高中數(shù)學人教A版選修2-2課件：3.1.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念

1、3 3.1 1.1 1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念1.了解數(shù)系的擴充過程.2.理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件.3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法.1.復數(shù)的概念及代數(shù)表示法(1)定義:我們把集合C=a+bi|a,bR中的數(shù),即形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,全體復數(shù)所成的集合C叫做復數(shù)集,規(guī)定ii=-1.(2)代數(shù)表示:復數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式.對于復數(shù)z=a+bi,以后不作特殊說明,都有a,bR,其中的a與b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.2.復數(shù)相等的充要條件在復數(shù)集C=a+bi|a,bR中任取兩個數(shù)a+bi,c+di

2、(a,b,c,dR),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c,且b=d.溫馨提示應用兩復數(shù)相等的充要條件時,首先要把“=”左右兩邊的復數(shù)寫成代數(shù)形式,即分離實部與虛部,然后列出等式求解.溫馨提示實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集,即RC.至此,我們學過的有關數(shù)集的關系為:N*NZQRC.【做一做3-1】 下列命題是假命題的是()A.自然數(shù)集是非負整數(shù)集B.實數(shù)集與復數(shù)集的交集為實數(shù)集C.實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是0D.純虛數(shù)與實數(shù)集的交集為空集解析:本題主要考查復數(shù)集合的構成,即復數(shù)的分類.復數(shù)可分為實數(shù)和虛數(shù)兩大部分,虛數(shù)中含有純虛數(shù),因此,實數(shù)集與虛數(shù)集沒有公共元素,故選項C中的命題是假命

3、題.答案:C【做一做3-2】 “a=0”是“復數(shù)z=a+bi(a,bR)為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:由復數(shù)的概念知:若a+bi為純虛數(shù),則必有a=0成立,即為必要條件;但若a=0,且b=0,則a+bi=0為實數(shù),即不是充分條件.故選B.答案:B1.數(shù)系擴充的一般原則是什么?剖析:數(shù)系擴充的脈絡是:自然數(shù)系整數(shù)系有理數(shù)系實數(shù)系復數(shù)系,用集合符號表示為NZQRC.從自然數(shù)系逐步擴充到復數(shù)系的過程可以看出,數(shù)系的每一次擴充都與實際需求密切相關.數(shù)系擴充后,在新數(shù)系中,原來規(guī)定的加法運算與乘法運算的定律仍然適用,加法和乘法都滿足交換律和

4、結合律,乘法對加法滿足分配律.一般來說,數(shù)的概念在擴大時,要遵循如下幾項原則:(1)增添新元素,新舊元素在一起構成新數(shù)集;(2)在新數(shù)集里,定義一些基本關系和運算,使原有的一些主要性質(如運算定律)依然適用;(3)舊元素作為新數(shù)集里的元素,原有的運算關系保持不變;(4)新的數(shù)集能夠解決舊的數(shù)集不能解決的矛盾.2.如何理解虛數(shù)單位i?剖析:在實數(shù)集中,有些方程是無法求解的.例如x2+1=0,為解決解方程的需要,人們引進一個新數(shù)i,叫做虛數(shù)單位,且規(guī)定:(1)它的平方等于-1,即i2=-1.(2)i與實數(shù)之間可以運算,亦適合加、減、乘的運算律.由于i2b,則a+ib+i.分析:解答本題要嚴格按照復

5、數(shù)的有關概念和性質進行判斷.解:(1)錯誤.當且僅當zR時,z20成立.若z=i,則z2=-10.(2)錯誤.當a=-1時,(a+1)i=(-1+1)i=0i=0R.(3)錯誤.兩個虛數(shù)不能比較大小.題型一題型二題型三題型四反思數(shù)集從實數(shù)集擴充到復數(shù)集后,某些結論不再成立.如兩數(shù)大小的比較,某數(shù)的平方是非負數(shù)等.但i與實數(shù)的運算及運算律仍成立.【變式訓練1】 有下列四個命題:(1)方程2x-5=0在自然數(shù)集N中無解;(2)方程2x2+9x-5=0在整數(shù)集Z中有一解,在有理數(shù)集Q中有兩解;(3)x=i是方程x2+1=0在復數(shù)集C中的一個解;(4)x4=1在實數(shù)R中有兩解,在復數(shù)集C中也有兩解.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思1.一般地,兩個復數(shù)只能相等或不相等,不能比較大小.2.復數(shù)相等的充要條件是求復數(shù)及解方程的主要依據(jù),是復數(shù)問題實數(shù)化的橋梁.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思在利用復數(shù)的代數(shù)形式對復數(shù)分類時,關鍵是根據(jù)分類標準列出實部、虛部應滿足的關系式(等式或不等式(組),求解參數(shù)時,注意考慮問題要全面.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型