數(shù)值分析課件

1、第第3 3章章 解線性方程組的直接方法解線性方程組的直接方法 本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)高斯消元法、高斯列主元素消去法。高斯消元法、高斯列主元素消去法。矩陣三角分解法、追趕法。矩陣三角分解法、追趕法。向量和矩陣的范數(shù)。向量和矩陣的范數(shù)。3.1 引言引言 在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，經(jīng)常遇在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，經(jīng)常遇到的許多問題最終都可歸結(jié)為解線性方程組，如電到的許多問題最終都可歸結(jié)為解線性方程組，如電學(xué)中網(wǎng)絡(luò)問題、用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬學(xué)中網(wǎng)絡(luò)問題、用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，工程中的三次樣條函數(shù)的插值問題，經(jīng)濟(jì)合問題，工程中的三次樣條函數(shù)的插值問題，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中的投入

2、產(chǎn)出問題以及大地測(cè)量、機(jī)械與建筑運(yùn)行中的投入產(chǎn)出問題以及大地測(cè)量、機(jī)械與建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算問題等等，都?xì)w結(jié)為求解線性方程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算問題等等，都?xì)w結(jié)為求解線性方程組或非線性方程組的數(shù)學(xué)問題。因此線性方程組的組或非線性方程組的數(shù)學(xué)問題。因此線性方程組的求解對(duì)于實(shí)際問題是極其重要的。求解對(duì)于實(shí)際問題是極其重要的。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111 nnnnnnnnbbbBxxxXaaaaaaaaaA.,.,.2121212222111211第第3章章 解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法 常見的線性方程組是方程個(gè)數(shù)和未知

3、量個(gè)常見的線性方程組是方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的數(shù)相同的n階線性方程組，一般形式為階線性方程組，一般形式為 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 Ax=b，其中，其中 ( 3.1 ) 一般一般b0, 當(dāng)系數(shù)矩陣當(dāng)系數(shù)矩陣A非奇異非奇異( (即即detA0) 時(shí)，方程組（時(shí)，方程組（3.1）有惟一解。）有惟一解。 線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類： 直接法：就是經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得直接法：就是經(jīng)過有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組精確解的方法（若計(jì)算過程中沒有舍方程組精確解的方法（若計(jì)算過程中沒有舍入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，直接法中具有代表

4、性的算法是高斯直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。消去法。1. 迭代法迭代法: ( 第四章介紹）就是用某種極限過第四章介紹）就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。也就是也就是從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一從解的某個(gè)近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法。個(gè)無(wú)窮序列去逼近精確解的方法。( (一般有一般有限步內(nèi)得不到精確解限步內(nèi)得不到精確解) ) 3.2 解線性方程組的直接法（高斯消去法）解線性方程組的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想高斯消去法的基本思想先用一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例來(lái)說明先用一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例來(lái)

5、說明Gauss法的基本思想法的基本思想例例3.1 3.1 解線性方程組解線性方程組 72452413221321321xxxxxxxx解解: : 該方程組的求解過程實(shí)際上是將一個(gè)方程乘或該方程組的求解過程實(shí)際上是將一個(gè)方程乘或除以某個(gè)常數(shù)除以某個(gè)常數(shù), ,然后將兩個(gè)方程相加減然后將兩個(gè)方程相加減, ,逐步減少方逐步減少方程中的未知數(shù)程中的未知數(shù), ,最終使每個(gè)方程只含有一個(gè)未知數(shù)最終使每個(gè)方程只含有一個(gè)未知數(shù), ,從而得出所求的解。整個(gè)過程分為消元和回代兩個(gè)從而得出所求的解。整個(gè)過程分為消元和回代兩個(gè)部分。部分。 （1）消元過程）消元過程第第1步步: :將方程將方程乘上乘上( (-2)加到方程

6、加到方程 上去上去, ,將將方程方程 乘上乘上 加到方程加到方程 上去上去, ,這樣就消去這樣就消去了第了第2、3個(gè)方程的個(gè)方程的 項(xiàng)項(xiàng), ,于是就得到等價(jià)方程于是就得到等價(jià)方程組組 211x213232524132232321xxxxxx第第2步：將方程步：將方程 乘上乘上 加到方程加到方程 上去，上去，這樣就消去了第這樣就消去了第3個(gè)方程的個(gè)方程的 項(xiàng)，于是就得項(xiàng)，于是就得到等價(jià)方程組到等價(jià)方程組 852x4218724132332321xxxxxx這樣，消元過程就是把原方程組化為上三角這樣，消元過程就是把原方程組化為上三角形方程組，其系數(shù)矩陣是上三角矩陣。形方程組，其系數(shù)矩陣是上三角矩陣

7、。 （2）回代過程）回代過程回代過程是將上述三角形方程組自下而上求回代過程是將上述三角形方程組自下而上求解，從而求得原方程組的解：解，從而求得原方程組的解： 6, 1,9321xxx前述的消元過程相當(dāng)于對(duì)原方程組前述的消元過程相當(dāng)于對(duì)原方程組 741021524312321xxx的增廣矩陣進(jìn)行下列變換的增廣矩陣進(jìn)行下列變換( ( 表示增廣矩陣的第表示增廣矩陣的第 行）行） 702145241312bAA21323250214013121213)2()21(rrrr42187002140131223)85(rr同樣可得到與原方程同樣可得到與原方程組等價(jià)的方程組組等價(jià)的方程組 iri 由此看出由此

8、看出, ,高斯消去法解方程組基本思想是設(shè)高斯消去法解方程組基本思想是設(shè)法消去方程組的系數(shù)矩陣法消去方程組的系數(shù)矩陣A的主對(duì)角線下的元素的主對(duì)角線下的元素, ,而而將將Ax=b化為等價(jià)的上三角形方程組化為等價(jià)的上三角形方程組, ,然后再通過回然后再通過回代過程便可獲得方程組的解。換一種說法就是用矩代過程便可獲得方程組的解。換一種說法就是用矩陣行的初等變換將原方程組系數(shù)矩陣化為上三角形陣行的初等變換將原方程組系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣矩陣, ,而以上三角形矩陣為系數(shù)的方程組的求解比較而以上三角形矩陣為系數(shù)的方程組的求解比較簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單, ,可以從最后一個(gè)方程開始可以從最后一個(gè)方程開始, ,依次向前代入求

