全國(guó)高中物理競(jìng)賽預(yù)賽試卷及答案

1、全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題本卷共九題，滿分200分一、（20分，每小題10分）1 .如圖所示，彈簧Si的上端固定在天花板上， 下端連一小球 A,球A與球B之間用線相連。球B與 球C之間用彈簧S2相連。A、B、C的質(zhì)量分別為 mA、mB、me,彈簧與線的質(zhì)量均可不計(jì)。開始時(shí)它 們都處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將A、B間的線突然剪斷，求線剛剪斷時(shí) A、B、C的加速度。2 .兩個(gè)相同的條形磁鐵，放在平板AB上，磁鐵的N、S極如圖所示，開始時(shí)平板及磁鐵皆處于水平位置，且靜止不動(dòng)。（i）現(xiàn)將 AB突然豎直向下平移（磁鐵與平板間始終相互接觸），并使之停在 AB'處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)條形磁鐵碰在一起。（ii）如果將

2、 AB從原位置突然豎直向上平移，并使之停在AB”位置，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一起。AB試定性地解釋上述現(xiàn)象。S N S NA' Rr、（20分，第1小題12分，第2小題8分）1.老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ邸?i ) 一物體 P放在明視距離處，老爺爺看不清楚。試在示意圖1中畫出此時(shí) P通過眼睛成像的光路示意圖。(ii)帶了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P,試在示意圖2中畫出P通過老花鏡和眼睛成像的光路示意圖。圖12.有兩個(gè)凸透鏡，它們的焦距分別為fl和f2,還有兩個(gè)凹透鏡，它們的焦距分別為f3和f4。已知，fl>f2>l f3 |>| f4 |

3、。如果要從這四個(gè)透鏡中選取兩個(gè)透鏡，組成一架最簡(jiǎn)單的單筒望遠(yuǎn)鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應(yīng)選焦距為 的透鏡作為物鏡，應(yīng)選焦距為 的透鏡作為目、(20分，第一小題12分，第2小題8分)1 .如圖所示，電荷量為qi的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，電荷量為q2的正點(diǎn)電荷固定在 x軸上,兩電荷相距l(xiāng)。已知q2 = 2q1o（i ）求在x軸上場(chǎng)強(qiáng)為零的 P點(diǎn)的坐標(biāo)。（ii）若把一電荷量為qo的點(diǎn)電荷放在 P點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性（只考慮qo被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)和被限制在沿垂直于 x軸方向運(yùn)動(dòng)這兩種情況）。41缶»> - -f -* x2 .有一靜電場(chǎng)，其電勢(shì)U隨坐標(biāo)x的改變而變

4、化，變化的圖線如圖1所示，試在圖2中畫出該靜電場(chǎng) 的場(chǎng)強(qiáng)E隨x變化的圖線（設(shè)場(chǎng)強(qiáng)沿 x軸正方向時(shí)取正值，場(chǎng)強(qiáng)沿 x軸負(fù)方向時(shí)取負(fù)值）。圖1圖2四、（20分）一根長(zhǎng)為 L （以厘米為單位）的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管,端封閉，一端開口，處在大氣中。大氣的壓強(qiáng)與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長(zhǎng)L >H現(xiàn)把細(xì)管彎成 L形，如圖所示。假定細(xì)管被彎曲時(shí)，管長(zhǎng)和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化?？梢园阉y從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出。當(dāng)細(xì)管彎成 L形時(shí)，以l表示其豎直段的長(zhǎng)度，問 l取值滿足什么條件時(shí)，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值（用水銀柱的長(zhǎng)度表示）五、（20分

5、）一對(duì)正、負(fù)電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子。電子偶素中的正電子與負(fù) 電子都以速率 v繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì) 量m、速率v和正、負(fù)電子間的距離 r的乘積也滿足量子化條件，即h mrv = n 2 二式中n稱為量子數(shù)，可取整數(shù)值1, 2, 3,；h為普朗克常量。試求電子偶素處在各定態(tài)時(shí)的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差。六、（25分）如圖所示，兩個(gè)金屬輪Ai、A2,可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸。1和O2轉(zhuǎn)動(dòng)，O1和O2相互平行，水平放置。每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，Al輪的輻條長(zhǎng)為ai、電阻為R

