高中排列組合方法大全(破解所有高考競(jìng)賽題)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上排列與組合的八大典型錯(cuò)誤、24種解題技巧和三大模型總論：一、知識(shí)點(diǎn)歸納二、常見(jiàn)題型分析三、排列組合解題備忘錄1分類(lèi)討論的思想2.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想3.容斥原理與計(jì)數(shù)4.模型構(gòu)造思想四、排列組合中的8大典型錯(cuò)誤1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)2.判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)3.重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)4.遺漏計(jì)算出錯(cuò)5.忽視題設(shè)條件出錯(cuò)6. 未考慮特殊情況出錯(cuò)7題意的理解偏差出錯(cuò)87.解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)五、排列組合24種解題技巧1排序問(wèn)題相鄰問(wèn)題捆綁法相離問(wèn)題插空排定序問(wèn)題縮倍法（插空法）定位問(wèn)題優(yōu)先法多排問(wèn)題單排法圓排問(wèn)題單排法可重復(fù)的排列求冪法全錯(cuò)位排列問(wèn)題公式法2分組分配問(wèn)題平均分堆

2、問(wèn)題去除重復(fù)法（平均分配問(wèn)題）相同物品分配的隔板法全員分配問(wèn)題分組法有序分配問(wèn)題逐分法3排列組合中的解題技巧至多至少間接法染色問(wèn)題合并單元格法交叉問(wèn)題容斥原理法構(gòu)造遞推數(shù)列法六排列組合中的基本模型分組模型（分堆模型）錯(cuò)排模型染色問(wèn)題一知識(shí)點(diǎn)歸納 1排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示3排列數(shù)公式：（）4階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定5排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= 6組合的概念：一般地，從

3、個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合7組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示8組合數(shù)公式：或9 組合數(shù)的性質(zhì)1：規(guī)定：；10組合數(shù)的性質(zhì)2：+ ;11.“16字方針”是解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類(lèi)相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合，。12.“1個(gè)技巧”是迅速解決排列組合的捷徑二基本題型講解 例1 分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)（1）6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；（3）從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽

4、，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必須相鄰；（5）6人排成一排，甲、乙不相鄰；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊（甲、乙、丙可以不相鄰）解：（1）分排坐法與直排坐法一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為（2）甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有種選法，然后其他5人選，有種選法，故排法種數(shù)為（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來(lái)分類(lèi)：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有種選法，其余兩棒次不受限制，故有種排法，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有種排法（4）將甲乙“捆綁”成“一個(gè)元”與其他4人一起作全

5、排列共有種排法（5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有（或用6人的排列數(shù)減去問(wèn)題（2）后排列數(shù)為）（6）三人的順序定，實(shí)質(zhì)是從6個(gè)位置中選出三個(gè)位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個(gè)位置上全排列，故有排法種點(diǎn)評(píng)：排隊(duì)問(wèn)題是一類(lèi)典型的排列問(wèn)題，常見(jiàn)的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2 假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少種？（1）沒(méi)有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品解：（1）沒(méi)有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有種（2）恰有2件是次品的抽法就是

6、從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，共有種（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來(lái)分有二類(lèi)：第一類(lèi)，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有種第二類(lèi)從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有種按分類(lèi)計(jì)數(shù)原理有種點(diǎn)評(píng)：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問(wèn)題，附加的條件是從不同種類(lèi)的元素中抽取，應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有2件是次品），再?gòu)挠嘞碌?8件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法，那么所得結(jié)果是種，其結(jié)論是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在“重復(fù)”：假設(shè)3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，與第一步先抽A、C（或B、C），第

7、二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一種抽法，但在算式中算作3種不同抽法例3 求證：；證明：利用排列數(shù)公式左 右另一種證法：（利用排列的定義理解）從n個(gè)元素中取m個(gè)元素排列可以分成兩類(lèi)：第一類(lèi)不含某特殊元素的排列有第二類(lèi)含元素的排列則先從個(gè)元素中取出個(gè)元素排列有種，然后將插入，共有m個(gè)空檔，故有種，因此利用組合數(shù)公式左右另法：利用公式推得左右點(diǎn)評(píng)：證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質(zhì)例4 已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少個(gè)？（2）若要求則不同的映射有多少個(gè)？分析：（1）確定一個(gè)映射，需要確定的像（2）的象元之和為4，則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即4有多種分析方