9、出依次向前代入求出未知變量未知變量 。這種求解上三角方程組的。這種求解上三角方程組的方法稱為方法稱為回代回代, 通過一個(gè)方程乘或除以某個(gè)常數(shù)通過一個(gè)方程乘或除以某個(gè)常數(shù), ,以以及將兩個(gè)方程相加減及將兩個(gè)方程相加減, ,逐步減少方程中的變?cè)獢?shù)逐步減少方程中的變?cè)獢?shù), ,最最終將方程組化成上三角方程組終將方程組化成上三角方程組, ,一般將這一過程稱為一般將這一過程稱為消元消元,然后再回代求解。然后再回代求解。11,xxxnn通常把按照先消元通常把按照先消元, ,后回代兩個(gè)步驟求解線性后回代兩個(gè)步驟求解線性方程組的方法稱為方程組的方法稱為高斯高斯（Gauss）消去法。消去法。3.2.2 高斯消去法

10、算法構(gòu)造高斯消去法算法構(gòu)造 我們知道我們知道, ,線性方程組線性方程組( (3.1)用矩陣形式表示為用矩陣形式表示為 nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211( 3.3 ) 解線性方程組（解線性方程組（3.1）的高斯（）的高斯（Gauss）消去法的消元）消去法的消元過程就是對(duì)過程就是對(duì)( 3.3 )的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換。將例的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換。將例3.1中解三階線性方程組的消去法推廣到一般的中解三階線性方程組的消去法推廣到一般的 階線性方程組并記階線性方程組并記則高斯消去法的算法構(gòu)造歸納為：則高斯消去法的算法構(gòu)造歸納為： nn),2, 1,(,)

11、1()1(njibbaaiiijij 消元過程消元過程, ,高斯消去法的消元過程由高斯消去法的消元過程由n-1步組成：步組成： 第第1 1步步 設(shè)設(shè) , ,把把(3.3)(3.3)中的第一列中元素中的第一列中元素 消為零消為零, ,令令 0) 1 (11a)1(1)1(31)1(21,naaa), 3 , 2(,)1(11)1(11niaamii用用 乘以第乘以第1 1個(gè)方程后加到第個(gè)方程后加到第 個(gè)方程上去個(gè)方程上去, ,消去消去第第2 2n n個(gè)方程的未知數(shù)個(gè)方程的未知數(shù) , ,得到得到 即即 1 imi1x)2()2(bxA)2()2(2)1(121)2()2(2)2(2)2(22)1(

12、1)1(12)1(11nnnnnnnbbbxxxaaaaaaanjibmbbamaaiiijiijij,3,2,)1(11)1()2()1(11)1()2(其中其中 第第k步步 （k=2,3,n-1）繼續(xù)上述消元過程，設(shè)）繼續(xù)上述消元過程，設(shè)第第k-1次消元已經(jīng)完成，得到與原方程組等價(jià)的次消元已經(jīng)完成，得到與原方程組等價(jià)的方程組方程組 knkknkknnknkkknkkknnbbbbxxxxaaaaaaaaa)()2(2)1(121)()()()()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11記為記為)()(kkbxAnkjibmbbamaakkikkikikkjikkijkij,1,)()(

13、)1()()()1()1()1(kkbxA其中其中), 1()()(nkiaamkkkkikik設(shè)設(shè) ，計(jì)算乘數(shù)，計(jì)算乘數(shù) 0kkkaikm用用 乘以第乘以第k個(gè)方后加到第個(gè)方后加到第i個(gè)到第個(gè)到第n個(gè)方程個(gè)方程中，消去第中，消去第i個(gè)到第個(gè)到第n個(gè)方程的未知數(shù)個(gè)方程的未知數(shù) ，得到，得到kx只要只要 , ,消元過程就可以進(jìn)行下去消元過程就可以進(jìn)行下去, ,直到直到經(jīng)過經(jīng)過n-1n-1次消元之后，消元過程結(jié)束，得到與次消元之后，消元過程結(jié)束，得到與原方程組等價(jià)的上三角形方程組原方程組等價(jià)的上三角形方程組, ,記為記為 0)(kkka)()(nnbxA或者寫成或者寫成 )()2(2) 1 (12

14、1)()2(2)2(22) 1 (1) 1 (12) 1 (11nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa)()()2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa即即 ( (3.7) （2）回代過程）回代過程就是對(duì)上三角方程組（就是對(duì)上三角方程組（3.7）自下而上逐步回代解方）自下而上逐步回代解方程組計(jì)算，即程組計(jì)算，即 )1 ,2, 1(,)(1)()()()(niaxabxabxiiijnijiijiiinnnnnn（3 3）高斯消去法的計(jì)算步驟：）高斯消去法的計(jì)算步驟： 消元過程消元過程; ;設(shè)設(shè) 計(jì)算計(jì)算 1,2, 1

15、,0)(nkakkk對(duì)nkkjibmbbamaaaamkkikkikikkjikkijkijkkkkikik,2,1,)()()1()()()1()()( 回代過程回代過程 1,2,1)(1)()()()(nniaxabxabxiiijnijiijiiinnnnnn(4) (4) 高斯消去法流程圖高斯消去法流程圖 ，見，見P P4242(5)(5) GaussGauss消去法計(jì)算量消去法計(jì)算量 331n 消元計(jì)算消元計(jì)算: aij(k+1)= aij(k)- mik akj(k) (i,j=k+1,k+2, , n) 第一第一 步計(jì)算乘數(shù)步計(jì)算乘數(shù)mi1, mi1=ai1/a11 (i=2,3

