比估計(jì)與回歸估計(jì)

1、第五章第五章 比估計(jì)與回歸估計(jì)比估計(jì)與回歸估計(jì)侯天宇侯天宇1.1 引言 1.比估計(jì)與回歸估計(jì)的使用條件：（1）調(diào)查主要指標(biāo)與輔助變量間有正線性相關(guān)關(guān)系正線性相關(guān)關(guān)系； 比估計(jì)與回歸估計(jì)的使用效果的好壞取決于輔助變量的選擇，要盡可能選擇與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)程度的大小。 （如果輔助變量與調(diào)查主要指標(biāo)間有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系,則要采取乘積估計(jì)。）（2）適用面廣,可以用于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,也可用于分層隨機(jī)抽樣等；（3）估計(jì) 或Y時(shí) ，一般要求輔助變量的總體總量或均值是已知的。Y簡(jiǎn)單估計(jì)：在沒(méi)有其他相關(guān)輔助變量信息可以利用的情況下，用樣本特征直接估計(jì)總體特征，且樣本特征與欲估的總體特征除了寫法之分外，完全同形同構(gòu)，簡(jiǎn)單

2、易記，因此有簡(jiǎn)單線性估計(jì)。身不屬于比率估計(jì)量。，它本比率估計(jì)量的核心成分是簡(jiǎn)單估計(jì)量，是構(gòu)成R1.2 比估計(jì)一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下的比估計(jì)：一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下的比估計(jì)：1.比估計(jì)定義：比估計(jì)定義： 比率：（1）R的比率估計(jì)量：XYXYR均值之比率：總體的兩個(gè)指標(biāo)總量或稱為比率估計(jì)量。則xyR .是樣本兩個(gè)指標(biāo)的均值，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，若xy（2）2.比估計(jì)的性質(zhì)：比估計(jì)的性質(zhì)：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，（1）比估計(jì)是有偏的，但當(dāng)n大時(shí)，（2）XRNXRYXXRYXRyYYRR),(已知的比估計(jì)量：及RRE)()2(1)2(11)(1)()(22222222122xyxyxxyyNiiiSRSSRSXnfS

3、RRSSXnfNRXYXnfRVRMSE證明：RREnXXRYXxRyEXxRyExxRyERREXxnxxRyRxyRR）（大時(shí)，當(dāng)）（）（）（）（大時(shí)，當(dāng)0) 1 ( 11)()(111001)()()()()2(122122222222222NRXYXnfRMSERVNRXYnfSnfgVGgEgEgExRyExRygXRYGNiRXYGXxRyERRERMSERMSERVRRERERENiiiNiiigiii）（）（）（）（）（）（）（則，對(duì)每個(gè)總體單元，令）（）（又）（）（)2(1)2(11)()(2)(11)()(11)(1)()(2222222212222122122xyxyxx

4、yyNiiiiiNiiiNiiiSRSSRSXnfSRRSSXnfNXXRXXYYRYYXnfNXRRXYYXnfNRXYXnfRVRMSE3.比估計(jì)的方差估計(jì)：比估計(jì)的方差估計(jì)： （1）該估計(jì)是有偏的，但具有漸近無(wú)偏性。)2(11)(1)()(2222122xxyyNiiiSRRSSXnfNRXYXnfRVRMSE)2(11）（1）（的漸近無(wú)偏估計(jì)為：)(已知時(shí)，當(dāng)22221221xxyyniiisRsRsXnfnxRyXnfRvRVX1)(12NRXYNiii其中估計(jì)可用niiixRyn12)(11（2）例：某小區(qū)有1920戶，從中隨機(jī)抽取了70戶，調(diào)查各戶的住房面積（單位：平方米）和家庭

5、人口，得數(shù)據(jù)： 試對(duì)人均住房面積作點(diǎn)估計(jì)和置信度為95%的區(qū)間估計(jì)。5 .7264,1110, 7 .52940260, 4 .182170170127012701701iiiiiiiiiiixyxyxy)2(111)(22221221xxyyniiisRsRsxnfnxRyxnfRvRVX）（）（的漸近無(wú)偏估計(jì)為：未知時(shí)，當(dāng) 解：01. 72604 .1821701701iiiixyR085. 011)(1222nxRyxnfRvRVniii）（）（的漸近無(wú)偏估計(jì)為：92.56372)(7012270170127012iiiiiiiiiixRxyRyxRy58. 744. 6%952121，