6、i,A2輪的輻條長(zhǎng)為a2、電阻為R2,連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為ao的絕緣圓盤 D與Ai同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在 D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為 m的重物P。當(dāng)P下落時(shí)， 通過細(xì)繩帶動(dòng) D和Ai繞Oi軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，Ai、A2保持接觸，無相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸； 兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連。除R和Ai、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì)。整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行。現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度。七、（25分）圖示為一固定不動(dòng)的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑

7、為R,圓筒的軸線在 O處。圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng) 強(qiáng)度為B。筒壁的H處開有小孔，整個(gè)裝置處在真空中?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子 P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng) 與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時(shí)其電荷量是不變的。若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：1. P的速率應(yīng)為多少？2. P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時(shí)間為多少？八、（25分）圖中正方形 ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長(zhǎng)都是l。一根長(zhǎng)為21的柔軟的輕細(xì)繩，一端固定在A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，初始時(shí)，手持小球

8、，將繩拉直，繞過 B點(diǎn)使小球處于 C點(diǎn)。現(xiàn)給小球一豎直向下的初速度V0,使小球與 CB邊無接觸地向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)V2分別取下列兩值時(shí)，小球?qū)⒋虻搅荷系暮翁帲?. v0 =2(6 .2 3.3 1)gl2. v0 =2(3.3 11)gl設(shè)繩的伸長(zhǎng)量可不計(jì)而且是非彈性的。九、(25分)從赤道上的 C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N,要求發(fā)射所用的能量最少。假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為 R的球體，R= 6400 km。已知質(zhì)量為 m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量 E與橢圓半長(zhǎng)軸 a的關(guān)系為Mm2a式中M為地球質(zhì)量,G為引力常量。1.假定地球沒有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用

9、 速度方向與地心 O到發(fā)射點(diǎn) C的連線之間的夾角表示)2 .若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少?Mm3 .試導(dǎo)出 E = -G。2a全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.、參考解答：Si的彈力(1)1.線剪斷前，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。此時(shí)彈簧Fi KmA mB mc）g彈簧S2的彈力F2=m0g（2）在線剛被剪斷的時(shí)刻，各球尚未發(fā)生位移，彈簧的長(zhǎng)度尚無變化，故Fl、F2的大小尚未變化，但線的拉力消失。設(shè)此時(shí)球 A、B、C的加速度的大小分別為 aA、aB、ac ,則有Fi -mAg =mAaA（3）Fz+mBg=mBaB（4）F2mcg=mcac（5）解以上有關(guān)各式得mB mc

10、aA =g萬向豎直向上（6）mAmB mcaB =cg萬向豎直向下（7）mBac =0（8）2.開始時(shí)，磁鐵靜止不動(dòng)，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡。（i ）從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了兩個(gè)階段。起初，板向下加速移動(dòng)，板與 磁鐵有脫離接觸的趨勢(shì)，磁鐵對(duì)板的正壓力減小，并跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運(yùn)動(dòng)。在 這過程中，由于磁鐵對(duì)板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小。向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小， 最大靜摩擦力也愈小。當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時(shí)，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板 相向運(yùn)動(dòng)并吸在一起。接著，磁鐵和板一起作加速度

11、方向向上、速度向下的運(yùn)動(dòng)，直到停在AB'處。在這過程中，磁鐵對(duì)板的正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起，磁力、接觸處出現(xiàn)的彈 力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的，兩條磁鐵吸在一起的狀態(tài)不再改變。（ii）從板突然豎直向上平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動(dòng)也經(jīng)歷兩個(gè)階段。起初，板和磁鐵一起作加速度 方向向上、速度向上的運(yùn)動(dòng)，在這過程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用于每個(gè)磁鐵的磁力與 靜摩擦力始終保持平衡，磁鐵在水平方向不發(fā)生運(yùn)動(dòng)。接著，磁鐵和板一起作加速度方向向下、速度向上 的運(yùn)動(dòng)，直到停在 A'B ”處。在這過程中，磁鐵對(duì)板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小，向下的加速

