第三章LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

1、第三章第三章 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正交函數(shù)完備正交函數(shù)集集中無限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。中無限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是正交函數(shù)集，只要符合一定的條件，任是正交函數(shù)集，只要符合一定的條件，任意信號(hào)都可通過傅里葉級(jí)數(shù)展開為一系列不同頻率的正意信號(hào)都可通過傅里葉級(jí)數(shù)展開為一系列不同頻率的正弦分量即弦分量即頻率函數(shù)頻率函數(shù)。 系統(tǒng)系統(tǒng)微分方程微分方程(算子方程算子方程)傳輸算子傳輸算子Hp特征根特征根零輸入響應(yīng)或沖激響應(yīng)零輸入響應(yīng)或沖激響應(yīng)利用利用 f(

2、t)*h(t) 求解求解任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng),最后零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)最后零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)疊加響應(yīng)疊加,得到全響應(yīng)。得到全響應(yīng)。時(shí)域分析法時(shí)域分析法:頻域分析法頻域分析法:信號(hào)分析信號(hào)分析 : 時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析31 信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù)（一）正交向（一）正交向量量一個(gè)平面中任意向量一個(gè)平面中任意向量 A=C1A1+C2A2一個(gè)三維空間中的向量一個(gè)三維空間中的向量 A=C1A1+C2A2+C3A3 n維空間中的任一向量維空間中的任一向量 A=C1A1+C2A2+C3A3+CnAn（二）信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)（二）信號(hào)的

3、正交分解與正交函數(shù)集集1. 正交函數(shù)定義式正交函數(shù)定義式任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)任意兩個(gè)實(shí)函數(shù) f1(t) 和和 f2(t)，滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式則稱則稱 f1(t) 和和 f2(t) 在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間(t1,t2)正交正交。0d)()(2121ttftftt 若若f1(t), f2(t), fn(t)定義在區(qū)間定義在區(qū)間(t1,t2) 上上，并且并且在在(t1,t2)內(nèi)有內(nèi)有則則f1(t),f2(t),fn(t)在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間(t1,t2)內(nèi)稱為內(nèi)稱為正交函正交函數(shù)集數(shù)集，其中，其中i, r =1,2,n；ki為一正數(shù)為一正數(shù)。ririkttftfirtti0d)()(212. 信號(hào)的正交展

4、開信號(hào)的正交展開 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集f1(t),f2(t),fn(t)之外，找不之外，找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集 f fi i( (t t) )中每一個(gè)函中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。 設(shè)設(shè)f1(t),f2(t),fn(t)在在(t1,t2)區(qū)間區(qū)間內(nèi)是某一類信號(hào)的內(nèi)是某一類信號(hào)的完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為都可以精確地表示為f1(t),f2(t),fn(t)的的線性組合線性組合: f(t) = C1f1

5、(t)+C2f2(t)+Cnfn(t) 在正交展開式的條件下，有在正交展開式的條件下，有tfCttfitttiittdd)(2)(22121 此式可以理解為此式可以理解為：f(t)的能量等于各個(gè)分量的能量之和，的能量等于各個(gè)分量的能量之和，即能量守恒。也稱為即能量守恒。也稱為帕塞瓦爾帕塞瓦爾定理定理。 對(duì)于完備正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理對(duì)于完備正交函數(shù)集，有兩個(gè)重要定理:定理定理1 1稱為稱為正交展開式正交展開式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)或廣義傅里葉級(jí)數(shù)定理定理2 2（三）常見的完備正交函數(shù)集（三）常見的完備正交函數(shù)集1. 三角函數(shù)集三角函數(shù)集正交三角函數(shù)集正交三角函數(shù)集在區(qū)間在區(qū)間(t0,t0+T)是

6、完備的正交函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集。 ,2sin,sin,2cos,cos, 1tttt 2. 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集 在區(qū)間在區(qū)間(t0,t0+T)為一完備的正交復(fù)變函數(shù)集。為一完備的正交復(fù)變函數(shù)集。,2, 1,0,ejntn注意注意： 一個(gè)函數(shù)集是否正交與它一個(gè)函數(shù)集是否正交與它所在區(qū)間有關(guān)，所在區(qū)間有關(guān)，在某在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間有可能不正交一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間有可能不正交。在判斷在判斷函數(shù)集正交時(shí)，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應(yīng)函數(shù)集正交時(shí)，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交兩兩正交。（四）（四） 周期周期信號(hào)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開的傅里葉級(jí)數(shù)展開 一一三角形式三

7、角形式的傅里葉級(jí)數(shù)：的傅里葉級(jí)數(shù)： 設(shè)任意周期信號(hào)設(shè)任意周期信號(hào)f(t) = f(t+kT) ,（k為整數(shù)為整數(shù)），），滿足下列滿足下列條件（荻里赫利條件條件（荻里赫利條件）：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的ttfTttd)(00（2）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限;(3)(3) 在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)第一在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)第一 類類間斷點(diǎn)（左右極限存在）間斷點(diǎn)（左右極限存在）。進(jìn)行分解可得進(jìn)行分解可得: : 110 sincos2)(nnnntnbtnaatf)(2原周期信號(hào)的角頻率/T Tt

8、tttfTa00 0d)(12 dcos)(2 00 TttttntfTan TttttntfTbn00 dsin)(2 同頻率同頻率的兩項(xiàng)合并的兩項(xiàng)合并: :傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù) 由定理由定理3-1推出！推出！ 10)cos()( nnntnAAtf 22 nnnbaA nnnab arctg 其中其中：200 aA 直流分量直流分量(零次諧波零次諧波)，即即f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的在一個(gè)周期內(nèi)的平均值平均值；)cos(11 tA 基波分量基波分量(一次諧波一次諧波)，其角頻率與其角頻率與f(t)的相同的相同 )2cos(22 tA 二次諧波分量二次諧波分量，其角頻率為基波，其角頻率為基波頻率

