第3章 空間力系

1、2022-4-221第三章第三章空間力系空間力系2022-4-222第三章第三章 空間力系空間力系 31 空間匯交力系空間匯交力系 32 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩 33 空間力偶空間力偶 34 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化 主矢和主矩主矢和主矩 35 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程 36 重心重心重點內容：重點內容：空間力系的簡化和平衡條件；空間力系的簡化和平衡條件；基本要求：基本要求：1、掌握力在空間直角坐標的兩種投影方法；、掌握力在空間直角坐標的兩種投影方法；2、理解力矩和力偶矩的概念；、理解力矩和力偶矩的概念；3、會應用空間匯交力系的

2、平衡方程求解平衡問題；、會應用空間匯交力系的平衡方程求解平衡問題；4、理解平行力系中心、重心和形心的概念；會確定重心的位置。、理解平行力系中心、重心和形心的概念；會確定重心的位置。2022-4-2233131空間匯交力系空間匯交力系平面匯交力系合成的力多變形法則對平面匯交力系合成的力多變形法則對空間匯交力系是否適用？空間匯交力系是否適用？2022-4-224cosyFFcoszFF對空間多個匯交力是否好用？對空間多個匯交力是否好用？ 用解析法用解析法直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐標軸上的投影、力在直角坐標軸上的投影cosFFx2022-4-225間接（二次）投影法間接（二次）投影法si

3、nxyFFsincosxFFsin sinyFFcoszFF2 2、空間匯交力系的合力與平衡條件、空間匯交力系的合力與平衡條件RiFFRxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 2022-4-226合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFF（3131）空間匯交力系平衡的充分必要條件是：空間匯交力系平衡的充分必要條件是：0 xF 0yF 0zF 稱為空間匯交力系的平衡方程。稱為空間匯交力系的平衡方程。( (3-2)3-2)0RF該力系的合力等于零，即該力系的合力等于零，即 由式（由式（3131）cos(

4、, )xRRFFiF方向余弦方向余弦RyRFFjF),cos(RzRFFkF),cos(2022-4-227例例3-13-1 已知：已知：nF、求：力求：力 在三個坐標軸上的投影。在三個坐標軸上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF2022-4-228例例3-23-2 已知：已知：物重物重P=P=10kN10kN，CE=EB=DECE=EB=DE；030，求：桿受力及繩拉力求：桿受力及繩拉力解：畫受力圖如圖，解：畫受力圖如圖，列平衡方程列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45c

5、os30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA結果：結果：kN54. 321 FFkN66. 8AF2022-4-2291 1、 力對點的矩以矢量表示力對點的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 32 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩( )OM Fr F （3333）(3)(3)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。(2)(2)方向方向: :轉動方向轉動方向(1(1）大小）大小: :力力F F與力臂的乘積與力臂的乘積三要素：三要素：r2022-4-2210力對點力對點O O的矩的矩 在在三個坐標軸上的投影為三個坐標軸上的投影為: :(

6、 )OMFxyzFF iF jF k( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF ()oyzzMFxFyF （3535）rxiyjzk又又( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk則則zyxFFFzyxkji（3434）kyFxFjxFzFi )-zF(yFxyzxyz)()(2022-4-22112.2.力對軸的矩力對軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該軸的矩為零。面內），力對該軸的矩為零。（3-6 6）dFFMFMOZxyxy)(）（2022-4-2212( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF=

7、 （3-7）zyF yF z 3 3、 力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系 已知：力已知：力 , ,力力 在三根軸上的分力在三根軸上的分力 ， ， ，力，力 作作用點的坐標用點的坐標 x, y, zFxFyFzFFFF求：力求：力 對對 x, y, z軸的矩軸的矩yz-0zyFF2022-4-2213xFz= =+ +0 0zFx- -= = （3-83-8）xzF z Fx ( )()()()zzxzyzzMFMFMFMF= -= -yFxxFy+ 0+ 0yxF x F y = = （3-93-9）( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )o

8、xyyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 比較（比較（3-53-5）、（）、（3-73-7）、（）、（3-83-8）、（）、（3-93-9）式可得）式可得即，力對點的矩矢在過該點的某軸上的投影，即，力對點的矩矢在過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。等于力對該軸的矩。( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF2022-4-2214例例3-33-3 已知：已知：, alF求：求：FMFMFMzyx,cosalFFMxcosFlFMysinlFFMz解：把力解：把力 分解如圖分解如圖F2022-4-221533 33 空間力偶空間力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以