16、,n) 需要需要n-1次除法運(yùn)算次除法運(yùn)算, 計(jì)算計(jì)算 aij(2）(i,j=2,3,n) 需要需要(n-1)2次乘法運(yùn)算及次乘法運(yùn)算及(n-1)2次加減法運(yùn)次加減法運(yùn) 算算,第第k 步步加減法次加減法次數(shù)數(shù)乘法次數(shù)乘法次數(shù)除法次數(shù)除法次數(shù)123n-1(n-1)2(n-2)2(n-3)21(n-1)2(n-2)2(n-3)21(n-1)(n-2)(n-3)1合計(jì)合計(jì)n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)/2乘除法次數(shù)：乘除法次數(shù)：MD= n(n-1)(2n-1)/6+ n(n-1)/2=1/3 n(n2-1)加減法次數(shù)：加減法次數(shù)：AS= n(n-1)(2n-1)

17、/63.2.3 3.2.3 高斯消去法的適用條件高斯消去法的適用條件 定理定理3.1 3.1 方程組系數(shù)矩陣的順序主子式全不方程組系數(shù)矩陣的順序主子式全不 為零則高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的為零則高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的 求解。求解。證明證明 上三角形方程組是從原方程組出發(fā)，通上三角形方程組是從原方程組出發(fā)，通過逐次進(jìn)行過逐次進(jìn)行“一行乘一數(shù)加到另一行一行乘一數(shù)加到另一行”而得出而得出的，該變換不改變系數(shù)矩陣順序主子式的值。的，該變換不改變系數(shù)矩陣順序主子式的值。 設(shè)方程組系數(shù)矩陣設(shè)方程組系數(shù)矩陣 ，其順序主子式，其順序主子式 nijaA)(01111mmmmmaaaaA（m =1,2,m =1,

18、2,，n n） 經(jīng)變換得到的上三角形方程組的順序主子式經(jīng)變換得到的上三角形方程組的順序主子式 0)()2(22)1(11)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11mmmmmmmmmaaaaaaaaaA所以能實(shí)現(xiàn)高斯消去法求解所以能實(shí)現(xiàn)高斯消去法求解 （m =1,2,m =1,2,，n n） 定義定義3.1 3.1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 每一行對(duì)角元素每一行對(duì)角元素的絕對(duì)值都大于同行其他元素絕對(duì)值之和的絕對(duì)值都大于同行其他元素絕對(duì)值之和 nijaA)(niaanijjijii,2, 1,1則稱則稱A A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。 定理定理3.2 3.2 若方程組若方程組 的系數(shù)矩陣

19、的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則用高斯消去法求解時(shí)，格對(duì)角占優(yōu)，則用高斯消去法求解時(shí)， 全全不不為零為零。 bAx )(kkka證證: :先考察消元過程的第先考察消元過程的第1 1步步, ,因因A為嚴(yán)格對(duì)角占為嚴(yán)格對(duì)角占 優(yōu)優(yōu), ,故故 故故 , ,又根據(jù)高斯消又根據(jù)高斯消 去公式得去公式得 于是于是 njjaa2111011)1(11 aanjiaaaaajiijij,3 ,2,1111)2(nijjjinijjijnijjijaaaaa2111122)2()(12111111injjiinijjijaaaaaa再利用方程組的對(duì)角占優(yōu)性再利用方程組的對(duì)角占優(yōu)性, ,由上式可進(jìn)一步得由上式可

20、進(jìn)一步得 111111111112)2()(aaaaaaaaaaaiiiiiiiiinijjij又由又由 njiaaaaajiijij, 3 ,2,1111)2(得得 11111111)2(aaaaaaaaaiiiiiiiiii故有故有 niaaiinijjij,3,2,)2(2)2(當(dāng)當(dāng)A A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí), , ,余下的子陣仍是余下的子陣仍是對(duì)角占優(yōu)的，從而又有對(duì)角占優(yōu)的，從而又有 。依次類推全不。依次類推全不為零。為零。 定理證畢。定理證畢。 011) 1 (11aa0)2(22a 一般線性方程組使用高斯消去法求解時(shí)，一般線性方程組使用高斯消去法求解時(shí)，在消元過程中可能

21、會(huì)出現(xiàn)在消元過程中可能會(huì)出現(xiàn) 的情況，這的情況，這時(shí)消去法將無(wú)法進(jìn)行；即使時(shí)消去法將無(wú)法進(jìn)行；即使 ，但它的，但它的絕對(duì)值很小時(shí)，用其作除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其他元素絕對(duì)值很小時(shí)，用其作除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，將嚴(yán)重?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，將嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。實(shí)際計(jì)算時(shí)必須避免這影響計(jì)算結(jié)果的精度。實(shí)際計(jì)算時(shí)必須避免這類情況的發(fā)生。主元素消去法就可彌補(bǔ)這一缺類情況的發(fā)生。主元素消去法就可彌補(bǔ)這一缺陷。陷。 0)(kkka0)(kkka 基本思想：每次消元之前在系數(shù)矩陣中按一定的范圍選基本思想：每次消元之前在系數(shù)矩陣中按一定的范圍選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素

22、，以便減少舍入誤差的取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，以便減少舍入誤差的影響。影響。 交換原則：通過方程或變量次序的交換，使在對(duì)角線位交換原則：通過方程或變量次序的交換，使在對(duì)角線位置上獲得絕對(duì)值盡可能大的系數(shù)作為置上獲得絕對(duì)值盡可能大的系數(shù)作為akk(k)，稱這樣的，稱這樣的akk(k) 為為主元素主元素，并稱使用主元素的消元法，并稱使用主元素的消元法為主元素法為主元素法 根據(jù)主元素選取范圍分為：列主元素法、行主元素法、根據(jù)主元素選取范圍分為：列主元素法、行主元素法、全主元素法全主元素法 列主元素法：在待消元的所在列中選擇主元，經(jīng)方程的列主元素法：在待消元的所在列中選擇主元，經(jīng)方程的變換，置主元

