第三章圖形變換(新)

1、第一節(jié) 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)概述一、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基本概念 圖形對(duì)象什么是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)？矢量圖形：圖線、明暗曲面、符號(hào)、字符等點(diǎn)陣圖形：圖像、位圖、圖片等二、圖形生成技術(shù)與算法1、基本圖形元素的生成（1）線段的生成：數(shù)值微分法（ DDA法）：是根據(jù)數(shù)學(xué)上直線的微分方程來(lái)設(shè)計(jì)的。 dyydxx121121xxixxyyiyy(xi,yi)圖4.1 DDA示意圖(xi+1,yi+1)=1/max(|x|，| y|) i=0,1,2,1/lBresenham算法是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域中使用最廣泛的直線生成技術(shù)。lBresenham也是通過(guò)在每列像素中確定與理想直線最近的像素來(lái)進(jìn)行直線的掃描轉(zhuǎn)換的。通過(guò)各行、各列

2、像素中心構(gòu)造一組虛擬網(wǎng)格線，按直線從起點(diǎn)到終點(diǎn)的順序計(jì)算直線與各垂直網(wǎng)格線的交點(diǎn)，然后確定該列像素中與此交點(diǎn)最近的像素。根據(jù)直線的斜率（ ）和相鄰兩列（行）象素的坐標(biāo)差1的事實(shí)得出：11()iiiiyyxx111iiiixxyy（2）圓弧的生成角度DDA法：0,0 x y00cossin0, 2xxRyyR圓心 ，半徑為R的圓的參數(shù)方程可寫成圓的方向以逆時(shí)針為正方向（3）區(qū)域填充：在一個(gè)封閉區(qū)域內(nèi)填充某種圖案或顏色。簡(jiǎn)單遞歸填充算法（種子填充算法）：四連通、八連通掃描線區(qū)域填充算法（多邊形填充算法）2、自由曲線和自由曲面生成：插值法或曲面擬合法曲線或曲面的擬合：完全通過(guò)或比較貼近給定點(diǎn)來(lái)構(gòu)造曲

3、線或曲面的方法曲線或曲面插值：求在曲線或曲面上給定點(diǎn)之間的點(diǎn)除此之外，還包括曲線、曲面的拼接、分解、過(guò)渡、光順、整體修改和局部修改等。三、圖形的編輯修改技術(shù)四、真實(shí)圖形技術(shù) 1、消隱技術(shù) 2、光色效應(yīng)處理技術(shù)五、二維工程圖生成方法 1、交互式準(zhǔn)確繪圖 2、程序參數(shù)化繪圖 3、交互式參數(shù)化繪圖 4、三維實(shí)體投影自動(dòng)生成工程圖一、窗口區(qū)及視圖區(qū)的坐標(biāo)變換212111121121wvwvwwvvxwxvxwvvxvww1、窗口區(qū) ：用戶選定的觀察區(qū)域 2、視圖區(qū)：顯示器屏幕范圍是輸出圖形的最大區(qū)域，用戶可以定義任何小于或等于屏幕范圍的區(qū)域顯示窗口圖形，這些區(qū)域稱為視圖區(qū) 3、窗、視變換 同理：343

4、343wvywvvyvww由上式可以得出結(jié)論：（1）視圖區(qū)大小不變，窗口區(qū)縮小或放大時(shí)，所顯示的 圖形會(huì)相反地放大或縮小。（2）窗口區(qū)大小不變，視圖區(qū)縮小或放大時(shí)，所顯示的 圖形會(huì)相應(yīng)地縮小或放大。（3）窗口區(qū)與視圖區(qū)大小相同時(shí)，所顯示的圖形大小不變。（4）視圖區(qū)縱橫比不等于窗口區(qū)縱橫比時(shí)，所顯示的圖形 會(huì)有x，y方向的伸縮變化。二、二維圖形的幾何變換 1、點(diǎn)的矩陣表示：（1）點(diǎn)的表示：在二維平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)通常用它的兩個(gè)坐標(biāo)（x，y）來(lái)表示。為了便于進(jìn)行各種變化運(yùn)算，通常把二維空間中的點(diǎn)表示成2x1行矩陣或表示成1x2列矩陣，即（2） 齊次坐標(biāo)：將一個(gè)n維分量用n+1維分向量來(lái)表示，對(duì)于一個(gè)n

5、維空間位置矢量，在正常坐標(biāo)下表示為 對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)其中h為不為零的一個(gè)全比例因子。當(dāng)h=1時(shí)，稱為齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式。 如 二維齊次坐標(biāo)的規(guī)格化形式可簡(jiǎn)單地表示為（x，y，1）。123nxxxx12nxxxhv它為幾何圖形的二維、三維甚至高維空間的坐標(biāo)變換提供了統(tǒng)一的矩陣運(yùn)算方式，并可以方便地將他們組合在一起進(jìn)行組合變換。v對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的處理比較方便。例如n+1維中h=0的齊次坐標(biāo)實(shí)際上表示了一個(gè)n維的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)采用齊次坐標(biāo)表示主要好處：2、二維圖形的基本變換 在計(jì)算機(jī)繪圖中，常常要對(duì)圖形進(jìn)行比例、鏡像、旋轉(zhuǎn)、平移、投影等各種變換，既然圖形可以用點(diǎn)集來(lái)表示，那么，二維圖形的基本變換就可以通過(guò)點(diǎn)集

6、的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。點(diǎn)的位置改變了，圖形就會(huì)隨之改變，即：(1)變換矩陣：若A、B和M都是矩陣，且AM=B，這種一個(gè)矩陣A對(duì)另一個(gè)矩陣M施以乘法運(yùn)算而得出一個(gè)新矩陣B的方法，可被用來(lái)完成一個(gè)點(diǎn)或一組點(diǎn)的幾何變換，這里的M稱為變換矩陣。換句話說(shuō)，變換矩陣為點(diǎn)的變換提供了一個(gè)工具，使這種變換得以實(shí)現(xiàn)。111213212223313233aaaTaaaaaa二維圖形幾何變換矩陣可用T表示如下：（2）比例變換： 假定圖形在x方向上放大或縮小的比例為A， 在y方向上放大或縮小的比例為D，則坐標(biāo)點(diǎn)的比例變換為：x y 1=x y 1 =Ax Dy 1令T= ,T就是比例變換矩陣。若A=D=1，則x y 1=x

7、y 1 ，為恒等變換若A=D1,為等比例放大；若0A=D1,為等比例縮小若AD，圖形沿兩個(gè)坐標(biāo)方向作不同的比例變換。0000001AD0000001AD（3）對(duì)稱變換：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：x y 1=x y 1 =-x -y 1另T= ，T就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的變換矩陣同理關(guān)于x軸對(duì)稱的變換矩陣T= 關(guān)于y軸對(duì)稱的變換矩陣T= 100010001100010001100010001100010001(4)錯(cuò)切變換 錯(cuò)切是用于描述受到扭曲、剪切后的幾何體形狀。 在沿x軸的錯(cuò)切變換中，y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)有一定的增量。變換后原來(lái)平行于y軸的直線，向x軸方向錯(cuò)切成與x軸成一定的角度。而在沿y軸的錯(cuò)切變換中， x

8、 坐標(biāo)不變， y坐標(biāo)有一定的增量。變換后原來(lái)平行于x 軸的直線，向y軸方向錯(cuò)切成與y軸成一定的角度。沿x方向做錯(cuò)切變換：x y 1=x y 1 =x+cy y 1另T= ，T就是沿x方向錯(cuò)切變換矩陣同理，沿y方向錯(cuò)切變換的矩陣為T=沿x、y兩個(gè)方向錯(cuò)切變換的矩陣為T=10010001c10010001c10010001B1010001Bc（5）旋轉(zhuǎn)變換：點(diǎn)（x，y）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后的新坐標(biāo)為（x，y）,則：x y 1=x y 1 = 則T= 為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變換矩陣 若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則角為負(fù)值 cossinsincosxxyyxycossin0sincos0001cossinsinco

