彎曲應(yīng)力變形

1、6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題一、為何要研究彎曲變形一、為何要研究彎曲變形zWM僅保證構(gòu)件不會(huì)發(fā)生破壞，僅保證構(gòu)件不會(huì)發(fā)生破壞，但如果構(gòu)件的變形太大也不能正常工作。但如果構(gòu)件的變形太大也不能正常工作。1、構(gòu)件的變形限制在允許的范圍內(nèi)。、構(gòu)件的變形限制在允許的范圍內(nèi)。車削加工一等截面構(gòu)件，車削加工一等截面構(gòu)件，如果構(gòu)件的的變形過大，如果構(gòu)件的的變形過大， 會(huì)加工成變截面；會(huì)加工成變截面；案例案例1：車間桁吊大梁的過大變形車間桁吊大梁的過大變形會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；會(huì)使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還會(huì)引起較嚴(yán)重的振動(dòng)；還會(huì)引起較嚴(yán)重的振動(dòng)；案例案例2：樓

2、板、樓板、 床、床、雙杠橫梁雙杠橫梁屋頂屋頂?shù)榷急仨毎阉鼈兊淖冃蔚榷急仨毎阉鼈兊淖冃蜗拗葡拗圃谠谠试S的范圍內(nèi)允許的范圍內(nèi)。、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。、工程有時(shí)利用彎曲變形達(dá)到某種要求。汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲變形汽車板簧應(yīng)有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用；才能更好的起到緩和減振的作用；案例案例1：案例案例2：當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，當(dāng)今時(shí)代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來越擁擠，道路越來越擁擠，一旦發(fā)生碰撞，你認(rèn)為車身的變形是大好還是小好？一旦發(fā)生碰撞，你認(rèn)為車身的變形是大好還是小好？案例案例3：蹦床蹦床要有大變形，要有大變形， 才能積蓄能量，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高

3、度。將人體彈射到一定高度。3、研究彎曲變形、研究彎曲變形還廣泛應(yīng)用于超靜定問題分析、還廣泛應(yīng)用于超靜定問題分析、 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析以及振動(dòng)分析等方面。以及振動(dòng)分析等方面。除了除了解決構(gòu)件的剛度解決構(gòu)件的剛度外，外，二、彎曲變形的物理量二、彎曲變形的物理量EAlFlNPIGlT扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)： F FF F拉伸拉伸彎曲變形的物理量如何？彎曲變形的物理量如何？抗變形剛度抗變形剛度桿件長(zhǎng)度桿件長(zhǎng)度內(nèi)力內(nèi)力1 1、撓曲線、撓曲線x2 2、撓度、撓度w 向上為正向上為正3 3、轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度彎曲變

4、形的物理量彎曲變形的物理量撓度撓度 彎曲變形的物理量彎曲變形的物理量轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角+6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程2 2、撓曲線方程：、撓曲線方程：( )wf xyxx1、建立坐標(biāo)系、建立坐標(biāo)系xoy平面平面就是梁的縱向?qū)ΨQ面；就是梁的縱向?qū)ΨQ面；在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xoy面內(nèi)面內(nèi)的一條平面曲線；的一條平面曲線；該曲線方程為該曲線方程為 ：3 3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義yxx：撓度的物理意義：撓度的物理意義：撓曲線在該點(diǎn)處的縱坐標(biāo)；撓曲線在該點(diǎn)處的縱坐標(biāo)；wytg：轉(zhuǎn)角的物理意義：轉(zhuǎn)角的物理意義過撓曲線上點(diǎn)

5、作撓曲線的切線過撓曲線上點(diǎn)作撓曲線的切線 該切線與水平線的夾角為該切線與水平線的夾角為撓曲線在該點(diǎn)處的切線斜率；撓曲線在該點(diǎn)處的切線斜率；撓曲線方程在該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；撓曲線方程在該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；轉(zhuǎn)角的正方向：轉(zhuǎn)角的正方向： 從從x x軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。4 4、撓曲線微分方程、撓曲線微分方程中性層處曲率中性層處曲率:EIxM)(1 yx)(xfy 232)(1)( 1xyxy對(duì)于對(duì)于曲線曲線 y=f(x) 在任一點(diǎn)處曲率在任一點(diǎn)處曲率 （瑞士科學(xué)家（瑞士科學(xué)家Jacobi.Jacobi.貝努利得到）貝努利得到） 正好為正好為xoy平面內(nèi)的一條

