人口指數(shù)增長模型

1、數(shù)學(xué)模型 實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱：如何預(yù)報(bào)人口的增長 成績：_實(shí)驗(yàn)日期 ：2009年4 月22 日實(shí)驗(yàn)報(bào)告日期：2009年4 月 26 日人類文明發(fā)展到今天,人們越來越意識到地球資源的有限性,我們感受到地球在變小,人口與資源之間的矛盾日漸突出,人口問題已成為當(dāng)前世界上被最普遍關(guān)注的問題之一,當(dāng)然人口增長規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及人口增長的預(yù)測對一個國家制定比較長遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃有著非常重要的意義.本節(jié)介紹幾個經(jīng)典的人口模型.3.3.1模型I:人口指數(shù)增長模型(馬爾薩斯Malthus,1766-1834)1) 模型假設(shè)時刻t人口增長的速率,即單位時間人口的增長量,與當(dāng)時人口數(shù)成正比,即人口增長率為常數(shù)r.以P(t)表

2、示時刻t某地區(qū)(或國家)的人口數(shù),設(shè)人口數(shù)P(t)足夠大,可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且P(t)關(guān)于t連續(xù)可微.2) 模型建立及求解據(jù)模型假設(shè),在t到時間內(nèi)人口數(shù)的增長量為,兩端除以,得到,即,單位時間人口的增長量與當(dāng)時的人口數(shù)成正比.令,就可以寫出下面的微分方程:,如果設(shè)時刻的人口數(shù)為,則滿足初值問題:(1)下面進(jìn)行求解,重新整理模型方程(1)的第一個表達(dá)式,可得,兩端積分,并結(jié)合初值條件得.顯然,當(dāng)時,此時人口數(shù)隨時間指數(shù)地增長,故模型稱為指數(shù)增長模型(或Malthus模型).如下圖3-2所示.3) 模型檢驗(yàn)19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合.19世紀(jì)以后的許多國家,模型遇到了

3、很大的挑戰(zhàn).注意到,而我們的地球是有限的,故指數(shù)增長模型(Malthus模型)對未來人口總數(shù)預(yù)測非常荒謬,不合常理,應(yīng)該予以修正.圖3-24) 模型討論為了做進(jìn)一步的討論,闡明此模型組建過程中所做的假設(shè)和限制是非常必要的.我們把人口數(shù)僅僅看成是時間的函數(shù),忽略了個體間的差異(如年齡,性別,大小等)對人口增長的影響.假定是連續(xù)可微的.這對于人口數(shù)量足夠大,而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個時間段內(nèi)是隨機(jī)的,可認(rèn)為是近似成立的.人口增長率是常數(shù),意味著人處于一種不隨時間改變的定常的環(huán)境當(dāng)中.模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的,即在所研究的時間范圍內(nèi)不存在有遷移(遷入或遷出)現(xiàn)象的發(fā)生.不難看

4、出,這些假設(shè)是苛刻的,不現(xiàn)實(shí)的,所以模型只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測未來人口.3.3.2模型II:阻滯增長模型(Logistic)一個模型的缺陷,通?？梢栽谀Ｐ图僭O(shè)當(dāng)中找到其癥結(jié)所在或者說,模型假設(shè)在數(shù)學(xué)建模過程中起著至關(guān)重要的作用,它決定了一個模型究竟可以走多遠(yuǎn).在指數(shù)增長模型中,我們只考慮了人口數(shù)本身一個因素影響人口的增長速率,事實(shí)上影響人口增長的另外一個因素就是資源(包括自然資源,環(huán)境條件等因素).隨著人口的增長,資源量對人口開始起阻滯作用,因而人口增長率會逐漸下降.許多國家的實(shí)際情況都是如此.定性的分析,人口數(shù)與資源量對人口增長的貢獻(xiàn)均應(yīng)當(dāng)是正向的.1) 模型假設(shè)地球上的資源有限

5、,不妨設(shè)為1;而一個人的正常生存需要占用資源(這里事實(shí)上也內(nèi)在的假定了地球的極限承載人口數(shù)為);在時刻t,人口增長的速率與當(dāng)時人口數(shù)成正比,為簡單起見也假設(shè)與當(dāng)時剩余資源成正比;比例系數(shù)表示人口的固有增長率;設(shè)人口數(shù)P(t)足夠大,可以視做連續(xù)變量處理,且P(t)關(guān)于t連續(xù)可微.2) 模型建立及求解由模型假設(shè),可將人口數(shù)的凈增長率視為人口數(shù)P(t)的函數(shù),由于資源對人口增長的限制,應(yīng)是P(t) 的減函數(shù),特別是當(dāng)P(t) 達(dá)到極限承載人口數(shù)時,應(yīng)有凈增長率,當(dāng)人口數(shù)P(t)超過時,應(yīng)當(dāng)發(fā)生負(fù)增長.基于如上想法,可令.用代替指數(shù)增長模型中的導(dǎo)出如下微分方程模型:(2)這是一個Bernoulli方