23、素于對(duì)角線位置后進(jìn)行消元的方法。變換，置主元素于對(duì)角線位置后進(jìn)行消元的方法。在全體待選系數(shù)中選取主元，則得在全體待選系數(shù)中選取主元，則得全主元素全主元素法。法。記筆記記筆記3.2.4 3.2.4 高斯主元素消去法高斯主元素消去法主元素法的意義主元素法的意義例例3.2 用高斯消去法求下列方程組的解用高斯消去法求下列方程組的解 211021215xxxx解：解： 確定乘數(shù)確定乘數(shù) ，再計(jì)算系數(shù)，再計(jì)算系數(shù) 52110m5)2(25122122)2(22102101bamaa假設(shè)計(jì)算在假設(shè)計(jì)算在4 4位浮點(diǎn)十進(jìn)值的計(jì)算機(jī)上求解位浮點(diǎn)十進(jìn)值的計(jì)算機(jī)上求解, ,則有則有 5555555510101000

24、002. 010210101000001. 0101，這時(shí)方程組的實(shí)際形式是這時(shí)方程組的實(shí)際形式是 5252151010110 xxx由此回代解出由此回代解出 , ,但這個(gè)解不滿足原但這個(gè)解不滿足原方程組方程組, ,解是錯(cuò)誤的。這是因?yàn)樗玫某龜?shù)太小解是錯(cuò)誤的。這是因?yàn)樗玫某龜?shù)太小使得上式在消元過程中使得上式在消元過程中“吃掉吃掉”了下式，解決了下式，解決這個(gè)問題的方法之一就是采用列選主元高斯消這個(gè)問題的方法之一就是采用列選主元高斯消元法。即按列選絕對(duì)值大的系數(shù)作為主元素，元法。即按列選絕對(duì)值大的系數(shù)作為主元素，則將方程組中的兩個(gè)方程相交換，原方程組變則將方程組中的兩個(gè)方程相交換，原方程組變

25、為為 1, 021xx110221521xxxx得到消元后的方程組得到消元后的方程組 525211021)101 (2xxx這時(shí)這時(shí) 110*21110155，因而方程組的實(shí)際形式是因而方程組的實(shí)際形式是 12221xxx由此回代解出由此回代解出 , ,這個(gè)結(jié)果是正確的這個(gè)結(jié)果是正確的 1, 121xx 可見用高斯消去法解方程組時(shí)可見用高斯消去法解方程組時(shí), ,小主元可小主元可能導(dǎo)致計(jì)算失敗能導(dǎo)致計(jì)算失敗, ,因?yàn)橛媒^對(duì)值很小的數(shù)作除因?yàn)橛媒^對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)數(shù), ,乘數(shù)很大乘數(shù)很大, ,引起約化中間結(jié)果數(shù)量級(jí)嚴(yán)重增引起約化中間結(jié)果數(shù)量級(jí)嚴(yán)重增長(zhǎng)長(zhǎng), ,再舍入就使得計(jì)算結(jié)果不可靠了再舍入就使得

26、計(jì)算結(jié)果不可靠了, ,故避免采故避免采用絕對(duì)值很小的主元素。以便減少計(jì)算過程中用絕對(duì)值很小的主元素。以便減少計(jì)算過程中舍入誤差對(duì)計(jì)算解的影響。舍入誤差對(duì)計(jì)算解的影響。每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證 。1| ikmStep k: 選取選取;0|max|, ijnjikjiaakk If ik k then 交換第交換第 k 行與第行與第 ik 行行; If jk k then 交換第交換第 k 列與第列與第 jk 列列; 消元消元不是按列選主元素，而是在全不是按列選主元素，而是在全體待選系數(shù)中選取，則得體待選系數(shù)中選取，則得全主元素法。全主元素法。

27、例例3.3 用用全主元素法解下列線組全主元素法解下列線組 10 x1 - 19x2 - 2x3=3 (1)-20 x1 +40 x2 + x3 =4 (2) x1 + 4x2 + 5x3=5 (3)n解：選擇所有系數(shù)中絕對(duì)值最大的解：選擇所有系數(shù)中絕對(duì)值最大的40作為作為主主元素，交換第一、二行和交換第一、二列使元素，交換第一、二行和交換第一、二列使該主元素位于對(duì)角線的第一個(gè)位置上，得該主元素位于對(duì)角線的第一個(gè)位置上，得40 x2 - 20 x1 + x3 =4 (4)-19x2+10 x1 - 2x3=3 (5) 4x2+ x1 +5x3=5 (6)記筆記記筆記計(jì)算計(jì)算m21=-19/40=

28、0.475，m31=4/40=0.1(5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去消去x2 得得 0.5x1 1.525 x3 =4.9 (7) 3x1 + 4.9 x3 =4.6 (8)選選4.9為主元素為主元素 4.9 x3 + 3x1=4.6 (9)1.525 x3 +0.5x1=4.9 (10)計(jì)算計(jì)算m32=-1.525/4.9=-0.31122， (10)- m32(9)消去消去x2得得1.43366x1=6. 33161 (11)記筆記記筆記保留有主元素的方程保留有主元素的方程40 x2 - 20 x1 + x3 =4 (4) 4.9x3 + 3x1=4.6 (9) 1.

29、43366x1=6. 33161 (11)進(jìn)行回代進(jìn)行回代x1=4.41634 x3 =-1.76511x2=2.352303.2.4.1 列主元素法列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中選取主元，經(jīng)列主元素法就是在待消元的所在列中選取主元，經(jīng)方程的行交換，置主元素于對(duì)角線位置后進(jìn)行消元方程的行交換，置主元素于對(duì)角線位置后進(jìn)行消元的方法。的方法。 即：即：在高斯消元第在高斯消元第k步之前，做如下的事情：步之前，做如下的事情：|max)()(kjkkiknikaa若若交換交換 k 行和行和 j 行行行的交換，不改變方程組的解，同時(shí)又有效地克行的交換，不改變方程組的解，同時(shí)又有效地克服了高斯

