第二章--靜電場(chǎng)1

1、2.1 2.1 電荷與電荷密度電荷與電荷密度 一、電荷一、電荷1. 帶電體與電荷 帶電體的特性：能夠吸引輕小物體 2. 電荷分類 正電荷、負(fù)電荷 3. 電量 帶電體所帶電荷的多少叫電量，在國(guó)際單位制（SI單位制）中，電量的單位是庫(kù)侖（C） 4. 電荷的基本性質(zhì) 1）分布的離散性 2）量子性 e1.60210-19C 3）守恒性 電荷守恒定律電荷守恒定律 4）相對(duì)論不變性 M(x,y,z) M(x,y,z) M(x,y,z) S S l l q q q 圖21 體電荷、面電荷、線電荷的概念 (a) (b) (c) 1. 體密度2. 面密度3. 線密度0,limssqx y zs 0,limllq

2、x y zl 0,limqx y z 4. 點(diǎn)電荷)()(rrQrQdrrQdr)()(二、電荷密度二、電荷密度2.2 2.2 庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律 文字表述文字表述在真空中，兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的作用力，與這兩個(gè)電荷的電量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個(gè)電荷的連線上，兩電荷同號(hào)為斥力，異號(hào)為吸力。 數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 1）來(lái)自實(shí)驗(yàn)定律的表達(dá)式 x y z 真空中的兩個(gè)點(diǎn)電荷 1r2rO12F21F1Q2QRRRQQkRRQQkF22312121/CNm10910988. 82299kRR/RR R一、庫(kù)侖定律一、庫(kù)侖定律2 2）電磁學(xué)通用表達(dá)式）電磁學(xué)通用表達(dá)式通常將系

3、數(shù) 記為其中稱為真空電容率或真空介電常數(shù) 于是120918.8538 10/3610F mk014k1121232200Q QRQ QRF4R4R3 3）庫(kù)侖定律符合牛頓第三定律）庫(kù)侖定律符合牛頓第三定律 二、靜電力的疊加原理二、靜電力的疊加原理 311NNijijiijjj0ijj ij iQ QRFF4R數(shù)學(xué)表達(dá)式例題例題2.12.1解：利用疊加原理 三個(gè)點(diǎn)電荷的力 x y z 3(1,0,1)P6110Q1(1,1,0)P634 10Q 628 10Q 2(0,1,1)P1F12F13F1212Rrrxz12121230122143.6 10()2QQFRRxzN 1313Rrryz21

4、31312301311.8 10()42QQFRyzNR 211213103.61.81.82FFFxyzN y2.3 2.3 電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度 2. 2. 電場(chǎng)力的本質(zhì)電場(chǎng)力的本質(zhì)一個(gè)電荷的電場(chǎng)作用在另一個(gè)電荷上的力。一、電場(chǎng)一、電場(chǎng)1. 1. 法拉第的場(chǎng)的觀點(diǎn)法拉第的場(chǎng)的觀點(diǎn) 3. 3. 電場(chǎng)的物質(zhì)性電場(chǎng)的物質(zhì)性1）電場(chǎng)是伴隨著電荷而生的一種特殊物質(zhì)。 2）電場(chǎng)沒(méi)有可見(jiàn)的形態(tài)，但其具有可以被檢測(cè)的運(yùn)動(dòng)速度、能量和動(dòng)量，占有空間。 3）場(chǎng)和實(shí)物是物質(zhì)存在的兩種不同形式。 電荷在其周圍空間產(chǎn)生電場(chǎng)這種物質(zhì)，當(dāng)其它帶電體的電荷處于這個(gè)電場(chǎng)之中時(shí)，就會(huì)與該電場(chǎng)作用而受力。Q2 Q 3

5、Q 4 Q n Q F2F3F4FnF二、電場(chǎng)強(qiáng)度二、電場(chǎng)強(qiáng)度1. 1. 電場(chǎng)強(qiáng)度的引入電場(chǎng)強(qiáng)度的引入Q2 Q3 Q4 Qn QF2F3F4FnFA點(diǎn)：(/)AFQ表明：表明： 是一個(gè)大小和方向都確定的值，與試驗(yàn)電荷本身電量的大小和符號(hào)無(wú)關(guān)。B點(diǎn)： 比值 是另外的一個(gè)確定值(/)BFQ 可見(jiàn)， 是一個(gè)反映電場(chǎng)空間各點(diǎn)性質(zhì)的物理量，我們將其記作 ，稱為電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度。/FQE0limQFEQ 單位：牛頓/庫(kù)侖(N/C) 伏特/米(V/m) 物理意義： 電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)矢量函數(shù)，它逐點(diǎn)描述了電場(chǎng)空間的性質(zhì)。FQE用電場(chǎng)強(qiáng)度表示電場(chǎng)力：定義式2. 2. 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)320044QRQRE