6、曲線，平面內(nèi)的一條曲線，平面彎曲的撓曲線平面彎曲的撓曲線所以曲線所以曲線y=f(xy=f(x) )： 從數(shù)學(xué)上講從數(shù)學(xué)上講 是一條普通的平面曲線，是一條普通的平面曲線，從力學(xué)上講從力學(xué)上講 就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。zEIxMxyxy)()(1)( 232瑞士科學(xué)家瑞士科學(xué)家JacbiJacbi. .貝努利得到梁的撓曲線微分方程；貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微分方程撓曲線微分方程EIxM)(1232)(1)( 1xyxy322( )( )1( )zw xM xEIwx撓曲線微分方程撓曲線微分方程該撓曲線微分方程是該撓曲線微分方程是適用于彎曲變形的任何情況。

7、適用于彎曲變形的任何情況。非線性的，非線性的，5 5、撓曲線、撓曲線近似近似微分方程微分方程0)()(xx21( )1wx在在小變形小變形的條件下，的條件下，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，較小，較小，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角( )M xwEI 故得撓曲線近似微分方程：故得撓曲線近似微分方程：zEIxMxx)()(1)(232 符號(hào)規(guī)定：符號(hào)規(guī)定：MM022dxd0M( )zM xwEI 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程022dxd0M撓曲線為凹曲線撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線撓曲線為凸曲線y 彎矩彎矩M與二階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致。符號(hào)一致。適用范圍：適用范圍：xxMM小變形。小

8、變形。zEIxMdxd)(22撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程積分一次：積分一次：CdxEIxMdxdz)(轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程積分二次：積分二次：DCxdxdxEIxMz )(撓曲線方程撓曲線方程C C、D D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。6-3 6-3 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形在簡(jiǎn)支梁中在簡(jiǎn)支梁中, 左右兩鉸支座處的左右兩鉸支座處的撓度撓度Aw和和Bw都等于都等于0.在懸臂梁中在懸臂梁中,固定端處的撓度固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角Aw都應(yīng)等于零都應(yīng)等于零.A 0Aw0Bw0Aw0A ABPABPABPC0C 若結(jié)構(gòu)、載荷（包括約束）均左右若結(jié)構(gòu)、

9、載荷（包括約束）均左右對(duì)稱，則對(duì)稱截面對(duì)稱，則對(duì)稱截面都應(yīng)等于零都應(yīng)等于零.C 積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D的確定：的確定：1 1、邊界條件邊界條件 2 2、連續(xù)條件連續(xù)條件右左CC 右左CCww值唯一。與 w 撓曲線為一光滑連續(xù)曲線，在同一點(diǎn)處撓曲線為一光滑連續(xù)曲線，在同一點(diǎn)處ABPC:ax連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：ABLaCMx右右左左CC右右左左CC特別強(qiáng)調(diào)特別強(qiáng)調(diào)在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。例例1 1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xkCPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx kFBy邊界條件邊界

10、條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件:ax 例例2 2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx EAhFBy邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件:ax （1 1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（2 2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)；（3 3）中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩）中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩 部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)；ABLaCM（4 4）凡分

11、段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件；）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件； :0 x:ax0lax根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一截面只可能有唯一確根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對(duì)同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；定的撓度和轉(zhuǎn)角；ABLaCM0 0 右右左左CC在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件A例例1懸臂梁受力如圖所示。求懸臂梁受力如圖所示。求 和和 。Axx取參考坐標(biāo)系取參考坐標(biāo)系1、列寫彎矩方程、列寫彎矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入撓曲線近似微分方程中、代入撓曲線近似微分方程中 zEIxM)(221 qxEI積分一次：積分一次

12、：CqxEIEI361積分二次：積分二次：DCxqxEI4241轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程撓曲線方程AqBL3、確定常數(shù)、確定常數(shù)C、D.邊界條件：邊界條件：:Lx361qLC0481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEICqxEIEI361DCxqxEI4241AqBL0EIqLA630 xEIqLA84AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI4、計(jì)算、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處截面處CFABaLx例例2 一簡(jiǎn)支梁受力如一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求圖所示。試求 和和 。)(),(xwxA1、求支座反

13、力、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的彎矩方程、分段列出梁的彎矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段段)0 (axAC段段),()(2axFxLFbxMxx,1xLFbEI ),(2axFxLFbEI 3、代入各自的撓曲線近似微分方程中、代入各自的撓曲線近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自積分、各自積分12112CxLFbEIEI22222)(22CaxFxLFbEIEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI5、確定積分常數(shù)、確定積分常數(shù)邊界條件：邊界條件：0 xLx 連續(xù)條件：連續(xù)條

14、件：21ax)(6221bLLFbC,2C021 DDFaLx0102211212CxLFbEI2222)(22CaxFxLFbEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbxy,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbxy7、求轉(zhuǎn)角、求轉(zhuǎn)角0 xLEIbLFbxA6)(2201LxLEIaLFabLxB6)(26、撓曲線方程、撓曲線方程8、求、求 。max0dxd由由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIba