函數(shù)單調(diào)性課件

1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性數(shù)與形數(shù)與形,本是相倚依本是相倚依焉能分作兩邊飛焉能分作兩邊飛數(shù)無形時少直覺數(shù)無形時少直覺形少數(shù)時難入微形少數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好數(shù)形結(jié)合百般好隔離分家萬事休隔離分家萬事休切莫忘切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體幾何代數(shù)統(tǒng)一體永遠聯(lián)系莫分離永遠聯(lián)系莫分離 華羅庚華羅庚北京市北京市8月月8日一天日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化曲線圖小時內(nèi)氣溫隨時間變化曲線圖 能用圖象上動點能用圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)）的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來說明上升或下降趨勢嗎？關(guān)系來說明上升或下降趨勢嗎？xyo1yxxyo1yx xyo2yx 在某一區(qū)間內(nèi)，在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x的值增大時的值增大時,函數(shù)值函數(shù)

2、值y也增大也增大圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；當(dāng)當(dāng)x的值增大時的值增大時,函數(shù)值函數(shù)值y反而減小反而減小圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。圖像在該區(qū)間內(nèi)逐漸下降。函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升 y246810O- -2x84121620246210141822I對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升？OxIy區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有

3、f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為A,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于如果對于區(qū)間區(qū)間I上的上的任意任意當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有f(x1 ) f(x2 )，定義定義MN任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， I 稱為稱為 f (x)的的單調(diào)單調(diào)增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說那么就說 f (x)在區(qū)間在區(qū)間I

4、上上是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)，區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升I 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). .xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為A,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(

5、x)的定義域為的定義域為A,區(qū)間區(qū)間I A. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域A內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有f(x1 ) f(x2 )，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間（2 2）函數(shù)單調(diào)性是針對某個）函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)而言的，是一個局部性質(zhì); ;（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間在區(qū)間I I是單調(diào)增函

6、數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)就說函數(shù) y = =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上具有單調(diào)性。上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是增函數(shù)的圖象是上升上升的，減函數(shù)的圖象是的，減函數(shù)的圖象是下降下降的。的。判斷判斷1 1：函數(shù)函數(shù) f (x)= x2 在在 是單調(diào)增函數(shù)；是單調(diào)增函數(shù)；, xyo2yx（2 2）函數(shù)單調(diào)性是針對某個）函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)而言的，是一個局部性質(zhì); ;（1 1）如果函數(shù)）如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間在區(qū)間I I是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)就說函數(shù)

7、 y = =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上具有單調(diào)性。上具有單調(diào)性。在單調(diào)區(qū)間上，在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是增函數(shù)的圖象是上升上升的，減函數(shù)的圖象是的，減函數(shù)的圖象是下降下降的。的。判斷判斷2 2：定義在：定義在R上的函數(shù)上的函數(shù) f ( (x) )滿足滿足 f (2) (2) f(1)(1)，則函數(shù)則函數(shù) f ( (x) )在在R上是增函數(shù)；上是增函數(shù)；（3 3） x 1, x 2 取值的取值的任意任意性性yxO12f(1)f(2)例例1.畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的單調(diào)減區(qū)間是_ (,0)(0,),討論

8、討論1：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，1(0)(,0)(0,)yxx能不能說在定義域上是單調(diào)減函數(shù)? 2試討論在和上的單調(diào)性？試討論在和上的單調(diào)性？( )(0)kf xkx0,0 ？ 單調(diào)區(qū)間的書寫：單調(diào)區(qū)間的書寫： 函數(shù)在其定義域內(nèi)某一點處的函數(shù)值函數(shù)在其定義域內(nèi)某一點處的函數(shù)值是確定的，討論函數(shù)在某點處的單調(diào)是確定的，討論函數(shù)在某點處的單調(diào)性無意義。若函數(shù)在區(qū)間端點處有定性無意義。若函數(shù)在區(qū)間端點處有定義，則寫成閉區(qū)間，當(dāng)然寫成開區(qū)間義，則寫成閉區(qū)間，當(dāng)然寫成開區(qū)間也可以，若函數(shù)在區(qū)間端點處無定于，也可以，若函數(shù)在區(qū)間端點處無定于，則必須寫成開區(qū)間。則必須寫成開區(qū)間。變式變式

9、2：討論：討論 的單調(diào)性的單調(diào)性2(0)yaxbxc a成果交流成果交流變式變式1：討論：討論 的單調(diào)性的單調(diào)性2(0)yaxa2(2)2.yx xyy=-x2+21- -1122- -1- -2- -22yx +2的單調(diào)增區(qū)間是_;(,02yx +2的單調(diào)減區(qū)間是_.0,)例例2.畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間：畫出下列函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間： 單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間 a0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbxc a的對稱軸為2bxa 返回,2ba ,2ba成果運用成果運用,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞上單調(diào)

10、遞增，求增，求a的取值范圍。的取值范圍。 成果運用成果運用,12( )4f xxax 若若二次函數(shù)二次函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，求增，求a的取值范圍。的取值范圍。 解：解：二次函數(shù)二次函數(shù) 的對稱軸為的對稱軸為 , ,由圖象可知只要由圖象可知只要 ，即，即 即可即可. . 2( )4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o例例3.3.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 在定義域在定義域 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. . 1yxx1. 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4. 定號（即判斷

11、差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）；5. 下結(jié)論下結(jié)論主要步驟主要步驟并給出證明并給出證明1,證明：在區(qū)間證明：在區(qū)間 上任取兩個值上任取兩個值 且且 1,12,x x12xx則則12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x ，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函數(shù)所以函數(shù) 在區(qū)間上在區(qū)間上 是增函數(shù)是增函數(shù). . 1yxx1,取值取值作差作差變變形形定號定號結(jié)論結(jié)論返回 (1)試用定義法證明函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)。11)(xxf0, ( )21A yx 2( )31B yx 2()Cyx2()21D yxx返回( )f x 是定義在是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且上的單調(diào)函數(shù)，且