6、程的初值問題,其解為.在這個模型中,我們考慮了資源量對人口增長率的阻滯作用,因而稱為阻滯增長模型(或Logistic模型).其圖形如圖3-3所示.圖3-33) 模型檢驗(yàn)從圖3-3可以看出,人口總數(shù)具有如下規(guī)律:當(dāng)人口數(shù)的初始值時,人口曲線(虛線)單調(diào)遞減,而當(dāng)人口數(shù)的初始值時,人口曲線(實(shí)線)單調(diào)遞增;無論人口初值如何,當(dāng),它們皆趨于極限值.4) 模型討論阻滯增長模型從一定程度上克服了指數(shù)增長模型的不足,可以被用來做相對較長時期的人口預(yù)測,而指數(shù)增長模型在做人口的短期預(yù)測時因?yàn)槠湫问降南鄬唵涡砸渤１徊捎?不論是指數(shù)增長模型曲線,還是阻滯增長模型曲線,它們有一個共同的特點(diǎn),即均為單調(diào)曲線.但我

7、們可以從一些有關(guān)我國人口預(yù)測的資料發(fā)現(xiàn)這樣的預(yù)測結(jié)果:在直到2030年這一段時期內(nèi),我國的人口一直將保持增加的勢頭,到2030年前后我國人口將達(dá)到最大峰值16億,之后,將進(jìn)入緩慢減少的過程這是一條非單調(diào)的曲線,即說明其預(yù)測方法不是本節(jié)提到的兩種方法的任何一種.還有比指數(shù)增長模型,阻滯增長模型更好的人口預(yù)測方法嗎 FS:PAGE事實(shí)上,人口的預(yù)測是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題,影響人口增長的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量外,還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善,人們生育觀念的變化等因素有關(guān),特別在做中短期預(yù)測時,我們希望得到滿足一定預(yù)測精度的結(jié)果,比如在剛剛經(jīng)歷過戰(zhàn)爭或是由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等,這

8、些因素本身以及由此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動就會變的相當(dāng)重要,進(jìn)而需要必須予以考慮. 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?預(yù)報(bào)人口的增長變化規(guī)律,作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，為以后有效的控制人口增長提供依據(jù)，為設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得出的人口增長率不變的假設(shè)，建立人口指數(shù)增長模型。利用微積分?jǐn)?shù)學(xué)工具視x(t)為連續(xù)可微函數(shù)，記t=0時人口為x0,人口增長率為常數(shù)r, 變有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、實(shí)驗(yàn)環(huán)境MATLAB6.5四、實(shí)驗(yàn)步驟為了用數(shù)據(jù)進(jìn)行線形最小二乘法的計(jì)算，故將x(t)=x0*exp(rt)兩邊取對數(shù)可得lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx

9、(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)用MATLAB函數(shù)p=polyfit（t,x,1）擬合一次多項(xiàng)式，然后用畫圖函數(shù)plot(t,x,+,t,x0*exp(rt),-),畫出實(shí)際數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果之間的圖形，看結(jié)果如何。利用1790-1900年的數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，程序如下：t=linspace(0,11,12);x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0;p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2)plot(t,x,+,t,x0*ex

10、p(r*t),-)利用1790-2000年的數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，程序如下：t=linspace(0,21,22);x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2)plot(t,x,+,t,x0*exp(r*t),-)五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果 以1790年至1900年的數(shù)據(jù)擬合y= rt+a，用軟件計(jì)算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下圖為擬合的圖象:以1790年至2000年的數(shù)據(jù)擬合y= rt+a，用軟件計(jì)算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下圖為擬合的圖象:六、實(shí)驗(yàn)討論、結(jié)論 從圖形1中可知，此模型基本上能夠描述十九世紀(jì)以前美國人口的增長，因?yàn)?號基本上都在線上，說明擬合成功。 從圖形2中可知，進(jìn)入了20世紀(jì)以后，美國人口增長明顯變慢，+號和曲線偏離很遠(yuǎn)，說明此模型已不在適用。 對未來預(yù)報(bào)人口有很重要的作用，比如采取措施來實(shí)行計(jì)劃生育等有關(guān)問題。七、 參考資料馬爾薩斯 美國一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料：年179018001810182018