8.6相空間和玻耳茲曼分布律ppt課件

1、8.6 相空間和玻耳茲曼分布律相空間和玻耳茲曼分布律 8.6.1 相空間和分布函數(shù)相空間和分布函數(shù) 8.6.2 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 *8.6.3 能量均分定理的證明能量均分定理的證明 振動(dòng)自由度振動(dòng)自由度 8.6.4 簡(jiǎn)諧振子的平均能量簡(jiǎn)諧振子的平均能量8.6.1 相空間和分布函數(shù)相空間和分布函數(shù) 相空間：相空間： 分子的狀態(tài)可以用分子的空間位置和速度分子的狀態(tài)可以用分子的空間位置和速度動(dòng)量作為獨(dú)立變量來(lái)描述。動(dòng)量作為獨(dú)立變量來(lái)描述。相空間體積元只考慮平動(dòng)自由度）：相空間體積元只考慮平動(dòng)自由度）： zyxzyxvvvddddddd 分子在任一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，均可用相空分子在任一時(shí)刻的

2、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，均可用相空間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表。間中的一個(gè)點(diǎn)來(lái)代表。 由位置和速度動(dòng)量構(gòu)成的空間由位置和速度動(dòng)量構(gòu)成的空間 為描述分子同時(shí)按位置和按速度的分布，定為描述分子同時(shí)按位置和按速度的分布，定義分子相空間分布函數(shù)：義分子相空間分布函數(shù)：zyxzyxzyxNzyxNrfvvvvvvvdddddd),(d),( NzyxNzyxd),(dvvv 或，分子的狀態(tài)在相空間分布的概率密度?；?，分子的狀態(tài)在相空間分布的概率密度。 f(r,v)：狀態(tài)處于：狀態(tài)處于 (r, v) 附近的單位相空間體附近的單位相空間體積內(nèi)的分子數(shù)，占系統(tǒng)分子總數(shù)的百分比。積內(nèi)的分子數(shù)，占系統(tǒng)分子總數(shù)的百分比。 ：位置處于：位置

3、處于 r r+dr、速、速度處于度處于 v v+dv 的分子數(shù)，即狀態(tài)處于相空間的分子數(shù)，即狀態(tài)處于相空間體積元體積元d 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。 N：系統(tǒng)的總分子數(shù)：系統(tǒng)的總分子數(shù)),(dzyxzyxNvvv1d),( rfv歸一化條件歸一化條件 ：8.6.2 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律zyxzyxNkTddde),(dp zyxkTzyxNvvvvvvddde),(dk 同時(shí)按位置、同時(shí)按位置、速度分布？速度分布？ 近獨(dú)立粒子系統(tǒng)近獨(dú)立粒子系統(tǒng) 位置和速度相互獨(dú)立，位置和速度相互獨(dú)立，按概率乘法法則，有按概率乘法法則，有 zyxkTzyxzyxzyxNvvvvvvdddddde),(d)

4、(kP zyxzyxzyxNzyxNrfvvvvvvvdddddd),(d),( kTC)(kPe kP 分子的能量：分子的能量： kTCrf e),(v由歸一化條件由歸一化條件 ，得，得 ded),(1kTCrfv de1kTC 平衡態(tài)系統(tǒng)中分子的相空間分布函數(shù)：平衡態(tài)系統(tǒng)中分子的相空間分布函數(shù)： dee),(BkTkTrfv 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 d),(),(B vvrfrWW 體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本思想：把系統(tǒng)的宏觀量體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本思想：把系統(tǒng)的宏觀量看成相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值看成相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值 玻耳茲曼分布律是氣體動(dòng)理論的基礎(chǔ)，適用玻耳茲曼分布律是氣體動(dòng)理論的基礎(chǔ)，適

5、用于理想氣體，也可用于實(shí)際氣體、液體和固體于理想氣體，也可用于實(shí)際氣體、液體和固體等分子之間相互作用力不是很強(qiáng)的經(jīng)典的熱力等分子之間相互作用力不是很強(qiáng)的經(jīng)典的熱力學(xué)系統(tǒng)。學(xué)系統(tǒng)。 dede),(kTkTrWv 物理量物理量 W(r, v) 在溫度為在溫度為 T 的平衡態(tài)下的統(tǒng)的平衡態(tài)下的統(tǒng)計(jì)平均值：計(jì)平均值： 相空間體積元包括轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）：相空間體積元包括轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）： *8.6.3 能量均分定理的證明能量均分定理的證明 振動(dòng)自由度振動(dòng)自由度 分子動(dòng)能：相應(yīng)平方項(xiàng)之和分子動(dòng)能：相應(yīng)平方項(xiàng)之和例如，剛性雙原子分子的動(dòng)能：例如，剛性雙原子分子的動(dòng)能：222212121zyxmmmvvv dd 對(duì)各

6、個(gè)能量平方項(xiàng)求統(tǒng)計(jì)平均，如果統(tǒng)計(jì)平對(duì)各個(gè)能量平方項(xiàng)求統(tǒng)計(jì)平均，如果統(tǒng)計(jì)平均值都等于均值都等于kT/2，就證明了能量均分定理。，就證明了能量均分定理。 以轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能以轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 為例，計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值：為例，計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值：221 I222121 II zyxvvvdddzyxdddd dd1. 能量均分定理的證明能量均分定理的證明 dddddddddededddddddddde21dddddddddedddddddddde21222222x2222222222zyxzyxzyxzyxvvvvvvvvvvvvvvvvzyxmIzyxmIIzyxImzyxImIkTxkTkTkTkTxkTx ed de

