比估計與回歸估計

1、第五章第五章 比估計與回歸估計比估計與回歸估計侯天宇侯天宇1.1 引言 1.比估計與回歸估計的使用條件：（1）調(diào)查主要指標與輔助變量間有正線性相關關系正線性相關關系； 比估計與回歸估計的使用效果的好壞取決于輔助變量的選擇，要盡可能選擇與調(diào)查指標相關程度的大小。 （如果輔助變量與調(diào)查主要指標間有負線性相關關系,則要采取乘積估計。）（2）適用面廣,可以用于簡單隨機抽樣,也可用于分層隨機抽樣等；（3）估計 或Y時 ，一般要求輔助變量的總體總量或均值是已知的。Y簡單估計：在沒有其他相關輔助變量信息可以利用的情況下，用樣本特征直接估計總體特征，且樣本特征與欲估的總體特征除了寫法之分外，完全同形同構(gòu)，簡單

2、易記，因此有簡單線性估計。身不屬于比率估計量。，它本比率估計量的核心成分是簡單估計量，是構(gòu)成R1.2 比估計一、簡單隨機抽樣下的比估計：一、簡單隨機抽樣下的比估計：1.比估計定義：比估計定義： 比率：（1）R的比率估計量：XYXYR均值之比率：總體的兩個指標總量或稱為比率估計量。則xyR .是樣本兩個指標的均值，對于簡單隨機抽樣，若xy（2）2.比估計的性質(zhì)：比估計的性質(zhì)：對于簡單隨機抽樣，（1）比估計是有偏的，但當n大時，（2）XRNXRYXXRYXRyYYRR),(已知的比估計量：及RRE)()2(1)2(11)(1)()(22222222122xyxyxxyyNiiiSRSSRSXnfS

3、RRSSXnfNRXYXnfRVRMSE證明：RREnXXRYXxRyEXxRyExxRyERREXxnxxRyRxyRR）（大時，當）（）（）（）（大時，當0) 1 ( 11)()(111001)()()()()2(122122222222222NRXYXnfRMSERVNRXYnfSnfgVGgEgEgExRyExRygXRYGNiRXYGXxRyERRERMSERMSERVRRERERENiiiNiiigiii）（）（）（）（）（）（）（則，對每個總體單元，令）（）（又）（）（)2(1)2(11)()(2)(11)()(11)(1)()(2222222212222122122xyxyxx

4、yyNiiiiiNiiiNiiiSRSSRSXnfSRRSSXnfNXXRXXYYRYYXnfNXRRXYYXnfNRXYXnfRVRMSE3.比估計的方差估計：比估計的方差估計： （1）該估計是有偏的，但具有漸近無偏性。)2(11)(1)()(2222122xxyyNiiiSRRSSXnfNRXYXnfRVRMSE)2(11）（1）（的漸近無偏估計為：)(已知時，當22221221xxyyniiisRsRsXnfnxRyXnfRvRVX1)(12NRXYNiii其中估計可用niiixRyn12)(11（2）例：某小區(qū)有1920戶，從中隨機抽取了70戶，調(diào)查各戶的住房面積（單位：平方米）和家庭

5、人口，得數(shù)據(jù)： 試對人均住房面積作點估計和置信度為95%的區(qū)間估計。5 .7264,1110, 7 .52940260, 4 .182170170127012701701iiiiiiiiiiixyxyxy)2(111)(22221221xxyyniiisRsRsxnfnxRyxnfRvRVX）（）（的漸近無偏估計為：未知時，當 解：01. 72604 .1821701701iiiixyR085. 011)(1222nxRyxnfRvRVniii）（）（的漸近無偏估計為：92.56372)(7012270170127012iiiiiiiiiixRxyRyxRy58. 744. 6%952121，

6、）（，）（的置信區(qū)間為：的置信度為RvuRRvuRR3.估計估計R時樣本量的確定：時樣本量的確定：22222/100022222/122222/12/112222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）（大時，當,的絕對誤差限為1的置信度為如果dXSnNnndXNSdXSnRVdRXNSSXnfRVndRdddNiiidd估計。未知時，也可由）（11由的樣本，抽一個容量為也可以通過試點調(diào)查時計，可以通過以往的資料估122，2xXxRynsnSniiidd4.估計估計 時樣本量的確定：時樣本量的確定：2222/10002222/12222/12/11222，其中11解得：）（）Y（11，其中1）

7、（大時，當,的絕對誤差限為1如果置信度為dSnNnnNdSdSnYVdRXNSSnfYVnddddRNiiiddRRY例：某公司有1000名職工，為了估計職工今年與去年病假工時的比率，要抽一個容量為n的簡單隨機樣本進行調(diào)查。先隨機抽了10人作試點調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：編號去年病假工時今年病假工時1121322425315154303253236626247101281516902101412希望以置信度95%，使估計R的絕對誤差不超過0.01，應抽容量為多大的樣本？已知公司職工去年病假工時為16300。解：05. 1178187101101iiiixyR4245,4066,4463178,18710