8、案，各方案獨(dú)立且并列需要分類(lèi)計(jì)算解：（1）A中每個(gè)元都可選0,1,2三者之一為像，由分步計(jì)數(shù)原理，共有個(gè)不同映射（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)的像為2的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)，可分為三類(lèi)：第一類(lèi)：沒(méi)有元素的像為2，其和又為4，必然其像均為1，這樣的映射只有一個(gè)；第二類(lèi)：一個(gè)元素的像是2，其余三個(gè)元素的像必為0,1,1，這樣的映射有個(gè)；第三類(lèi)：二個(gè)元素的像是2，另兩個(gè)元素的像必為0，這樣的映射有個(gè)由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有1+12+6=19（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m個(gè)不同的信箱，有種方法；問(wèn)題（2）的關(guān)鍵結(jié)合映射概念恰當(dāng)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏例5 四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）設(shè)一個(gè)頂

9、點(diǎn)為A，從其他9點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的三個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有種取法含頂點(diǎn)A的棱有三條，每條棱上有3個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和點(diǎn)A共面三點(diǎn)取法共有種（2）取出的4點(diǎn)不共面比取出的4點(diǎn)共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：先不加限制任取4點(diǎn)（種取法）減去4點(diǎn)共面的取法取出的4點(diǎn)共面有三類(lèi)：第一類(lèi)：從四面體的同一個(gè)面上的6點(diǎn)取出4點(diǎn)共面，有種取法第二類(lèi)：每條棱上的3個(gè)點(diǎn)與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面，有6種取法第三類(lèi)：從

10、6條棱的中點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共面，有3種取法根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理4點(diǎn)共面取法共有故取4個(gè)點(diǎn)不共面的不同取法有（種）點(diǎn)評(píng)：由點(diǎn)構(gòu)成直線、平面、幾何體等圖形是一類(lèi)典型的組合問(wèn)題，附加的條件是點(diǎn)共線與不共線，點(diǎn)共面與不共面，線共面與不共面等三、排列組合解題備忘錄 ：個(gè)不同的元素必須相鄰，有 種“捆綁”方法個(gè)不同元素互不相鄰，分別“插入”到個(gè)“間隙”中的個(gè)位置有 種不同的“插入”方法個(gè)相同的元素互不相鄰，分別“插入”到個(gè)“間隙”中的個(gè)位置，有 種不同的“插入”方法若干個(gè)不同的元素“等分”為 個(gè)組,要將選取出每一個(gè)組的組合數(shù)的乘積除以 四排列組合問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法（一）分類(lèi)討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問(wèn)題往往情境復(fù)雜

11、，層次多，視角廣，這就需要我們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，從不同的側(cè)面，把原問(wèn)題變成幾個(gè)小問(wèn)題，分而治之，各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素，2）84 8解：如圖，因?yàn)锳，B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，所以中的元素有12+12-4=20個(gè)，其中屬于A的有12個(gè)，屬于A而不屬于B的有8個(gè)，要使，則C中的元素至少含在A中，集合C的個(gè)數(shù)是：1）只含A中1個(gè)元素的有；2）含A中2個(gè)元素的有；3）含A中3個(gè)元素的有，故所求的集合C的個(gè)數(shù)共有+=1084個(gè)（二）等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問(wèn)題的解決，如果能跳出題

12、沒(méi)有限定的“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計(jì)出一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的途徑，可使問(wèn)題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍?zhuān)瑩糁?槍?zhuān)瑔?wèn)擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒(méi)擊中用“1”表示，擊中的用“0”表示，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化不下列問(wèn)題：數(shù)列有兩項(xiàng)為0，5項(xiàng)是1，不同的數(shù)列個(gè)數(shù)有多少個(gè)？解：1）兩個(gè)0不相鄰的情況有種，2）兩個(gè)0相鄰的情況有種，所以擊中和末擊中的不同順序情況有+=21種。2）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體8個(gè)頂點(diǎn)的直線中，為異面直線有多少對(duì)？分析：正面求解或反面求解（利用補(bǔ)集，雖可行，但容易遺漏或重復(fù)，注意這樣一個(gè)事實(shí)，每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著三對(duì)異面

13、直線，因而轉(zhuǎn)化為計(jì)算以正方體頂點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)三棱錐）解：從正文體珠8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有種，其中4點(diǎn)共面的有12種，（6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面）將不共面的4點(diǎn)可構(gòu)一個(gè)三棱錐，共有-12個(gè)三棱錐，因而共有3（-12）=174對(duì)異面直線。綜上所述，有以上幾種解排列組合的方法，此外，當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累，我們要掌握好這些方法，并且能夠靈活運(yùn)用，這樣，在日常生活中，我們們能輕易解決很多問(wèn)題。教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)排列組合問(wèn)題的處理方法總結(jié)得很細(xì)、很全面，而且挖掘出其中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。（三）容斥原理與計(jì)數(shù)1、文氏圖： 在文氏圖中,以下圖形的含義如下： 矩形：