9、的兩倍頻率的兩倍 )cos( nntnA n次諧波分量次諧波分量，其角頻率為基波，其角頻率為基波頻率的頻率的n倍倍 將將周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)在在虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejn t，n = 0, 1, 2， 3， 上展開就得到上展開就得到指數(shù)形式指數(shù)形式的的傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)。信號(hào)分信號(hào)分析時(shí)往往用此形式析時(shí)往往用此形式。 ntnnFtf j e)(T/ 2 其中其中傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù) ： TtnntttfTF00 j d(t)e1 “級(jí)數(shù)正級(jí)數(shù)正，系數(shù)負(fù)系數(shù)負(fù)” 與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 二二指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 三角形式傅里葉級(jí)數(shù)通過

10、三角形式傅里葉級(jí)數(shù)通過歐拉公式歐拉公式展開展開：)ee (j21sin , )ee (21cos jjjjtntntntntntn 注意注意此系此系數(shù)為數(shù)為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 1jjjj010)ee(2j)ee(22)sincos(2)( ntntnntntnnnnnbaatnbtnaatf000 2AaF 與指數(shù)形式對(duì)照與指數(shù)形式對(duì)照 ntnnFtf j e)(e)j(21e)j(212j1j0tnnnntnnnbabaa 三、周期信號(hào)的三、周期信號(hào)的對(duì)稱性對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1偶偶函數(shù)函數(shù): : f(t) = f(-t) , 2 , 1 , 0 ,dcos)(4, 02 00

11、 nttntfTabTnntt2奇奇函數(shù)函數(shù): : f(-t) = -f(t) , 2 , 1 ,dsin)(4, 0 , 02 000 nttntfTbaaTnntt3奇諧奇諧( (波波) )( (半波對(duì)稱半波對(duì)稱) )函數(shù)函數(shù): : )2()(Ttftf 和偶數(shù)為為奇數(shù)00dcos)(42 00 nnttntfTaTntt為偶數(shù)為奇數(shù)nnttntfTbTntt 0 dsin)(42 00 2TT23T)(tft04偶諧偶諧( (波波) )( (半周期半周期) )函數(shù)函數(shù) )2()(Ttftf 0 dcos)(42 00 為奇數(shù)為偶數(shù)nnttntfTaTntt為奇數(shù)為偶數(shù)nnttntfTbT

12、ntt 0 dsin)(4 2 00 例例1.1. 求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。 1020001d1d )(22d)(2tttfttfTaT 去掉該直流分量后為奇去掉該直流分量后為奇+ +奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)f1(t)，故只含故只含奇奇次次諧波的諧波的sinn t分量分量：f(t)t0123- -11f1(t)t0123- -10.5, 3 , 1 2cos1 1d)(sin d2sin.50 24dsin)(4010102/01 nnnnttntTtnttntfTbaTnnntnnnnntfnnbaFaF)2 ( j2j00e1)(e11j)j(21

13、 5 .02ttttnntfn5sin513sin31sin25 . 0 sin25 . 0)(1 奇數(shù)例例2. . 求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。 f(t)t0T2T3T- -T1解法解法1 1d2d)(2000tTtTttfTaTT0cossin2cos2cos)(2022020 TTTnntnntntTtdtnTtTtdtntfTa nntnntntTtdtnTtTtdtntfTbTTTn1sincos2sin2sin)(2022020 11sin15 . 0sin)1(21)(nnntntnntf 解法解法2 2( (自學(xué)自學(xué)) ):可利用傅里葉可利

14、用傅里葉性質(zhì)性質(zhì)3 3求解求解 j j0d)(e j)(e 1de)(1) j (2 2 j j2 2 j2 TnTnttntTttTFnTTtntnTTtnn/10 j0 sin115 .0e2 j1 15 .0)(0 2 j1 j1 5 .0nnntnntnnntfnnTnFFt0T2T3T- -T1/ /T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)( tff(t)t0T2T3T- -T1t0T2T3T- -T)( tf3 32 2 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜如果要確定某一諧波分量如果要確定某一諧波分量 )cos( nntnA tnnF j e或或只需確定與該頻率對(duì)應(yīng)的諧波只需確定與該頻率

15、對(duì)應(yīng)的諧波幅值幅值和和相位相位。),.2 , 1(單邊頻譜nnnAnn),.2, 1, 0(雙邊頻譜nnnFnn頻頻譜譜幅度譜幅度譜：以頻率以頻率(角頻率角頻率)為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo),以各諧波的振幅以各諧波的振幅An或或|Fn|為縱坐標(biāo)畫出的線圖為縱坐標(biāo)畫出的線圖(離散離散)為幅度頻譜。簡(jiǎn)為幅度頻譜。簡(jiǎn)稱幅度譜。稱幅度譜。 相位譜相位譜：以頻率以頻率(角頻率角頻率)為橫坐標(biāo)，以各諧波的初相為橫坐標(biāo)，以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖角為縱坐標(biāo)畫出的線圖(離散離散)為相位頻譜。簡(jiǎn)稱為相位頻譜。簡(jiǎn)稱相位相位譜。譜。一、周期矩形脈沖的頻譜一、周期矩形脈沖的頻譜 dede )(12 2j2 2j / tT

16、AttfTFtnTTtnnt0A2 2 T T)(tf , 2 , 1 , 0 ,2Sa22sinje22j nnTAnnTAnTAtn/ ntnnTAtf je2Sa)( nnnF4Sa41 =T/ /4，A A =1=1時(shí)時(shí)： |Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.0452 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 包絡(luò)線相位譜相位譜 n0 2 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 - 由雙邊頻譜由雙邊頻譜單邊頻譜單邊頻譜|An|00.250.450.150.1060.3180.09 2 3 4 5 6 n0 2 3 4 5 6 周期矩形脈沖頻譜

17、的周期矩形脈沖頻譜的特點(diǎn)特點(diǎn)： (1) 各譜線高度與脈沖高度各譜線高度與脈沖高度A及寬度及寬度 成成正比正比，與周期與周期T成成反比反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制；(2) 周期矩形脈沖的周期矩形脈沖的零分量頻率零分量頻率為為n /2=m ,即即 = n =2m / / ，m= 1, 2,(3) 信號(hào)能量主要集中在信號(hào)能量主要集中在第第一個(gè)一個(gè)零分量頻率零分量頻率之內(nèi)之內(nèi)矩矩形信號(hào)的形信號(hào)的有效頻譜寬度有效頻譜寬度B= =2 / / ， Bf = =1/ / (4) 若若 而而T不變不變譜線間隔譜線間隔 =2 / /T不變不變，但譜線高但譜線高度度B= 2m / / |m=

18、1= 2 / / ，占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)T/ / 增多增多，即即譜線分量譜線分量增多增多。( (圖圖3-6)3-6) (5) 若若T而而 不變不變譜線間隔譜線間隔 =2 / /T( (譜線變密譜線變密) )且譜且譜線高度線高度B= 2m / / |m=1= 2 / / 不變，占有頻帶內(nèi)所含不變，占有頻帶內(nèi)所含譜線個(gè)數(shù)譜線個(gè)數(shù)T/ / 增多增多，即即譜線分量譜線分量增多增多，若若T ，則間則間隔隔0，連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。( (圖圖3-7)3-7) 二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) （1 1）離散性離散性 頻譜是譜線，稱為離散頻譜或線譜頻譜是譜線，稱為離散

19、頻譜或線譜； （2 2）諧波性諧波性 各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，各分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，譜線間隔均勻；譜線間隔均勻； （3 3）收斂性收斂性 譜線幅度隨譜線幅度隨 n 而衰減到零而衰減到零。 三、周期信號(hào)的功率譜三、周期信號(hào)的功率譜 nnTTntnnTTFtFTttfTP22 22j2 22de1d)(1 /功率功率( (頻頻) )譜譜 |Fn|2 n 的關(guān)系，也是一離散譜。的關(guān)系，也是一離散譜。 周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率周期信號(hào)在時(shí)域的平均功率等于等于頻域中的直流功率頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。分量和各次諧波平均功率分量之和。 3 33 3 非周期信號(hào)的頻譜

20、非周期信號(hào)的頻譜一、傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換一、傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 周期信號(hào)周期信號(hào) ntnnTFtf j e)(其中其中 2 2jde )(1 /TTtnTnttfTF非周期信號(hào)非周期信號(hào) )(lim)(tftfTT 2d21 d2 nTT此時(shí)此時(shí)： j j j2 2jdede)(21ede)(1lim)( ttntnTTtnTTttfttfTtf/則有則有： jde )j (21 tFF( j ) 傅里葉正變換傅里葉正變換 jde )()j (ttfFt傅里葉反變換傅里葉反變換 jde)j (21)( tFtf對(duì)應(yīng)關(guān)系記為對(duì)應(yīng)關(guān)系記為 f(t)F( j) 二、非周期信號(hào)的頻譜二、非周期信

21、號(hào)的頻譜(密度密度)函數(shù)函數(shù) ntnnTFtf j e)(F( j) =F f(t)f (t) =F-1 F(j)tntnTTTnTttfTtfjj2/2/ede)(1)(tntnTTTnttfjj2/2/ede)(2tnnFje )j(2tntnTttfTtfjje de)(2)( F( j)為一個(gè)密度的概念，其量綱為單位頻率的振為一個(gè)密度的概念，其量綱為單位頻率的振幅，因而稱其為幅，因而稱其為頻譜頻譜( (密度密度) )函數(shù)函數(shù)簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)。 ntnnTFtf j e)(FFFFnTnT2lim)j ()j (2lim)(je)j()j(FF 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)F( j)一

22、般是復(fù)函數(shù)，記為一般是復(fù)函數(shù)，記為：1頻譜密度函數(shù)的物理意義頻譜密度函數(shù)的物理意義 求非周期信號(hào)的求非周期信號(hào)的傅里葉變換傅里葉變換與求其與求其頻譜頻譜( (密度密度) )函數(shù)函數(shù)是是等同等同的的 。2、頻譜密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)：、頻譜密度函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)： jdsin)(jdcos)( de )()j (tttftttfttfFt jde )j (21)( tFtf2） 非周期信號(hào)可以由無數(shù)個(gè)指數(shù)函數(shù)之和來表示，每個(gè)非周期信號(hào)可以由無數(shù)個(gè)指數(shù)函數(shù)之和來表示，每個(gè)指數(shù)函數(shù)分量的大小為指數(shù)函數(shù)分量的大小為F( j) 。 jde )()j (ttfFt1）)( j)()()j ()j (XRFF )(

23、)(arctg)( , )()()j (22RXXRF )(sin)j ()( )(cos)j ()(FXFR )(je)j ()j (FF )( j jde )j (21de )j (21)( ttFFtf d)( sin)j (21j d)( cos)j (21 tFtF d)( cos)j (1 tF非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)的傅里葉變換表示式表示式也可寫成三角函數(shù)形式也可寫成三角函數(shù)形式 非周期信號(hào)也可以分解成許多不同頻率的正弦分量。非周期信號(hào)也可以分解成許多不同頻率的正弦分量。與周期信號(hào)相比較，只不過其基波頻率趨于無窮小量，從與周期信號(hào)相比較，只不過其基波頻率趨于無窮小量，從而

24、包含了所有的頻率分量；而各個(gè)正弦分量的振幅而包含了所有的頻率分量；而各個(gè)正弦分量的振幅|F( j )| d / 趨于無窮小，從而只能用密度函數(shù)趨于無窮小，從而只能用密度函數(shù)F( j)來表述各分量的相對(duì)大小。來表述各分量的相對(duì)大小。 三、典型信號(hào)的傅里葉變換三、典型信號(hào)的傅里葉變換 時(shí)域信號(hào)通過傅里葉時(shí)域信號(hào)通過傅里葉正變換正變換其頻譜函數(shù)其頻譜函數(shù) ; ;有了頻譜函數(shù)可通過傅里葉有了頻譜函數(shù)可通過傅里葉反變換反變換對(duì)應(yīng)的時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)間函數(shù)。荻里赫利條件是變換的前提荻里赫利條件是變換的前提, ,不滿足完不滿足完全可積條件的時(shí)間函數(shù)引入沖激函數(shù)也可有相應(yīng)全可積條件的時(shí)間函數(shù)引入沖激函數(shù)也可有相