6、）（，）（的置信區(qū)間為：的置信度為RvuRRvuRR3.估計(jì)估計(jì)R時(shí)樣本量的確定：時(shí)樣本量的確定：22222/100022222/122222/12/112222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）（大時(shí)，當(dāng),的絕對(duì)誤差限為1的置信度為如果dXSnNnndXNSdXSnRVdRXNSSXnfRVndRdddNiiidd估計(jì)。未知時(shí)，也可由）（11由的樣本，抽一個(gè)容量為也可以通過(guò)試點(diǎn)調(diào)查時(shí)計(jì)，可以通過(guò)以往的資料估122，2xXxRynsnSniiidd4.估計(jì)估計(jì) 時(shí)樣本量的確定：時(shí)樣本量的確定：2222/10002222/12222/12/11222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）

7、（大時(shí)，當(dāng),的絕對(duì)誤差限為1如果置信度為dSnNnnNdSdSnYVdRXNSSnfYVnddddRNiiiddRRY例：某公司有1000名職工，為了估計(jì)職工今年與去年病假工時(shí)的比率，要抽一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本進(jìn)行調(diào)查。先隨機(jī)抽了10人作試點(diǎn)調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：編號(hào)去年病假工時(shí)今年病假工時(shí)1121322425315154303253236626247101281516902101412希望以置信度95%，使估計(jì)R的絕對(duì)誤差不超過(guò)0.01，應(yīng)抽容量為多大的樣本？已知公司職工去年病假工時(shí)為16300。解：05. 1178187101101iiiixyR4245,4066,4463178,18710

8、110121012101101iiiiiiiiiiixyxyxy由試點(diǎn)調(diào)查的數(shù)據(jù)得：5222/1210122701221011012101210603. 296. 101. 03 .1610001630016300474. 3)(91265.312)(dVXXxRysxRxyRyxRyiiidiiiiiiiiii，已知334100050215021,50200220NnnnVXSnd例：審計(jì)員想把一個(gè)醫(yī)院的財(cái)產(chǎn)的現(xiàn)在價(jià)值與記錄價(jià)值作一比較。從計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的記錄里查到，醫(yī)院的財(cái)產(chǎn)有2100項(xiàng)，共計(jì)價(jià)值950000元。為了估計(jì)現(xiàn)在的價(jià)值，擬在2100項(xiàng)目中隨機(jī)抽取n項(xiàng)。因?yàn)闆](méi)有信息可用來(lái)確定n，先隨

9、機(jī)抽了15項(xiàng)，獲得數(shù)據(jù)整理如下： 試確定n，使估計(jì)量的絕對(duì)誤差不超過(guò)500元（置信度為95%）。表示現(xiàn)在的價(jià)值。值，表示從計(jì)算機(jī)查到的價(jià)其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .24215115121511512151解:表示現(xiàn)在的價(jià)值。值，表示從計(jì)算機(jī)查到的價(jià)其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .2421511512151151215198. 00 .2425 .237151151iiiixyR406210050415041504)21005

10、00(4444. 796. 100222222/10NnnndSnd4444. 7)(1412218.1042)(151221512215115121512iiidiiiiiiiiiixRysxRxyRyxRy4.比估計(jì)與簡(jiǎn)單估計(jì)的比較：比估計(jì)與簡(jiǎn)單估計(jì)的比較：?jiǎn)喂烙?jì)更精確。，即比估計(jì)較相應(yīng)的簡(jiǎn)21，則特別若2/2/20）2(1）2(11)()(）得：2（）1（1)(的方差為：的簡(jiǎn)單估計(jì))2()2(1)(的方差為：的比估計(jì)足夠大時(shí)，當(dāng))1(2222222222yxyxyxyxxyxxyxyyRyxyxyRRCCCCYSXSSRSSRSSRnfSRSSRSnfSnfyVyVSnfyVyYSRSS

11、RSnfyVyYn5.消除比估計(jì)偏倚的方法：消除比估計(jì)偏倚的方法： 小樣本時(shí)，比估計(jì)的偏倚不能忽略。 有偏估計(jì)成為無(wú)偏估計(jì)的方法：（1）無(wú)偏的比率型估計(jì)量（2）改變抽樣方法二、分層隨機(jī)抽樣下的比估計(jì)二、分層隨機(jī)抽樣下的比估計(jì) 在大樣本時(shí)， 1. 分別比估計(jì)：分別比估計(jì)：若 各層的樣本量比較大時(shí)，各層可分別進(jìn)行比估計(jì)，再進(jìn)行加權(quán)平均，所得估計(jì)量稱為分別比估計(jì)。 LhxhhxyhhyhhhhLhhNihihhihhhLhRhhLhhhstLhhhhLhRhhLhhhstSRSRSnfWNXRYnfWyVWYVWYVXRWyWYWYh1222211221212111)2(11)(1)()(）（方差2