12、度 愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小。當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時(shí)，最大靜摩擦力減小到小 于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運(yùn)動(dòng)并吸在一起。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題20分）1.10 分。（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各 1 分，aA、aB 的方向各 1 分。2. 10分。（i） 5分，（ii） 5分（必須正確說出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這 5分，否則不 給分）。二、參考答案i)(ii)圖1圖21（iii） -32. fi, f4。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題20分）1.12 分。（i） 4 分，（ii） 4 分，（iii） 4 分。2. 8分。兩個(gè)空格都填對(duì)，才給這

13、8分，否則0分。三、參考解答:P點(diǎn)只可能位于兩點(diǎn)電荷之間。設(shè) P點(diǎn)的坐標(biāo)為1.（i）通過對(duì)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)方向的分析，場(chǎng)強(qiáng)為零的則有沏,kq1_k q222Xo (l -Xo)(1)已知q2 =2q1(2)由（1）、（2）兩式解得Xo=（亞-1）l（3）（ii）先考察點(diǎn)電荷 qo被限制在沿 x軸運(yùn)動(dòng)的情況。qr q2兩點(diǎn)電荷在 P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別E10 =鳴XoE20=kq-2(l -Xo)且有Eo= E2o二者方向相反。點(diǎn)電荷qo在P點(diǎn)受到的合力為零，故 P點(diǎn)是qo的平衡位置。在 x軸上P點(diǎn)右側(cè)x=xo +&x處，中、q2產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為E；二kq12(xox):二 E1o方

14、向沿x軸正方向E2=kq2(l ixo - x)方向沿x軸負(fù)方向P點(diǎn)。在X軸上P點(diǎn)左側(cè)x= X0 -Ax由于 E2aE1, x=X0+ix處合場(chǎng)強(qiáng)沿x軸的負(fù)方向，即指向處q1、q2的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為方向沿x軸正方向方向沿x軸負(fù)方向Ei = k-q12E10(xo - x)E2 =kq22 ; E20 (l -xolx)P點(diǎn)。由于E/cEJ, x =x0 -Ax處合場(chǎng)強(qiáng)的方向沿 x軸的正方向，即指向由以上的討論可知，在 x軸上，在 P點(diǎn)的兩側(cè)，點(diǎn)電荷 qi和q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)的方向都指 向P點(diǎn)，帶正電的點(diǎn)電荷在 P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向P點(diǎn)，所以當(dāng)qo>O時(shí)，P點(diǎn)是qo的穩(wěn)定平衡位置

15、。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都背離P點(diǎn)，所以當(dāng) qo<O時(shí)，P點(diǎn)是qo的不穩(wěn)定平衡位置。再考慮qo被限制在沿垂直于 x軸的方向運(yùn)動(dòng)的情況。沿垂直于x軸的方向，在 P點(diǎn)兩側(cè)附近，點(diǎn)電荷qi和q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)沿垂直 x軸分量的方向都背離 P點(diǎn)，因而帶正電的點(diǎn)電荷在 P點(diǎn) 附近受到沿垂直 x軸的的分量的電場(chǎng)力都背離P點(diǎn)，所以，當(dāng)qo>o時(shí)，P點(diǎn)是qo的不穩(wěn)定平衡位置。帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在 P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向 P點(diǎn)，所以當(dāng)qo<o時(shí)，P點(diǎn)是qo的穩(wěn)定平衡位置。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題2。分）1. 12 分（i ） 2 分（ii）當(dāng)qo被限制在沿 x軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，正確論證