14、其內(nèi)部的點(diǎn)表示全集的所有元素； 矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合； 圓（或閉曲線）內(nèi)部的點(diǎn)：表示相應(yīng)集合的元素。 2、三交集公式：A+B+C=ABC+AB+BC+AC-ABC （ABC指的是E，ABC指的是D） （四）模型構(gòu)造例1. 4名同學(xué)各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿出一張別人寫(xiě)的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式共有 種.例2. 將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球分別放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子放一個(gè)小球，且小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不能相同，則共有 種不同的放法.這兩個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)都是每個(gè)元素都不在自己編號(hào)的位置上的排列問(wèn)題，我們把這種限制條件的

15、排列問(wèn)題叫做全錯(cuò)位排列問(wèn)題.例3.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類(lèi)解決：第一類(lèi)，所有同學(xué)都不坐自己原來(lái)的位置；第二類(lèi)，恰有一位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置；第三類(lèi)，恰有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置.對(duì)于第一類(lèi)，就是上面講的全錯(cuò)位排列問(wèn)題；對(duì)于第二、第三類(lèi)有部分元素還占有原來(lái)的位置，其余元素可以歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問(wèn)題，我們稱這種排列問(wèn)題為部分錯(cuò)位排列問(wèn)題.設(shè)n個(gè)元素全錯(cuò)位排列的排列數(shù)為T(mén)n，則對(duì)于例3，第一類(lèi)排列數(shù)為T(mén)5，第二類(lèi)先確定一個(gè)排原來(lái)位置的同學(xué)有5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類(lèi)的排列數(shù)為5T4，第三類(lèi)先確定兩個(gè)排原位

16、的同學(xué)，有=10種，所以第三類(lèi)的排列數(shù)為10T3，因此例3的答案為：T5+5T4+10T3.五排列組合中的易錯(cuò)題1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類(lèi)用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有 種.誤解：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒(méi)有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類(lèi)”辦法，每類(lèi)辦法中都還

17、有不同的取法.正解：由分析，完成第一類(lèi)辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類(lèi)辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有種方法.例2 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（A）          （B）       （C）     

18、60;   （D）誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.錯(cuò)因分析：誤解是沒(méi)有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說(shuō)明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí)，主要看元素的組成有沒(méi)有順序性，有順序的是排列，無(wú)順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭?/p>

19、8個(gè)小球的全排列，所以共有種方法.錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.這樣共有：排法. 3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（A）480 種    

20、0;    （B）240種       （C）120種         （D）96種誤解：先從5本書(shū)中取4本分給4個(gè)人，有種方法，剩下的1本書(shū)可以給任意一個(gè)人有4種分法，共有種不同的分法，選A.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2錯(cuò)因分析：設(shè)5本書(shū)為、，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書(shū)給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書(shū)給甲的情況.

21、這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書(shū)轉(zhuǎn)化成4本書(shū)，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書(shū)中任意取出2本捆綁成一本書(shū)，有種方法；第二步：再把4本書(shū)分給4個(gè)學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.（A）5040          （B）1260       （C）210  

22、       （D）630誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：，選B.錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問(wèn)題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過(guò)程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：種.4遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）（A）36個(gè)   

23、0;    （B）48個(gè)     （C）66個(gè)       （D）72個(gè)01，3誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因?yàn)榈?位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有種排法，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D.5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)13254在解決排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每

24、一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.例7 (2003全國(guó)高考題)如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯(cuò)因分析：據(jù)報(bào)導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2

25、種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8 已知是關(guān)于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).誤解：從集合中任意取兩個(gè)元素作為、，方程有個(gè)，當(dāng)、取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有注意到題設(shè)中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個(gè)。正解：由分析，共有個(gè)解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣

26、2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種誤解：因?yàn)楣灿腥嗣駧?1張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成 4 種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯(cuò) 例10 現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（A）   （B） &

27、#160;（C）   （D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問(wèn)題用直接法或分類(lèi)討論比較困難，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，

28、有助于問(wèn)題的解決.例10 高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：種方案.排列組合問(wèn)題雖然種類(lèi)繁多，但只要

