化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更 是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué) 問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。一般 總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求 解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題?？傊瘹w在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化 成直觀，含糊化成明朗。說到底，化歸的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及 事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換

2、轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代 入法以及化動為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想?！娟P(guān)鍵詞】化歸思想 化歸原則 化歸模式化歸方法匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎彼得在他的名著無窮的玩藝中，通過一個十分 生動而有趣的笑話，來說明數(shù)學(xué)家是如何用化歸的思想方法來解題的。 有人提出 了這樣一個問題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水， 應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放在 煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答，但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？”這時被提 問者一定會大聲而

3、有把握地回答說：“點燃煤氣，再把水壺放上去。”但是更完善的回答應(yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會回答：只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了。一、化歸思想遵循的原則：化歸思想的實質(zhì)就是在已有的簡單的、 具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未 知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)劃 為常規(guī)，從而解決各種問題。因此，應(yīng)用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：1 .數(shù)學(xué)化原則即把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識找到 解決問題的方法。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利 用數(shù)學(xué)知識解決生活

4、中的各種問題，課程標準特別強調(diào)的目標之一就是培養(yǎng) 實踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。2 .熟悉化原則即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。 人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是一個不斷面 對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種 程度上說，這種轉(zhuǎn)化過程對學(xué)生來說既是一個探索的過程， 又是一個創(chuàng)新的過程； 與課程標準提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會把陌 生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。3 .簡單化原則即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 對解決問題者而言，復(fù)雜的問題未必都 不會解決，但解決的過程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡

5、單的問題， 尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。4 .直觀化原則即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。數(shù)學(xué)的特點之一便是它具有抽象性。有 些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問題，或者借助 直觀手段，比較容易分析解決。二、實現(xiàn)化歸思想的教學(xué)條件中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多問題都需要用化歸的思想方法去來解決， 化歸思想 在數(shù)學(xué)的學(xué)與教中的作用是不容置疑的， 化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一種非常重要 的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過程中我們應(yīng)該怎樣做呢？實現(xiàn)化歸又需要些什么條件呢？1 .夯實基礎(chǔ)，完善知識結(jié)構(gòu)扎實的基礎(chǔ)知識以及完整的知識結(jié)構(gòu)是實現(xiàn)化歸的前提， 數(shù)學(xué)優(yōu)生與差生區(qū) 分的本質(zhì)區(qū)別就是基礎(chǔ)知識和知

6、識結(jié)構(gòu)掌握的程度不同， 在教學(xué)過程中，夯實基 礎(chǔ)、完善知識結(jié)構(gòu)我們可從這樣做起：(1)重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，為尋求化歸目標奠定基 礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似的反應(yīng)，從廣義上說，從基本概念到公式、運算系統(tǒng)、方程求解法都是數(shù)學(xué)模型。3像集合、函數(shù)、異面直線、 二面角這些可以叫做概念數(shù)學(xué)模型；圓 x2 y2 r2橢圓2 222 1、雙曲線今 41、拋物線y2 2px可以叫做方程模型等。從狹a ba b義上說， 只有那些反映特定問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才成為數(shù)學(xué)模型。例如， 我們稱一次函數(shù)是勻速直線運動的數(shù)學(xué)模型，二次函數(shù)是拋物線運動的數(shù)學(xué)模型。而數(shù)學(xué)模型方法是指

7、利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一種方法。從某一方面可以這樣講，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實際上是一種數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。建立模型是實現(xiàn)問題規(guī)范化，程序化， 應(yīng)用模型即是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的過程。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該注意：首先要注重數(shù)學(xué)模型構(gòu)造的過程。中學(xué)教材非常重視知識的產(chǎn)生、發(fā)展和運用過程。數(shù)學(xué)模型同樣有其生動背景、實際原型、構(gòu)建與運用過程，在教學(xué)中，要引起足夠的重視。一般來說，根據(jù)實際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的步驟有以下幾點：a. 掌握客觀對象的豐富資料和有關(guān)數(shù)據(jù)；b. 確定所研究問題的系統(tǒng)在實際中，一般對一個問題可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，這就需要我們在實踐中不斷探索，找出最好的模型。其次， 要注重數(shù)學(xué)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，

8、人們可以利用數(shù)學(xué)的有關(guān)思想模型去解決生活中實際問題。為了能夠使學(xué)生真正掌握和運用數(shù)學(xué)知識解決生活中實際問題，務(wù)必注重數(shù)學(xué)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，以致培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)造、運用數(shù)學(xué)模型的能力。在中學(xué)數(shù)學(xué)實際教學(xué)中，應(yīng)該注意：a 注意數(shù)學(xué)概念、公式與實際原型的關(guān)系c. 提高利用數(shù)學(xué)模型法解決數(shù)學(xué)問題的能力d. 數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換e. 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型原型，以解決純數(shù)學(xué)問題(2) 養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣，為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ)。其實很多時候差生非普通題無頭緒，源于他們頭腦中沒有系統(tǒng)的知識體系。所以教學(xué)過程中，務(wù)必注重培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)知識，讓他們對知識有個系統(tǒng)的掌握。(3) 完善知識結(jié)構(gòu)，為尋求化歸方向奠