25、應(yīng)的變換的變換。1 1、單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào) )()(ttf 1ede )()j (00 0 j ttFt f(t)t0(1)01|F( j)| 單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)(t)的頻譜是常數(shù)的頻譜是常數(shù)1，(t)中包含了所中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。2 2、單邊指數(shù)信號(hào)、單邊指數(shù)信號(hào) 0 ),(e)( ttftf(t)0t1arctg1 j1) j(edeede)()j (220) j( 0 j j tttttttfF|F( j)|01/幅度頻譜函數(shù)幅度頻譜函數(shù)()0/2-/2相位頻譜函數(shù)相位頻譜函數(shù)3 3、偶雙邊指數(shù)信號(hào)

26、、偶雙邊指數(shù)信號(hào) f(t)0t1e-tet02 j1 j1deedee)j (22 0 j0 j ttFtttt) 0(00ee)(tttftt|F( j)|02/4 4、奇雙邊指數(shù)信號(hào)、奇雙邊指數(shù)信號(hào) f(t)0t1e-t-et-122 0 j0 j2j j1 j1deedee)j ( ttFtttt|F( j)|01/- ()0/2-/2)0(00ee)(tttftt)(2)j (F0)(f(t)0t1|F ( j)|0(2)f(t)0t1e-tet 直流信號(hào)直流信號(hào)1為偶雙邊指數(shù)信號(hào)取為偶雙邊指數(shù)信號(hào)取 0的極限，可用偶的極限，可用偶雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜取雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜取 0的極限來求

27、得傅里葉變換的極限來求得傅里葉變換。2d2220002lim)j (220F)(1)(ttf5、單位直流信號(hào)、單位直流信號(hào)6 6、單位階躍信號(hào)、單位階躍信號(hào) )()(ttf f(t)0t1|F( j)|0()()0-/2)(j1)j (F90)(1arctg)(j1)()(Sgn2121)(tt7 7、符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)信號(hào) )sgn()(ttf f(t)0t1-1符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)不滿足不滿足絕對(duì)可積條件，它可看作絕對(duì)可積條件，它可看作奇雙邊指數(shù)信號(hào)奇雙邊指數(shù)信號(hào)在在 0的極限值?？梢杂玫臉O限值?？梢杂们笄骹(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F( j)取取 0極限的方法極限的方法來求來求Sgn(t)

28、的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)。|F( j)|0()0/2-/2f(t)0t1e-t-et-1000j22jlim)j (220F|F( j)|0 2 4 6 2 4 6 8 8、門信號(hào)門信號(hào)( (矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)) ) 2 | 02 | 1)()(/tttGtf)2(Sa22sinde)j ( 2 2 j /tFt0)2(Sa 0)2(Sa 0)( ; 22sin)j (/FG(t)t102 2 0() 2 4 2 4 -記住一些基本信號(hào)的變換記住一些基本信號(hào)的變換( (P73表表3-1) ) 復(fù)雜的信號(hào)化為這復(fù)雜的信號(hào)化為這些信號(hào)的些信號(hào)的組合組合與與延時(shí)延時(shí)，利用傅里葉變換的，利用傅里葉變

29、換的性質(zhì)性質(zhì)便可求便可求 。34 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 一、一、線性線性 設(shè)設(shè)f1(t)F1(j )，f2(t)F2(j )；a1、a2為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)，則則：a1 f1(t) + + a2 f2(t)a1F1(j) + a2 F2(j) 例例1. 求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)。j1j1)(j1)(21)j (2F)()(21)(2tttf j2)(Sgnj1)()(tt)(Sgn21)()2()()() 1 (21ttfttf)(Sgn)()(1tttf解解：j1)(j2j1)()j (1F二、二、對(duì)稱性對(duì)稱性 設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )則：則：F(jt)2 f(- -

30、) 證明證明 ： de )j (21)( j tFtf jde )j (21)( tFtf jde )j (21)( ttFftt換為換為 ， 換為換為t jde )j ()(2 ttFft正變換正變換例例：)(2)( 11)(tt例例2. 2. 求求SaSa( (t t) )的傅氏變換。的傅氏變換。則有則有：)(2)2(Sa Gt再令再令 2 )()(Sa 2Gt)2(Sa 解解：已知已知 G (t)(2)(Sa 22Gt則有則有)()(22GG)()(Sa 2Gt 說明說明: （1）時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)F( jt)與原信號(hào)與原信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F( j)有相同的形式，頻譜函數(shù)有相

31、同的形式，頻譜函數(shù)2 f(-)（除系數(shù)外）與原信號(hào)除系數(shù)外）與原信號(hào)f(t)有有相同的形式相同的形式。 偶函數(shù)偶函數(shù)（2） F(jt)2 f(- ) 是一對(duì)新的傅里葉變換式、傅是一對(duì)新的傅里葉變換式、傅里葉變換對(duì)之間存在著對(duì)稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜里葉變換對(duì)之間存在著對(duì)稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)函數(shù)的波形有著互相置換的關(guān)系，其幅度之比為常數(shù)2 。0.5G2 2(t)t0.50110Sa()1 10t tSa(t t)1 1 G2 2() 011 三、三、尺度變換尺度變換 設(shè)設(shè)：f(t)F(j )0( )j (|1)(的實(shí)數(shù)則：aaFaatf

