第8章_理想流體的有旋和無旋流動

1、第八章 理想流體的無旋和有旋流動第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程l單位時間內(nèi)x方向凈質(zhì)量流量dydzdxvxvxx2dxdydzxvx)(xzyABCDEFGHdxdydzxvzvyvdydzdxvxvxx2第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程l同理：單位時間內(nèi)y方向凈質(zhì)量流量dxdydzyvy)(lz方向：dxdydzzvz)(因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為因此，單位時間流過微元體控制面的總凈通量為: :dxdydzvzvyvxdAvzyxnCS微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為：微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化率為： dxdydztdxdydztdVtCVCV

2、l單位時間內(nèi)控制體內(nèi)密度變化引起的質(zhì)量變化量為：dxdydzt 第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程l由質(zhì)量守恒：即：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長率即：控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增長率 通過界面流出控制體的質(zhì)量流量通過界面流出控制體的質(zhì)量流量00)()()(zvyvxvtzyx微分形式的連續(xù)方程微分形式的連續(xù)方程0dAvdVtCVCSn第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程引入哈密頓算子引入哈密頓算子kzjyixzvyvxvvzyxl連續(xù)方程：zvyvxvvzyx)()()()(0)(vt第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程用歐拉法分析流體運動時:zvyvxvtdtdzyx當?shù)貙?shù)當?shù)貙?shù)遷移導數(shù)遷移導數(shù)0)(zvyvxvdtdzyx0)(vd

3、td0)()()(zvyvxvtzyx展開并整理，得：展開并整理，得：第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程l散度：vzvyvxvvzyx)div(0)(divvt0)(divvdtd 微分形式的連續(xù)方程適用于微分形式的連續(xù)方程適用于所有流體所有流體（粘性、（粘性、理想），理想），所有流態(tài)所有流態(tài)（層、紊、亞音速、超音速等）。（層、紊、亞音速、超音速等）。第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程l對定常流動：0)()()(zvyvxvzyx0)(divv0)(vl對不可壓縮流體定常流動：0zvyvxvzyx0)(divv0 vl對不可壓縮流體二維定常流動：0yvxvyx 0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44

4、),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv第二節(jié)流體微團運動的分解剛體的運動速度剛體任意參考點的平移速度剛體任意參考點的平移速度繞參考點的旋轉速度繞參考點的旋轉速度流體任一質(zhì)點速度質(zhì)點上任意參考點的平移速質(zhì)點上任意參考點的平移速度度繞通過該點的瞬時軸旋轉速度繞通過該點的瞬時軸旋轉速度變形速度變形速度第二節(jié)流體微團運動的分解l流體微團的運動流體微團的運動平移平移轉動轉動變形運動變形運動第二節(jié)流體微團運動的分解xzyABCDEFGHdxdydzyvxvzvdzzvdyyvdxxvvxxxx15 物理量物理量f= f(x,y

5、,z)是坐標的連續(xù)函數(shù)，當坐標是坐標的連續(xù)函數(shù)，當坐標有微小變化時，物理量也發(fā)生變化，并可用泰勒有微小變化時，物理量也發(fā)生變化，并可用泰勒級數(shù)表示為級數(shù)表示為 , ,( , , )fxx yy zzfx y zxyzf x y zxyz 211( , , )( , , )2!nxyzf x y zxyzf x y zxyznxyz 分析流體微團運動用圖 第二節(jié)流體微團運動的分解dzzvdyyvdxxvvvxxxxFXdzzvdyyvdxxvvvyyyyFYdzzvdyyvdxxvvvzzzzFZ方程兩邊加上兩個和為方程兩邊加上兩個和為0的項，其值不變的項，其值不變xxxFXxvvvvvdxdy

6、dzxyz1122yzvvdydzxx11 ()()22yxxxzFxxvvvvvvvdxdydzxyxzx組合組合11 ()()22yxxzvvvvdydzyxzx11 ()()22yxxxzFxxvvvvvvvdxdydzxyxzx11 ()()22yxxzvvvvdydzyxzx移動移動 線變形運動線變形運動角變形運動角變形運動旋轉運動旋轉運動注：注：此關系也稱為亥姆霍茲此關系也稱為亥姆霍茲(Helmholtz)(Helmholtz)速度分解定理，速度分解定理， 該定理可簡述為：該定理可簡述為：在某流場在某流場O O點鄰近的任意點點鄰近的任意點A A上的速度可以分成三個部分，與上的速度可

7、以分成三個部分，與O O點相同的平點相同的平移速度（移速度（移動移動）；繞）；繞O O點轉動在點轉動在A A點引起的速度（點引起的速度（旋轉運動旋轉運動）；由于變形）；由于變形（包括線變形和角變形）在（包括線變形和角變形）在A A點引起的速度（點引起的速度（變形運動變形運動）。）。物理意義（物理意義（以平面流動進行分析以平面流動進行分析）1.平移運動平移運動向右移動向右移動dtvx向上移動向上移動dtvy2.線變形運動線變形運動每秒內(nèi)單位長度的伸長（或縮短）量稱為線應變速度每秒內(nèi)單位長度的伸長（或縮短）量稱為線應變速度BDAC同理同理y向線變形速度：向線變形速度：yvyB、C在在x方向有速度差

8、方向有速度差dxxvvvxCxBx經(jīng)過經(jīng)過dt時間時間BC邊伸長邊伸長dxdtxvxxvx單位時間單位長度的伸長：單位時間單位長度的伸長：3.角變形運動角變形運動B、C在在y方向有速度差：方向有速度差：dxxvvvyCyBy在在dt時間內(nèi)時間內(nèi)BC線段將旋轉：線段將旋轉：ddACBdtxvdxdtdxxvddyytan同理，同理，AB在在dt時間線段將旋轉：時間線段將旋轉：dtyvx單位時間內(nèi)直角單位時間內(nèi)直角ABC變成銳角變成銳角ABC，變形速度為：，變形速度為：yvxvdtddxy定義定義XY平面的剪切變形率為：平面的剪切變形率為：)(21zyvxvxy同理可得：同理可得：)(21yxvz