8、110121012101101iiiiiiiiiiixyxyxy由試點調(diào)查的數(shù)據(jù)得：5222/1210122701221011012101210603. 296. 101. 03 .1610001630016300474. 3)(91265.312)(dVXXxRysxRxyRyxRyiiidiiiiiiiiii，已知334100050215021,50200220NnnnVXSnd例：審計員想把一個醫(yī)院的財產(chǎn)的現(xiàn)在價值與記錄價值作一比較。從計算機存儲的記錄里查到，醫(yī)院的財產(chǎn)有2100項，共計價值950000元。為了估計現(xiàn)在的價值，擬在2100項目中隨機抽取n項。因為沒有信息可用來確定n，先隨

9、機抽了15項，獲得數(shù)據(jù)整理如下： 試確定n，使估計量的絕對誤差不超過500元（置信度為95%）。表示現(xiàn)在的價值。值，表示從計算機查到的價其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .24215115121511512151解:表示現(xiàn)在的價值。值，表示從計算機查到的價其中iiiiiiiiiiiiiyxyxyyxx27.4560,19.4522, 5 .23754.4706, 0 .2421511512151151215198. 00 .2425 .237151151iiiixyR406210050415041504)21005

10、00(4444. 796. 100222222/10NnnndSnd4444. 7)(1412218.1042)(151221512215115121512iiidiiiiiiiiiixRysxRxyRyxRy4.比估計與簡單估計的比較：比估計與簡單估計的比較：單估計更精確。，即比估計較相應的簡21，則特別若2/2/20）2(1）2(11)()(）得：2（）1（1)(的方差為：的簡單估計)2()2(1)(的方差為：的比估計足夠大時，當)1(2222222222yxyxyxyxxyxxyxyyRyxyxyRRCCCCYSXSSRSSRSSRnfSRSSRSnfSnfyVyVSnfyVyYSRSS

11、RSnfyVyYn5.消除比估計偏倚的方法：消除比估計偏倚的方法： 小樣本時，比估計的偏倚不能忽略。 有偏估計成為無偏估計的方法：（1）無偏的比率型估計量（2）改變抽樣方法二、分層隨機抽樣下的比估計二、分層隨機抽樣下的比估計 在大樣本時， 1. 分別比估計：分別比估計：若 各層的樣本量比較大時，各層可分別進行比估計，再進行加權(quán)平均，所得估計量稱為分別比估計。 LhxhhxyhhyhhhhLhhNihihhihhhLhRhhLhhhstLhhhhLhRhhLhhhstSRSRSnfWNXRYnfWyVWYVWYVXRWyWYWYh1222211221212111)2(11)(1)()(）（方差2

12、. 聯(lián)合比估計：聯(lián)合比估計：若 某些層的樣本量比較小時，可以采用聯(lián)合比估計。對兩個指標先求總體均值或總和的分層估計，然后用它們構(gòu)造比估計，所得估計量稱為聯(lián)合比估計。 LhxhxyhyhhhhRcststcRcSRRSSnfWyVXxyXRy12222)2(1）（方差3. 分別比估計與聯(lián)合比估計的比較：分別比估計與聯(lián)合比估計的比較：1.3 回歸估計Linear regression 估計精度就比較高。為常數(shù)）。這時，用比（可以認為又比較大，相關系數(shù)的回歸直線通過原點，關于如果。估計其實質(zhì)是用，已知計量：簡單隨機抽樣中的比估aaxyxyXYxyXXxyYiiiiR)(的特征數(shù)呢？的信息來估計調(diào)查指

13、標如何利用輔助指標，的回歸直線不通過原點關于如果yxxyii1.簡單隨機抽樣中的回歸估計量：簡單隨機抽樣中的回歸估計量：對于簡單隨機抽樣，總體均值和總體總和的回歸估計量分別為：lrlrYNYXxXbyY)(已知，其中YYEyYxXyYYXxxxyyyxyxylrlrlrlriiiiiiiii）（性質(zhì)：記為以后）（的回歸估計為時，當）（的回歸值時，事先給定常數(shù)）若（據(jù)結(jié)構(gòu)：具有一元線性回歸的數(shù)與假定1000YYEXRXxyxXxyyyxyRxXyyyyxXyyYlrlrlrlrlr）（：性質(zhì)）（即回歸估計為比估計）（時，當計）（即回歸估計為差估（時，當計）（即回歸估計為簡單估時，當）（的回歸估計