9、矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1 1） 大小：力與力偶臂的乘積；大?。毫εc力偶臂的乘積；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：轉動方向；方向：轉動方向；2022-4-2216B AM rF力偶矩矢力偶矩矢 （310310）2022-4-2217( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2 2、力偶的性質、力偶的性質BAMrF力偶矩力偶矩FF因因（2 2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。改變而改變。(1(1）力

10、偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數(shù)和為零）力偶中兩力在任意坐標軸上投影的代數(shù)和為零 。2022-4-2218（3 3）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力內任意移轉，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。偶臂的長短，對剛體的作用效果不變。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA2022-4-2219(4)(4)只要保持力偶矩矢不變，力偶可從其所在平只要保持力偶矩矢不變，力偶可從其所在平面移至另一與此

11、平面平行的任一平面，對剛體面移至另一與此平面平行的任一平面，對剛體的作用效果不變。的作用效果不變。211FFF332FFF=2022-4-2220(5)(5)力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。力偶沒有合力，力偶平衡只能由力偶來平衡。定位矢量定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）自由矢量（搬來搬去，滑來滑去）滑移矢量滑移矢量2022-4-22213 3力偶系的合成與平衡條件力偶系的合成與平衡條件111222,.,nnnMrF MrFMrF=RiFFiMM有有M為合力偶矩矢，等于各分為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢

12、的矢量和。力偶矩矢的矢量和。如同右圖如同右圖RF2022-4-2222簡寫為簡寫為 （31111）222()()()xixiyizMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM稱為空間力偶系的平衡方程。稱為空間力偶系的平衡方程。000 xyzMMM有有空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合合力偶矩矢等于零，即力偶矩矢等于零，即 0M MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izM2022-4-2223例例3-43-4, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 軸上的

13、投影軸上的投影 。已知：在工件四個面上同時鉆已知：在工件四個面上同時鉆5 5個孔，每個孔所受個孔，每個孔所受切削力偶矩均為切削力偶矩均為8080NNm。解：把力偶用力解：把力偶用力偶矩矢表示，平偶矩矢表示，平行移到點行移到點A A 。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz列力偶平衡方程列力偶平衡方程2022-4-2224圓盤面圓盤面O1垂直于垂直于z軸，軸，求求: :軸承軸承A,BA,B處的約束力。處的約束力。例例3-53-5已知：已知：F F1 1=3N=3N，F(xiàn) F2 2=5N=5N，構件自

14、重不計。構件自重不計。兩盤面上作用有力偶，兩盤面上作用有力偶，圓盤面圓盤面O2垂直于垂直于x軸，軸，AB AB =800mm,=800mm,兩圓盤半徑均為兩圓盤半徑均為200200mmmm，解：取整體，受力圖如圖解：取整體，受力圖如圖b b所示。所示。解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmBzFF0yM08004001mmmmBxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF2022-4-222534 34 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化主矢和主主矢和主矩矩1 1空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化一空間匯交與空間力偶系等效

15、代替一空間任意力系一空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系其中，各其中，各 ，各，各iiFF）（i0iFMM2022-4-2226RiixiyixFFF iF jF k 稱為空間力偶系的主矩稱為空間力偶系的主矩()oioiMMMF( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k稱為力系的主矢稱為力系的主矢空間力偶系的合力偶矩空間力偶系的合力偶矩由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有式中，式中， 分別表示分別表示各力各力對對 ， ， , ,軸的矩。軸的矩。( ),( ),( )xyzMFMFMFxyz空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力2022-4-2227

16、有效推進力有效推進力RxF飛機向前飛行飛機向前飛行RyF有效升力有效升力飛機上升飛機上升RzF側向力側向力飛機側移飛機側移OxM滾轉力矩滾轉力矩飛機繞飛機繞x x軸滾轉軸滾轉OyM偏航力矩偏航力矩飛機轉彎飛機轉彎OzM俯仰力矩俯仰力矩飛機仰頭飛機仰頭2022-4-22281 1） 合力合力ORMdFORMdF最后結果為一合力。合力作用線距簡化中心為最后結果為一合力。合力作用線距簡化中心為2 2 空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）0,0,ROROFMFM當當 時，時，0,0ROFM 當當 最后結果為一個合力。最后結果為一個合力。合力作用點過簡化中心。合力

17、作用點過簡化中心。2022-4-2229()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點合力矩定理：合力對某點之矩等于各分力對同一點之矩的矢量和。之矩的矢量和。合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。合力對某軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。（2 2）合力偶）合力偶當當 時，最后結果為一個合力偶。此時與簡化時，最后結果為一個合力偶。此時與簡化中心無關。中心無關。0,0ROFM （3 3）力螺旋）力螺旋 當當 時時0,0,RORFMFOM力螺旋中心軸過簡化中心力螺旋中心軸過簡化中心2022-4-2230當當 成角成角 且且 既不平行也不垂直時既不平行也不垂