9、vzx)(21xzvyvyz4.旋轉運動旋轉運動流體微團的旋轉角速度的定義流體微團的旋轉角速度的定義為為每秒內(nèi)繞同一轉軸的兩條互每秒內(nèi)繞同一轉軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉角度的相垂直的微元線段旋轉角度的平均值。平均值。規(guī)定逆時針旋轉角度為正：規(guī)定逆時針旋轉角度為正：ddACBBC邊旋轉的角度為：邊旋轉的角度為：dtxvdyBA邊旋轉的角度為：邊旋轉的角度為：dtyvdx軸旋轉角速度為兩個互相垂直邊旋轉角速度的一半：軸旋轉角速度為兩個互相垂直邊旋轉角速度的一半：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx寫成矢量形式為：寫成矢量形式為：zyxzyxvvvzyxkjiVkj

10、i2121根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉，可將流體的流動分為兩根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。類：有旋流動和無旋流動。有旋運動和無旋運動有旋運動和無旋運動數(shù)學條件：數(shù)學條件： 當當 021V021V當當 無旋流動無旋流動 有旋流動有旋流動 在笛卡兒坐標系中：在笛卡兒坐標系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz即當流場速度同時滿足：即當流場速度同時滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時流動無旋 需要指出的是，需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉來決定，而與流體微團本身的運動軌跡

11、無關。否發(fā)生旋轉來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。【例例】某一流動速度場為某一流動速度場為 ， 其中其中a a是不為零是不為零的常數(shù)，流線是平行于的常數(shù)，流線是平行于x x軸的直線。試判別該流動是有旋流動還軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。是無旋流動。 ayvx0zyvv【解】【解】 由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動是有旋運動。所以該流動是有旋運動。 021xvzvzxy推導理想流體運動微分方程用圖第三節(jié) 理想流體運動方程 定解條件第三節(jié) 理想流體運動方程 定解條件在x方向：amF xpfdtdvxx1ypfdtdvyy1zpfdtdvzz1

12、理想流體的歐拉理想流體的歐拉運動微分方程組運動微分方程組矢量形式：矢量形式：pfdtvd1第三節(jié) 理想流體運動方程 定解條件l方程式左邊展開：第三節(jié) 理想流體運動方程 定解條件l歐拉方程對于不可壓縮流體和可壓縮流體都是適用的。l當 時歐拉運動微分方程成為歐拉平衡微分方程。0zyxvvv01pf理想流體的運動微分方程的另一種形式此方程組稱為此方程組稱為蘭姆（蘭姆（H HLambLamb）運動微分方程）運動微分方程特點是把有旋流動凸現(xiàn)出來，無旋流動就大大簡化特點是把有旋流動凸現(xiàn)出來，無旋流動就大大簡化寫成矢量形式寫成矢量形式 212 2vvvfpt （* *） 如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場

13、是正壓性的，則：如果流體是在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則： xfxyfyzfz此時存在一壓強函數(shù)此時存在一壓強函數(shù): : pPFd壓強函數(shù)對坐標的偏導數(shù)有壓強函數(shù)對坐標的偏導數(shù)有: : xpxPF 1ypyPF1zpzPF1將上述關系代入式（將上述關系代入式（* *），得），得: : 22 22 22222xyyxzFzxxzyFyzzyxFvvtvPvzvvtvPvyvvtvPvx寫成矢量形關系式寫成矢量形關系式 2v2 v2FvPtl常見的正壓流體1）等溫（）等溫（TT1）流動中的可壓縮流體）流動中的可壓縮流體;2）絕熱流動中的可壓縮流體）絕熱流動中的可壓縮流體;對于不可壓縮流體

14、，對于不可壓縮流體，ppF定解條件l方程組的封閉問題（能不能有唯一解）連續(xù)方程連續(xù)方程 1個個運動方程運動方程 3個個4個個未知量未知量,pvvvzyx5個個還需要增添一個方程，使方程組封閉，才能求解。還需要增添一個方程，使方程組封閉，才能求解。對于不可壓縮流體，對于不可壓縮流體，const對于密度僅是壓強的函數(shù)的流體對于密度僅是壓強的函數(shù)的流體)(p定解條件l方程組的定解條件（結果符合實際嗎？）定解條件初始條件邊界條件定解條件一、初始條件 初始條件是指在起始瞬時初始條件是指在起始瞬時t0所給定的流場中所給定的流場中每一點的流動參數(shù)。每一點的流動參數(shù)。 也就是說，求得的解在也就是說，求得的解在

15、t0時所應分別滿足的時所應分別滿足的預先給定的坐標函數(shù)。預先給定的坐標函數(shù)。定常流動不需要給定初始條件。定常流動不需要給定初始條件。定解條件二、邊界條件 邊界條件是指任一瞬時運動流體所占邊界條件是指任一瞬時運動流體所占空間的邊界上必須滿足的條件?？臻g的邊界上必須滿足的條件。 邊界條件邊界條件運動學條件：邊界上速度運動學條件：邊界上速度動力學條件：邊界上的力（壓強）動力學條件：邊界上的力（壓強）定解條件l運動學條件，例如：固體壁面 流體既不能穿透壁面，也不能脫離壁面而形流體既不能穿透壁面，也不能脫離壁面而形成空隙，即流體與壁面在法線方向的相對分速度成空隙，即流體與壁面在法線方向的相對分速度應等于

16、零。即：應等于零。即：wnnvv 若固壁是靜止的若固壁是靜止的0nv在兩種不同流體交界面上在兩種不同流體交界面上nnvv21定解條件l動力學條件 流體在不同流體交界面或固體壁面上的動流體在不同流體交界面或固體壁面上的動力學條件為：外界流體或壁面作用在流體上的力學條件為：外界流體或壁面作用在流體上的壓強壓強Pamb與位于交界面或壁面上該處流體質(zhì)點與位于交界面或壁面上該處流體質(zhì)點的壓強的壓強P的絕對值必然相等。的絕對值必然相等。ppambFlow InletFlow OutletWallWallWallWall第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式l關于理想流體歐拉運動微分方程的積分，目前僅對幾種特殊的

