《d12數(shù)列的極限》ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準那么、極限存在準那么 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 r數(shù)學言語描畫:一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設(shè)有半徑為 r 的圓,nA逼近圓面積 S .n如下圖 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當 n 無限增大時, nA無限逼近 S . ,0,N正整數(shù)當 n N 時, SAn用其內(nèi)接正 n 邊形的面積總有劉徽 .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放數(shù)列的極限數(shù)列的極

2、限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 能否無限接近于某一能否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?假設(shè)是假設(shè)是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學言語如何用數(shù)學言語刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 經(jīng)過上面演示實驗的察看經(jīng)過上面演示實驗的察看:“無限接近無限接近的含義：只需的含義：只需 n 足夠大，足夠大， nxn11 可以小于恣意給定的小正數(shù)?？梢孕∮陧б饨o定的小正數(shù)。 ,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,

3、10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)(時時只要只要 1 Nn.成立成立有有從而從而 nxn11無論它多么小，無論它多么小，, 1 n有有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱為通項(普通項) .假設(shè)數(shù)列nx及常數(shù) a 有以下關(guān)系 :,0,N正數(shù)當 n N 時, 總有記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否那么稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1

4、Nx2Nxaxn那么稱該數(shù)列nx的極限為 a ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),), 假設(shè)數(shù)列沒有極限假設(shè)數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.留意：留意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 3有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N總存在正數(shù)

5、總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, , 那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx ,limaxnn 或或).( naxn 不等式不等式 axn都成立都成立, , 收斂于收斂于a, ,記為記為 )( NN ;. 2的過程的過程刻劃了刻劃了不等式不等式 nNnx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa,),(,內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當 aaxNnn:定義定義N 其中其中;:每一個或任給的每一個或任給的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 axnnlim., 0, 0 axNnNn恒有恒有時

6、時使使.)(落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個N目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 知知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只需1n因此 , 取, 1N那么當Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 知知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只需,11n即n取, 11N那么當Nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnn

7、nn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不獨一.不一定取最小的 N .闡明闡明: 取11N目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè)設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只需,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 那么當 n N 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1 limsin0 . nnn證明：證證0, 1 sin0 , nn要11 sin , nnn只要1 , ,NnN 故取則當時111 sin0 s

8、in nnnnn成立. 由極限的定義可知:1limsin0 . nnn小結(jié)小結(jié)1用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是恣關(guān)鍵是恣意給定意給定 0 尋覓尋覓 N, 使當使當 n N 時，時，成立成立 |axn2為了找到上述為了找到上述 N ，經(jīng)常先將，經(jīng)常先將|axn 適當放大為適當放大為)(|naxn 再令再令,)( n并從中能方便的解出并從中能方便的解出),( n此時取此時取,)(即可即可 N3有時為了方便，在不妨礙有時為了方便，在不妨礙 可以恣意小的前提可以恣意小的前提下，可事先設(shè)下，可事先設(shè) 小于某個正數(shù)。小于某個正數(shù)。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23baab22abn

9、abax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當 n N2 時, 有2banx1. 收斂數(shù)列的極限獨一收斂數(shù)列的極限獨一.使當 n N1 時, 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必獨一.那么當 n N 時, ,max21NNN 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1

10、(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂 , 那么有獨一極限 a 存在 .取,21那么存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不能夠同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時, 有因此該數(shù)列發(fā)散 .nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè)設(shè),limaxnn取,1,N那么當Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1那么有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.闡明闡明: 此性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,1)1(n雖

11、有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 收斂數(shù)列具有保號性收斂數(shù)列具有保號性.假設(shè),limaxnn且, 0a,NN則,時當Nn 有0nx)0()0(證證: 對 a 0 , 取,2a,NN則,時當Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 假設(shè)數(shù)列從某項起, 0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00 () ( 0, ) , nnnnxyxynNNnN若或當時 lim, lim , nnnnxayb且存在 則limlim (limlim) . nnnnnnnnaxybaxyb目錄 上頁 下頁

12、返回 結(jié)束 在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 堅持各項原來的先后次序不變, 自左往右恣意選取無窮多項所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列, 記為. knx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .假設(shè),limaxnn那么,0,N當 Nn 時, 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,NnK于是當Kk 時, 有knKnN從而有由此證明 .limaxknk*NKnNxKnx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、極限存在準那三、極限存在準那么么由此性質(zhì)可知

13、 , 假設(shè)數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 !夾逼準那么; 單調(diào)有界準那么; *柯西審斂準那么 .那么原數(shù)列一定發(fā)散 .闡明闡明: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準那么夾逼準那么 (準那么準那么1) (P50),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當1Nn 時,ayn當2Nn 時,azn令,max21NNN 那么當Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N目錄 上

14、頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準那利用夾逼準那么么 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準那么準那么2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)設(shè), ),2, 1()1 (1nxn

15、nn證明數(shù)列nx極限存在 . (P53P54)證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!

16、21!31!1n又比較可知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)準那么 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,e)1 (lim1nnn e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e 即有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *3. 柯西極限存在準那么柯西極限存在準那么(柯西審斂原理柯西審斂原理) (P55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N ,使當NnNm,時,mnxx證證: “必要性必要性. 設(shè),limaxnn那么,0NnNm,時, 有 使當,2axn2axm因此mn

17、xx)()(axaxmnaxnaxm“充分性 證明從略 .,N有柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N 定義及運用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):獨一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準那么:夾逼準那么 ; 單調(diào)有界準那么 ; *柯西準那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無界. . ) 1( :nnx反例目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習思索與練習1. 如何判別極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 知

18、),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法能否正確? 闡明理由.設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用數(shù)學歸納法證 2nx第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè)設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)Axnnlim那么由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故