16、qo>o, P點(diǎn)是qo的穩(wěn)定平衡位置，占 3分；正 確論證qo<o, P點(diǎn)是qo的不穩(wěn)定平衡位置，占 3分（未列公式，定性分析正確的同樣給分）。當(dāng)qo被限制在垂直于 x軸的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，正確論證 qo>o , P點(diǎn)是qo的不穩(wěn)定平衡位置，占 2分； 正確論證qo<o , P點(diǎn)是qo的穩(wěn)定平衡位置，占 2分。2. 8分?？v坐標(biāo)標(biāo)的數(shù)值或圖線有錯(cuò)的都給o分?？v坐標(biāo)標(biāo)的數(shù)值、圖線與參考解答不同，正確的同樣給分。四、參考解答開始時(shí)豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度為L(zhǎng),壓強(qiáng)為H （以cmHg為單位），注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短。當(dāng)管中水銀柱長(zhǎng)度為x時(shí)，管內(nèi)空氣壓強(qiáng) p= (H +

17、 x),根據(jù)波意耳定律，此時(shí)空氣柱長(zhǎng)度HLL 二H x空氣柱上表面與管口的距離d = L - L =xH x開始時(shí)x很小，由于L>H,故1H x即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至銀柱表明與管口相平，可分下面兩種情況討論。1.水銀柱表明與管口相平時(shí)，水銀柱未進(jìn)入水平管 此時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度x _ l ,由波意耳定律有(1)(2)d=x (即水銀柱上表面與管口相平)時(shí)為止。何時(shí)水(H +x)(L x) = HL(3)由(3)式可得x = LH(4)由此可知，當(dāng)l之L-H時(shí)，注入的水銀柱的長(zhǎng)度x的最大值xmax = L - H( 5)2.水銀柱表面與管口相平時(shí)，一部分水銀進(jìn)入水平管此時(shí)注

18、入水銀柱的長(zhǎng)度 x>l ,由波意耳定律有(H l)(L -x) = HL(6)由(8)式得Llx 二H lLl二 x 二H ll <LH ,或 L>H +l x = L - H 二 L - HH l(8)(9)(10)即當(dāng)l<L-H時(shí)，注入水銀柱的最大長(zhǎng)度x < xmax由上討論表明，當(dāng)l 2L-H 時(shí)，可注入的水銀量最大，這時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度為xmax，即(5)式。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)正確論證l至L-H 時(shí)可注入的水銀量最大，占 13分。求出最大水銀量占 7分。若論證的方法與參 考解答不同，只要正確，同樣給分。五、參考解答：r正、負(fù)電子繞它們連線的中點(diǎn)作半徑為一

19、的圓周運(yùn)動(dòng)，電子的電荷量為e ,正、負(fù)電子間的庫侖2力是電子作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，即(1)f =mr (r/2)正電子、負(fù)電子的動(dòng)能分別為Ek+和1 2Ek - EK=mv2正、負(fù)電子間相互作用的勢(shì)能Ep2-k r(3)電子偶素的總能量E =Ek . Ek_ Ep(4)由（1）、（2）、（3）、（4）各式得1 e2E = 一 - k 2 r(5)根據(jù)量子化條件hmrv = n 2 二（6）式表明，r與量子數(shù)nn= 1, 2,有關(guān)。有（3,(6)1）和（6）式得與量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的定態(tài)r為2. 2n hrn = -22-2 二 ke mn=1, 2, 3,代入（5）式得與量子數(shù) n對(duì)應(yīng)的定態(tài)的E值

20、為En2.2n hn = 1, 2, 3,(8)n= 1時(shí)，電子偶素的能量最小，對(duì)應(yīng)于基態(tài)。基態(tài)的能量為Ei 二2. 2 4二 k e mh2(9)n= 2是第一激發(fā)態(tài)，與基態(tài)的能量差h2(10)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題20分）（2）式2分，（5）式4分，（7）式、（8）式各5分，（10）式4分。六、參考解答：P被釋放后，細(xì)繩的張力對(duì) D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A1作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng)， 通過兩個(gè)輪子之 間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸，A1帶動(dòng)A2作順時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng)。 由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場(chǎng)線，所以在A1產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢(shì)，在A2產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢(shì)，經(jīng)電阻 R構(gòu)成閉合電路。A1、A2中各輻