32、信號(hào)持續(xù)信號(hào)持續(xù)時(shí)間時(shí)間與與占有頻帶占有頻帶成成反比反比 ，即時(shí)域內(nèi)擴(kuò)展頻，即時(shí)域內(nèi)擴(kuò)展頻域內(nèi)壓縮，即時(shí)域內(nèi)壓縮頻域內(nèi)擴(kuò)展。域內(nèi)壓縮，即時(shí)域內(nèi)壓縮頻域內(nèi)擴(kuò)展。f(- -t) F(- -j ) 推論推論( (折疊性折疊性) ) 四、四、時(shí)移性時(shí)移性 設(shè)設(shè)：f(t)F(j )時(shí)域內(nèi)時(shí)域內(nèi)時(shí)移時(shí)移，頻域內(nèi)為，頻域內(nèi)為相移相移。)(0ttf )j (e0jFt 則則： 時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間軸右移時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間軸右移(即延時(shí)即延時(shí))t0，其在頻域中所有頻其在頻域中所有頻率率“分量分量”相應(yīng)落后相位相應(yīng)落后相位 t0,而幅度保持不變而幅度保持不變。 旋轉(zhuǎn)因子，意味著相位的改變旋轉(zhuǎn)因子，意味著相位的改變。0j

33、et例例3. 利用利用對(duì)稱性對(duì)稱性和和時(shí)移性時(shí)移性,求下列傅里葉變換的時(shí)間函求下列傅里葉變換的時(shí)間函數(shù)數(shù)f(t)。)(Sa2)(0020tG)(2)j ()()()(00ftFtf)()()()j (0200tGtttF)()()j () 2()()j () 1 (000FF)(2)j()()(0ftFtf)()j (0ttF0j0e1)(t0je)(2f0je21)(fttf0je21)(解解（1）（2）)(Sa)(Sa)(0000tttf)(Sa2)(200f)(Sa)(00fttf0je)( )( j0F調(diào)調(diào)制制定定理理 )ee)(21cos)(00jj0tttfttf)( j)( j2

34、100FF)( j)( j j2100FF)ee)(j21sin)(00jj0tttfttf五、五、頻移性頻移性: 時(shí)域內(nèi)時(shí)域內(nèi)相移相移，頻域內(nèi)為反向頻域內(nèi)為反向頻移頻移。設(shè)設(shè)：f(t)F(j ) 則則六、六、時(shí)域卷積時(shí)域卷積： f1(t)* * f2(t) F1(j )F2(j ) j 2121 ded)()()()(ttfftftft- F證明證明 j21 dde )()( ttfft-)j()j(de)()j(de)j()( 1 2 j1 2 j 21 -FFfFFf 時(shí)域卷積的重要應(yīng)用時(shí)域卷積的重要應(yīng)用 求零狀態(tài)響應(yīng)的求零狀態(tài)響應(yīng)的頻域法頻域法 時(shí)域時(shí)域yf(t) = f(t)* *

35、h(t) 頻域頻域Yf(j ) = F(j )H(j )時(shí)域卷積，頻域乘積。時(shí)域卷積，頻域乘積。設(shè)設(shè)：f1(t)F1(j ) ，f2(t)F2(j )，則則成立成立條件條件: 兩個(gè)相卷積的函數(shù)不能都是非脈沖函數(shù)兩個(gè)相卷積的函數(shù)不能都是非脈沖函數(shù)例例4. 求求f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F( j)。)2()2()(22 tGtGtf2j2e )(Sa2)2(tG)(Sa2)(2tG2j2e )(Sa2)2(tG)(Sa2cos4e)(Sa2e)(Sa2)j (2j2jF2ee2cos2j2j2j2je)2(e)2(tt)2(*)()2(*)()2()2()(2222 ttGttGtGtGtf 解

36、法解法1： 應(yīng)用線性和應(yīng)用線性和時(shí)移性時(shí)移性解法解法2： 應(yīng)用線性和應(yīng)用線性和時(shí)域卷積時(shí)域卷積)2(Sa G (t)(Sa2cos4e)(Sa2e)(Sa2)j (2j2jF七、七、頻域卷積頻域卷積 八、八、時(shí)域微分性時(shí)域微分性 設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，則則：)j (jd)(dFttf推論推論： )j ()j (d)(dFttfnnn例如例如： j)(1)(tt設(shè)設(shè)：f1(t)F1(j ) ，f2(t)F2(j )，則則)j ()j (21)()(2121FFtftfttfd )(條件條件：九、九、時(shí)域積分性時(shí)域積分性 j)j ()()0( d )(-FFft 設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，則則

37、：時(shí)域微分性時(shí)域微分性設(shè)：設(shè)：f(t)F(j )，則：，則：)(jjd)(dFttfttfd)(條件：條件：十、頻域微分性十、頻域微分性： 十一、頻域積分性十一、頻域積分性 )jj)(F ttf)(j(j)(Ftft(n)nn設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，則則：ttftfj)()()0( d)j( F設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，則則：十二、帕塞瓦爾定理十二、帕塞瓦爾定理： 02 2 2 d)j(1d)j(21d)(FFttfW 時(shí)域中求得的能量與頻域中求得的能量相等時(shí)域中求得的能量與頻域中求得的能量相等 若若 f(t)為實(shí)函數(shù)為實(shí)函數(shù) ，則，則設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，j1)()(t4jej1)()

38、4(t)2()(4 tGtf2je)2(Sa4)j(F)e1(j1)()j (4jF)e1 (j1)e1)(4 j4 j)e1(j14j2j2j2j2je)2(Sa4e)ee(j1)4()()( tttf 例例7. 求求f(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)F( j) ,解法解法1解法解法21 1復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào) )( 2e1)( 0 -j0ttf)( 2e1)( 0 j0 ttf )( 21 |F( j)|0(2)o2余弦、正弦信號(hào)余弦、正弦信號(hào) )e(e21cos)( j j0100 ttttf )()(00 F1( j)0()o()-o)()( j)ej(e21sin)(00 j j0200

39、ttttfImF2( j)0(-)o()-o3 35 5 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換一、常見周期信號(hào)的傅里葉變換一、常見周期信號(hào)的傅里葉變換 ttft ,e)(0j3 3單位沖激序列信號(hào)單位沖激序列信號(hào) nTnTtttf)()()( f(t)t0(1)(1)(1)(1)(1)T2T-T-2TF( j)0()- ()()()()2 -2 nnnnTF)()( 2)j( ntnTTt je1)( 結(jié)論結(jié)論：周期信號(hào)的傅里葉：周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)是離散的離散的( (譜線譜線) )，其，其傅里葉傅里葉變換變換是是離散的離散的( (沖激序列沖激序列) )tnnnFtfje)(2 22