30、消元的缺陷。服了高斯消元的缺陷。 例例3.4 用用列主元素法解下列線性方程組列主元素法解下列線性方程組 10 x1 - 19x2 - 2x3=3 (1)-20 x1 +40 x2 + x3 =4 (2) x1 + 4x2 + 5x3=5 (3)n解：選擇解：選擇-20作為該列的作為該列的主元素主元素，-20 x1 +40 x2 + x3 =3 (4) 10 x1 - 19x2 - 2x3=4 (5) x1 + 4x2 + 5x3=5 (6)計(jì)算計(jì)算m21 =10/-20=-0.5 m31=1/-20=-0.05(5)- m21(4), (6)- m31(4)得得 x2 1.5x3=5 (7)6

31、x2 + 5.05x3=5.2 (8)選選6為主元素為主元素6x2 + 5.05x3=5.2 (9) x2 1.5x3=5 (10)計(jì)算計(jì)算m32=1/6=0.16667， (10)- m32(9) 得得-2.34168x3=4.13332 (11)記筆記記筆記保留有主元素的方程保留有主元素的方程 -20 x1 +40 x2 + x3 =4 (4) 6x2 + 5.05x3 =5.2 (9) -2.34168x3=4.13332 (11)進(jìn)行回代進(jìn)行回代x3 =-1.76511x2=2.35230 x1=4.41634記筆記記筆記 列選主元素的計(jì)算方法與高斯消去法完全一樣列選主元素的計(jì)算方法與

32、高斯消去法完全一樣, ,不同的是在每步消元之前要按列選出主元。不同的是在每步消元之前要按列選出主元。例例3.5 3.5 用矩陣的初等行變換求解解方程組用矩陣的初等行變換求解解方程組 754217743322321321321xxxxxxxxx 解解: : 用矩陣的初等行變換求解用矩陣的初等行變換求解, ,對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣 ( (下面帶下劃線元素為主元素下面帶下劃線元素為主元素) ) 2 . 12 . 1005 . 65 . 85 . 7017745 . 25 . 05 . 105 . 65 . 85 . 7017745 . 65 . 85 . 705 . 25 . 05 . 1017747

33、54233221774754217743322232313121251_2121_) 1 (rrrrrrrrrrbAA所以，等價(jià)的三角形方程組為：所以，等價(jià)的三角形方程組為：2 . 12 . 15 . 65 . 85 . 71774332321xxxxxx回代求解，得：回代求解，得：2, 2, 1123xxx3.2.5 3.2.5 高斯高斯- -約當(dāng)（約當(dāng)（Jordan）消去法）消去法 高斯消去法有消元和回代兩個(gè)過程，消去高斯消去法有消元和回代兩個(gè)過程，消去的是對(duì)角線下方的元素。當(dāng)對(duì)消元過程稍加改的是對(duì)角線下方的元素。當(dāng)對(duì)消元過程稍加改變便可使方程組變便可使方程組 化為對(duì)角陣化為對(duì)角陣 。bA

34、x )()(2)(121111nnnnnbbbxxx（3.83.8） 這時(shí)求解就不需要回代了，這種將主元素化為這時(shí)求解就不需要回代了，這種將主元素化為1 1，并，并用主元將其所在列的冗余元素全都消為用主元將其所在列的冗余元素全都消為0 0，即消去對(duì)，即消去對(duì)角線上方與下方的元素，這種方法稱為角線上方與下方的元素，這種方法稱為高斯高斯-約當(dāng)消約當(dāng)消去法，去法，這時(shí)等號(hào)右端即為方程組的解。這時(shí)等號(hào)右端即為方程組的解。nkkiaaikkkkik, 1, 1, 1,k)()(行第行第算法核心：算法核心： 每步不計(jì)算每步不計(jì)算 mik ，而是先將當(dāng)前主元，而是先將當(dāng)前主元 akk(k) 變?yōu)樽優(yōu)?1;

35、把把 akk(k) 所在列的上、下元素全消為所在列的上、下元素全消為0;計(jì)算方法例例3.6 3.6 用高斯用高斯- -約當(dāng)約當(dāng)(Jordan)(Jordan)消去法求方程組的解消去法求方程組的解 120221321321321xxxxxxxxx解解 方程組相應(yīng)的增廣矩陣方程組相應(yīng)的增廣矩陣 111202211111111102211112列選主元列選主元5 . 15 . 05 . 105 . 05 . 15 . 205 . 05 . 05 . 012 . 14 . 0002 . 06 . 0104 . 08 . 0013100201020013, 2, 2321xxx故得故得 定理定理3.4

36、3.4 設(shè)設(shè)A A為非奇異矩陣，方程組為非奇異矩陣，方程組AX = I的的增廣矩陣為增廣矩陣為 C = = A A I I ，如果對(duì)，如果對(duì)C應(yīng)用高斯應(yīng)用高斯- -約當(dāng)消去法化為約當(dāng)消去法化為 I I B B ，則，則 = =B。例例3.7 3.7 用高斯用高斯- -約當(dāng)（約當(dāng)（JordanJordan）消去法）消去法求求 1A563452231A的逆矩陣的逆矩陣 1A解解 C = = A A I I = = 1005630104520012311031300120100012311331000120100352011331000120102310011330122311A3.3 矩陣三角分解

37、法矩陣三角分解法 矩陣三角分解法是高斯消去法解線性方程組的一矩陣三角分解法是高斯消去法解線性方程組的一種變形解法種變形解法 3.3.1 3.3.1 矩陣三角分解原理矩陣三角分解原理 應(yīng)用高斯消去法解應(yīng)用高斯消去法解n階線性方程組階線性方程組Ax=b, 經(jīng)過經(jīng)過n步消元之后步消元之后, , 得出一個(gè)等價(jià)的上三角型方程組得出一個(gè)等價(jià)的上三角型方程組A(n) x=b(n), 對(duì)上三角形方程組用逐步回代就可以求對(duì)上三角形方程組用逐步回代就可以求出解來(lái)。上述過程可通過矩陣分解來(lái)實(shí)現(xiàn)。出解來(lái)。上述過程可通過矩陣分解來(lái)實(shí)現(xiàn)。 將非奇異陣將非奇異陣A分解成一個(gè)下三角陣分解成一個(gè)下三角陣L和一個(gè)上三和一個(gè)上三角