21、條上流有沿電動(dòng)勢(shì)方向的電流，在磁場(chǎng)中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁 力矩是阻力矩，使 A1、A2加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢(shì)頭減緩。A1、A2從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、Ai和A2停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí) P勻速下落，設(shè)其速度為v,則Ai的角速度V-例=（1）a。Ai帶動(dòng)A2轉(zhuǎn)動(dòng)，A2的角速度02與Ai的角速度Si之間的關(guān)系為(2)Ai中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為12Ei = Bai 01（3）2軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是Ai中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值見（3）式。同理，A2中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A2中

22、四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為E2 = Bafo2（4）2Ai中，每根輻條的電阻為Ri,軸與輪邊之間的電阻是Ai中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為c Ri/、Rai = （5）4A2中，每根輻條的電阻為R2,軸與輪邊之間的電阻是A2中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為cR2Ra2 = （6）4Ai輪、A2輪和電阻 R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為,Ei EiIR Rai Rai以(i)至(6)式代入(7)式，得f 、i -，、Bai(a1 +ai )v(8) _ <2a0 ?_ R RiR244當(dāng)P勻速下降時(shí)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即(9)以（8）式代入（9）式得，一

23、一 一、2(10)mg(4R R R2)a。v =_2 2-2B 研(ai ai)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題25分）（1）、（2）式各 2 分，（3）、（4）式各 3 分，（5）、（6）、（7）式各 2 分，（9）式 6 分，（10）式 3 分。七、參考答案:1 .如圖1所示，設(shè)筒內(nèi)磁場(chǎng)的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶 正電，其速率為v°P從小孔射入圓筒中，因受到磁場(chǎng)的作用力而偏離 入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出。造此情形中，P在筒內(nèi)的路徑由三段等長(zhǎng)、等半徑的圓弧HM、MN、和NH組成。現(xiàn)考察其中一段圓弧 MN,如圖2所示

24、。由于P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均 與軌道相切，兩者的夾角2 a = n（1）3設(shè)圓弧的圓半徑為 r ,則有2V qvB = m r圓弧對(duì)軌道圓心 O'所張的圓心角由幾何關(guān)系得Pr = R cot 2解（2）、（3）、（4）式得3qBR v =m(2)(3)(4)(5)2. P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為s=Br（6）經(jīng)歷時(shí)間為* sti 二一VP從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時(shí)間為t=3t1（8）由以上有關(guān)各式得二 m t :qB(9)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題25分）1.17 分。（1）、（2）、（3）、（4）式各 3 分，（5）式 5 分。2. 8 分。（6）、（7）、（8

25、）、（9）式各 2 分。八、參考解答：小球獲得沿豎直向下的初速度 vo后，由于細(xì)繩處于松弛狀態(tài)，故從 C點(diǎn)開始，小球沿豎直方向作 初速度為 v0、加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖 1中的M點(diǎn)時(shí)，繩剛被拉直，勻加速直 線運(yùn)動(dòng)終止，此時(shí)繩與豎直方向的夾角為a=30°。在這過程中，小球下落的距離s =l+2l cosot = l（1 + 點(diǎn)）（1）細(xì)繩剛拉直時(shí)小球的速度Vi滿足下式：V2 =V2 +2gs在細(xì)繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長(zhǎng)量可以不計(jì)，而且繩是非彈性的，故小球沿細(xì)繩方向的分速度V1cos0（變?yōu)榱?，而與繩垂直的分速度保持不變，以后小球?qū)腗點(diǎn)開始以初速度一 1，v1 =