40、/2/j j1de)(1de)(1 /TTTTtntnTnTttTttTF二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換nnnFF)(2)j ( 22 jde )(1TTtnnttfTFee)(jjtnnntnnnFFFFtfF方法方法1：tnnnFtfje)( 周期信號(hào)的傅里葉變換（頻譜函數(shù)）是由無窮多個(gè)沖周期信號(hào)的傅里葉變換（頻譜函數(shù)）是由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率處。激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波頻率處。方法方法2：0)(0tf12TT23T02T T 23T )(tfT1 周期信號(hào)周期信號(hào)fT(t)，fT(t)中位于第一個(gè)周期的信號(hào)若為中

41、位于第一個(gè)周期的信號(hào)若為f0(t)，則則nTTntfFtFtfFtfF)()()()()(00 nTTnTttfttftf)()()()()(00 第一個(gè)周期的信號(hào)第一個(gè)周期的信號(hào)f0(t)在時(shí)間范圍內(nèi)為一非周期信號(hào)，在時(shí)間范圍內(nèi)為一非周期信號(hào)，易求得其傅里葉變換，應(yīng)用傅里葉變換的卷積性質(zhì)，得易求得其傅里葉變換，應(yīng)用傅里葉變換的卷積性質(zhì)，得3 36 6 連續(xù)信號(hào)的抽樣定理連續(xù)信號(hào)的抽樣定理 一、限帶信號(hào)和抽樣信號(hào)一、限帶信號(hào)和抽樣信號(hào) 1限帶信號(hào)限帶信號(hào)：頻譜寬度有限的信號(hào)頻譜寬度有限的信號(hào) |F( j )|=0, ,（| | m） m為為信號(hào)信號(hào)f( (t t) )的的最高頻率最高頻率 F(

42、 j)0m-m 例如：脈沖信號(hào)可以近似為頻率為例如：脈沖信號(hào)可以近似為頻率為2 2 / / 的限帶信號(hào)：的限帶信號(hào)：G(t）t102 20)2(Sa 2二二抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜的頻譜 f(t)fS(t)s(t)連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)抽樣序列抽樣序列( (沖激串，矩形窄脈沖串等沖激串，矩形窄脈沖串等) )抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)若序列等間隔，為若序列等間隔，為TS ，則為則為均勻抽樣均勻抽樣抽樣周期抽樣周期 設(shè)抽樣周期為設(shè)抽樣周期為TS ( (抽樣角頻率為抽樣角頻率為S) ) )()()(tstftfs 2 2. .抽樣信號(hào)抽樣信號(hào): :1 1、均勻沖激抽樣、均勻沖激抽樣( (理想抽樣理想抽樣)

43、)：nSSnSSnFTnF)( j 1)()j ( 21)()()()()(ttftstftfSTS抽樣序列抽樣序列s(t)是周期沖激函數(shù)序列，即是周期沖激函數(shù)序列，即設(shè)設(shè)：f(t)F(j )，根據(jù)頻域卷積定理，抽樣信號(hào)根據(jù)頻域卷積定理，抽樣信號(hào)fs(t)的頻的頻譜函數(shù)為譜函數(shù)為)j ()j (21)j (SFFsf(t)t0s(t)t0(1)TS2TS-TS-2TSS ( j)0S-S(S)(S)(S) =*=fS(t)t0fS(0)TS2TS-TS-2TSfS(2TS)FS( j)0S-SmS -m 當(dāng)當(dāng) S 2 m時(shí)時(shí)，F(xiàn)S(j )是是F(j j )的的周期延拓，周期延拓，從抽樣信號(hào)從抽

44、樣信號(hào)fS(t)可以可以恢復(fù)恢復(fù)原信號(hào)原信號(hào)f(t)。 當(dāng)當(dāng) S m）, m為為信號(hào)信號(hào)f( (t t) )的最高角頻率的最高角頻率 )()()(j00 S)(j)(j002121)j(FFY)j ()j (21)j (SFYf(t)t20cos0tt10f(t) cos0tt20-20m- -mF( j)F( 0)Fcos( 0t)0( )o( )- -oY( j)0o- -o)(210 jF)(210 jF)0(21F2m2m二、二、同步解調(diào)同步解調(diào) 從已調(diào)的高頻信號(hào)從已調(diào)的高頻信號(hào)y(t)中恢復(fù)原調(diào)制信號(hào)中恢復(fù)原調(diào)制信號(hào)f(t)的過程稱的過程稱為解調(diào)為解調(diào)。 高頻信號(hào)高頻信號(hào)cos0t稱

45、本機(jī)振蕩（或本地振蕩），它與原調(diào)稱本機(jī)振蕩（或本地振蕩），它與原調(diào)幅的載波信號(hào)必須嚴(yán)格同頻率同相位，保持嚴(yán)格同步，即幅的載波信號(hào)必須嚴(yán)格同頻率同相位，保持嚴(yán)格同步，即同步解調(diào)。同步解調(diào)。y(t)s(t)=cos0ty(t)s(t)H(j)f(t)H( j)C- -Ccc01)j (Hm0cm21Y( j)0o- -o)( j 210F)( j 210F)0(21F2m2mG( j)0)0(41F)0(21F- -m2o2m- -2om2mc- -c)0(41F理想低通濾波器理想低通濾波器y(t)s(t)=cos0tg(t)=y(t)s(t)H(j)低通低通f(t)2cos)()(21cos)(