38、陣角陣U的乘積的乘積 A=LU 稱為對(duì)稱為對(duì)矩陣矩陣A A的三角分解，又稱的三角分解，又稱LU分解分解)() 3(3) 3(33) 2(2) 2(23) 2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmLLUaaaaaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnn321333323122322211131211其中其中方程組方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A經(jīng)過順序消元逐步化經(jīng)過順序消元逐步化為上三角型為上三角型A(n),相當(dāng)于用一系列初等變換左乘相當(dāng)于用一系列初等變換左乘A的結(jié)果。事實(shí)上，第的結(jié)果。事實(shí)上，第

39、1列消元將列消元將A(1)=A化為化為A(2)，若令：，若令：10000100010001131211nmmmL), 3 , 2(,) 1 (11) 1 (11niaamii則根據(jù)距陣左乘有則根據(jù)距陣左乘有L1A(1)=A(2)第第2列消元將列消元將A(2)化為化為A(3)，若令：，若令：1000010001000012322nmmL), 4 , 3(,)2(22)2(22niaamii經(jīng)計(jì)算可知經(jīng)計(jì)算可知 L2A(2)=A(3),依此類推依此類推,一般有一般有LkA(k)=A(k+1)11111,1nkkkkmmLmi1= a(1) i1/ a(1) 11 i=2,3,n于是矩陣于是矩陣 經(jīng)

40、過消元化為上三角陣經(jīng)過消元化為上三角陣 的過程可表示為的過程可表示為上述矩陣上述矩陣 是一類初等矩陣是一類初等矩陣, ,它們都是單位下三角陣，且其逆矩陣也是單位它們都是單位下三角陣，且其逆矩陣也是單位下三角陣下三角陣, ,只需將只需將 改為改為 , ,就得到就得到 。即。即 ) 1 (AA)(nA)(1221nnnAALLLL) 1, 2 , 1(nkLkikm), 2, 1(nkkimik1kL11111, 11nkkkkmmL于是有于是有 LUULLLALLLAnnn)()(111211)(111211)() 3 (3) 3 (33) 2(2) 2(23) 2(22) 1 (1) 1 (1

41、3) 1 (12) 1 (1121323121,1111nnnnnnnnaaaaaaaaaaUmmmmmL其中其中 L L為由乘數(shù)構(gòu)成的單位下三角陣，為由乘數(shù)構(gòu)成的單位下三角陣，U U為上三角陣，為上三角陣，由此可見，在由此可見，在 的條件下，的條件下，高斯消去法實(shí)質(zhì)上是將方程組的系數(shù)矩陣高斯消去法實(shí)質(zhì)上是將方程組的系數(shù)矩陣A A分解分解為兩個(gè)三角矩陣的乘積為兩個(gè)三角矩陣的乘積A=LUA=LU。這種把非奇異矩陣。這種把非奇異矩陣A A分解成一個(gè)下三角矩陣分解成一個(gè)下三角矩陣L L和一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣U U的的乘積稱為矩陣的三角分解，又稱乘積稱為矩陣的三角分解，又稱LULU分解。分解

42、。 顯然，如果顯然，如果 , ,由行列式由行列式的性質(zhì)知，方程組系數(shù)矩陣的性質(zhì)知，方程組系數(shù)矩陣A A的前的前n-1n-1個(gè)順序主子個(gè)順序主子矩陣矩陣 非奇異，即順序主子非奇異，即順序主子式不等于零，即式不等于零，即) 1, 2 , 1(0)(nkakkk) 1, 2 , 1(0)(nkakkk)1, 2, 1(nkAk0)det()1(111 aA), 3 , 2(0)det()()2(22)1(11kiaaaAiiii其中其中 iiiiiaaaaAaA1111111),(（A A的主子陣）的主子陣） 反之反之, ,可用歸納法證明可用歸納法證明, ,如果如果A A的順序主子式的順序主子式 )

43、, 2 , 1(0)det()()2(22)1(11kiaaaAiiii則則 ), 2 , 1(0)(kiaiii于是得到下述定理：于是得到下述定理： 定理定理3.5 3.5 設(shè)設(shè) 。如果。如果A順序各階主子式順序各階主子式, , , ,則則A可惟一地分解成可惟一地分解成 一個(gè)單位下三角陣一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)非奇異的上三角和一個(gè)非奇異的上三角陣陣U的乘積。的乘積。證：由于證：由于A A各階主子式不為零各階主子式不為零, ,則消元過程能則消元過程能進(jìn)行到底進(jìn)行到底, , 前面已證明將方程組的系數(shù)矩陣前面已證明將方程組的系數(shù)矩陣A A用初等變換的方法分解成兩個(gè)三角矩陣的乘用初等變換的方法分解成

44、兩個(gè)三角矩陣的乘積積A=LUA=LU的過程。的過程。 現(xiàn)僅證明分解的惟一性。現(xiàn)僅證明分解的惟一性。 設(shè)設(shè)A A有兩種有兩種LULU分解分解 nnRA) 1, 2 , 1(0)det(niAiULLUA其中其中 為單位下三角陣，為單位下三角陣， 為上三角陣為上三角陣 A A的行列式的行列式 均為非奇異矩陣均為非奇異矩陣, ,有有上式兩邊左邊同乘上式兩邊左邊同乘 ，右邊同乘，右邊同乘 得得上式左邊為單位下三角陣上式左邊為單位下三角陣, ,右邊為上三角陣右邊為上三角陣, ,故應(yīng)為故應(yīng)為單位陣單位陣, ,即即 惟一性得證。惟一性得證。 LL,UU ,ULULA, 0ULLU 1L1U11UULLUUL

