統(tǒng)計檢驗分析-第五章

1、第第5章章 關于均值向量的推斷關于均值向量的推斷o一、一、0作為正態(tài)總體均值的似真性作為正態(tài)總體均值的似真性o二、霍特林二、霍特林T2與似然比檢驗與似然比檢驗o三、置信域和均值分量的聯(lián)合比較三、置信域和均值分量的聯(lián)合比較o四、總體均值向量的大樣本推斷四、總體均值向量的大樣本推斷o五、多元質(zhì)量控制圖五、多元質(zhì)量控制圖o六、觀測值缺損時均值向量的推斷六、觀測值缺損時均值向量的推斷o七、多元觀察中由時間相依性造成的困難七、多元觀察中由時間相依性造成的困難一、一、0作為正態(tài)總體均值的似真性作為正態(tài)總體均值的似真性本章將討論關于總體均值向量及其分量的本章將討論關于總體均值向量及其分量的統(tǒng)計推斷問題。統(tǒng)計

2、推斷問題。o判斷判斷0是否為總體均值的似真值？是否為總體均值的似真值？o一元統(tǒng)計中：一元統(tǒng)計中：t分布分布這個統(tǒng)計分布為自由度這個統(tǒng)計分布為自由度為為n-1的學生的學生t分布分布o學生學生t-分布分布（Students t-distribution）應用在當對呈）應用在當對呈正態(tài)分正態(tài)分布布的母群體的的母群體的均值均值進行進行估計估計。它是。它是對對兩個樣本均值差異兩個樣本均值差異進行顯著性測進行顯著性測試的學生試的學生t測定的基礎。測定的基礎。如果計算的如果計算的t的絕對值較大，則拒絕零假設的絕對值較大，則拒絕零假設上式也等同于當上式也等同于當t的平方較大時，拒絕零假設，的平方較大時，拒絕零

3、假設，即即0不是總體均值的似真值。不是總體均值的似真值。t2為樣本均值到為樣本均值到0的距離的平方的距離的平方o多元統(tǒng)計中多元統(tǒng)計中 p*1的的0向量是否為多元正態(tài)分布均值的似向量是否為多元正態(tài)分布均值的似真值？真值？從一元推廣到多元平方距離：從一元推廣到多元平方距離：其中其中T2為樣本均值到為樣本均值到0的距的距離的平方，如果距離太離的平方，如果距離太遠，則拒絕零假設；遠，則拒絕零假設；T2以研究者霍特林命名，以研究者霍特林命名，稱為稱為霍特林統(tǒng)計量霍特林統(tǒng)計量T2分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)：設設X1,Xn是來自均值為是來自均值為，協(xié)方差矩陣為，協(xié)方差矩陣為的聯(lián)合分布的一個隨機樣本，服從的聯(lián)合分

4、布的一個隨機樣本，服從Np(, )分布，分布，即即T2分布與（系數(shù)分布與（系數(shù)*F）同分布）同分布在一定概率水平下，如果下式成立則拒絕零假設在一定概率水平下，如果下式成立則拒絕零假設二、二、霍特林霍特林T2與似然比檢驗與似然比檢驗1.構(gòu)造似然比構(gòu)造似然比2.T2和和分布的關系分布的關系多元正態(tài)似然函數(shù)的最大值為：多元正態(tài)似然函數(shù)的最大值為：極大似然估計量：極大似然估計量：1.構(gòu)造似然比構(gòu)造似然比在零假設條件下在零假設條件下(=0)，最大正態(tài)似然值為：，最大正態(tài)似然值為：其中其中將兩種最大似然值進行比較得到將兩種最大似然值進行比較得到的比值為的比值為似然比統(tǒng)計量：似然比統(tǒng)計量：似然比統(tǒng)計量似然比