29、能把握住最常見(jiàn)的原理和方法，即：“分步用乘、分類(lèi)用加、有序排列、無(wú)序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變，把排列組合學(xué)好.六練習(xí) 1五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有(B)A種 B種 C種 D種2在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 192 個(gè)3有12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_110_4某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同

30、學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連，不管人的順序），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起的概率為： （ D ） A B C D5用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 576 個(gè) 6把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)( D )A168B96C72D1447將標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為（ B ）A1

31、20B240C360D7208從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任）， 要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共（ B ）種A210種B420種C630種D840 9從集合 P，Q，R，S與0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任選2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_5832_(用數(shù)字作答)10從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ B ）A300種B240種

32、C144種D96種題示：11四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的,沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的,現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為 ( B)A96 B48 C24 D012 4棵柳樹(shù)和4棵楊樹(shù)栽成一行，柳樹(shù)、楊樹(shù)逐一相間的栽法有_種解析：2A·A=1152種答案：115213某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜品種_種（結(jié)果用數(shù)值表

33、示）解析：設(shè)素菜n種，則C·C200n（n1）40，所以n的最小值為7答案：714設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法有多少種?分析：五個(gè)球分別投放到五個(gè)盒子內(nèi)，恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則其他三個(gè)球必不能投放到與球的編號(hào)相同的盒子內(nèi)，此時(shí)，這三個(gè)球與對(duì)應(yīng)的三個(gè)盒子，就成了受限的特殊元素與特殊位置解：先在五個(gè)球中任選兩個(gè)球投放到與球編號(hào)相同的盒子內(nèi)，有C種；剩下的三個(gè)球，不失一般性，不妨設(shè)編號(hào)為3，4，5，投放3號(hào)球的方法數(shù)為C

34、，則投放4，5號(hào)球的方法只有一種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有C·C=20種點(diǎn)評(píng)：本題投放球有兩種方法，一種是投入到與編號(hào)相同的盒子內(nèi)，另一種是投入到與編號(hào)不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成15 球臺(tái)上有4個(gè)黃球，6個(gè)紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？解：設(shè)擊入黃球x個(gè)，紅球y個(gè)符合要求，則有 x+y=4，2x+y5（x、yN），得1x4相應(yīng)每組解（x，y），擊球方法數(shù)分別為CC，CC，CC，CC共有不同擊球方法數(shù)為CC+CC+CC+CC=195七排列組合問(wèn)題經(jīng)典題型與通用方法（一）排序問(wèn)題1.相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)

35、元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（ ）A、60種 B、48種 C、36種 D、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.相離問(wèn)題插空排:元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種解析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.定序問(wèn)題縮倍

36、法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（ ）A、24種 B、60種 C、90種 D、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種，選.11.定位問(wèn)題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例11.現(xiàn)有1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。12.多排問(wèn)題單排法:把元素排成幾

37、排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（2）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？解析：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.（2）解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有種，故共有種排法.16.圓排問(wèn)題單排法:把個(gè)不同元素放在圓周個(gè)無(wú)編號(hào)位置上的排列，順序（例

38、如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而無(wú)首位、末位之分，下列個(gè)普通排列：在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，個(gè)元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排，其它的元素全排列.例16.有5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說(shuō)明：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素作圓形排列共有種不同排法.17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)

39、象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個(gè)不同元素排在個(gè)不同位置的排列數(shù)有種方法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種不同方案，依次類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同方案.14.選排問(wèn)題先取后排:從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析

40、：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種.解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有種排法，故共有種.4.標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一

41、種填法，共有3×3×1=9種填法，選.22.全錯(cuò)位排列問(wèn)題公式法:全錯(cuò)位排列問(wèn)題（賀卡問(wèn)題，信封問(wèn)題）記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個(gè)遞推公式： 用A、B、C表示寫(xiě)著n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相應(yīng)的寫(xiě)好的信紙。把錯(cuò)裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a(bǔ)錯(cuò)裝進(jìn)B里了，包含著這個(gè)錯(cuò)誤的一切錯(cuò)裝法分兩類(lèi)： （1）b裝入A里，這時(shí)每種錯(cuò)裝的其余部分都與A、B、a、b無(wú)關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯(cuò)裝法。 （2）b裝入A、B之外的一個(gè)信封，這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把（除a之外的） 份信紙b、c裝入（除B以外的）n1個(gè)信封A、C，顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)種?？傊赼裝

