江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.4基本不等式及其應(yīng)用課件理

1、7.4基本不等式及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.基本不等式基本不等式知識梳理(1)基本不等式成立的條件： .(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號.2.幾個(gè)重要的不等式幾個(gè)重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).(2) (a，b同號).a0，b0ab2ab2(3)ab (a，bR).(4) (a，bR).以上不等式等號成立的條件均為ab.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均數(shù)為 ，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)兩者相等.4.

2、利用基本不等式求最值問題利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有最 值 .(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有最 值 .(簡記：和定積最大)xy小xy大知識拓展知識拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)A(xD)f(x)maxA成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立f(x)A的解集為D；不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立

3、f(x)A(xD)f(x)min0且y0”是“ 2”的充要條件.()(4)若a0，則a3 的最小值為 .()(5)不等式a2b22ab與 有相同的成立條件.()(6)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).()考點(diǎn)自測1.(教材改編)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_.答案解析81x0，y0，即xy( )281，當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81.2.(教材改編)若0 x1，則 的取值范圍是_.答案解析由0 x0，當(dāng)且僅當(dāng)x 時(shí)，上式等號成立.3.(教材改編)當(dāng)點(diǎn)(x，y)在直線x3y20上移動時(shí)，函數(shù)z3x27y3的最小值是_.答案解析當(dāng)且僅當(dāng)3x33y，9即x1，y 時(shí)，z取最

4、小值.4.(教材改編)已知x0，y0，且x4y1，則xy的最大值為_.答案解析當(dāng)且僅當(dāng)x4y ，5.(教材改編)若x(0，)，則sin x 2；若a，b(0，)，則lg alg b ；若xR，則 4.其中正確結(jié)論的序號是_.答案解析因?yàn)閤(0，)，所以sin x(0,1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1時(shí)才成立；當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)“”成立.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一利用基本不等式求最值題型一利用基本不等式求最值命題點(diǎn)命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式通過配湊法利用基本不等式例例1(1)已知0 x1，則x(43x)取得最大值時(shí)x的值為_.答案解析當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即x

5、 時(shí)，取等號.(2)已知x ，則f(x)4x2 的最大值為_.1答案解析因?yàn)閤0，則f(x)4x2 (54x )3231.當(dāng)且僅當(dāng)54x ，即x1時(shí)，等號成立.故f(x)4x2 的最大值為1.(3)函數(shù)y (x1)的最小值為_.答案解析當(dāng)且僅當(dāng)(x1) ，即x 1時(shí)，等號成立.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2通過常數(shù)代換法利用基本不等式通過常數(shù)代換法利用基本不等式答案解析例例2已知a0，b0，ab1，則 的最小值為_.4a0，b0，ab1，即 的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)等號成立.引申探究引申探究1.條件不變，求(1 )(1 )的最小值.解答52( )549.當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)，取等號.2.已知a0，b0， 4

6、，求ab的最小值.解答當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取等號.3.將條件改為a2b3，求 的最小值.解答a2b3，當(dāng)且僅當(dāng)a 時(shí)，取等號.(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后

7、利用基本不等式求解最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(1)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_.答案解析5方法一由x3y5xy可得 1，3x4y(3x4y)( )(當(dāng)且僅當(dāng) ，即x1，y 時(shí)，等號成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy，得x ，x0，y0，y ，當(dāng)且僅當(dāng)y 時(shí)等號成立，(3x4y)min5.(2)設(shè)ab2，b0，則 取最小值時(shí)，a的值為_.答案解析2ab2，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立. 又ab2，b0，當(dāng)b2a，a2時(shí)， 取得最小值.題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例例3(1)設(shè)x，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則 的最

8、小值為_.答案解析由題意得z2xy，lg x0，lg y0，當(dāng)且僅當(dāng) ，即lg y2lg x，即yx2時(shí)取等號.(2)(2016江蘇蘇州暑假測試)設(shè)正四面體ABCD的棱長為 ，P是棱AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，且點(diǎn)P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則 的最小值是_.答案解析過點(diǎn)A作AO平面BCD于點(diǎn)O，則O為BCD的重心，所以AO 2.又VPBCDVPACDVABCD，即xy2.當(dāng)且僅當(dāng)x3 ，y 1時(shí)取等號.(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定

9、義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)x，y0，且xy4，若不等式 m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_.答案解析當(dāng)且僅當(dāng)y2x 時(shí)等號成立.(2)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，則每臺機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是_萬元.答案解析8年平均利潤為 x 18(x )18， 18(x )18108，當(dāng)且僅當(dāng)x ，即x5時(shí)，取等號.題型三基本不等式的綜合應(yīng)用題型三基本不等式的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)命題點(diǎn)1基本不等式與其他知識交匯的最值問題基本