17、流動可以進行，最常見的有定常無旋流動的歐拉積分和定常流動的伯努利積分。第四節(jié) 歐拉積分式和伯努利積分式l 積分的前提條件： 流動是定常的流動是定常的 作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的作用在流體上的質(zhì)量力是有勢的1. 流體不可壓縮流體不可壓縮或為正壓流體或為正壓流體0tvtvtvtzyx第四節(jié) 理想流體運動方程的積分l在以上三個前提條件下,蘭姆運動微分方程可簡化為:歐拉積分式和伯努利積分式一、歐拉積分在在無旋無旋流動中流動中0zyx歐拉積分式歐拉積分式和伯努利積分式 對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，流場中任一點的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能、

18、和動能的總和保持不變，而這三種機械能可以互相轉換。歐拉積分式和伯努利積分式二、伯努利積分：對對有旋有旋流動，流動，沿某條流線沿某條流線求積分求積分歐拉積分式和伯努利積分式代入方程組，相加并積分，得： 由于是定常流動，流場中的流線和跡線重由于是定常流動，流場中的流線和跡線重合，因此合，因此dx、dy、dz就是在就是在dt時間內(nèi)流體微團時間內(nèi)流體微團的位移的位移dsvdt在三個軸向的分量。在三個軸向的分量。dtvdxxdtvdyydtvdzzconst22vpF 對于對于非粘性的不可壓縮流體非粘性的不可壓縮流體和和可壓縮的正壓流體可壓縮的正壓流體，在在有勢的質(zhì)量力有勢的質(zhì)量力作用下作作用下作定常有

19、旋定常有旋流動時，流動時，沿同一流線沿同一流線上各點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能上各點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強勢能和動能的總和保持常數(shù)值，而這三種機械能可以互相轉換。的總和保持常數(shù)值，而這三種機械能可以互相轉換。歐拉積分式和伯努利積分式三、伯努利方程質(zhì)量力僅僅是重力質(zhì)量力僅僅是重力gz不可壓縮流體不可壓縮流體constppFconst22vpgz常數(shù)pgzv22不可壓流體、與外界無不可壓流體、與外界無熱量交換伯努利方程熱量交換伯努利方程一、渦線、渦管、渦束一、渦線、渦管、渦束渦線渦管渦束渦通量在有旋流動流場的全部或局部區(qū)域中連續(xù)地充滿在有旋流動流場的全部或局部區(qū)域中連續(xù)地

20、充滿著繞自身軸線旋轉的流體微團，于是形成了一個著繞自身軸線旋轉的流體微團，于是形成了一個用角速度用角速度 表示的渦量場（或稱角速度表示的渦量場（或稱角速度場）。場）。),(tzyx流線流管流束流量1.渦線渦線渦線是一條曲線，在給定瞬時渦線是一條曲線，在給定瞬時t t，這條曲線上每一點的切，這條曲線上每一點的切線與位于該點的流體微團的角速度的方向相重合，所以渦線與位于該點的流體微團的角速度的方向相重合，所以渦線也就是沿曲線各流體微團的瞬時轉動軸線。線也就是沿曲線各流體微團的瞬時轉動軸線。),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的根據(jù)渦通量矢

21、量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為微分方程為:2.渦管渦管 渦束渦束在給定瞬時，在渦量在給定瞬時，在渦量場中任取一不是渦線場中任取一不是渦線的封閉曲線，通過封的封閉曲線，通過封閉曲線上每一點作渦閉曲線上每一點作渦線，這些渦線形成一線，這些渦線形成一個管狀表面，稱為個管狀表面，稱為渦渦管管。渦管中充滿著作。渦管中充滿著作旋轉運動的流體，稱旋轉運動的流體，稱為為渦束渦束。渦管渦管3 3旋旋渦強度（渦通量）渦強度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積在渦量場中取一微元面積dAdA，其上流其上流體微團的渦通量為體微團的渦通量為 ， 為為dAdA的外的外法線方向，定義法線方向，定義 2ndAdAnAddJ

22、n2)cos(2為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強度，也稱渦通量。渦強度，也稱渦通量。 任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強度為：渦強度為： dAdAJnAA2 如果面積如果面積A A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強度，是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強度，它也是旋轉角速度矢量的通量。旋渦強度不僅取決于旋轉角速它也是旋轉角速度矢量的通量。旋渦強度不僅取決于旋轉角速度，而且取決于面積度，而且取決于面積A A。 渦通量渦通量一、速度環(huán)量一、速度環(huán)量u 渦通量和流體微團的角速度不能直接測得。渦通量和流體微團的角速度不能直接測得。u 實際觀察發(fā)現(xiàn)，在有旋流動中流體環(huán)繞某實

23、際觀察發(fā)現(xiàn)，在有旋流動中流體環(huán)繞某一一 核心旋轉，渦通量越大，旋轉速度越快，旋核心旋轉，渦通量越大，旋轉速度越快，旋轉范圍越擴大。轉范圍越擴大。u 可以推測，渦通量與環(huán)繞核心的流體中的速度可以推測，渦通量與環(huán)繞核心的流體中的速度分布有密切關系。分布有密切關系。 速度環(huán)量速度環(huán)量：速度在某一封閉周線切線上：速度在某一封閉周線切線上的分量沿該封閉周線的線積分。的分量沿該封閉周線的線積分。sdv)(dzvdyvdxvsdvzyx 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。積分的繞行方向有關。對非定常流動，速度環(huán)量是一個對非定常流動，速

