行的定義：一條直線和 平面沒(méi)有公共點(diǎn)（2）直線與平面的位置關(guān)系及相應(yīng)的圖形 與記法圖 9-3-1 直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)， 記作 a ，如圖 9-3-1 甲所示； 直線和平面相交有且只有一個(gè)公共 點(diǎn)，記作 aP，如圖 9-3-1 乙所示； 直線和平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)，記作 a ，如圖 9-3-1 丙所示我們把直線和平面相交以及直線和平面平 行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外，記作 a 直線和平面的位置關(guān)系可由直線與平面的 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定由公理

3、1，當(dāng)直線與平面有 兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) a ；當(dāng)直線與平面只有一個(gè)交點(diǎn) 時(shí)， a 與相交；當(dāng)直線與平面無(wú)交點(diǎn)時(shí)， a在畫(huà)圖時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 線在面內(nèi)：直線不要超出表示平面的平行 四邊形的各條邊 線面相交：交點(diǎn)到水平線這一段是不可見(jiàn) 的，注意畫(huà)成虛線或不畫(huà) 線面平行：直線要與表示平面的平行四邊 形的一組對(duì)邊平行2直線與平面平行的判定（1）直線與平面平行的定義；（2）直線與平面平行的判定定理： 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條 直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：若 a ，b ，ab，則 a直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是： 對(duì)于 平面外的一條直線， 只需在平面內(nèi)找到一條直線 和這條直

4、線平行， 就可判定這條直線必和這個(gè)平 面平行即由線線平行得到線面平行3直線和平面平行的性質(zhì)定理 如果一條直線和一個(gè)平面平行， 經(jīng)過(guò)這條直 線的平面和這個(gè)平面相交， 那么這條直線和交線 平行用符號(hào)表示為：若 a，a ， b，則 a b直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是： 已知 線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相 交，其交線必和已知直線平行即由線面平行 線線平行由線面平行 線線平行，并不意味著平面內(nèi) 的任意一條直線都與已知直線平行 正確的結(jié)論 是： a，若 b ，則 b 與 a 的關(guān)系是：異面 或平行即平面 內(nèi)的直線分成兩大類(lèi)， 一類(lèi)與 a 平行有無(wú)數(shù)條， 另一類(lèi)與 a 異面，也有無(wú)數(shù)條4判定

5、定理的證明之所以用反證法，是因 為有關(guān)直線與平面平行的概念只有一個(gè)定義， 而 定義是講直線與平面無(wú)公共點(diǎn)， 由于直線可以無(wú) 限延長(zhǎng)，平面可以無(wú)限伸展， 很難實(shí)現(xiàn)直接證明因?yàn)橐阎獥l件給出 a ，那么直線 a 與 的位置關(guān)系有兩種： a；a 與相交在 證明過(guò)程中， 作出與結(jié)論相反的假設(shè)， 即 a 與 不平行，那么可設(shè) aA，點(diǎn) A b，過(guò)點(diǎn) A在 內(nèi)作直線 cb，由 ab，則 ac，這與 a c A矛盾，所以假設(shè)不成立，從而 a附：直線與平面的位置關(guān)系圖表對(duì)比：位置關(guān) 系圖形公共點(diǎn)情 況表示方法直線在 平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè) 公共點(diǎn)a直線與 平面平 行無(wú)公共點(diǎn)a a 直線與 平面相 交有且只有 一個(gè)公共

6、點(diǎn)a A問(wèn)題全解1直線與平面的位置關(guān)系有哪些？如何判定？直線和平面的位置關(guān)系可按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)：無(wú)公共點(diǎn) 平行； 唯一公共點(diǎn) 相交； 無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 直線在平面內(nèi) 證明直線在平面內(nèi)并不用“有無(wú)數(shù)個(gè)公共 點(diǎn)”，應(yīng)用公理 1，有兩個(gè)公共點(diǎn)即可判斷直 線和平面相交的方法常用： 證明直線和平面有 且只有唯一公共點(diǎn)； 反證法； 轉(zhuǎn)化為平面問(wèn) 題等其次要會(huì)正確畫(huà)出直線和平面的位置關(guān)系 例 1求證：兩條平行線中的一條與已知 平面相交，則另一條也和該平面相交已知：直線 ab，a平面 P 求證：直線 b 與平面相交 策略：證明直線和平面相交，按定義，須證 明直線 b 和平面 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 即（1） 直線