5、統(tǒng)計量的計算如下式，當該值太小時，拒絕零假設的計算如下式，當該值太小時，拒絕零假設2.T2和和分布的關系分布的關系設設X1,Xn是來自均值為是來自均值為，協(xié)方差矩陣為，協(xié)方差矩陣為的聯(lián)的聯(lián)合分布的一個隨機樣本，服從合分布的一個隨機樣本，服從Np(, )分布有分布有小的小的或大的或大的T2，拒絕零假設。拒絕零假設。三、三、置信域和均值分量的聯(lián)合比較置信域和均值分量的聯(lián)合比較o假設假設是未知的總體分布的參數(shù)向量，是未知的總體分布的參數(shù)向量，是所有可能的是所有可能的的集合，的集合，置信域置信域是可能的是可能的組成的集合，與一元的置信區(qū)間類似。組成的集合，與一元的置信區(qū)間類似。o置信域置信域由樣本數(shù)據(jù)

6、決定，用由樣本數(shù)據(jù)決定，用R(X)表示，如表示，如果樣本被抽取前有下式成立，則稱區(qū)域果樣本被抽取前有下式成立，則稱區(qū)域R(X)為為 的的100(1-)%的置信域。的置信域。1.一元統(tǒng)計中一元統(tǒng)計中2.多元統(tǒng)計中多元統(tǒng)計中1.一元統(tǒng)計中一元統(tǒng)計中例如，給定一個樣本：樣本均值和方例如，給定一個樣本：樣本均值和方差分別為差分別為10和和2，樣本大小為，樣本大小為11（自由（自由度為度為10）。）。 o則根據(jù)下式和查表則根據(jù)下式和查表2.多元統(tǒng)計中多元統(tǒng)計中p=2時置信域為一橢圓時置信域為一橢圓四、四、總體均值向量的大樣本推斷總體均值向量的大樣本推斷o當樣本量很大時，不需要總體的當樣本量很大時，不需要

7、總體的正態(tài)性假正態(tài)性假定定就可以構(gòu)造均值的假設檢驗及置信域；就可以構(gòu)造均值的假設檢驗及置信域；o當當n-p很大時，有下式成立：很大時，有下式成立：則在則在的置信水平下拒絕零假設的置信水平下拒絕零假設五、五、多元質(zhì)量控制圖多元質(zhì)量控制圖控制圖的目的是為了識別是否出現(xiàn)了引控制圖的目的是為了識別是否出現(xiàn)了引起變動的特殊原因，這些原因來自外部，起變動的特殊原因，這些原因來自外部，表明需要對數(shù)據(jù)進行修正或改進。表明需要對數(shù)據(jù)進行修正或改進。1.均值控制圖（一元）均值控制圖（一元）2.橢圓控制圖（二元）橢圓控制圖（二元）3.T2控制圖（多元）控制圖（多元）1.均值控制圖（一元）均值控制圖（一元）o按時間順

8、序?qū)Ω鱾€觀察值或樣本均值作按時間順序?qū)Ω鱾€觀察值或樣本均值作標繪標繪o畫出所有觀察值的樣本均值的中心線畫出所有觀察值的樣本均值的中心線o按照如下公式計算并畫出控制限按照如下公式計算并畫出控制限控制上限控制上限UCL：x+3*標準差標準差控制下限控制下限LCL：x-3*標準差標準差2.橢圓控制圖（二元）橢圓控制圖（二元）o按散布圖進行標繪按散布圖進行標繪o按照如下不等式計算按照如下不等式計算95%的置信橢圓，并的置信橢圓，并畫出橢圓控制限（畫出橢圓控制限（=0.05或或0.01，p=2）.3.T2控制圖（多元）控制圖（多元）o對第對第j個點計算個點計算T2統(tǒng)計量統(tǒng)計量o把計算結(jié)果畫在時間軸上，把

9、計算結(jié)果畫在時間軸上，LCL為零，為零，UCL為為=0.05或或0.01的卡方值的卡方值.T299%限制限制95%限制限制學生學生t分布分布1221()2( )(1)(/ 2)tf t00(| |)2( )tP ttf t dt卡方分布卡方分布(2 distribution)(0,1)uN222212nuuu2/2 122/2()1()exp()2( /2)2f22222()(1)xxns222221snv F分布分布( F distribution, RA Fisher, 1923)2122sFs112121212/2/212()/21212()2( )(/2) (/2)()vFf FFv第