24、度環(huán)量是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算，瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算，積分時為參變量。積分時為參變量。規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向為規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向為逆時針方向逆時針方向，即封閉周線，即封閉周線所包圍的面積總在前進方向的左側；被包圍面積的法線的所包圍的面積總在前進方向的左側；被包圍面積的法線的正方向應與繞行的正方向形成正方向應與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)右手螺旋系統(tǒng)。速度環(huán)量速度環(huán)量 沿微元矩形的速度環(huán)量 duuyydvvyyyyuxxuuddyyvxxvvddduuxxdvvxx于是，沿封閉曲線反時針方向ABCDA的速度環(huán)量將各速度值代入上式，

25、略去高于一階的無窮小各項，得物理意義：沿微元封閉曲線的速度環(huán)量等于通過該曲線所包圍面積的渦通量。斯托克斯定理yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAdJAyxyuxvzd2ddd 推廣到任意有限封閉周線K。此時可以用互相正交的兩組直線將平面和曲面劃分為無數(shù)個微元封閉周線。微元封閉周線包圍的面積為微元面積，可以視為平面。有 綜合所有微元封閉周線，有由于周線K內(nèi)各微元線段速度的線積分都要計算兩次，而繞行方向相反，它們的線積分之和為0。所以所以,.)3 , 2 , 1(didJiiAniAdJd2,.)3 , 2 , 1(didJiisdvKKidAnKKdAsdv2l單連通區(qū)域單

26、連通區(qū)域區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點而不越出流區(qū)域內(nèi)任一條封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界。這種區(qū)域稱為體的邊界。這種區(qū)域稱為單連通區(qū)域單連通區(qū)域。否則，稱為。否則，稱為多連通多連通區(qū)域區(qū)域。對多連通域：對多連通域：dAAnKK221 通過多連通區(qū)域的渦通量等于沿這個區(qū)通過多連通區(qū)域的渦通量等于沿這個區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與沿所有內(nèi)周線的速域的外周線的速度環(huán)量與沿所有內(nèi)周線的速度環(huán)量總和之差。度環(huán)量總和之差。例：已知理想流體定常流動的速度分布試求渦線方程與沿封閉周線 的速度環(huán)量，a、b為常數(shù)。解：旋轉角速度的各分量為代入渦線方程得積分后得渦線方程封閉周線所在平面流體微

27、團的渦量為由斯托克斯定理得22 1 2() ,0 xyzva yzvv222(0)xybz021zvyvyzx22 1 2122()yxzvvayxyyz 22 1 2122()xzyvvazzxyz22120dxdydzzyxCyzC 0,2xyza 222nzAdAAab 第七節(jié)第七節(jié) 湯姆孫定理湯姆孫定理 亥姆霍茲旋渦定理亥姆霍茲旋渦定理一、湯姆孫（一、湯姆孫（W. Thomson）定理：）定理：對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮正壓流體，對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮正壓流體，在有勢質(zhì)量力作用下速度環(huán)量和旋渦都是不能自在有勢質(zhì)量力作用下速度環(huán)量和旋渦都是不能自行產(chǎn)生、也是不能自行消滅的

28、。行產(chǎn)生、也是不能自行消滅的。正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿正壓性的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點所組成的封閉周線的速度環(huán)任何由流體質(zhì)點所組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間而變化。量不隨時間而變化。0dtd證明證明 ：在流場中任取一由流體質(zhì)點組成的封閉周線在流場中任取一由流體質(zhì)點組成的封閉周線K K，它，它隨流體的運動而移動變形，但組成該線的流體質(zhì)點不變。隨流體的運動而移動變形，但組成該線的流體質(zhì)點不變。沿該線的速度環(huán)量可表示為式沿該線的速度環(huán)量可表示為式)(dzvdyvdxvsdvzyx)(dzvdyvdxvdtddtdzyx它隨時間的變化率為：它隨時間的變化率為：)()

29、()()(dzdtdvdydtdvdxdtdvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzyx由于質(zhì)點線由于質(zhì)點線K始終由同樣的流體質(zhì)點組成，始終由同樣的流體質(zhì)點組成， xdvdxdtd)(ydvdydtd)(zdvdzdtd)(將其代入上式等號右端第一項積分式：將其代入上式等號右端第一項積分式：)2()2()()()(2222vdvvvddvvdvvdvvdzdtdvdydtdvdxdtdvzyxzzyyxxzyx由理想流體的歐拉運動微分方程，等號右端第二項積分式可表由理想流體的歐拉運動微分方程，等號右端第二項積分式可表示為示為:FzyxzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyf

30、dxfdzzpfdyypfdxxpfdzdtdvdydtdvdxdtdv)(1)()1()1()1()(將上面的結果代入積分式將上面的結果代入積分式，并考慮到并考慮到 都是單值連續(xù)都是單值連續(xù)函數(shù)，得函數(shù)，得:Fpv,0)2(2FdPdvddtd常數(shù)斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體在斯托克斯定理和湯姆孫定理表明，理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，渦旋不會自行產(chǎn)生，也不會自行消有勢的質(zhì)量力作用下，渦旋不會自行產(chǎn)生，也不會自行消失。失。l旋渦的基本性質(zhì)：旋渦的基本性質(zhì)：1、亥姆霍茲第一定理：、亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場中，同一渦管各截面上的在理想正壓性流體的有旋流場

31、中，同一渦管各截面上的旋渦強度相同。旋渦強度相同。1a2a2b1b1A2A同一渦管上的兩截面同一渦管上的兩截面 K渦管上的封閉周線渦管上的封閉周線1a2a2b1b1A2A同一渦管上的兩截面同一渦管上的兩截面 K渦管上的封閉周線渦管上的封閉周線在同一渦管上任取兩截面在同一渦管上任取兩截面A1、A2，在，在A1、A2之間的渦管表面之間的渦管表面上取兩條無限靠近的線段上取兩條無限靠近的線段a1a2和和b1b2。由于封閉周線。由于封閉周線b1A1a1a2A2b2b1所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強度所圍成的渦管表面無渦線通過，旋渦強度為零。根據(jù)斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量等于零，即：為零。根據(jù)