7、b 與平面有公共點(diǎn)，（2）直線 b 和平面 只有一個(gè)公共點(diǎn) 解決方法常轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解 決，解決直線與平面相交，有時(shí)也常用反證法圖 9-3-2證明：如圖 9-3-2ab， a 與 b 確定平面 ，aP，平面 與平面 相交于過(guò) P點(diǎn)的直線，設(shè) 為l在平面 內(nèi) l 與兩條平行直線 a、b 中的 一條直線 a 相交l 必與 b 相交于 Q 即 bl Q，又因?yàn)?b 不在平面 內(nèi)，故直線 b 和平面 相交例 2已知一條直線與一個(gè)平面平行，求 證經(jīng)過(guò)這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)與這條直線平行的直 線必在這個(gè)平面內(nèi)已知：直線 a平面 ，點(diǎn) A，點(diǎn) A 直線 b，且 a b求證： b 策略：直線在平面內(nèi)的判定方法： （

8、1）公理 1；（2）直線與平面位置關(guān)系共三種，排除其中 兩種（相交、平行）即為第三種證明：（反證法）假設(shè) b ， A， Abb 和 a 相交， a，A A a，則過(guò)點(diǎn) A和 a 存在一個(gè)平面 ，即 A，a ，在內(nèi)，過(guò) A 可作直線 b，使 a b且 Ab又 a bbb 這與 bb A矛盾 b 評(píng)注：本題結(jié)論可作為直線在平面內(nèi)的又一 種判定方法2直線與平面平行的判定定理的運(yùn)用應(yīng)注 意哪些問(wèn)題？判定一條直線與平面平行除了根據(jù)定義外， 更主要是依據(jù)直線與平面平行的判定定理： 如果 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行， 那 么這條直線和這個(gè)平面平行 這個(gè)定理用符號(hào)表示為： 簡(jiǎn)稱(chēng)為“線線平行，則線面

9、平行”， 應(yīng)用此定理時(shí)， 要注意三個(gè)條件 （“內(nèi)”“外”“平 行”）必須齊備，缺一不可難點(diǎn)：是判定定理的運(yùn)用 在運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意 “內(nèi)”（平面內(nèi)的直線），“外”（平面外的直線） 二字，通過(guò)線與線的平行達(dá)到線與面的平行， 正 確理解掌握它可幫助我們建立空間概念， 形成空間想象能力例 3P 是平行四邊形 ABCD所在平面外一 點(diǎn)，Q是 PA的中點(diǎn)，如圖 9-3-3 所示求證： PC平面 BDQ策略：線線平行 線面平行，注意利用“中 點(diǎn)”證明：連 AC交 BD于 O，連 QOABCD是平行四邊形， O為 AC的中點(diǎn) 又 Q為 PA的中點(diǎn)， QO PC 顯然 QO平面 BDQ，PC 平面 BDQ PC平面

10、 BDQ評(píng)注：（1）線面平行問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為線線 平行來(lái)處理，如何尋找平行直線自然成為問(wèn)題的 關(guān)鍵這可通過(guò)聯(lián)想三角形中位線、 平行四邊形 對(duì)邊、梯形兩底邊、平行公理等來(lái)完成（2）圖中還有哪些線面平行關(guān)系？請(qǐng)讀者 自己寫(xiě)出3如何運(yùn)用直線和平面平行的性質(zhì)定理解 相關(guān)問(wèn)題？線面平行的性質(zhì)定理給我們提供了一種判 斷直線平行的方法，但要注意“線面平行 線線 平行”不是指面外直線和面內(nèi)任意一條直線都 平行，面外直線只和過(guò)此直線的平面與已知平面 的交線平行， 因此遇線面平行時(shí)， 應(yīng)著眼于過(guò)面 外線且與已知面相交的面，從而找到“交線” ， 得到線線平行例 4求證平面外的兩條平行線中的一條 平行于這個(gè)平面，那么

11、另一條也平行于這個(gè)平 面圖 9-3-4策略：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證 再證明由判定定理知， 只要在 內(nèi)找一條直線 cb即可已知：直線 ab，a平面 ，b ，如圖 9-3-4 所示，求證 b證明：過(guò)及平面 內(nèi)點(diǎn) A作平面 ，設(shè)c評(píng)注：根據(jù)條件 a，為了利用線面平行 的性質(zhì)，過(guò) a 作平面 和相交，輔助平面 起 到橋梁作用實(shí)現(xiàn)“線面平行”與“線線平行” 的轉(zhuǎn)化例 5三個(gè)平面兩兩相交于三條交線，證 明這三條交線或平行、或相交于一點(diǎn)已知：a，b，c圖 9-3-5求證： a、b、c 互相平行或相交于一點(diǎn) 策略：本題考查的是空間三直線的位置關(guān) 系，我們可以先從熟悉的兩條交線的位置關(guān)系入 手，根據(jù)共