45、L, 把把A分解成一個(gè)單位下三角陣分解成一個(gè)單位下三角陣L和一個(gè)上和一個(gè)上三角陣三角陣U的乘積稱為的乘積稱為杜利特爾（杜利特爾（Doolittle）分解分解。其中其中 nnnnnnuuuuuuUlllL222112112121,111若把若把A分解成一個(gè)下三角陣分解成一個(gè)下三角陣L和一個(gè)單位上三和一個(gè)單位上三角陣角陣U的乘積稱為的乘積稱為（克（克洛特分解洛特分解Crout） 其中其中 111,211221222111nnnnnnuuuUllllllL3.3.2 用三角分解法解方程組用三角分解法解方程組 求求解線性方程組解線性方程組Ax=b時(shí)時(shí),先對(duì)非奇異矩陣先對(duì)非奇異矩陣A進(jìn)行進(jìn)行LU分解使分

46、解使A=LU，那么方程組就化為，那么方程組就化為 LU x=b從而使問題轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)簡(jiǎn)單的的三角方從而使問題轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)簡(jiǎn)單的的三角方程組程組 L y=b 求解求解 y U x=y 求解求解 x這就是求解線性方程組的三角分解法的基本這就是求解線性方程組的三角分解法的基本思想。下面只介紹杜利特爾（思想。下面只介紹杜利特爾（Doolittle）分）分解法。解法。設(shè)設(shè)A=LU為為nnnnnnnnnnnuuuuuulllaaaaaaaaa2221121121212122221111111111 由矩陣乘法規(guī)則由矩陣乘法規(guī)則niuaii, 2 , 111niulaii, 3 , 21111 由此可得

47、由此可得U的第的第1行元素和行元素和L的第的第1列元素列元素niauii, 2 , 111niualii,3 ,21111 再確定再確定U的第的第k行元素與行元素與L的第的第k列元素列元素, ,對(duì)對(duì)于于k=2,3, ,n計(jì)算：計(jì)算： 計(jì)算計(jì)算U的第的第k行元素行元素 11krrjkrkjkjulau（j=k,k+1,nj=k,k+1,n） 計(jì)算計(jì)算L L的第的第k k列元素列元素 kkkrrkirikikuulal11（i=k,k+1,ni=k,k+1,n） nnnnnnnnnnnuuuuuulllaaaaaaaaa222112112121212222111111111111krrjkrkjk

48、julau（j=k,k+1,nj=k,k+1,n） 計(jì)算計(jì)算U的第的第k行元素行元素 固定固定 k ，對(duì)對(duì) j = i, i+1, , n 有有11krrjkrkjkjulau（j=k,k+1,nj=k,k+1,n） kjrjkrkrkjkkrjkrkrrjnrkrkjuulululula111111,0,kkkrkrllkrlkr時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 計(jì)算計(jì)算L的第的第k列元素列元素 同理，固定同理，固定 k ，對(duì)對(duì) i = k, k+1, , n 有有)0(111rkkkikrkkrirrknririkukrululula時(shí)，kkkrrkirikikuulal11（i=k,k+1,ni=k,k+1,n

49、） 利用上述計(jì)算公式便可逐步求出利用上述計(jì)算公式便可逐步求出U與與L的各元素的各元素求解求解 Ly=b , Ly=b , 即計(jì)算即計(jì)算: : 1111),3 ,2(ikkikiiniylbyby 求解求解 Ux=y , Ux=y , 即計(jì)算：即計(jì)算： )1 ,2, 1(1niuxuyxuyxiinikkikiinnnn 顯然顯然, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 解解Ax=b直接三角分解法計(jì)算才能完成。設(shè)直接三角分解法計(jì)算才能完成。設(shè)A為非奇異矩陣為非奇異矩陣, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)計(jì)算將中斷或者時(shí)計(jì)算將中斷或者當(dāng)當(dāng) 絕對(duì)值很小時(shí)，按分解公式計(jì)算可絕對(duì)值很小時(shí)，按分解公式計(jì)算可能引起舍入誤差的積累，因此可采用與列能引起舍入

50、誤差的積累，因此可采用與列主元消去法類似的方法，對(duì)矩陣進(jìn)行行交主元消去法類似的方法，對(duì)矩陣進(jìn)行行交換，則再實(shí)現(xiàn)矩陣的三角分解。換，則再實(shí)現(xiàn)矩陣的三角分解。 用直接三角分解法解用直接三角分解法解Ax=b大約需要大約需要 次乘除法。次乘除法。 ), 2 , 1(0nkukk0kkukku3/3n三角分解法的存放元素的方法：三角分解法的存放元素的方法：為為例例，以以33)( ijaA 333231232221131211aaaaaaaaaA 333231232221131211ulluuluuu 333231232221131211alluuluuu 333231232221131211aalaal

51、uuu的元素存放在的元素存放在A的的，即即uuuuuuUlllL 332322131211323121111相應(yīng)位置。相應(yīng)位置。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：不用存儲(chǔ)中間量，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。不用存儲(chǔ)中間量，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。說明：說明：以上計(jì)算方法實(shí)際上是消去法的變形以上計(jì)算方法實(shí)際上是消去法的變形 緊湊緊湊格式。格式。例例3.8 用三角分解法解方程組用三角分解法解方程組 542631531321321xxx332322131211323121111631531321uuuuuulll113213121131211lluuu121312212222ulau231513212323ulau11/)213(/)(

52、2212313232uulal121316233213313333ululau121321111111UL求解求解 Ly=b 得得 y= 2，2，1T 求解求解 Ux=y 得得 x= -1，0，1 T所以方程組的解為所以方程組的解為 101321xxx 311173121A 設(shè)設(shè) ，試將，試將A進(jìn)行三角分解。進(jìn)行三角分解。解解：由高斯消去法得到由高斯消去法得到 11131211mmL 111322mL， 11131 11111113133121 mm，11132 m 2104101211AL，則有則有 20041012112UALL。即即 241121111131AULLAA1211 可可以以

53、寫寫成成U 111111131U 111131 用直接三角分解法解方程組用直接三角分解法解方程組 。bxAxxx 或或1111163852741321，LUA ，7, 4, 11) 1 (131312121111 auauaur，313212113131112121 ualual解：解： ，)3 , 2( ,2)2(12122 iulauriii，則則342512212222 ulau，2/ )(2212313232 uulal，2)(, 3)3(233213313333 ululaur，672813212323 ulau。從從而而LUA 2637411231211163852741、分分解解