46、)()(002ttftfttftsty )2( j 41)2( j 41)j (21)j (00FFG38 頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用 信道信道-信號(hào)從一點(diǎn)傳輸?shù)搅硪稽c(diǎn)要借助于媒介，信號(hào)從一點(diǎn)傳輸?shù)搅硪稽c(diǎn)要借助于媒介，該媒介稱為信道。該媒介稱為信道?，F(xiàn)代通信現(xiàn)代通信復(fù)用復(fù)用同一信道而傳送多路信號(hào)。同一信道而傳送多路信號(hào)。一、一、頻分頻分復(fù)復(fù)用用 在通信系統(tǒng)中，信道所提供的在通信系統(tǒng)中，信道所提供的帶寬帶寬往往比傳送一路信往往比傳送一路信號(hào)所需的帶寬寬得多，這樣就可以將信道的帶寬分割成號(hào)所需的帶寬寬得多，這樣就可以將信道的帶寬分割成不同的不同的頻段頻段，每一頻段傳送一路信號(hào)，這就是頻分

47、復(fù)用，每一頻段傳送一路信號(hào)，這就是頻分復(fù)用。 復(fù)用復(fù)用-指將若干個(gè)彼此獨(dú)立的信號(hào)合并成可在同指將若干個(gè)彼此獨(dú)立的信號(hào)合并成可在同一信道上傳輸?shù)膹?fù)合信號(hào)的方法。一信道上傳輸?shù)膹?fù)合信號(hào)的方法。0m- -mF1( j)0m- -mF2( j)0m- -mFn( j)信信道道f2(t)cosbtf1(t)cosatfn(t)cosntf2(t)cosbtcosbtf2(t)帶帶通通2 2低低通通2 2f1(t)cosatcosatf1(t)帶帶通通1 1低低通通1 1fn(t)cosntcosntfn(t)帶帶通通3 3低低通通3 30a- -aFg(t)b- -bn- -n二、二、時(shí)分復(fù)用時(shí)分復(fù)用

48、時(shí)分多路復(fù)用的基礎(chǔ)是抽樣定理。多路的連續(xù)時(shí)時(shí)分多路復(fù)用的基礎(chǔ)是抽樣定理。多路的連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣后，得到了離散的抽樣值，把各路信號(hào)的間信號(hào)抽樣后，得到了離散的抽樣值，把各路信號(hào)的抽樣值有序地排列起來，就可以實(shí)現(xiàn)時(shí)分復(fù)用。抽樣值有序地排列起來，就可以實(shí)現(xiàn)時(shí)分復(fù)用。 時(shí)分復(fù)用是將所有的信號(hào)分配在不同的時(shí)間區(qū)域。時(shí)分復(fù)用是將所有的信號(hào)分配在不同的時(shí)間區(qū)域。f2(t)f1(t)f3(t)t合路合路轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換開關(guān)換開關(guān)調(diào)制調(diào)制器器低通低通1 1f1(t)f2(t)f3(t)f1(t)f2(t)f3(t)解調(diào)解調(diào)器器信道信道同步同步分路分路轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換開關(guān)換開關(guān)低通低通2 2低通低通3 3tf1f3f20tf1f3f

49、20f1f2頻分復(fù)用和時(shí)分復(fù)用在頻分復(fù)用和時(shí)分復(fù)用在時(shí)間時(shí)間與與頻率頻率通信空間的通信空間的關(guān)系圖關(guān)系圖 頻分復(fù)用頻分復(fù)用是表示每路信號(hào)在所有時(shí)間里都存在于信道是表示每路信號(hào)在所有時(shí)間里都存在于信道中，混在一起，但是每路信號(hào)獨(dú)自占據(jù)有限的不同頻率區(qū)中，混在一起，但是每路信號(hào)獨(dú)自占據(jù)有限的不同頻率區(qū)間。間。時(shí)分復(fù)用時(shí)分復(fù)用是表示每路信號(hào)占據(jù)不同的時(shí)間區(qū)間，但所是表示每路信號(hào)占據(jù)不同的時(shí)間區(qū)間，但所有信號(hào)的頻譜可以具有同一頻率區(qū)間的分量。有信號(hào)的頻譜可以具有同一頻率區(qū)間的分量。3 39 9 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 jde )()j (ttfFtH( p)f(t)yf(t)H( j)F

50、( j)Yf ( j)()()(ftfthty)j ()j ()j (fFHY時(shí)域卷積性質(zhì)時(shí)域卷積性質(zhì)時(shí)域時(shí)域： 頻域頻域： jde )j (21)( tFtf 任意信號(hào)可以由無數(shù)個(gè)虛指數(shù)信號(hào)之和來表示，每個(gè)任意信號(hào)可以由無數(shù)個(gè)虛指數(shù)信號(hào)之和來表示，每個(gè)指數(shù)信號(hào)分量的大小為指數(shù)信號(hào)分量的大小為F( j) d /2 。欲求信號(hào)欲求信號(hào)f(t)激激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，可先分析勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，可先分析基本信號(hào)基本信號(hào)e jt激勵(lì)下的激勵(lì)下的零狀零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)。一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)e jt 激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則在虛指數(shù)信號(hào)則

51、在虛指數(shù)信號(hào)e jt (- - t ) 激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)為： )j (ede)(ede)()(e)(j jj )(j j fHhhthtytttt)( )j ()j (e)(j ftHHtyt結(jié)論：結(jié)論： e jt (- - t ) 激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含穩(wěn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量態(tài)響應(yīng)分量，且等于，且等于e jt乘以乘以h(t)的傅里葉變換的傅里葉變換H( j) - (稱為稱為頻域系統(tǒng)函數(shù)頻域系統(tǒng)函數(shù)) 二、正弦周期信號(hào)二、正弦周期信號(hào)A Acos(cos( t+t+ ) ) (- (- t ) )激勵(lì)下的激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)ee2)cos()()(

52、j)( j ttAtAtf)(cos)j (ee2)j ()j(e)j (e2)( )( j)( j )( j)( j ftHAAHHHAtytttt 結(jié)論結(jié)論： Acos( t t+ ) (- t )激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含只含同頻率同頻率的的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，且振幅為，且振幅為A|H(j )|，初初相位為相位為 +( )。 頻域頻域求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的的方法方法: :先先求出求出H( j )，由由結(jié)論結(jié)論直接寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。直接寫出正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 三、三、非非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng) nnTTtnnntnnFt