12、面的兩條直線平行或相交來(lái)推論三條 交線的位置關(guān)系證明： a， b，a、b ， a 與 b 平行或相交圖 9-3-6若 ab，如圖 9-3-5 中所示b ，a ， a又 c，a ，ac，abc若 a與 b 相交，如圖 9-3-6 所示，設(shè) a b，Oa，Ob又 a ， b O， O 又 ac， Oc直線 a、b、c 交于同一點(diǎn) O 評(píng)注：這一結(jié)論常用于求一個(gè)幾何體的截面 與各面的交線問(wèn)題 如正方體 ABCDA1B1C1D1 中， M、N分別是 CC1、A1B1 的中點(diǎn)，畫(huà)出過(guò)點(diǎn) D、M、N 的平面與正方體各面的交線， 并說(shuō)明截面多邊形 是幾邊形學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】運(yùn)用直線與平面平行的判定和性質(zhì)時(shí)應(yīng)注

13、意以下幾點(diǎn)：（1）直線與直線平行是直線與平面平行的 基礎(chǔ)和依據(jù)，要論證直線和平面平行只需證直線 與直線平行即可（2）在學(xué)習(xí)直線和平面平行的判定定理時(shí)， 應(yīng)注意“平面外”和“平面內(nèi)”兩個(gè)條件（3）由直線和平面平行可推出直線與直線 平行，因此線面平行的性質(zhì)定理可作為空間圖形 中直線與直線平行的判定定理（4）應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)關(guān)鍵是找過(guò)已知直線 的平面與已知平面相交， 所得的交線不僅得到線 線平行的結(jié)論，而且起到已知平面內(nèi)任一條直線 與已知直線位置關(guān)系的判定作用， 即在已知平面 內(nèi)所有與交線平行的直線都與已知直線平行， 所 有與交線相交的直線都與已知直線異面證明直線與平面平行，若用定義直接判定， 一般用

14、反證法； 也可以用判定定理來(lái)判定， 這里 關(guān)鍵是在平面內(nèi)找 （或作） 一條直線與已知直線 平行證明時(shí)，“a ，b ，a b”三個(gè)條件 缺一不可同時(shí)還要逐步熟悉用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)敘述 證明過(guò)程例 1如圖 9-3-7 所示，四邊形 ABCD、ADEF 都是正方形， MBD，NAE，且 BMAN，求證： MN面 CDE圖 9-3-7策略：要證明 MN平面 CDE，根據(jù)性質(zhì)定理 可以知道，只要在平面 CDE中找到一直線與 MN 平行即可，因此需要構(gòu)造過(guò) MN的平面與平面 CDE 相交平面 AMN面 CDE GE，通過(guò) MN與 GE平 行來(lái)證，問(wèn)題得到解決證明：連結(jié) AM，延長(zhǎng)交 CD于 G，連結(jié) GE， A

15、BCD有AMBGM，D AM BM AN AG BD AE MNGEGE 平面 CDE，MN面 CDE MN平面 CDE 定理的綜合運(yùn)用 在解題中要能夠運(yùn)用類(lèi)比的思想方法認(rèn)識(shí) “直線和直線平行”與“直線和平面平行”的內(nèi) 在聯(lián)系； 能夠運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法將 “證明直線和直線平行”的問(wèn)題與“證明直線和平面平行” 的問(wèn)題互相轉(zhuǎn)化例 2如圖 9-3-8 所示，若空間四邊形的 兩條對(duì)角線 AC，BD 的長(zhǎng)分別為 8，12，求平行兩對(duì)角線的截面四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍圖 9-3-8解：設(shè)截面四邊形 EFGH，AC平面 EFGH，且平面 ABC平面 EFGH EF，AC 平面 ABC，EFAC，EF BEAC

16、 AB同理EBHDAEAB所以四邊形 EFGH的周長(zhǎng)C2（EFEH）2（BAEBACAABEBD）2（ BABE 8 AABE12）2（ BAEB 8 AABE 8 AAEB 4）當(dāng) AB0 時(shí)， Cmin 16；當(dāng) AB1 時(shí)， Cmax24截面四邊形的周長(zhǎng)取值范圍為（ 16，24）知識(shí)拓展】遷移一個(gè)顯然的事實(shí)兩條平行線中的一條與已知平面相交， 則另 一條也與該平面相交要直接證明它卻并不輕松，請(qǐng)看下面的證明已知 直線 ab，a平面 P，求證 b 與平面 相交著眼點(diǎn) 轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題思路 a 和 b 確定面 和有公共點(diǎn) P圖 9-3-9證明：如圖 9-3-9ab， a 和 b 確定平面 a P，