32、斯托克斯定理，沿封閉周線的速度環(huán)量等于零，即：AAA11 1 2 2 2 11 1 11 22 2 22 1b aa babAaaaa bbb 0由于由于 而而 ，故得，故得01221bbaa11 1222b A ab A a 22 222 2a A bb A a 該定理說明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開始，該定理說明，在理想正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)形渦管，或開始于邊界、也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)形渦管，或開始于邊界、終止于邊界。終止于邊界。渦管的存在渦管的存在自成封閉的管圈自成封閉的管圈起于邊界、終于邊界起于邊界、終于邊界.亥姆霍茲第二定理（渦管守

33、恒定理）亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，流場中的渦管始終理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，流場中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點組成。由相同的流體質(zhì)點組成。K為渦管表面上的封閉周線，其為渦管表面上的封閉周線，其包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。由包圍的面積內(nèi)渦通量等于零。由斯托克斯定理知，周線斯托克斯定理知，周線K上的速上的速度環(huán)量應等于零；又由湯姆孫定度環(huán)量應等于零；又由湯姆孫定理，理，K上的速度環(huán)量將永遠為零，上的速度環(huán)量將永遠為零，即周線即周線K上的流體質(zhì)點將永遠在上的流體質(zhì)點將永遠在渦管表面上。換言之，渦管上流渦管表面上。換言之，渦管上流體質(zhì)點將永遠在渦管上，即

34、渦管體質(zhì)點將永遠在渦管上，即渦管是由相同的流體質(zhì)點組成的，但是由相同的流體質(zhì)點組成的，但其形狀可能隨時變化。其形狀可能隨時變化。 K渦管上的封閉周線渦管上的封閉周線. .亥姆霍茲第三定理（渦管強度守恒定理）亥姆霍茲第三定理（渦管強度守恒定理）理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，任一渦管強度不理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，任一渦管強度不隨時間變化。隨時間變化。若周線若周線K K為包圍渦管任意的截面為包圍渦管任意的截面A A的邊界線。由湯姆孫的邊界線。由湯姆孫定理知，該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯定理定理知，該周線上的速度環(huán)量為常數(shù)。根據(jù)斯托克斯定理截面截面A A上的旋渦強度為常數(shù)。

35、因為上的旋渦強度為常數(shù)。因為A A為任意截面，所以整個為任意截面，所以整個渦管各個截面旋渦強度都不隨時間發(fā)生變化，即渦管的旋渦管各個截面旋渦強度都不隨時間發(fā)生變化，即渦管的旋渦強度不隨時間變化。渦強度不隨時間變化。 由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應力將消耗能由亥姆霍茲三定理可知，粘性流體的剪切應力將消耗能量，使渦管強度逐漸減弱。量，使渦管強度逐漸減弱。第八節(jié) 平面渦流 假設在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一假設在理想不可壓縮的重力流體中，有一象剛體一樣以等角速度繞自身軸旋轉的無限長鉛直渦束，其樣以等角速度繞自身軸旋轉的無限長鉛直渦束，其渦通量為渦通量為J J。渦束周圍的流體在渦束的

36、誘導下繞渦。渦束周圍的流體在渦束的誘導下繞渦束軸做等速圓周運動。束軸做等速圓周運動。一、平面渦流的定義一、平面渦流的定義bru渦束內(nèi)的流動為有旋流動稱為渦核區(qū)，其半徑為渦束內(nèi)的流動為有旋流動稱為渦核區(qū)，其半徑為u渦束外的流動區(qū)域為無旋流動，稱為環(huán)流區(qū)。渦束外的流動區(qū)域為無旋流動，稱為環(huán)流區(qū)。u漩渦誘導的速度場是無旋的。漩渦誘導的速度場是無旋的。rv brr 0rv二、速度分布二、速度分布v漩渦內(nèi)部漩渦內(nèi)部: :流體像剛體一樣繞定軸旋轉，所以流體像剛體一樣繞定軸旋轉，所以漩渦內(nèi)部流體的速度呈線性分布漩渦內(nèi)部流體的速度呈線性分布Jrv 2v漩渦外部（環(huán)流區(qū)）漩渦外部（環(huán)流區(qū)）: :根據(jù)斯托克斯定理

37、根據(jù)斯托克斯定理brr rvv20rv三、壓力分布三、壓力分布1.1.漩渦外部（環(huán)流區(qū)）漩渦外部（環(huán)流區(qū)）: :流體定常且無旋壓強分布由伯努利流體定常且無旋壓強分布由伯努利方程式導出。方程式導出。pvp22l 式中的 即為 ， 為無窮遠處的壓強。將 代入上式得:vvpv222282rpvpp在環(huán)流區(qū)內(nèi)隨著半徑的減小，流速升高而壓強降低，在與渦在環(huán)流區(qū)內(nèi)隨著半徑的減小，流速升高而壓強降低，在與渦核交界處，流速達到最高值，而壓強則是該區(qū)的最低值。核交界處，流速達到最高值，而壓強則是該區(qū)的最低值。 由于渦束內(nèi)部為有旋流動，伯努利積分常數(shù)隨流線變化，故其由于渦束內(nèi)部為有旋流動，伯努利積分常數(shù)隨流線變化

38、，故其壓強分布可由歐拉運動微分方程導出。對于平面定常流動，歐拉運壓強分布可由歐拉運動微分方程導出。對于平面定常流動，歐拉運動微分方程為動微分方程為: : ypyvvxvvxpyvvxvvyyyxxyxx11xpx12ypy12將渦核內(nèi)任意點的速度投影到直角坐標上，則有，代入上式得將渦核內(nèi)任意點的速度投影到直角坐標上，則有，代入上式得: :將將 和和 分別乘以以上二式，相加后得分別乘以以上二式，相加后得: : dxdy2.2.漩渦內(nèi)部漩渦內(nèi)部: :,xyvy vx )(1)(2dyypdxxpydyxdx或 )2(222yxddp積分得積分得: : CvCrCyxp2222222121)(21在