54、計(jì)計(jì)算算：1，得得求求解解TybyL)0 , 1, 1()4( 。，得得方方程程組組的的解解求求解解TxyxU)0 , 3/1 , 3/1()5( 、求求解解計(jì)計(jì)算算：23.4 平方根法平方根法 工程實(shí)際計(jì)算中工程實(shí)際計(jì)算中, ,線性方程組的系數(shù)矩陣常常具有線性方程組的系數(shù)矩陣常常具有對(duì)稱正定性，其各階順序主子式及全部特征值均大于對(duì)稱正定性，其各階順序主子式及全部特征值均大于0。矩陣的這一特性使它的三角分解也有更簡(jiǎn)單的形式，矩陣的這一特性使它的三角分解也有更簡(jiǎn)單的形式，從而導(dǎo)出一些特殊的解法，如平方根法與改進(jìn)的平方從而導(dǎo)出一些特殊的解法，如平方根法與改進(jìn)的平方根法。根法。 定理定理3.6 3.

55、6 設(shè)設(shè)A A是對(duì)稱正定矩陣，則存在惟一的對(duì)角是對(duì)稱正定矩陣，則存在惟一的對(duì)角元素均為正數(shù)的下三角陣元素均為正數(shù)的下三角陣L L，使，使A=LLA=LLT T證：因證：因A A是正定矩陣是正定矩陣, A, A的順序主子式的順序主子式 i i0, i=1,2,n 0, i=1,2,n 因此存在惟一的分解因此存在惟一的分解 A=LU A=LU L是單位下三角陣是單位下三角陣, U是上三角陣是上三角陣, 將將U再分解再分解 01,1,111111122211111DUuuuuuuuuunnnnnnn其中其中D為對(duì)角陣為對(duì)角陣, U0為單位上三角陣，于是為單位上三角陣，于是 A = L U = L D

56、 U0 又又 A = AT = U0TD LT由分解惟一性由分解惟一性, 即得即得 U0T=L A=L D LT nnuuuD2211記記 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閐et(Ak)0,(k=1,2,n), 故故于是對(duì)角陣于是對(duì)角陣D還可分解還可分解 ), 2 , 1( , 0niuii2121221122112211DDuuuuuuuuuDnnnnnnTTTTLLLDLDLDLDLDLA1121212121)(其中其中 為下三角陣為下三角陣, ,令令L=LL=L1 1，定理得證。，定理得證。 211LDL 將將A=LLT展開，寫成展開，寫成 nnnnnnnnnnnnnllllllllllllaaaaaaaa

57、a22212111212221112122221111111按矩陣乘法展開，可逐行求出分解矩陣按矩陣乘法展開，可逐行求出分解矩陣L L的元素，計(jì)的元素，計(jì)算公式是對(duì)于算公式是對(duì)于i=1,2,ni=1,2,n 21112)(ikikiiiilaliiikikjkjijilllal11j=i+1, i+2,n 這一方法稱為這一方法稱為平方根法平方根法,又稱又稱喬累斯基喬累斯基(Cholesky)分分解解,它所需要的乘除次數(shù)約它所需要的乘除次數(shù)約 為數(shù)量級(jí)為數(shù)量級(jí), ,比比LU分解分解節(jié)省近一般的工作量。節(jié)省近一般的工作量。 361n例例3.9 3.9 平方根法求解方程組平方根法求解方程組 7851

58、102021211321xxx解解: : 因方程組系數(shù)矩陣對(duì)稱正定因方程組系數(shù)矩陣對(duì)稱正定, ,設(shè)設(shè)A= ,A= ,即：即： TLL3332223121113332312221111102021211llllllllllll212, 111, 11131311121211111lallalal1122212222lal212102221313232lllal344112322313333llal322111L由由Ly=bLy=b解得解得 3, 3, 5321yyy由由 解得解得 yxLT1, 5, 2321xxx 由此例可以看出，平方根法解正定方程組的缺由此例可以看出，平方根法解正定方程組的缺

59、點(diǎn)是需要進(jìn)行開方運(yùn)算。為避免開方運(yùn)算，我們改點(diǎn)是需要進(jìn)行開方運(yùn)算。為避免開方運(yùn)算，我們改用單位三角陣作為分解陣，即把對(duì)稱正定矩陣用單位三角陣作為分解陣，即把對(duì)稱正定矩陣A分分解成解成 TLDLA 的形式，其中的形式，其中 ndddD21為對(duì)角陣，而為對(duì)角陣，而 1111321323121nnnllllllL是單位下三角陣是單位下三角陣, ,這里分這里分解公式為解公式為 11211, 2 , 11, 2 , 1/)(ikikkiiiikjjkikkijijnildadijdlldal據(jù)此可逐行計(jì)算據(jù)此可逐行計(jì)算 運(yùn)用這種矩陣分解方法運(yùn)用這種矩陣分解方法, ,方程組方程組Ax=bAx=b即即可歸結(jié)

60、為求解兩個(gè)上三角方程組可歸結(jié)為求解兩個(gè)上三角方程組 332312211dlldldbxDLLT)(bLy bDxLT1和和其計(jì)算公式分別為其計(jì)算公式分別為 11,2, 1ikkikiiniylby和和 nikkkiiiinnixldyx11 , 1,/求解方程組的上述算法稱為改進(jìn)的平方根法。這種求解方程組的上述算法稱為改進(jìn)的平方根法。這種方法總的計(jì)算量約為方法總的計(jì)算量約為 ，即僅為高斯消去法計(jì)，即僅為高斯消去法計(jì)算量的一半。算量的一半。 6/3n3.5 追趕法追趕法在數(shù)值計(jì)算中在數(shù)值計(jì)算中, ,有一種系數(shù)矩陣是三對(duì)角方程組有一種系數(shù)矩陣是三對(duì)角方程組 nnnnnnnnnfffffxxxxxb