53、tfTFFtf de )(1 , e)(2 2j j /其其中中ntnnnHFty j f e ) j ()( 1 0)( cos) j( 2)0(nnnntnnHFHF nnntnnnHF)( j e) j( 結(jié)論結(jié)論：非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含周期性非正弦周期信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)只含周期性的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)( (直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與各次諧波正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與各次諧波正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和) )分量分量 。 e)( j ntnnFtfntnnnHFty j f e) j()(周期信號(hào)頻譜函數(shù)為周期信號(hào)頻譜函數(shù)為 nnnFF)(2)j ( 周期響應(yīng)信號(hào)的頻譜函數(shù)為周期響應(yīng)信號(hào)的頻

54、譜函數(shù)為nnnnHFY)()j(2)j( f 結(jié)論：結(jié)論： 響應(yīng)頻譜的強(qiáng)度被響應(yīng)頻譜的強(qiáng)度被H(jn )加權(quán)加權(quán)輸入的頻譜輸入的頻譜輸出信號(hào)的頻譜輸出信號(hào)的頻譜例例1： ( P105 例例3-17 ) (1) 求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(j );1 + +u(t)- -i(t t)1H H(a)u(t)t / /2 20- 2 2 - - /2/2(b)(2)求其響應(yīng)求其響應(yīng)i(t); (3)確定頻譜函數(shù)確定頻譜函數(shù)I(j ),畫出其頻譜圖畫出其頻譜圖。解解（1）求系統(tǒng)函數(shù)）求系統(tǒng)函數(shù)H(j )()1()(tiptu11)()()(ptutipHrad/s1222Tj11)()j (jppHH（2

55、）傅里葉級(jí)數(shù)展開求：）傅里葉級(jí)數(shù)展開求：FntnnnFtuje)(de2de221de )(1j2/32/j2/2/2/2/jttttfTFtntnTTtnnjeje41232j22jnntntnjeje41232j22jnntntn2sin1eej212j2jnnnnn2)(2sin1nnnnFntnnnntuje2sin1)(.5cos523cos32cos2)(ttttu三角函數(shù)形式三角函數(shù)形式（推薦！推薦！）指數(shù)形式（計(jì)算較復(fù)雜?。┲笖?shù)形式（計(jì)算較復(fù)雜！）2arctgcos112sin1221nnntnnnn 1 0)()( cos) j( 2)0()(nnnntnnHFHFti )a

56、rctgcos(2sin11212nntnnnn)5arctg5cos(1551) 3arctg3cos(1331) 1arctgcos(21 222ttt )7 .785cos(08. 0)6 .713cos(21. 0)45cos(414. 1ttt求求：響應(yīng)響應(yīng)i(t)法二：用三角函數(shù)分解形式求解法二：用三角函數(shù)分解形式求解法一：用虛指數(shù)函數(shù)分解形式求解法一：用虛指數(shù)函數(shù)分解形式求解（3） nnnnHFI)()j(2)j( )(j112sin12nnnnn, 4, 2, 0, 3, 10)(2sin) 1j (2nnnnnn|I(j ) )|( (1.41 ) )-3 3210-1(C)

57、 (0.21 ) )頻譜圖頻譜圖四、四、非非周期信號(hào)周期信號(hào)f(t) (- t )激勵(lì)下的激勵(lì)下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng) 從時(shí)域與頻域的相互關(guān)系已知從時(shí)域與頻域的相互關(guān)系已知 )j ()j ()j ( )()()(ffFHYtfthty用頻域法求用頻域法求LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟為：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的一般步驟為： i ) 由由f(t)求求F( j)； ii) 由系統(tǒng)頻率為由系統(tǒng)頻率為的頻域模型的頻域模型( (或下面要介紹的其他或下面要介紹的其他方法方法) )求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H( j)；iii) 求：求： )j ()j ()j (fFHYiv) 求求： )j ()j ()( 1 fHFty

58、FC+ +u uC C( (t t) )-+ +u us s( (t t) )-R例例2. 圖示電路，激勵(lì)電壓圖示電路，激勵(lì)電壓 ，試用試用頻域分析法頻域分析法求零狀求零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)uc(t)。)()(sttuRCCRCUUHCj11j1j1)j (Sj1)()j ()j (CUFj1)(j11)j ()j ()j ()j (RCFHYUCRCRCRCj1j1)()j1 (j1)()()e1 ()(e)()(j)(1tttUFtuRCtRCtCC解：解：五、頻域系統(tǒng)函數(shù)五、頻域系統(tǒng)函數(shù)H( j) 1定義定義 H( j)的的物理意義物理意義 1) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的頻譜密度函數(shù)的頻譜密

59、度函數(shù)2H( j )的的求法（求法（4種）種）教材教材P1082) 2) 周期激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)頻譜的加權(quán)函數(shù)周期激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)頻譜的加權(quán)函數(shù)nnnnHFY)()j (2)j ( f )( )j ()()j ()j ()j (fHthFYHF 例例231)(2 pppH已已知知：則則：)()(2)(3)(tftytyty 方程兩邊取付氏變換方程兩邊取付氏變換：)j ()j (2)j (j3)j ()j (2FYYY3 j212j3)j (1)j ()(j)j (22FYH實(shí)際上是將實(shí)際上是將 “L jL , C 1/ jC ”的的 “相量法相量法”例例. 系統(tǒng)如圖所示，已知激勵(lì)信號(hào)的頻譜，試求

60、系統(tǒng)如圖所示，已知激勵(lì)信號(hào)的頻譜，試求輸出信號(hào)輸出信號(hào)y(t)的頻譜的頻譜。H1(j)H2(j)(tf)5cos(0t )3cos(0t )(ty)j (F02 02 1003 03 )j (2H10 05 03 05 03 )j (1H10 解解：)5()5()j (21)5cos()()()j (00011FttfFtfFF)(1tf)5( j )5( j 2100FF)(1ty)(2tf)(1 jF03 03 21007 07 05 03 05 03 )(1 jH10 )j ()j ()j (111HFY)(1 jY03 03 21005 05 )3()3()j (21)3cos()()