39、與環(huán)流區(qū)交界處， ，代入上式，得積分常數(shù)： bbbbrvvpprr,222bbbvpvpC得渦核區(qū)的壓強分布為 ：2222222121bbrrpvvpp 由上式可知渦管中心的壓強最低，其大小為 ，渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強差為 由以上討論可知，渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強差相等，其數(shù)值均為 。渦核區(qū)的壓強比環(huán)流區(qū)的的低。在渦束內(nèi)部,半徑愈小,壓強愈低，沿徑向存在較大的壓強梯度，所以產(chǎn)生向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強，抽吸作用越大。自然界中的龍卷風和深水旋渦就具有這種流動特征，具有很大的破壞力。在工程實際中有許多利用渦流流動特性裝置，如鍋爐中的旋風燃燒室、離心式除塵器、離心式超聲波發(fā)生器、離心式泵和風機

40、、離心式分選機等。2bcvppbbcbppvpp221221b一一 速度勢函數(shù)速度勢函數(shù)對于無旋流場，其速度關系滿足：對于無旋流場，其速度關系滿足：zvyvyzxvzvzxyvxvxy對于對于 若滿足上述關系，則它是成為某若滿足上述關系，則它是成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分條件。一函數(shù)的全微分的必要且充分條件。dzvdyvdxvzyxztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyxtzyxvzyx),(),(),(),(),(),(xvxyvyzvz對于柱面坐標對于柱面坐標結論： 無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以

41、無旋流場又稱為有勢流場。速度勢的存在與必須無旋。所以無旋流場又稱為有勢流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。流體是否可壓縮、流動是否定常無關。 1.1.有勢流動的速度勢函數(shù)與速度的線積分有密切關系。有勢流動的速度勢函數(shù)與速度的線積分有密切關系。若勢流中有一曲線若勢流中有一曲線ABAB，速度沿該曲線積分為：，速度沿該曲線積分為：ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(有勢流動有勢流動中沿中沿ABAB曲線的速度線積分等于終曲線的速度線積分等于終點點B B和起點和起點A A的的速度勢之差速度勢之差。由于速度勢是。由于速度勢是單值的，則該線積分與積分路徑無關。

42、單值的，則該線積分與積分路徑無關。速度勢的特性 在在有勢流動有勢流動中當速度沿封閉周線積分時，周線上的速度環(huán)量中當速度沿封閉周線積分時，周線上的速度環(huán)量等于零。等于零。0)ddzvdyvdxvzyx如何根據(jù)速度分布求解勢函數(shù)？如何根據(jù)速度分布求解勢函數(shù)？dyyxvdxxvyxxyyx),()0 ,(),(00v根據(jù)無旋條件，速度有勢：根據(jù)無旋條件，速度有勢：0zvyvxvzyxv代入不可壓縮連續(xù)性條件可得：代入不可壓縮連續(xù)性條件可得： 02222222zyx拉普拉斯方程拉普拉斯方程2222222zyx拉普拉斯算子拉普拉斯算子2.對于不可壓縮流體，速度勢是調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。 柱坐標系下

43、 ：rvrrv1zvz0201122222222zrrrx求解不可壓縮流體無旋流動問題，便歸納為根據(jù)起始條件和求解不可壓縮流體無旋流動問題，便歸納為根據(jù)起始條件和邊界條件求解拉普拉斯方程問題。邊界條件求解拉普拉斯方程問題。二二 流函數(shù)流函數(shù)在笛卡兒坐標系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程在笛卡兒坐標系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成可寫成: :0yvxvyxyvxvyx此外，平面流動的流線微分方程為此外，平面流動的流線微分方程為由數(shù)學知識可知，此式是成為某個函數(shù)全微分的必要且由數(shù)學知識可知，此式是成為某個函數(shù)全微分的必要且充分條件充分條件0dxvdyvyxv若定義某一個函數(shù)（若定義某一

44、個函數(shù)（流函數(shù)流函數(shù)） :),(yxdyvdxvdyydxxdxyyvxxvy即函數(shù)即函數(shù)永遠滿足連續(xù)方程。很顯然，在流線上永遠滿足連續(xù)方程。很顯然，在流線上 0 0或或常數(shù)。在每條流線上函數(shù)常數(shù)。在每條流線上函數(shù)都有它自己的常數(shù)值，所都有它自己的常數(shù)值，所以稱函數(shù)以稱函數(shù)為為流函數(shù)流函數(shù)。平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)1、等流函數(shù)線為流線、等流函數(shù)線為流線0dyvdxvdyydxxdxy當當 常數(shù)時常數(shù)時滿足流線方程滿足流線方程等流函數(shù)線為流線，每條流線有各自的常數(shù)值。等流函數(shù)線為流線，每條流線有各自的常數(shù)值。2、流體通過流體通過兩流線間單位高度的體積流量兩

45、流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的等于兩條流線的流函流函數(shù)數(shù)之差之差v在在xy平面上任取平面上任取A和和B點，點，AB連線如圖所示，則連線如圖所示，則BAvl dVqdlyvvxvvBAyx,cos,cosdldldxxdldyyBAABBAd由不可壓縮流體、平面、無旋流動條件有：由不可壓縮流體、平面、無旋流動條件有：0yvxvxy將速度和流函數(shù)的關系代入上式得將速度和流函數(shù)的關系代入上式得022222yx在極坐標系中：在極坐標系中：011222222rrrr故不可壓縮流體的平面無旋流動流函數(shù)也滿足拉普拉斯方故不可壓縮流體的平面無旋流動流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。程，也是調(diào)和函