10、不等式與其他知識交匯的最值問題例例4若不等式x a(xy)對任意的實(shí)數(shù)x，y(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_.答案解析幾何畫板展示由題意得a 恒成立.令t (t0)，則a ，再令12tu(u1)，則t ，因?yàn)閡 (當(dāng)且僅當(dāng)u 時(shí)等號成立)，故u 2 2，命題點(diǎn)命題點(diǎn)2求參數(shù)值或取值范圍求參數(shù)值或取值范圍例例5(1)已知a0，b0，若不等式 恒成立，則m的最大值為_.答案解析又 6 612(當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立)，m12，m的最大值為12.12(2)已知函數(shù)f(x) (aR)，若對于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_.答案解析對任意xN*，f(x)3恒成立，即 3恒成立，即知

11、a(x )3.設(shè)g(x)x ，xN*，則g(2)6，g(3) .g(2)g(3)，g(x)min ，(x )3 ，a ，故a的取值范圍是 ，).(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016江蘇三校聯(lián)考)北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價(jià)為2

12、5元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為多少元？解答設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得(8 0.2)t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為40元.幾何畫板展示(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進(jìn)行技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元，公司擬投入 (x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入 萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能

13、使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).解答依題意知，x25，且ax25850 (x2600) ，等價(jià)于a (x25).當(dāng)且僅當(dāng) ，即x30時(shí)等號成立，所以a10.2.當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.典例典例(1)已知x0，y0，且 1，則xy的最小值是_.利用基本不等式求最值現(xiàn)場糾錯(cuò)系列現(xiàn)場糾錯(cuò)系列8 現(xiàn)場糾錯(cuò) 糾錯(cuò)心得利用基本不等式求最值時(shí)要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要驗(yàn)證等號成立的條件.錯(cuò)解展示(2)函數(shù)y12x (x0，y0，返回xy的最小值為

14、 .函數(shù)y12x (x0，y0，xy(xy)( )3 3 (當(dāng)且僅當(dāng)y 時(shí)取等號)，當(dāng)x 1，y2 時(shí)，(xy)min3 .當(dāng)且僅當(dāng)x 時(shí)取等號，故函數(shù)y12x (x0，則下列不等式中，恒成立的序號是_.a2b22ab；ab ；答案解析因?yàn)閍2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立，所以錯(cuò)誤；對于，因?yàn)閍b0，對于，當(dāng)a0，b0時(shí)，明顯錯(cuò)誤.12345678910111213142.(教材改編)用長為16 cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則所圍成的矩形的最大面積是_ cm2.答案解析16設(shè)矩形長為x cm(0 x0,8x0，可得S( )216，當(dāng)且僅當(dāng)x8x，即x4時(shí)，Smax16.所以矩形的最大面積是

15、16 cm2.12345678910111213143.當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x) 有最_值，為_.答案解析大1當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號.12345678910111213144.(2016鹽城模擬)函數(shù)y 的最小值為_.答案解析2當(dāng)且僅當(dāng) ，即x0時(shí)，y取到最小值2.12345678910111213145.設(shè)正數(shù)a，使a2a20成立，若t0，則 logat_loga (填“”“”“”或“0，所以 ，因?yàn)閍2a20，所以a1，又a0，所以a1，12345678910111213146.設(shè)f(x)x2x1，g(x)x21，則 的取值范圍是_.答案解析當(dāng)x0時(shí)， 1；當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x0，解得a1.同理可得

16、b1，當(dāng)且僅當(dāng) 9(a1)，即a 時(shí)等號成立，最小值為6.12345678910111213148.(2016南京一模)已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_.答案解析4,122xy6(x24y2)，而2xy ，6(x24y2) ，x24y24(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號).綜上可知4x24y212.12345678910111213149.已知x0，y0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則 的最小值為_.答案解析4224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號成立.123456

17、789101112131410.某民營企業(yè)的一種電子產(chǎn)品，2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎(chǔ)上增長率為a；2016年計(jì)劃在2015年的基礎(chǔ)上增長率為b(a，b0)，若這兩年的平均增長率為q，則q與 的大小關(guān)系是_.答案解析設(shè)2014年的年產(chǎn)量為1，則2016年的年產(chǎn)量為(1a)(1b)，(1q)2(1a)(1b)，q ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”.123456789101112131411.(2016泰州模擬)已知ab1且2logab3logba7，則a 的最小值為_.答案解析3因?yàn)?logab3logba7，所以2(logab)27logab30，解得logab 或logab3，因?yàn)閍b1，所以

18、logab(0,1)，故logab ，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)等號成立.123456789101112131412.(2016南通模擬)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足 y21，則3x22xy的最小值是_.答案解析1234567891011121314再令t32k(2,4)，則k ，當(dāng)且僅當(dāng)t 時(shí)等號成立.1234567891011121314方法二令t3x22xy，則y ，代入方程 y21并化簡得8x4(46t)x2t20，令ux24，則8u2(46t)ut20在4，)上有解，從而由得t212t40，解得t6 ，當(dāng)取得最小值時(shí)，u2 滿足題意.1234567891011121314方法三因?yàn)?y21( y)( y)，所以令 yt，則 y ，從而則3x2