17、平面 和平面 相交于過(guò) P 點(diǎn)的直線 l 在平面 內(nèi) l 與兩條平行直線 a、b 中的 一條直線 a 相交，l 必與 b 相交于 Q，即 b l Q， b 且 b （若 b ，則 和 都過(guò)兩 相交直線 b 和 l ，因此 和重合， a ，這與 已知矛盾），故直線 b 和平面 相交 說(shuō)明：證明直線和平面相交的一般方法有：（1）否定直線在平面內(nèi)，否定直線與平面 平行；（2）證明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）證明直線在平面外，且只有一個(gè)公共 點(diǎn)發(fā)散介紹同一法（1）同一法一個(gè)命題，如果它的題設(shè)和結(jié)論所指的事物都是唯一的， 那么原命題和它的 逆命題中，只要有一個(gè)成立，另一個(gè)就一定成 立這個(gè)道理叫做同一

18、法則 在符合同一法則的 前提下，代替證明原命題而證明它的逆命題成立 的一種方法叫做同一法（2）同一法的一般過(guò)程 不從已知條件入手， 而另作圖形使它具有 求證的結(jié)論中所提的特性； 證明所作的圖形的特性，與已知條件符 合； 因?yàn)橐阎獥l件和求證的結(jié)論所指的事物 都是唯一的，從而推出所作的圖形與已知條件要 求的是同一個(gè)東西，由此判定原命題成立（3）反證法與同一法 反證法與同一法都是間接證法， 但前者證的 是原命題的逆否命題； 而后者證的是原命題的逆 命題，但原命題必須符合同一法則【同步達(dá)綱訓(xùn)練】一、選擇題1下列說(shuō)法中正確的是（A直線 l 平行于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線， 則 l B若直線 a 在平面外，則

19、 aC若直線 a b，直線 b ，則 aD若直線 ab，b ，則 a 就平行于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線圖 9-3-102如圖 9-3-10 ，平面四邊形 EFGH的四個(gè) 頂點(diǎn)分別在空間四邊形 ABCD的四條邊上，且 EH FG，則（）AEH BD，F(xiàn)G BDBEHBD，F(xiàn)GBDCFG BD，EH BDD有不同于 A、 B、C的情況3a、b 是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的 是（ ）A過(guò)不在 a、b 上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)平面 與 a、b 平行B過(guò)不在 a、b 上的任一點(diǎn)，可作一條直線 與 a、 b 相交C過(guò)不在 a、b 上的任一點(diǎn)，可作一條直線 與 a、 b 都平行D過(guò) a 可以并且只可以作一平面與

20、b 平行4 a、 b 是兩條不相交的直線，則過(guò)直線 b 且平行于 a 的平面（ ）A有且只有一個(gè)B 至 少有一個(gè)C至多有一個(gè)D 只能有有限個(gè)5若直線 m不平行于平面 ，且 m ，則 下列結(jié)論成立的是（ ）A內(nèi)所有直線與 m異面B內(nèi)不存在與 m平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與 m平行D內(nèi)的直線與 m都相交二、填空題 6過(guò)直線外一點(diǎn)與這直線平行的直線有 條；過(guò)直線外一點(diǎn)與這直線平行的平面 有個(gè)7ABCD是空間四邊形， E、F、G、H分別是 四邊上的點(diǎn)，它們共面，且 AC平面 EFGH，BD平面 EFGH，ACm，BDn，當(dāng) EFGH是菱形時(shí)， AEEB三、解答題8如圖 9-3-10 ，線段 AB、 BC、CD是不共 面的三線段， E、F、G分別是它們的中點(diǎn)求證：（1）E、F、G確定一個(gè)平面；（2）AC平面 EFG，BD平面 EFG參考答案一、1解析：由直線 l 平行于 內(nèi)的無(wú)數(shù) 條直線，但 l 可能在平面 內(nèi)知 l 不一定平行于 ，排除 A直線 a 在外包括 a 和 a 與 相交，排除 Bab，b ，只能說(shuō)明 a、 b 無(wú) 公共點(diǎn)，但 a可能在 內(nèi)，故排除 C答案：D2解析： EHFG，EH 平面 BCD，F(xiàn)G 平面 BCD EH平面 BCD又 EH 平面 ABD平面 BCD平面 ABD BD EH BD，EHFG FG BD答案：B3解析：在 b 上取一點(diǎn)