26、 v1 sin a =v1（3）2在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑為 21,圓心位于 A點(diǎn),如圖1所示。由（1）、（2）、（3）式得V； = lv2 +gl（1 + £）42（4）圖1當(dāng)小球沿圓周運(yùn)動(dòng)到圖中的N點(diǎn)時(shí)，其速度為 V,細(xì)繩與水平方向的夾角為0 ,由能量關(guān)系有-mV*2 =- mV2 +mg（V3l +2l sin 0）（5）22用Ft表示繩對(duì)小球的拉力，有Ft mg sin 二2Vm 一2l(6)1. V2 =2(6 .2 3.3 -1)gl設(shè)在0 =61時(shí)（見圖2）,繩開始松弛，F(xiàn)t=0,小球的速度 v=u1。以此代入（5）、（6）兩式得V2 =Ui2 +2g(>

27、;/3l +2lsind)2Ui 2l由（4）、（7）、（8）式和題設(shè) Vo的數(shù)值可求得4 =45 口（9）Ui =4&g（10）即在 6 =45立時(shí)，繩開始松弛。以 Ni表示此時(shí)小球在圓 周上的位置，此后，小球?qū)⒚撾x圓軌道從Ni處以大小為Ui,方向與水平方向成 45 角的初速度作斜拋運(yùn)動(dòng)。以N1點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系N1xy, x軸水平向右，y軸豎直向上。若以小球從Ni處拋出的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，小球在時(shí)刻 t的坐標(biāo)分別為、2 ,x = u1 cos45 t = - u1t(8)圖22(11)12.212y = u1 sin 45 t gt =u1tgt222(12)由（11）、

28、（12）式，注意到（10）式，可得小球的軌道方程:x2x2一x- 2l(13)AD面的橫坐標(biāo)為x=2l cos45° = V2l（14）由（13）、（14）式可得小球通過 AD所在豎直平面的縱坐標(biāo)y=0（15）由此可見小球?qū)⒃贒點(diǎn)上方越過，然后打到DC邊上，DC邊的縱坐標(biāo)為y=-(2l sin 45 -l) -( .2 -1)l把(16)式代入(13)式，解得小球與DC邊撞擊點(diǎn)的橫坐標(biāo)x= 1.75 l撞擊點(diǎn)與D點(diǎn)的距離為l =x-2lcos45:0.35l2. v2 =2(3.3 11)gl(16)(17)(18)設(shè)在8=% 時(shí)，繩松弛，F(xiàn)t=0,小球的速度 v=u2,以此代替（5

29、）、（6）式中的 81、u1，得v； =u2 +2g(V3l +2l sin02)(19)mg sin 力2U2 二m一2l(20)以 v2 =2(3、3 11)gl代入（4）式，與（19）、（20）式聯(lián)立，可解得）(22)2 =90u2 = 2gl（22）式表示小球到達(dá)圓周的最高點(diǎn)處時(shí)，繩中張力為0,隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，小球?qū)⒗@以D點(diǎn)為圓心，l為半徑的圓周打到梁上的 C點(diǎn)。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（本題25分）（3）式2分，（5）、（6）式各1分，（9）、（10）式各3分，得出小球不可能打在 AD邊上，給3分, 得出小球能

30、打在 DC邊上，給2分，正確求出小球打在 DC邊上的位置，M 2分。求出（21）、（22）式 各占3分，得出小千能打在 C點(diǎn)，再給2分。如果學(xué)生直接從拋物線方程和y = -（2lsin45s-l） = -（V2-1）l求出x= 1.75 l,同樣給分。不必證明不能撞擊在 AD邊上。九、參考解答：1.這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下，將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，如果導(dǎo)彈能打到 N點(diǎn), 則此橢圓一定位于過地心O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn) C組成的平面（此平面是 C點(diǎn)所在的子午面）內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度（初速度 v ）必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，注意到橢圓上的 C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn) O的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過O點(diǎn)垂直CN的的直線，即圖上的直線 AB,橢圓的另一焦點(diǎn)必在 AB上。已知質(zhì)量為 m的物體在質(zhì)量為 M的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量 為E （無窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn)）與橢圓半長(zhǎng)軸的關(guān)系匚 GMmE =2a要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長(zhǎng)軸(1)a最短。根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點(diǎn)到橢圓上任一點(diǎn)的距離之和為2a,現(xiàn)C點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn) O的距離是定