46、數(shù)。3、對于不可壓縮流體，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。 注意：注意：只要是不可壓縮流體的只要是不可壓縮流體的平面流動平面流動，就存在著流函數(shù)。就存在著流函數(shù)。 如果是如果是不可壓縮流體的平面無旋不可壓縮流體的平面無旋流動（即流動（即有勢流動），必然同時存在有勢流動），必然同時存在速度勢速度勢和和流函數(shù)流函數(shù)。三、三、速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系（流網(wǎng)）速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系（流網(wǎng)）對于不可壓縮流體的對于不可壓縮流體的平面無旋流動，平面無旋流動，速度勢函數(shù)和流函數(shù)速度勢函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，且具有以下關系：都是調(diào)和函數(shù)，且具有以下關系：yxvxxyvy該數(shù)學關系式稱為該數(shù)學關系式稱為柯

47、西柯西黎曼（黎曼（CauchyRiemen）條）條件件 。由它可得：。由它可得：0yyxx上上式是式是等勢線簇等勢線簇和和流線簇流線簇互相垂直的條件，互相垂直的條件，即正交性條件。即正交性條件。在平面上它們構成處處正交的網(wǎng)絡，稱為流網(wǎng)在平面上它們構成處處正交的網(wǎng)絡，稱為流網(wǎng) 。例：例：試證明不可壓縮流體平面流動試證明不可壓縮流體平面流動yyxvy22能能滿滿足足連續(xù)連續(xù)方程，是一個有方程，是一個有勢勢流流動動，并求出速度，并求出速度勢勢。 。解：解：,2xxyvxyyxvy2201212yyyvxvyx滿足連續(xù)方程滿足連續(xù)方程：dyvdxvdyydxxdyxxyvx2xxvy2xvyvyx流動

48、為有勢流動流動為有勢流動dyyyxdxxxy)()2(22例：例：試試求速度與流函數(shù)的表示式。已知平面流動的速度勢函數(shù)求速度與流函數(shù)的表示式。已知平面流動的速度勢函數(shù)224()xy解：解：8 ,8 ,xyvx vyxy 22 1/21();tan (/)yxyxvvvvv由于由于c=0并不影響流動的流譜，故得代并不影響流動的流譜，故得代表一簇雙曲流線的流函數(shù)表一簇雙曲流線的流函數(shù)由流函數(shù)定義，有由流函數(shù)定義，有8 ,=8( )xvxxyf xy積分得8( )8 ,( )=0( )=yyfxvyfxf xCx 即，8xy 例：已知流場的滯止壓強為例：已知流場的滯止壓強為101000Pa，流體的密

49、度為1.19kg/m3，平面流動的速度勢函數(shù)平面流動的速度勢函數(shù) ，試求點（，試求點（2,1.5）處的速度與壓強。處的速度與壓強。222()/xyms解：解：24/ ,23/xyvxm s vym sxy 22 1/2()5/yxvvvm s由伯努利方程，有由伯努利方程，有22100985TppvPa求解勢流流動壓強問題的步驟求解勢流流動壓強問題的步驟(直接法直接法)1.求拉普拉斯方程求拉普拉斯方程 ，得到勢函數(shù)，得到勢函數(shù) ；2.通過勢函數(shù)與速度之間的關系式，得到速度分布；通過勢函數(shù)與速度之間的關系式，得到速度分布；3.通過伯努利方程求壓強通過伯努利方程求壓強p.20;xyzvvvxyz22

50、vpzCgg第十節(jié)第十節(jié) 幾種簡單的平面勢流幾種簡單的平面勢流 一一.均勻流均勻流0 xyvvxyvyx v xv y定義：流體作等速直線運動流體中各點速度的大小和方向都相定義：流體作等速直線運動流體中各點速度的大小和方向都相同的流動稱為均勻流。大小相同，流線平行的流動稱為均勻等同的流動稱為均勻流。大小相同，流線平行的流動稱為均勻等速流。速流。設均勻流的速度為與設均勻流的速度為與x x軸平行那么軸平行那么 jvivvyx00對一般的情況，有對一般的情況，有dyvdxvdyydxxdyx00由勢函數(shù)的定義由勢函數(shù)的定義yvxvyx00dyvdxvdyydxxdxyo0yvxvxy00積分得積分得

51、由流函數(shù)的定義由流函數(shù)的定義積分得積分得l 顯然，等勢線 與流線 是相互垂直的兩簇直線，如圖所示。若已知來l 流速度 與x 軸的夾角 ，則有:l l 由于流場中各點的速度相同，流動無旋， 故處處有 常數(shù) ，即在流場中各點的總勢能保持不變。若是水平面上的均勻等勢流，或者不計重力的影響（例如大氣），則p =常數(shù)，即壓強在流場中處處相等。Cyvxvyx00Cyvxvxy00cos0 vvxsin0 vvyv均勻等速流均勻等速流cossinsincosxvyvxvyv xvyvyvxv,90,0gzp二二.源流和匯流源流和匯流 源流：源流：流體從某點向四周呈直線均勻徑向流出的流動，這流體從某點向四周呈

52、直線均勻徑向流出的流動，這個點稱為源點。個點稱為源點。匯流：匯流：流體從四周往某點呈直線均勻徑向流入的流動，這流體從四周往某點呈直線均勻徑向流入的流動，這個點稱為匯點。個點稱為匯點。設源點或匯點位于坐標原點，從源點流出或向匯點流入的流設源點或匯點位于坐標原點，從源點流出或向匯點流入的流體速度只有徑向速度而無切向速度體速度只有徑向速度而無切向速度 。01rvrvvr a 源流源流 b 匯流匯流l 根據(jù)流體的連續(xù)性原理，在極坐標中流體流過任意單位高度圓柱面的體積流量 （也稱為源流或匯流的強度）都相等，即 l l 上式中源流取正號，匯流取負號。根據(jù)上式， 只是 的函數(shù)，所以 l 積分得l 以上討論表