18、直時0,0,ROROFMF M,ROF M,力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為sinORMdF（4 4）平衡）平衡當當 時，空間力系為平衡力系時，空間力系為平衡力系0,0ROFM 2022-4-223135 35 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充分必要條件：空間任意力系平衡的充分必要條件：1.空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM（312312）空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程000zxyFMM（313313）2.2.空間約束類型舉例空間約束類型舉例3.3.空間力系平衡問題舉例空間力系平衡問

19、題舉例主矢、主矩分別為零主矢、主矩分別為零2022-4-22321、球形鉸鏈、球形鉸鏈二、空間約束二、空間約束 觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉動）觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉動）可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉動為反力偶。約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉動為反力偶。例例2022-4-2233球形鉸鏈球形鉸鏈2022-4-22342、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠(柱柱)軸承軸承2022-4-22353、滑動軸承、滑動軸承 2022-4-22364、止推軸

20、承、止推軸承 2022-4-22375、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板2022-4-22386、空間固定端、空間固定端2022-4-2239例例3-73-7 已知：已知：P=P=8kN8kN, ,101kNP各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：A A、B B、C C 處約束力處約束力解：研究對象：小車解：研究對象：小車受力：受力：,1DBAFFFPP列平衡方程列平衡方程0zF 0FMx 0FMy01DBAFFFPP022 . 12 . 01DFPP06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP結果：結果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF2022-4-2240例例

21、3-8 3-8 已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：21,FF及及A A、B B處約束力處約束力解：研究對象，解：研究對象， 曲軸曲軸受力：受力：BzBxAzAxFFFFFFF,21列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 2022-4-2241 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF結果：結果：,6000,300021NNFF,93

22、97,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF2022-4-2242例例3-103-10已知：已知：F F、P P及各尺寸及各尺寸 求：求：桿內力桿內力解：研究對象，長方板解：研究對象，長方板受力圖如圖受力圖如圖 列平衡方程列平衡方程 0FMAB 0FMAE 0FMAC 0FMEF026PaaF26PF 05F022216baabFPaaF04F01F 0FMFG022bFPbFbPF5 . 12 0FMBC045cos232bFPbbFPF2232022-4-224336 36 重重 心心1 1計算重心坐標的公式計算重心坐標的公式對對y軸用合力矩定理軸用合力矩定理1122

23、.CnniiP xP xP xP xP x有有iiCPxxP對對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理有有iiCPyyP2022-4-2244再對再對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理1122.CnniiP zP zPzPzP z iiCPzzP則計算重心坐標的公式為則計算重心坐標的公式為iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（314314）對均質物體，有對均質物體，有:iiCAxxAiiCA yyAiiCAzzA稱為重心或形心公式稱為重心或形心公式VxVxiicVyVyiicVzVziic對均質板狀物體，有對均質板狀物體，有:2022-4-22452 2確定重心的懸掛法與稱重法確定重心的懸掛法與稱重

24、法（1 1） 懸掛法懸掛法圖圖a a中左右兩部分的重量是否一定相等？中左右兩部分的重量是否一定相等？2022-4-2246（2 2） 稱重法稱重法1CP xF l1CFxlP則則有有2CFxlP22211CFFzrlHPH 整理后，得整理后，得若汽車左右不對稱，如若汽車左右不對稱，如何測出重心距左（或右）何測出重心距左（或右）輪的距離？輪的距離？2022-4-2247例例3-123-12求：其重心坐標求：其重心坐標已知：均質等厚已知：均質等厚Z Z字型薄板尺寸如圖所示。字型薄板尺寸如圖所示。解解: :厚度方向重心坐標已確定，厚度方向重心坐標已確定，則則用虛線分割如圖，用虛線分割如圖，為三個小矩

25、形，為三個小矩形，其面積與坐標分別為其面積與坐標分別為只求重心的只求重心的x,y坐標即可。坐標即可。mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC2022-4-2248例例3-133-13求：其重心坐標。求：其重心坐標。已知：等厚均質偏心塊的已知：等厚均質偏心塊的解：用負面積法，解：用負面積法，12344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,() ,22AR Ar bAr而而得得0,Cx由對稱性，有由對稱性，有r3A小圓（半徑為小圓（半徑為 ）面積為）面積為 ，為負值。，為負值。rb2A小半圓（半徑為小半圓（半徑為 ）面積為）面積為 , ,為三部分組成，為三部分組成，1A設大半圓面積為設大半圓面積為 ，mmmmmm13,17,100brRmm01.40321332211