10、第5章章 關于均值向量的推斷關于均值向量的推斷o一、一、0作為正態(tài)總體均值的似真性作為正態(tài)總體均值的似真性o二、霍特林二、霍特林T2與似然比檢驗與似然比檢驗o三、置信域和均值分量的聯(lián)合比較三、置信域和均值分量的聯(lián)合比較o四、總體均值向量的大樣本推斷四、總體均值向量的大樣本推斷o五、多元質(zhì)量控制圖五、多元質(zhì)量控制圖o六、觀測值缺損時均值向量的推斷六、觀測值缺損時均值向量的推斷o七、多元觀察中由時間相依性造成的困難七、多元觀察中由時間相依性造成的困難六、六、觀測值缺損時均值向量的推斷觀測值缺損時均值向量的推斷o如何處理不完全觀測值？如何處理不完全觀測值？o登普斯特（登普斯特（Dempster）提出

11、一種從不完提出一種從不完全數(shù)據(jù)出發(fā)，計算其極大似然估計的一全數(shù)據(jù)出發(fā)，計算其極大似然估計的一般方法，稱為般方法，稱為EM算法。算法。oEM算法：算法：1.預測預測，預測任何缺損值對，預測任何缺損值對充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量的的貢獻；貢獻；2.估計估計，計算修正后的極大似然估計值。，計算修正后的極大似然估計值。oEM算法具體步驟：算法具體步驟：1.利用不全數(shù)據(jù)利用不全數(shù)據(jù)X計算各個變量的均值，缺損計算各個變量的均值，缺損值不計入，用值不計入，用這些估計的均值代替缺損值這些估計的均值代替缺損值；2.利用估計的上述數(shù)據(jù)利用估計的上述數(shù)據(jù)估計協(xié)方差估計協(xié)方差；3.把有缺損的數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)進行把有缺損的數(shù)據(jù)

12、和正常數(shù)據(jù)進行分塊處理分塊處理，按照公式估計缺損值、缺損值的平方、缺損按照公式估計缺損值、缺損值的平方、缺損值與其它觀測值的乘積；值與其它觀測值的乘積；4.計算充分統(tǒng)計量計算充分統(tǒng)計量T1和和T2的估計值；的估計值；5.利用利用T1和和T2估計均值和協(xié)方差估計均值和協(xié)方差；o再再重復預測與估計重復預測與估計，直到估計出的均值和協(xié)，直到估計出的均值和協(xié)方差中的元素方差中的元素基本保持不變基本保持不變?yōu)橹?。為止。例題，用下面數(shù)據(jù)估計正態(tài)總體均例題，用下面數(shù)據(jù)估計正態(tài)總體均值與協(xié)方差矩陣，值與協(xié)方差矩陣，n=4，p=3，某些，某些值缺損。值缺損。521562730X1.對樣本均值做初始估計：對樣本均

13、值做初始估計：6257113120244526332.用樣本均值代替缺損值用樣本均值代替缺損值3. 估計協(xié)方差矩陣估計協(xié)方差矩陣516215627306X214)66()65()67()66(22221125,213322414) 11)(66() 11)(65() 12)(67() 10)(66(121,431323521562730X4164. 利用初始的均值和協(xié)方差估計值利用初始的均值和協(xié)方差估計值預測預測缺缺損值對充分統(tǒng)計量損值對充分統(tǒng)計量T1和和T2的貢獻的貢獻516215627306X22211211332313232212131211)2()1(321,73. 531321212

14、212111xxx254314321411412199.32211211221211211xx18.17, 03 , 073. 5,131211xxx同樣估計缺損的另外兩個數(shù)對統(tǒng)計量的影響，預測出同樣估計缺損的另外兩個數(shù)對統(tǒng)計量的影響，預測出T1和和T2：00.1630. 413.244333231342322212413121111xxxxxxxxxxxxT00.7450.2018.10150.2097. 607.2718.10127.2705.1482432332232134342333223221312434133312321131124223222221242413231222112112412312212112xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxT5. 求出修正求出修正估計估計00. 408. 103. 611Tn50. 283. 017. 183. 059. 033. 017. 133. 061. 012Tn521562730X416516215627306X2543143214114121預測與估