材料力學(xué)PPT第三章 (2)

1、汽車傳動軸汽車傳動軸3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例工程實例工程實例汽車方向盤汽車方向盤3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例工程實例工程實例3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例軸：軸：工程中以工程中以扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)的受力特點：扭轉(zhuǎn)的受力特點：外力的合力為一力偶外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA3.1 3.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)

2、的概念和實例扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（ ）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（ ）：）：直角的改變量。直角的改變量。mmOBA3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力 將一薄壁圓筒表面用縱向平行將一薄壁圓筒表面用縱向平行線和圓周線劃分；線和圓周線劃分；兩端施以大小兩端施以大小相等方向相反一對力偶矩相等方向相反一對力偶矩。 圓周線大小形狀不變，各圓圓周線大小形狀不變，各圓周線間距離不變；周線間距離不變；縱向平行線縱向平行線仍然保持為直線且相互平行，仍然保持為直線且相互平行，只是傾斜了一個角度。

3、只是傾斜了一個角度。觀察到：觀察到：結(jié)果說明橫截面上沒有正應(yīng)力結(jié)果說明橫截面上沒有正應(yīng)力薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）1、實驗：、實驗：（1）實驗前：）實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。（2）實驗后）實驗后圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。（4）橫截面上的應(yīng)力特征）橫截面上的應(yīng)力特征 只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點的切應(yīng)力相同；只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點的切應(yīng)力相同； 對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布； 橫截面上無正應(yīng)力。橫截面

4、上無正應(yīng)力。（3）表面變形特征）表面變形特征 圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動,形狀及尺寸不變；形狀及尺寸不變； 縱向直線在小變形情況下保持為直線縱向直線在小變形情況下保持為直線,但發(fā)生傾斜但發(fā)生傾斜;圓周線之間的距離保持不變。圓周線之間的距離保持不變。 與與 的關(guān)系：的關(guān)系： lr rl acddxbdy 無正應(yīng)力無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。向與該截面的扭矩方向一致。（5）微小矩形單元體如圖所示）微小矩形單元體如圖所示2、薄壁圓

5、筒剪應(yīng)力、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大小大小tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。平均半徑所作圓的面積。3、剪應(yīng)力互等定理、剪應(yīng)力互等定理 0故dxdytdxdytmz上式稱為剪應(yīng)力互等定理為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz 單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這單元體的四個

6、側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（時（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。4、剪切虎克定律、剪切虎克定律G 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系： 可見，在三個彈性常數(shù)中，

7、只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。2(1)EG（1）直接計算）直接計算1.1.外力偶矩外力偶矩3.3 3.3 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖（2）傳動軸的外力偶矩）傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：輸入功率：輸入功率：P(kW)轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分)1分鐘輸入功：分鐘輸入功：PPW600001000601分鐘分鐘me作功作功eeenMnMMW2) 12(WW )(9550mNnPMeT（3）扭矩的符號規(guī)定：）扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則

8、右手螺旋規(guī)則為正，為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。2 2、扭矩及扭矩圖、扭矩及扭矩圖（1）扭矩：）扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩，記作，記作“T”。（2）截面法求扭矩）截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x（4 ）扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。）扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT解解: :(1)(1)計算外力偶矩計算外力偶矩例題例題3.13.1 傳動軸傳動軸, ,已知轉(zhuǎn)速已知轉(zhuǎn)速 n=300r/min,n=300r/min,主動輪主動輪A A輸

9、入功率輸入功率P PA A=45kW,=45kW,三個從動輪輸出功率分別為三個從動輪輸出功率分別為 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,P=15kW,PD D=20kW.=20kW.試?yán)L軸試?yán)L軸的扭矩圖的扭矩圖. .9549/eMP n由公式由公式(2)(2)計算扭矩計算扭矩(3)(3) 扭矩圖扭矩圖max1432TN m 傳動軸上主、從傳動軸上主、從動輪安裝的位置不動輪安裝的位置不同，軸所承受的最同，軸所承受的最大扭矩也不同。大扭矩也不同。BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N. .m m795N795N. .m

10、m1432N1432N. .m m1 1、橫截面上的應(yīng)力、橫截面上的應(yīng)力幾何關(guān)系、幾何關(guān)系、物理關(guān)系、物理關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系表面表面變形變形情況情況推斷推斷橫截面橫截面的變形的變形情況情況( (問題的問題的幾何方面幾何方面) )橫截面橫截面上應(yīng)變上應(yīng)變的變化的變化規(guī)律規(guī)律應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系橫截面上橫截面上應(yīng)力變化應(yīng)力變化規(guī)律規(guī)律( (問題的問題的物理方面物理方面) )內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力橫截面上應(yīng)力的計算公式的計算公式( (問題的問題的靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面) )3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平

11、面； 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：（1）幾何關(guān)系）幾何關(guān)系3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形幾何關(guān)系的數(shù)學(xué)描述變形幾何關(guān)系的數(shù)學(xué)描述xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力（2）物理關(guān)系）物理關(guān)系虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力（3） 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系OdAAxGAxG

12、ATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力pIT橫截面上距圓心為 處任一點剪應(yīng)力計算公式。（4）公式討論）公式討論 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：單位：mm4，m4。AIApd2

13、3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp對于實心圓截面：DdO3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。3.4 3.4 圓軸扭

14、轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 確定最大剪應(yīng)力：確定最大剪應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力2、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用剪應(yīng)力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：max

15、maxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力例例3.23.2 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，由無縫鋼管制成的汽車傳動軸，外徑外徑D=89=89mm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mm，使，使用時的用時的最大扭矩最大扭矩T= =19301930Nm, , =70=70MPa.MPa.校核此軸的校核此軸的強度。強度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力例例3

16、.33.3 如把上例中的傳動軸改為實心軸，如把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直徑。并比較實心軸和空心軸的重定其直徑。并比較實心軸和空心軸的重量。量。解：解：當(dāng)實心軸和空心軸的最大應(yīng)力同當(dāng)實心軸和空心軸的最大應(yīng)力同 為為 時，兩軸的許可扭矩分別為時，兩軸的許可扭矩分別為311 16tTWD34342(1) (89) (1 0.944 ) 1616TD若兩軸強度相等，則若兩軸強度相等，則T1 1= =T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓

17、軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力224211(0.0531)22.2 1044DAm223232422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比在兩軸長度相等，材料相同的情況下，兩軸重量之比等于橫截面面積之比。等于橫截面面積之比。42416.87 100.3122.2 10AA可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實心軸的可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量僅為實心軸的3131% % 。實心軸和空心軸橫截面面積為實心軸和空心軸橫截面面積為3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n=100

18、r/min,=100r/min,最大最大切應(yīng)力切應(yīng)力不得超過不得超過40MPa,40MPa,空心圓軸的空心圓軸的內(nèi)外直徑之比內(nèi)外直徑之比 = 0.5= 0.5。二軸長度。二軸長度相同。相同。求求: : 實心軸的直徑實心軸的直徑d d1 1和空心和空心軸的外直徑軸的外直徑D2；確定二軸的重量之；確定二軸的重量之比比解：解： 首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩實心軸實心軸31616 716 20 045m=45mm40 10.d例題例題3.43.47 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaPTTWd3.4 3.

19、4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力空心軸空心軸d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1PTTWD確定實心軸與空心軸的重量之比確定實心軸與空心軸的重量之比長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA 實心軸實心軸d1 1=45 mm=45 mm空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm3.4 3.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力1、扭轉(zhuǎn)時的變形

20、、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp3.5 3.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度計算剛度計算2、單位扭轉(zhuǎn)角、單位扭轉(zhuǎn)角 (rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或3、剛度條件、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度。 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷： max max

21、 GT Ip max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。例題例題3.63.6maxtTW 某傳動軸所承受的扭矩某傳動軸所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，軸的直徑軸的直徑d=40mmd=40mm，材材料的料的 =40MPa=40MPa，剪切彈性模量剪切彈性模量G=80GPaG=80GPa，許可單位長度轉(zhuǎn)許可單位長度轉(zhuǎn)角角 / /=1 =1 / /m m。試校核軸的強度和剛度。試校核軸的強度和剛度。 傳動軸的轉(zhuǎn)速為傳動軸的轉(zhuǎn)速為n n=500r/min=500r/min，主動輪，主動輪A A 輸入功率輸入功率P P1 1=400kW=400kW，從動輪，從動輪C C，B B 分別輸出

22、功率分別輸出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)試確定試確定AC AC 段的直徑段的直徑d d1 1 和和BC BC 段的直徑段的直徑d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d d； (3)(3)主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N

23、 m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例題例題3.73.7 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按剛度條件按剛度條件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選取 按強度條件按強度條件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按剛度條件按剛度條件4.4.直徑直徑d2d2的選取的選取按強度條件按強度條件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3

24、 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d5.5.選同一直徑時選同一直徑時mm4 .861 dd 6.6.將主動輪安裝在將主動輪安裝在兩從動輪之間兩從動輪之間1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060 mN4580e21MWV等直圓桿僅在兩端受外力偶矩等直圓桿僅在兩端受外力偶矩 Me 作用且作用且 時時ppeGIlMp2e21GIlMp221GIlT2p21lGIV 或或Me Me Me Me 3.6 3.6 扭

25、轉(zhuǎn)變形能扭轉(zhuǎn)變形能當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時niiiGIlTV1p22niiilGIV12p2或或ABCAM1M3 BACM2 dlABlAC純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度( )pxzyWddd21dzyxddd21VWVVvdddd21dddddd21zyxzyxGGv2222Gv xyzabOcdxddydzOp扭矩扭矩T為常量時，長為為常量時，長為 l 的等直圓桿的應(yīng)變能為的等直圓桿的應(yīng)變能為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能與應(yīng)變能密度的關(guān)系等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能與應(yīng)變能密度的關(guān)系VVvVdlAxAvddAAITGld222p2p22GIlTAITxGAldd212pMe Me lAxAGVd