12、. 聯(lián)合比估計(jì)：聯(lián)合比估計(jì)：若 某些層的樣本量比較小時(shí)，可以采用聯(lián)合比估計(jì)。對(duì)兩個(gè)指標(biāo)先求總體均值或總和的分層估計(jì)，然后用它們構(gòu)造比估計(jì)，所得估計(jì)量稱為聯(lián)合比估計(jì)。 LhxhxyhyhhhhRcststcRcSRRSSnfWyVXxyXRy12222)2(1）（方差3. 分別比估計(jì)與聯(lián)合比估計(jì)的比較：分別比估計(jì)與聯(lián)合比估計(jì)的比較：1.3 回歸估計(jì)Linear regression 估計(jì)精度就比較高。為常數(shù)）。這時(shí)，用比（可以認(rèn)為又比較大，相關(guān)系數(shù)的回歸直線通過(guò)原點(diǎn)，關(guān)于如果。估計(jì)其實(shí)質(zhì)是用，已知計(jì)量：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的比估aaxyxyXYxyXXxyYiiiiR)(的特征數(shù)呢？的信息來(lái)估計(jì)調(diào)查指

13、標(biāo)如何利用輔助指標(biāo)，的回歸直線不通過(guò)原點(diǎn)關(guān)于如果yxxyii1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的回歸估計(jì)量：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的回歸估計(jì)量：對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，總體均值和總體總和的回歸估計(jì)量分別為：lrlrYNYXxXbyY)(已知，其中YYEyYxXyYYXxxxyyyxyxylrlrlrlriiiiiiiii）（性質(zhì)：記為以后）（的回歸估計(jì)為時(shí)，當(dāng)）（的回歸值時(shí)，事先給定常數(shù)）若（據(jù)結(jié)構(gòu)：具有一元線性回歸的數(shù)與假定1000YYEXRXxyxXxyyyxyRxXyyyyxXyyYlrlrlrlrlr）（：性質(zhì)）（即回歸估計(jì)為比估計(jì)）（時(shí)，當(dāng)計(jì)）（即回歸估計(jì)為差估（時(shí)，當(dāng)計(jì)）（即回歸估計(jì)為簡(jiǎn)單估時(shí)，當(dāng)）（的回歸估計(jì)

14、為時(shí)，事先給定常數(shù)若110:00000）（）（：性質(zhì)22002212xxyylrSSSnfyV）的無(wú)偏估計(jì)。（）是（）（性質(zhì)：）（）（）（）（去估計(jì)均值的回歸估計(jì)就是用樣本或者說(shuō)：（，其中（換個(gè)角度：證明：）（）（：性質(zhì)lrxxyylrxxyyNiiiNiiiZlriiiniiniiilrxxyylryVsssnfyvSSSnfXXYYNnfYXXYNnfSnfyVYzYxXyzzznxXynxXyySSSnfyVi22002220022102102011002200221211111111)1)(1)212，即總體殘差方差。1)(1）1（的相關(guān)系數(shù)。與為數(shù)，的（有限）總體回歸系關(guān)于為其中）1

15、（1）（且）達(dá)到最小值，（時(shí)，）（）（當(dāng)?shù)淖罴阎担┒ɡ恚海?2122222min212100NiiNiiiyylrlrxxyNiiNiiieNEYYNSxyxyBSnfyVyVBSSXXXXYY證明：）（）（時(shí)，當(dāng)）（得）（令）（）（22min2020220022002110, 021ylrxxylrxxylrxxyylrSnfyVBSSdyVdBSSdydVSSSnfyV)(21)(2121211,1122212212222121yxyyxxyyniiiniieelrylrlrlrlrniiniiiiiiiibssnnlblnxxbyynyynssnfyvnSnfyVyMSEnYyEnxXb