9、定基礎(chǔ)。在日常教學(xué)中，要注重幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)，可以從做好小結(jié)，勾畫知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)圖起。2. 培養(yǎng)化歸意識，提高轉(zhuǎn)化能力(1) 精心設(shè)計合理化解題目建議，培養(yǎng)學(xué)生化歸意識波利亞堪稱世界數(shù)學(xué)解題的旗幟，他深知數(shù)學(xué)中化未知為已知、化繁為簡、化新為舊、化難為易等方法的普遍意義。怎樣解題？怎樣誘發(fā)靈感？在波利亞看來解題的過程就是不斷變更題目的課程。 他說：“解題的正確要靠正確思路的選 擇，要靠從接近他的方向去攻擊堡壘， 為了辨別哪一條思路正確，哪一個方向可 接進它，就要試探跟中方向和各種思路，就要變更題目。(2)明確轉(zhuǎn)化原理，把握轉(zhuǎn)化策略數(shù)學(xué)是一個有機的整體，它的各部分之間是相互聯(lián)系、相互依存、相互滲

10、透 的。以便形成縱橫交錯的立體空間，我們在對數(shù)學(xué)問題的研究時，時常運用這些 聯(lián)系對問題進行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，讓它變成簡單的、熟悉的問題。要完成轉(zhuǎn)化，首先一 定要明確轉(zhuǎn)化的一般原則方法，并通過典型的例題加以鞏固練習(xí)。(3)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維，提高轉(zhuǎn)化能力聯(lián)想是一種由此及彼的思維活動。在解決問題的時候，聯(lián)想是我們思考的基本方 法，新知識的學(xué)習(xí)中，聯(lián)想與其有關(guān)的舊知識，可以提高學(xué)習(xí)的效率， 解題過程中，從一個問題聯(lián)想到另一個問題是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的基本途徑，這樣便從思維上進行了遷移，也可以對思維進行創(chuàng)新。數(shù)學(xué)解題過程從某種意義上講是已知 和未知的知識聯(lián)想過程，通過聯(lián)想找出新舊知識之間的關(guān)系，從而找到解題的思 路。三、

11、化歸的一般模式：1 .數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化例如計算某個算式得出數(shù)值；化簡某個解析式得出結(jié)果；變形所給出的方程 求解；變形所給的不等式求出解集以及函數(shù)、方程、不等式之間的互相轉(zhuǎn)化等等。2 .形與形之間的轉(zhuǎn)化。比如利用圖象變換的知識作出函數(shù)圖象；利用分割、補形、折疊、展開，作 輔助線，輔助面處理空間圖形或平面圖形等等。包括把立體問題化歸為平面問題。3 .數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化主要是依據(jù)函數(shù)與其圖象的關(guān)系；復(fù)數(shù)及其運算的幾何意 義；以及解析幾何中曲線與方程的概念等等進行轉(zhuǎn)化。4 .實際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，是對客觀事物的某些屬性的一個近似 的反映，但對解決

12、實際問題而言，數(shù)學(xué)模型卻是深刻，正確、完善地反映著現(xiàn)實。 因此，把所考察的實際問題，化歸為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù) 學(xué)模型的研究，使實際問題得以解決，充分地體現(xiàn)了 “用數(shù)學(xué)”的意識和能力。化歸思想方法的主要特點是它的靈活性和多樣性。一個數(shù)學(xué)問題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多 樣。所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，就沒有一個統(tǒng)一的模式可 以遵循。因此，我們必須根據(jù)問題本身提供的信息，利用動態(tài)的思維，具體問題 具體分析，去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法。四、在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用化歸思想方法解題應(yīng)注意三個點：1 .注意緊盯化

13、歸目標，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應(yīng)包括化歸的對象、化歸的目標、以及化歸的方法、 途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實施應(yīng)有明確的對象、設(shè)計好目標、選擇 好方法。而設(shè)計目標是問題的關(guān)鍵。設(shè)計化歸目標時，總是以課本中那些基礎(chǔ)知 識、基本方法在應(yīng)用上已形成固定的問題（通常稱為規(guī)范性問題）為依據(jù)，而把 要解決的問題化歸為成規(guī)律問題（即問題的規(guī)范化）?；瘹w能不能如期完成，與 化歸方法的選擇有關(guān)，同時還要考慮到化歸目標的設(shè)計與化歸方法的可行性、有 效性。因此，在解題過程中，始終必須緊緊盯住化歸的目標，即始終應(yīng)該考慮這 樣的問題：怎樣才能達到解原問題的目的。 在這個大前提下，實施的化歸