7、de212122kTkTII dede2121222222kTkTIIII 類(lèi)似地，對(duì)其他平方項(xiàng)求平均，結(jié)果也都等類(lèi)似地，對(duì)其他平方項(xiàng)求平均，結(jié)果也都等于于kT/2。 0220222dede21 kTkTIIIkTkTIkTII21221)2(41213 能量均分定理的一般表述：在溫度為能量均分定理的一般表述：在溫度為 T 的平的平衡態(tài)系統(tǒng)中，分子能量表達(dá)式中每一個(gè)平方項(xiàng)衡態(tài)系統(tǒng)中，分子能量表達(dá)式中每一個(gè)平方項(xiàng)對(duì)應(yīng)的平均能量都等于對(duì)應(yīng)的平均能量都等于 kT/2。 分子中原子振動(dòng)可看成簡(jiǎn)諧分子中原子振動(dòng)可看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)，一個(gè)振動(dòng)自由度能量包括兩個(gè)平方項(xiàng)：振動(dòng)，一個(gè)振動(dòng)自由度能量包括兩個(gè)平方項(xiàng)：2.

8、 振動(dòng)自由度：振動(dòng)自由度：動(dòng)能：動(dòng)能：221u u、：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度、位移：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度、位移，勢(shì)能：，勢(shì)能：221 k 、k：等效的質(zhì)量、勁度系數(shù)：等效的質(zhì)量、勁度系數(shù)一個(gè)振動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的平均能量：一個(gè)振動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的平均能量：kTkT 221 分子平均能量：分子平均能量： kTi2 srti2 自由度自由度 ：t：平動(dòng)；：平動(dòng)；r：轉(zhuǎn)動(dòng)；：轉(zhuǎn)動(dòng)；s：振動(dòng)：振動(dòng) 固體晶格點(diǎn)陣上原子沿三個(gè)互相垂直的方向固體晶格點(diǎn)陣上原子沿三個(gè)互相垂直的方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)自由度作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)自由度 s = 3，其他自由度為，其他自由度為零，原子振動(dòng)的平均能量為零，原子振動(dòng)的平均能量為 3kT。 在溫度為在

9、溫度為 T 的平衡態(tài)下，的平衡態(tài)下，（mole固體的固體的內(nèi)能：內(nèi)能：RT 3 kTNEA 3 8.6.4 簡(jiǎn)諧振子的平均能量簡(jiǎn)諧振子的平均能量簡(jiǎn)諧振子：作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)簡(jiǎn)諧振子：作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng) 按照經(jīng)典概念，簡(jiǎn)諧振子的能量連續(xù)變化，按照經(jīng)典概念，簡(jiǎn)諧振子的能量連續(xù)變化，振子的平均能量振子的平均能量 。 kT 1. 簡(jiǎn)諧振子的能級(jí)簡(jiǎn)諧振子的能級(jí) 在在12.6.2節(jié)將會(huì)看到，頻率為節(jié)將會(huì)看到，頻率為 的一維簡(jiǎn)諧的一維簡(jiǎn)諧振子的能級(jí)：振子的能級(jí)： hnn 21, 2 , 1 , 0, nsJ1063. 634 h普朗克常量：普朗克常量： 實(shí)際上，簡(jiǎn)諧振子的實(shí)際上，簡(jiǎn)諧振子的能量是量子化的。能量是

10、量子化的。 把把h/2取為能量零點(diǎn)，簡(jiǎn)諧振子的能量只取為能量零點(diǎn)，簡(jiǎn)諧振子的能量只能是能量單元能是能量單元h 的整數(shù)倍：的整數(shù)倍：h、2h、3h、2. 簡(jiǎn)諧振子的平均能量簡(jiǎn)諧振子的平均能量 在溫度為在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，頻率為的平衡態(tài)下，頻率為 的一維簡(jiǎn)的一維簡(jiǎn)諧振子的平均能量：諧振子的平均能量：1e kThh 如果振子頻率較低或系統(tǒng)溫度較高如果振子頻率較低或系統(tǒng)溫度較高,kTh ,1ekThkTh ,11kTkTh h回到經(jīng)典情況?；氐浇?jīng)典情況。 為什么？為什么？證明不講，自己推導(dǎo)）：證明不講，自己推導(dǎo)）：kTnnCNN e 由由 N 個(gè)頻率為個(gè)頻率為 的一維簡(jiǎn)諧振子組成的系的一維簡(jiǎn)諧振子組成的系統(tǒng)，達(dá)到溫度為統(tǒng)，達(dá)到溫度為 T 的平衡態(tài)。的平衡態(tài)。由歸一化條件由歸一化條件 , 求出求出10 nnNN 0e1nkTnC 按玻耳茲曼分布按玻耳茲曼分布律，系統(tǒng)中能量為律，系統(tǒng)中能量為 n 的振子數(shù)的振子數(shù) Nn 與總振子與總振子數(shù)數(shù) N 之比：之比：,ee0 nkTkTnnnNN 0nnnNN 00eenkTnkTnnn 0)21(0)21(ee21nhnnh