6、RR304Q QRFR試驗(yàn)電荷 在場(chǎng)源點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中所受的庫(kù)侖力為Q于是，點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度表示為3101( , , )4NiiiiRE x y zQR3. 3. 電場(chǎng)的疊加原理電場(chǎng)的疊加原理iR其中 代表自Qi 到P (x, y, z)點(diǎn)的相對(duì)位置矢量 1）離散電荷系統(tǒng) 如果真空中有N個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2、QN，則任意場(chǎng)點(diǎn)P (x, y, z) 處的總電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和2）連續(xù)電荷系統(tǒng)體電荷體電荷的電場(chǎng) , ,P x y zq,M x y z330011( )( ) 44RRdE rqrdRR 微元電荷總場(chǎng)強(qiáng)301( )( )( )4RE rdE rr dR SSq

7、q, ,P x y z, ,P x y z,M x y z,M x y zll面電荷、線電荷的電場(chǎng)面電荷301( )( )4sSRE rr dSR( )sdqr dS線電荷301( )( )4llRE rr dlR( )ldqr dl22 1/2Rrx求：圓面電荷軸線上的電場(chǎng)r x x P a dr RdEdrdEdE204sdrrdrddERRdrExdE2200cos4srdrdxR22 3/202sxrdrxrx22 1/2012()sxxax22 3/2002asxrdrExrx4. 4. 例題例題2.32.3面積微元的電場(chǎng)其中圓環(huán)的電場(chǎng)圓面的電場(chǎng)解：22 1/2/0 lim12()s

8、a xxExax221/2/001lim12(1)2ssaa xxx x02sEn 討論：1） x a 的情況 這與點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式一致。可見(jiàn)，只要a / x足夠小，就可以把帶電圓面視為點(diǎn)電荷。 這個(gè)結(jié)論表明，帶電體能否被看作點(diǎn)電荷，不在于其本身絕對(duì)尺寸的大小，而在于其線度與它到場(chǎng)點(diǎn)的距離相比是否足夠小。22011122 ()saxx2.4 2.4 電力線與電通量電力線與電通量 一一. .電力線電力線 1定義：定義： 電力線是充滿電場(chǎng)空間的一個(gè)假想曲線族，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向平行，曲線的疏密與場(chǎng)強(qiáng)的大小成正比。 333222111EduhEduhEduh3性質(zhì)：性質(zhì)： 電力

9、線發(fā)自正電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），止于負(fù)電荷（或無(wú)窮遠(yuǎn)），不形成閉合回線，在無(wú)電荷處不中斷。 任何兩條電力線不會(huì)相交。這說(shuō)明靜電場(chǎng)中每一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只有一個(gè)方向。2.微分方程微分方程 電力線實(shí)質(zhì)上就是矢量分析中所介紹的矢量線，其微分方程為 a. 正點(diǎn)電荷 圖29 幾種常見(jiàn)電場(chǎng)系統(tǒng)的電力線圖 b. 負(fù)點(diǎn)電荷 d. 異號(hào)面電荷 c. 兩個(gè)正電荷 4幾種常見(jiàn)電荷系統(tǒng)的電力線幾種常見(jiàn)電荷系統(tǒng)的電力線 二二. 電通量電通量 1電通量密度電通量密度單位：庫(kù)侖/米2(C/m2)，與電荷面密度的單位相同。0DE方向：在真空中， 與 方向處處相同，模值相差0。DE定義： 稱為（真空）電通量密度(也稱作電位移矢量)D2電通量

10、電通量定義：電場(chǎng)中任意點(diǎn)處矢量面元與該點(diǎn)電通量密度矢量的點(diǎn)積，叫作此面元所通過(guò)的電通量，記作其中為面元法線與矢量的夾角單位：電通量是標(biāo)量，單位是庫(kù)侖（C），與電荷單位相同。cosdD dSDdS 如果S為一閉合曲面，則S上通過(guò)的電通量可以寫成cosssD dSDdS 討論：/2（即 與 指向曲面的兩側(cè)）時(shí)， 為負(fù)， ddDDn n D n D s ds 圖210 通量的符號(hào) M n s ds M (a) (b) 由于閉合曲面一般都規(guī)定其面元法線指向外，因此，若 0 稱有電通量“流出”閉合面； a的區(qū)域內(nèi)在r a 時(shí)取“”，r a 時(shí) r a 時(shí) 利用電位定義式求U討論：討論：當(dāng)電荷以面密度分布

11、時(shí)，電荷面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度是不相等的，而兩側(cè)的電位卻是連續(xù)的，這一結(jié)論對(duì)于面電荷兩側(cè)的電場(chǎng)和電位具有普遍意義。24aQs 21rE rU1 r a o o EU, a R zd ),(zrP 2L 2L z r z o (a) 求: (a) 此線電荷產(chǎn)生的任意點(diǎn)電位。 (b) 當(dāng)L時(shí)，任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。例例2.10 真空中長(zhǎng)度為L(zhǎng)的線電荷與z 軸重合且電荷沿線均勻分布，電荷密度為 l解: (a) 設(shè)線電荷L的中點(diǎn)為原點(diǎn)，L 所在直線為z軸建立柱坐標(biāo)系 利用疊加原理2/2/2202/2/2/2/2200| ) () (ln4) ( 4 4LLlLLLLllzzrzzzzrzdRzdU2222