16、yyYxxxxyybBBxyxy）（）（）（其中樣本殘差）（大時(shí)性質(zhì)：當(dāng)）（）（）（大時(shí)，性質(zhì)：當(dāng)）（大時(shí)，性質(zhì)：當(dāng)）（的回歸估計(jì)為：）（）（一般是未知的，本回歸系數(shù)。根據(jù)樣本計(jì)算時(shí)，為樣）若（據(jù)結(jié)構(gòu)：具有一元線性回歸的數(shù)與假定例：總體由75308個(gè)農(nóng)場(chǎng)組成，設(shè)yi為第i個(gè)農(nóng)場(chǎng)養(yǎng)牛的頭數(shù)， xi為第i個(gè)農(nóng)場(chǎng)的面積。已知農(nóng)場(chǎng)平均面積為31.25英畝，選取一個(gè)樣本容量為2055的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。經(jīng)計(jì)算得： 試估計(jì)每個(gè)農(nóng)場(chǎng)平均養(yǎng)牛頭數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差。763.10073375525.35717915.27410065.30,53.12xxxyyylllxy解：355. 0 xxxyllb74.12)65.30

17、25.31(355. 053.12)(xXbyylr187.0)()(035.0)(2111)(2lrlrxyyyelryvysbllnnfsnfyv標(biāo)準(zhǔn)差為二、分層隨機(jī)抽樣下的回歸估計(jì)二、分層隨機(jī)抽樣下的回歸估計(jì) 在大樣本時(shí)， 1. 分別回歸估計(jì)：分別回歸估計(jì)：若各層的樣本量比較大時(shí)，各層可分別進(jìn)行回歸估計(jì)，再進(jìn)行加權(quán)平均，所得估計(jì)量稱為分別回歸估計(jì)。 LhehhhhlrshLhhyhhhhLhlrhhLhhhlrshLhhhhhhLhlrhhLhhhlrssnfWYvSnfWyVWYVWYVxXyWyWYWY122122212121111:11)()(:)(）（未知時(shí)，當(dāng)方差的樣本估計(jì)）（

18、）（未知時(shí)，當(dāng)方差2. 聯(lián)合回歸估計(jì)：聯(lián)合回歸估計(jì)：若 某些層的樣本量比較小時(shí)，可以采用聯(lián)合比估計(jì)。對(duì)兩個(gè)指標(biāo)先求總體均值或總和的分層估計(jì)，然后用它們構(gòu)造回歸估計(jì)，所得估計(jì)量稱為聯(lián)合回歸估計(jì)。 LhxhcxyhcyhhhhlrclrcLhxhhhhLhxyhhhhcststlrcSBSBSnfWyVyVSnfWSnfWBxXyy1222212212)2(111:)(）（）達(dá)到最小，即（時(shí)，取當(dāng)當(dāng)回歸系數(shù)未知時(shí)，方差LhxhcxyhcyhhhhlrcLhxhhhhLhxyhhhhcsbsbsnfWyvsnfWsnfWb1222212212)2(111）（時(shí)，取當(dāng)3. 分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的

19、比較：分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的比較：1.3 等概率整群抽樣估計(jì)11niiniiyyM11niittniiyYM yMM2221122()()11( )11NNiiiiiiiiYYMMYYffV ynMNnMN222221()(1)( )( )( )1NiiitiYYMNfV YM V yN M V ynN估計(jì)量的方差分別是:21222222111()1( )111(2)1niiiinnniiiiiiiiyyMfv ynmnfyyMyM ynmn)(yV與 的樣本估計(jì)分別是:)(YV22122222111()(1)( )1(1)1(2)1niiinnniiiiiiiyyMNfv YnnNfy

20、yMyM ynn例：某縣有33個(gè)鄉(xiāng)，726個(gè)村，該年度某種作物總種植面積30525畝，現(xiàn)采用等概抽樣隨機(jī)抽出10個(gè)鄉(xiāng)，要求估計(jì)全縣總產(chǎn)量，計(jì)算抽樣誤差。 調(diào)查資料如下：樣本鄉(xiāng)編號(hào)村莊數(shù) Mi作物總產(chǎn)量（鄉(xiāng)） yi（萬(wàn)公斤）種植面積（鄉(xiāng)） xi（畝）iiiMyy 123456789101518261420282119311722.022.830.221.725.331.226.020.533.823.68007801000700880110085080012008301.46671.26671.16151.551.2651.11431.23811.0791.09031.3882合計(jì) 209 257.1 8940 分別采用幾種方法估計(jì)1 無(wú)