9、s1xyxycossin0sincos0001（6）平移變換：設(shè)圖形上一點(diǎn)（x，y）沿x軸平移l距離，沿y軸平移m距離，得到新點(diǎn)（x，y），則有： =x+l y+m 1則有T= 為平移變換矩陣1xy1000101lm1000101lm例一：如圖所示的圖形繞任意點(diǎn)P(m，n)旋轉(zhuǎn)角的變換（1）旋轉(zhuǎn)中心P (m，n)連同圖形整體移動(dòng)，使旋轉(zhuǎn)中心P與原點(diǎn)重合。使用平移變換矩陣：11000101Tmnm、n為負(fù)表示P點(diǎn)的移動(dòng)方向與坐標(biāo)軸方向相反。（2）繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圖形，即作旋轉(zhuǎn)變換。2cossin0sincos0001T （3）將旋轉(zhuǎn)之后的圖形，連同P點(diǎn)再反向平移回到原先位置。即作平移變換。3100

10、0101Tmn則繞任意定點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)變換矩陣T為：123100cossin0100010sincos001010011cossin0sincos0(1 cos )sin(1 cos )sin1TT T Tmnmnmnnm則： x y 1=x y 1 T例二：平面圖形對(duì)一般位置直線ax+by+c=0的對(duì)稱變換。（1）將圖形與直線ax+by+c=0一起向左平移x=c/a，使該直線通過(guò)原點(diǎn)，即作平移變換。1100010/01Tc a（2）將直線與平面圖形一起按逆時(shí)針?lè)聪蛐D(zhuǎn)=arctan(-b/a)，使直線與軸重合。即作旋轉(zhuǎn)變換。2cossin0sincos0001T （3）將旋轉(zhuǎn)之后的圖形對(duì)y軸作對(duì)

11、稱變換，相當(dāng)于對(duì)y軸進(jìn)行對(duì)稱變換。其變換矩陣為：3100010001T（4）將圖形按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，即作旋轉(zhuǎn)變換。其變換矩陣為：4cossin0sincos0001T（5）直線ax+by+c=0從原點(diǎn)反平移x=c/a，回到直線原來(lái)的位置，即作平移變換。其變換矩陣為：5100010/01Tc a則圖形對(duì)一般位置直線的對(duì)稱變換矩陣T為：12345cos2sin20sin2cos20(1 cos2 )/sin2 /1TT T T T Tcaca111213212223313233aaaTaaaaaa二維圖形幾何變換矩陣可用T表示如下：總結(jié)：如果將矩陣T分成四塊，則各部分的功能為：11122122a

12、aaa對(duì)圖形進(jìn)行比例、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切等變換。a31，a32對(duì)圖形進(jìn)行平移變換， a31、 a32分別為x、y方向的平移量。 a13 對(duì)圖形進(jìn)行投影變換a232、復(fù)合變換解決復(fù)合變換問(wèn)題的一般步驟為：（1）任意點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)（2）實(shí)現(xiàn)基本圖形變換（3）反向移回任意點(diǎn)注意：復(fù)合變換矩陣通常是由幾個(gè)基本變換矩陣相乘求 得，而矩陣乘法通常不符合交換率。因此，符合 變換矩陣的求解順序不能任意變動(dòng)。先平移后旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn)后平移思考題：1、四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（10，20）、 （20，20）、（20，10）、（10，10），如果圖形在x方向上的比例變換為2，在y方向上的比例為0.5，求變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)2、四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，10）、 （10，10）、（10，0）、（0，0），如果圖形在x方向上的錯(cuò)切變換為2，求變換后的各點(diǎn)坐標(biāo)3、自己推導(dǎo)出對(duì)y=x