14、才是卓 有成效的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同。例4已知儀戶u （0,2），且血csca;= co$（a十十戶?？债?dāng)回戶取最大2 2值時.求電g十戶）值分析我們不妨將解題目標分解為求出也應(yīng)用血三角式表示）;（2）救群?的值0藻后來皚（煌十田.解，, sin csca:= cosfa-F 6:如） = cos（ar+ 切，御化弦）sin Of即sin產(chǎn)= sin ar十囪（分式化整式） =sin acos mcqs 3一 sin 2 Gsin E用和角公式） 于是農(nóng)戶=sinsin J （產(chǎn)生幅協(xié)解曲g#= S9涪=”的代捌1 -Pfiill a 2 Siti t6S： a=E ，電

15、型狎二元均值不等式求最大值）=當(dāng)如7 + 1 2居%14當(dāng)獨 = 1,即坨”在時忠尸取得最大值土匕時：2 4坦a+阻聲號十手下g（a+ P）=e廣=42.1一應(yīng)魔巖戶1 一冬半說明解題猶如打仗，需要沖破道道難關(guān)，直奔解題目標，而盯住目標，求 什么就解什么，有助于最終形成解題思維鏈。2.注意轉(zhuǎn)化的等價性，保證邏輯上的正確化歸包括等價化歸和非等價化歸，在中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸多為等價化歸，等價 化歸要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的， 又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果 為原題的結(jié)果。例5解不等式log尸-2七21叫工-15二口。學(xué)1)(199用高考理科) 分析本題基本解題思路是把原不等式等價地轉(zhuǎn)化為代數(shù)不

16、等式維 在轉(zhuǎn)化的過程也特別要注意1二次根式必須有意義卻被開方數(shù)為非負數(shù)2不等式兩邊都是非負時才可同時平方 工真數(shù)大于。3晦口工-2之0(1)解:原不等式等價于引河J- 2七符-哽2班i-10由得:1%工用由(2)得：log也犬 ：或1陷丘三？ 1由得：儂/42 3由此得：-Ek*旦口工,二：或1。2也工13 4當(dāng)Q 時所求的解集是卜W X 鼻工卜匯|才 琮)*3i 當(dāng)01時,所求的解集是1|父天二十2卜|0 V汗a3.注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設(shè)計合理的轉(zhuǎn)化方案在轉(zhuǎn)化過程中，同一轉(zhuǎn)化目標的達到，往往可能采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方法。因此研究設(shè)計合理、簡捷的轉(zhuǎn)化途徑是十分必要的，必須避免什么問題都死搬硬 套，

17、造成繁難不堪。例6求證:時任一矩形4總存在一個矩形人使得矩形H與營的周長比與面枳比都 等于常數(shù)狀上之D分析網(wǎng)這一前為復(fù)雜的問題上口果僅從問題本身出發(fā)，無疑要用幾何方法來證 如果這恃做,試的結(jié)果會讓人大失所里,現(xiàn)改用代數(shù)萬法證明口假如設(shè)矩形A B的長寬分別是事上做F為證明滿足要求的矩形B存在，只要證明方程組=有正實數(shù)解即可這樣從方法的轉(zhuǎn)換到目標的轉(zhuǎn)換,便使原問題xy = fcab變得簡單多了證明 設(shè)矩形刃田的長寬分別是見b及工則依題意列出r力+尸可g+，砂= kab.由韋達定f里的逆定理知Mjr是方程1-找占!5X*止岫二麓兩個正實根.,k之L且q O,b 0,A = jta(cc+i)a- A

18、kab 之七“曰十協(xié)工-Aab = 4 3 -b產(chǎn)之 U從而上述二次方程有兩個實根0和J由韋達定理A + = Jb(t3 +A) 0. 1= kab 0,故白 。，飛。，即證得了原命題，說明這個例子說明設(shè)計合理轉(zhuǎn)化方案的重要性，目標的轉(zhuǎn)換與方法轉(zhuǎn)換是 相輔相成又互相制約的，但其目的卻是一致的，那就是通過化歸達到以簡馭繁的 最終目的。W 某商店進貨每件5。元.據(jù)市場調(diào)查，銷售價格(每件I元)在50 R 50)(a-40)2 者 理科 近50)十黑十20當(dāng)且僅當(dāng)工-5。二工L,即釬60包5。,呢時必有最大值，即y取最大值一a - 50說明:本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的多樣性。最省、最多、最低、最大等最值問題， 在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，在近年高考中，幾乎年年都涉及到。此