12、0)()()()(2222ln4zLrzLzLrzLl 電荷元ldqdz22220222222222201122limln4112211112222limln4/()()()()()() ()() lLlLzrzLLLUzrzLLLzrzzrzLLLLLLrLrLlLln2lim0(b)當(dāng)L時(shí) 這表明，當(dāng)場(chǎng)源電荷延伸至無(wú)限時(shí)，直接應(yīng)用無(wú)限遠(yuǎn)參考點(diǎn)的電位積分式將出現(xiàn)電位發(fā)散的結(jié)果。 改進(jìn)：將參考點(diǎn)選在有限遠(yuǎn)的某一點(diǎn)上。 0z 0 P 0r r z y z P P 0P (b) o (b) 解法解法1 利用電位定義求解利用高斯定律利用電位定義式無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng) rrEl02選取有限遠(yuǎn)點(diǎn) 為參考點(diǎn)

13、),(0000zrP02PPPPUE dlE dlCrrrlll1ln2ln21ln20000積分路徑0PPPPPPdlr0PPdlPPdlz只有 段 ，所以PP0E dl (b) 解法解法2 利用有限長(zhǎng)度線電荷的結(jié)果求解U選取有限遠(yuǎn)點(diǎn) 為參考點(diǎn)),(0000zrP00000000ln21ln2ln2limln2limln2lim00rrrrrLrLUUUUlllLlLlLPPPP利用電位定義式，可求得電場(chǎng)強(qiáng)度rrrrrrrrrUElll000021ln2ln1ln2)()(當(dāng)r = r0時(shí)，上式等于零，可見(jiàn)這里 是電位參考點(diǎn)。 ),(0000zrP2.8 2.8 電位的泊松方程和拉普拉斯方程

14、電位的泊松方程和拉普拉斯方程1、靜電場(chǎng)的微分方程、靜電場(chǎng)的微分方程泊松（Poison）方程拉普拉斯（Laplace）方程在= 0 的無(wú)電荷區(qū)域內(nèi)，Poison方程變?yōu)長(zhǎng)aplace方程02 UUE根據(jù)電位定義式)(0E高斯定律02 U得到泊松方程2、例題、例題2.11解：在所求區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足Poison方程 0022dxUd對(duì) x 兩次積分，得 212002CxCxU代入邊界條件00,0VUUaxx 兩個(gè)無(wú)限大平面 x = 0 和 x = a 之間均勻填充體密度為 的電荷，已知 ，求兩平面間任意點(diǎn)的電位和電場(chǎng)。 000,0VUUaxx0,220001CaVaC求得待定常數(shù) xaVaxU)

15、(00020022所以，電位分布 )(000002aVaxxdxdUxUE電場(chǎng)強(qiáng)度 2.9 2.9 電偶極子電偶極子 一對(duì)等值異號(hào)點(diǎn)電荷相距一微小距離所構(gòu)成的電荷系統(tǒng) 。1、定義、定義2、電偶極子的（遠(yuǎn)區(qū)）電位、電偶極子的（遠(yuǎn)區(qū)）電位 1R 2R 圖222 電偶極子的電位 -Q Q y r o x z ),(rP 012114()QURR2/1221cos)2/(l rlrR1/2111(1cos )lRrr111(1cos )2lRrr應(yīng)用疊加原理展開(kāi)204cosrlQU211(1cos )2lRrr同理因此3、電偶極矩、電偶極矩引入一個(gè)矢量，模值為p = Ql，方向由Q指向Q lQl lQ

16、l pp302044cosrrprpU)sincos2 (4130)(rrpUrrUrUE電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度 電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位 電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電位和電場(chǎng)分別與 r2 和 r3 成反比。因此，其位和場(chǎng)隨距離 r 的下降速度比單個(gè)點(diǎn)電荷更為迅速，這是由于兩個(gè)點(diǎn)電荷Q 和Q 的作用在遠(yuǎn)區(qū)相互抵消的緣故。 圖223 偶極子的電場(chǎng)和電位 cos12Cr 22sinCr 4、等電位面和電力線、等電位面和電力線等電位面電力線CrpU204cos210coscos4prCC233222111FduhFduhFduhEdrEdrrsincos2drdr22sinCr令則球坐標(biāo)系中代入電場(chǎng)分量表達(dá)式所以，電力線方程為350)(341RpRRRpE5、不依賴坐標(biāo)系的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式、不依賴坐標(biāo)系的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式304RRpUR是電偶極子中心指向場(chǎng)點(diǎn)P 的相對(duì)位置矢量 6、均勻外場(chǎng)中的電偶極子、均勻外場(chǎng)中的電偶極子電位電場(chǎng)強(qiáng)度o +Q-Q F Fo r rlE r rEQFEQFEplQElFTsinsin2sin2EpT電偶極子中心所受的合力為零而所受力矩矢量形式：轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)是力圖使偶極矩與外場(chǎng)方向一致 例2.12 在均勻外電場(chǎng)中，放置一個(gè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的電偶極子，試求零電位面的曲面方程和此面上的電場(chǎng)強(qiáng)度。 Ep z解：（1）求零電位面方程勻強(qiáng)電場(chǎng)