53、明，當 時， ，源點和匯點是奇點，以上 和 只有在 0時才有意義。流函數(shù)和速度的關系為:vqrqvvvr2drrqvdrdv222ln2ln2yxqrqvv0rrvrrrvvr10rvrvl 因此， 只是 的函數(shù)，故有 l l 上式積分得l 根據(jù)以上得到的流函數(shù)和勢函數(shù)可知，等勢線為不同半徑的同心圓，即 =常數(shù)；流線為不同極角的徑線，即 =常數(shù)。 l 在水平面 面上，對半徑 處和無窮遠處列伯努利方程l l 代入速度值后l 由上式可知，壓強隨著半徑的減小而降低。零壓強處的半徑為 。以上各式僅適用于 的區(qū)域。dqvrddv2xyqqvv1tan22rpvp222228rqppv21/ 2028vq

54、rp0rr r三三 勢勢渦（自由渦流）渦（自由渦流）l 若直線渦束的半徑 ，則垂直于該渦束的平面內(nèi)的流動稱為點渦或自由渦流，渦流中心稱為渦點。渦點以外勢流區(qū)的速度分布仍為 l 由以上關系式知， 時， ，所以渦點為奇點，該式僅適用于 區(qū)域。由此式可見， 只是 的函數(shù)。l 故有 l 積分得l 速度和流函數(shù)的關系為l 上式表明 只是 的函數(shù)，所以0brrrvvrvr2,00rv0rdvrdd2201rvrrvvdrrdrvd2點渦點渦rl 上式積分得l 由上可知，點渦流場的等勢線為不同極角的徑線，即 =常數(shù)；流線為不同半徑的同心圓，即 =常數(shù)。與源流（或匯流）相反。點渦的強度即沿圍繞點渦軸線上的環(huán)量

55、l 0時，環(huán)流為逆時針方向； 0，環(huán)流為順時針方向。 由斯托克斯定理知，點渦的強度 取決于旋渦的強度。l 渦點以外勢流區(qū)的壓強和前述二維渦流流場壓強分布相同，其分布關系仍滿足伯努利方程。零壓強處的半徑為l l 上述各式的實際適用范圍為 的區(qū)域。l rln2r2/12208pr0rr 第十一節(jié)第十一節(jié) 簡單平面勢流的疊加簡單平面勢流的疊加 幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。 研究勢流疊加原理的意義：將簡單的勢流疊加起來，得到新的復雜流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，可以用來求解復雜流動。一一 匯流

56、和點渦疊加的流動匯流和點渦疊加的流動螺旋流螺旋流l 若匯流和點渦均位于坐標原點，組成一新的流場，其速度勢和流函數(shù)為)ln(2121rqv)ln(2121rqv1vqrC evqeCr2rqrvvr2rrv2122228)(rqppv2/122208)(pqrrv螺旋流網(wǎng)螺旋流網(wǎng) 令以上的速度勢和流函數(shù)為常數(shù)，得到的等勢線和流線方 程分別為：v其圖像為右下圖所示，等勢線和流線是兩組相互正交的對數(shù)螺旋線，故稱匯流和點渦疊加的流動為螺旋流。其速度分布為:v其適用范圍應為：v壓強分布可用前述方法導出，表達式為二二 源流和匯流疊加的流動源流和匯流疊加的流動偶極子流偶極子流vq2222)/()/(1)/(

57、)/(tantan1tantan)tan(ayxayaxyaxyaxyaxyBABABA2222)()(ln4ln2)ln(ln2yaxyaxqrrqrrqvBAvBAv2222arctan22)(2ayxayqqqvpvBAvpp源源流流和匯和匯流流疊加疊加偶極偶極子子流流v組合流動的速度勢和流函數(shù)為v兩個強度 相等的位于點A(-a,0)的點源和位于點B(a,0)的點匯疊加，如圖所示。由于 是AP 、BP之間的夾角，在流線上 =常數(shù)， =常數(shù)。其圖像為經(jīng)過源點和匯點的圓線族l 當 時，源點和匯點無限接近，流量為無限增大，使得 取有限值，稱這種流動為偶極流。M為偶極子矩，其方向由源點指向匯點。

58、當 為微量時，l l 故可得偶極流的速度勢和流函數(shù)分別為l l 即l （1）l 即l （2） 0aMaqvqav2lim0.3/2/)1ln(32)(44lim)(41ln4lim220220yaxxaqyaxxaqvqavqavVrMyxxMcos2)(222)22(lim)2arctan2(lim22202220ayxayqayxayqvqavqavvrMyxyMsin2222l 若令式（1）等于常數(shù) ，則得等勢線方程l 即等勢線的圖像為圓心在（ ）點上，半徑為 并與y軸在原點相切的圓簇，如圖中虛線所示。令式（2）式等于常數(shù) 時，可得流線方程：l 即流線的圖像是圓心為（ ）.半徑為 并與x

59、軸在原點相切的圓簇，如圖中實線所示。l 對速度勢函數(shù)求偏導數(shù)，得出的偶極流的速度分布為（3）1C21221)4()4(CMyCMx0 ,41CM14 CM2C22222)4()4(CMCMyx24, 0CM24 CM2cos2rMrvr2sin2rMrv，第十二節(jié) 平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動l 平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來描述流體繞過圓柱體無環(huán)流的流動.若均勻等速流的速度為 ,沿x軸正向流動,偶極流的偶極矩為M。l 一、平行流與偶極流的疊加一、平行流與偶極流的疊加l 1.流網(wǎng) l 平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶極流：疊加：1222

60、22211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr （4）（5） 流線方程為：() sin2MvrC當常數(shù)C取不同的數(shù)值時，可得如圖所示的流譜。當C0時對應的流線，稱為零流線。流體對圓柱體的無環(huán)量繞流 2、零流線 當常數(shù)C0時，即零流線的流線方程：() sin02Mvr由 ，得 。sin00,02Mv rr02Mrrrv 或 即：0y 0rr 可見，零流線為以坐標原點為圓心， 為半徑的圓和x軸。02Mrrv二、平行繞流圓柱體無環(huán)流的流動1、流函數(shù)和速度勢：2、流場中的速度分析（1）直角坐標系：因為：所以：0