42、入B的錯(cuò)誤之下，共有錯(cuò)裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D的n2種錯(cuò)誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯(cuò)裝法，因此:得到一個(gè)遞推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分別代入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式： 例.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類(lèi)解決：第一類(lèi)，所有同學(xué)都不坐自己原來(lái)的位置；第二類(lèi)，恰有一位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置；第三類(lèi)，恰有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置.對(duì)于第一類(lèi)，就是上面講的全錯(cuò)位排列問(wèn)題；對(duì)于第二、第三類(lèi)有部分元素還占有原來(lái)的位置，其余元素可以

43、歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問(wèn)題，我們稱這種排列問(wèn)題為部分錯(cuò)位排列問(wèn)題.設(shè)n個(gè)元素全錯(cuò)位排列的排列數(shù)為T(mén)n，則對(duì)于例3，第一類(lèi)排列數(shù)為T(mén)5，第二類(lèi)先確定一個(gè)排原來(lái)位置的同學(xué)有5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類(lèi)的排列數(shù)為5T4，第三類(lèi)先確定兩個(gè)排原位的同學(xué)，有=10種，所以第三類(lèi)的排列數(shù)為10T3，因此例3的答案為：T5+5T4+10T3.（二）分組分配問(wèn)題24平均分堆問(wèn)題去除重復(fù)法 例2. 從7個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，選出6個(gè)人，分成兩組，每組都是3人，有多少種不同的分法？分析：記7個(gè)人為a、b、c、d、e、f、g寫(xiě)出一些組來(lái)考察。表1選3人再選3人分組方法種數(shù)a b cd e fd e fa b

44、 c這兩種只能算一種分法a b cd e gd e ga b c這兩種只能算一種分法由表1可見(jiàn)，把a(bǔ)bc，def看作2個(gè)元素順序不同的排列有種，而這只能算一種分組方法。解：選3人為一組有種，再選3人為另一組有種，依分步計(jì)數(shù)原理，又每種分法只能算一種，所以不同的分法有（種）。也可以先選再分組為70（種） 例6 6本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書(shū)（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書(shū)平均分成三堆方式有=15種練習(xí)：16本書(shū)分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給

45、甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。5.有序分配問(wèn)題逐分法:有序分配問(wèn)題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種 （2）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案有（ ）A、種 B、種 C、種 D、種解析：（1）先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）答案：.6.

46、全員分配問(wèn)題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書(shū)，全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種答案：（1）36.(2).7.名額分配問(wèn)題隔板法(無(wú)差別物品分配問(wèn)題隔板法):例7：10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.8.限制條

47、件的分配問(wèn)題分類(lèi)法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類(lèi)，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.（三）排列組合問(wèn)題中的技巧10.交叉問(wèn)題集合法（容斥原理）：某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)

48、數(shù)公式例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：種.13.“至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類(lèi)法:例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 （ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一

49、臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有臺(tái),選.23構(gòu)造數(shù)列遞推法例 一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類(lèi)：第一類(lèi)：是最后一步跨一級(jí)，有an-1種走法，第二類(lèi)是最后一步跨兩級(jí)，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級(jí)樓梯共有89種不同的方法。15.部分合條件問(wèn)題

50、排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（ ）A、70種 B、64種 C、58種 D、52種（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）A、150種 B、147種 C、144種 D、141種解析：（1）正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有個(gè).（2）解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為，四個(gè)面共有個(gè)；過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的

51、平行四邊形共3個(gè)；過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是種.18.復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法:例18.馬路上有編號(hào)為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問(wèn)題容易解決.19.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒

52、子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種.9.多元問(wèn)題分類(lèi)法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)數(shù)再相加。例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

53、 ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種（2）從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？（3）從1，2，3，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？解析：(1)按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個(gè)，個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選.另解，首位數(shù)字不能為0，故首位數(shù)字有5種選擇，其它五個(gè)數(shù)字全排列，由于個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大與個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小是對(duì)稱的。故所求六位數(shù)共有5/2=300。（2）解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，

54、將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個(gè)元素；由此可知，從中任取2個(gè)元素的取法有，從中任取一個(gè)，又從中任取一個(gè)共有，兩種情形共符合要求的取法有種.（3）解析：將分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.20.復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？（2）正方

55、體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線？解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為個(gè).（2）解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)異面直線，可將問(wèn)題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3×58=174對(duì).21.利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理.例21.（1）圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？（2）某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從A到B的最短路徑有多少種？解析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有個(gè).（2）解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過(guò)4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有種.例17 圓周上共有1