14、為時，事先給定常數(shù)若110:00000）（）（：性質(zhì)22002212xxyylrSSSnfyV）的無偏估計。（）是（）（性質(zhì)：）（）（）（）（去估計均值的回歸估計就是用樣本或者說：（，其中（換個角度：證明：）（）（：性質(zhì)lrxxyylrxxyyNiiiNiiiZlriiiniiniiilrxxyylryVsssnfyvSSSnfXXYYNnfYXXYNnfSnfyVYzYxXyzzznxXynxXyySSSnfyVi22002220022102102011002200221211111111)1)(1)212，即總體殘差方差。1)(1）1（的相關系數(shù)。與為數(shù)，的（有限）總體回歸系關于為其中）1

15、（1）（且）達到最小值，（時，）（）（當?shù)淖罴阎担┒ɡ恚海?2122222min212100NiiNiiiyylrlrxxyNiiNiiieNEYYNSxyxyBSnfyVyVBSSXXXXYY證明：）（）（時，當）（得）（令）（）（22min2020220022002110, 021ylrxxylrxxylrxxyylrSnfyVBSSdyVdBSSdydVSSSnfyV)(21)(2121211,1122212212222121yxyyxxyyniiiniieelrylrlrlrlrniiniiiiiiiibssnnlblnxxbyynyynssnfyvnSnfyVyMSEnYyEnxXb

16、yyYxxxxyybBBxyxy）（）（）（其中樣本殘差）（大時性質(zhì)：當）（）（）（大時，性質(zhì)：當）（大時，性質(zhì)：當）（的回歸估計為：）（）（一般是未知的，本回歸系數(shù)。根據(jù)樣本計算時，為樣）若（據(jù)結(jié)構(gòu)：具有一元線性回歸的數(shù)與假定例：總體由75308個農(nóng)場組成，設yi為第i個農(nóng)場養(yǎng)牛的頭數(shù)， xi為第i個農(nóng)場的面積。已知農(nóng)場平均面積為31.25英畝，選取一個樣本容量為2055的簡單隨機樣本。經(jīng)計算得： 試估計每個農(nóng)場平均養(yǎng)牛頭數(shù)及標準差。763.10073375525.35717915.27410065.30,53.12xxxyyylllxy解：355. 0 xxxyllb74.12)65.30

17、25.31(355. 053.12)(xXbyylr187.0)()(035.0)(2111)(2lrlrxyyyelryvysbllnnfsnfyv標準差為二、分層隨機抽樣下的回歸估計二、分層隨機抽樣下的回歸估計 在大樣本時， 1. 分別回歸估計：分別回歸估計：若各層的樣本量比較大時，各層可分別進行回歸估計，再進行加權(quán)平均，所得估計量稱為分別回歸估計。 LhehhhhlrshLhhyhhhhLhlrhhLhhhlrshLhhhhhhLhlrhhLhhhlrssnfWYvSnfWyVWYVWYVxXyWyWYWY122122212121111:11)()(:)(）（未知時，當方差的樣本估計）（

18、）（未知時，當方差2. 聯(lián)合回歸估計：聯(lián)合回歸估計：若 某些層的樣本量比較小時，可以采用聯(lián)合比估計。對兩個指標先求總體均值或總和的分層估計，然后用它們構(gòu)造回歸估計，所得估計量稱為聯(lián)合回歸估計。 LhxhcxyhcyhhhhlrclrcLhxhhhhLhxyhhhhcststlrcSBSBSnfWyVyVSnfWSnfWBxXyy1222212212)2(111:)(）（）達到最小，即（時，取當當回歸系數(shù)未知時，方差LhxhcxyhcyhhhhlrcLhxhhhhLhxyhhhhcsbsbsnfWyvsnfWsnfWb1222212212)2(111）（時，取當3. 分別回歸估計與聯(lián)合回歸估計的

19、比較：分別回歸估計與聯(lián)合回歸估計的比較：1.3 等概率整群抽樣估計11niiniiyyM11niittniiyYM yMM2221122()()11( )11NNiiiiiiiiYYMMYYffV ynMNnMN222221()(1)( )( )( )1NiiitiYYMNfV YM V yN M V ynN估計量的方差分別是:21222222111()1( )111(2)1niiiinnniiiiiiiiyyMfv ynmnfyyMyM ynmn)(yV與 的樣本估計分別是:)(YV22122222111()(1)( )1(1)1(2)1niiinnniiiiiiiyyMNfv YnnNfy

20、yMyM ynn例：某縣有33個鄉(xiāng)，726個村，該年度某種作物總種植面積30525畝，現(xiàn)采用等概抽樣隨機抽出10個鄉(xiāng)，要求估計全縣總產(chǎn)量，計算抽樣誤差。 調(diào)查資料如下：樣本鄉(xiāng)編號村莊數(shù) Mi作物總產(chǎn)量（鄉(xiāng)） yi（萬公斤）種植面積（鄉(xiāng)） xi（畝）iiiMyy 123456789101518261420282119311722.022.830.221.725.331.226.020.533.823.68007801000700880110085080012008301.46671.26671.16151.551.2651.11431.23811.0791.09031.3882合計 209 257.1 8940 分別采用幾種方法估計1 無