(完整word版)新北師大版八年級下冊《三角形的證明》

1、三角形的證明【知識點一：全等三角形的判定與性質(zhì)】1.判定和性質(zhì)一般二角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS具備一般二角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等2.證題的思路:|找夾角（SAS）已知兩邊 找直角（HL ） j找第三邊（SSS）若邊為角的對邊，則找任意角,已知一邊一角"名八八、我已:哧另二邊 邊為角的鄰邊 個找已知邊的對角（、找夾已知邊的另一5田行找兩角的夾邊（ASA）已知兩角 找任意一邊（AAS ）【典型例題】1 .用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如圖

2、所示，則能說明/A. SSSB. ASAC . AASD .角平分線上的點到角兩邊距離相等2 .卜列說法中，正確的是（）(AAS )(SAS )AAS )角(ASA )AOC = / BOC的依據(jù)是()A.兩腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等C.兩銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等口圖. ABCAADE.若/ B=80°. / C = 300 川BB.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.面積相等的兩個三角形全等0. /DAC=350.7則/EAC的度數(shù)為（）A. 40 °B.4.已知：如圖，在 MPN中，35°C. 30。D. 25。 AEH是高MQ和NR的交點，且

3、 MQ=NQ.求證：HN=PM.第3頁共20頁M5.用三角板可按下面方法畫角平分線：在已知/AOB的兩邊上，分別取 OM = ON (如圖57),再分別過點 M、N作OA、OB的垂線，交點為 P,畫射線OP,則OP平分/ AOB,請你說出其中的道理. EDB叁 EDC ,則/ C的度數(shù)為A. 15°B. 20°C, 25°3 .如圖，已知 ABC的六個兀素，則下面甲pA.甲和乙B.乙和丙4 .如圖 49,已知 AABC AA'B'C', AD、(1)請證明 AD = A'D'(2)把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龀鰜恚?3)你還能得出其

4、他類似的結(jié)論嗎？D- 305EC、乙、丙二個三角形中，和ABC全等的圖形是 () zfC.只有乙D.只有內(nèi)/A'D'分別是AABC和M'B'C'的角平分線."°CDfC'2.如圖，在 ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點，若 ADB叁 人圖5 7【鞏固練習(xí)】1 .下列說法正確的是()A. 一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等B.斜邊相等的兩個直角三角形全等C.斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等D. 一邊長相等的兩等腰直角三角形全等5.如圖410,在 ABC中，/ ACB = 90°, AC=BC,直線l經(jīng)過頂點C,

5、過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF, E、F為垂足.（1）當(dāng)直線l不與底邊 AB相交時，求證：EF = AE+BF.圖 4- 10（2）如圖411,將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D,請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系. AD>BD; AD = BD; ADvBD.圖 4-11【知識點二：等腰三角形的判定與性質(zhì)】 等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）； 等腰三角形 三線合一 ”的性質(zhì)：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高

6、、中線也相等.【典型例題】1 .等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則這個等腰三角形的周長為（）A. 12B. 15C. 12 或 15D . 182 .等腰三角形的一個角是80°,則它頂角的度數(shù)是（）A . 80 °B . 80 ° 或 20 °C . 80 ° 或 50 °D . 203 .已知 ABC中，AB = AC=x, BC=6,則腰長x的取值范圍是（）A. 0v xv 3B. x> 3C. 3V xv 64 .如圖，/ MON =43 ° ,點A在射線OM 上，動點P在射線 ON上滑動，要使 AOP為等腰三角

7、形，那么滿足條件的點P共有（）A.1個B. 2個C. 3個 D.4個5 .如圖，在 ABC中，BO 平分/ ABC , CO 平分/ ACB , DE過。且平行于BC ,已知 ADE的周長為10cm, BC的長為5cm,求 ABC的周長.6、如下圖，在 ABC中，/ B=90°, M是AC上任意一點（M與A不重合）MD LBC,交/ ABC的平分線于點 D,求證：MD = MA.【鞏固練習(xí)】1 .如圖，已知直線 AB / CD , / DCF =110°且 AE=AF ,則/ A等于（）A. 30°B. 40°C, 50°2 .下列說法錯誤的是

8、（）A.頂角和腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等B.頂角和底邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等C.斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等D.兩個等邊三角形全等3 .如圖，是一個5X5的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1 .點A和點B在小正方形的頂點上.點C也在小正方形的頂點上.若 ABC為等腰三角形，滿足條件的C點的個數(shù)為（）A. 6B.7C. 8D.94 .如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的 平分線交于點E ,過點E作 MN / BC交AB于M ,交AC于N ,若BM +CN =9 ,則線段MN的長為（）第4頁共20頁A. 6B. 7C. 8A. 10B. 12.5C. 15

9、76;D, 20°5 .如 圖：E在 ABC的AC邊的延長線上，D點在 AB邊上，DE交BC于點F , DF =EF , BD = CE ,過 D作DG / AC交BC于G.求證：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.【知識點三：等邊三角形的判定與性質(zhì)】判定：有一個角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形;三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都是60°的三角形是等邊三角形；有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形.性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°.【典型例題】1 .下列說法中不正確的是（）A.有一腰長相等的兩個等腰三角形

10、全等B.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等C.斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等D.斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等2 .如圖，在等邊 ABC中，/ BAD =20° , AE=AD ,貝U / CDE 的度數(shù)是（）第25頁共20頁3、如右圖，已知 ABC和4BDE都是等邊三角形，求證： AE=CD.【變式練習(xí)】1.下列命題：兩個全等三角形拼在一起是一個軸對稱圖形；等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線直平分線為對稱軸的軸對稱圖形.其中錯誤的有（）A.1個B.2個C. 3個2 .如圖，AC=CD=DA = BC = DE .貝U / BAE 是 / BAC 的（）A. 4倍B.

11、 3倍C . 2倍D . 1倍3 .如圖，等邊 ABC的周長是9, D是AC邊上的中點，E在 長線上.若DE =DB ,則 CE的長為.4 .如圖，等邊 ABC中，點D、E分另I為BC、CA上的 兩點， 且BD =CE,連接 AD、BE交于F點，則/ FAE + / AEF的度數(shù) 是（）A. 60°B, 110°C, 120°D, 135°5 .如圖，已知：/MON=30°,點A1、A2、A3在射線ON上， B2、B3在射線 OM 上，ZXA1B1A2、 A2B2A3' AbB3A4均為 角形，若OA1=1 ,則4A6B6A7的邊長為（

12、）A. 6B. 12C. 32D . 646 .如圖，M、N點分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM （1）求證：/ BQM =60° ;（2）如圖，如果點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，D , 4個BCD£BC的延BC EAA1BDCoxWVA.°4 2AsAt= CN, AM、BN 交于點 Q.其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然所在直線；等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；一條線段可以看作是以它的垂成立？若成立，給予證明；若不成J7.如圖，C為線段BD上一點（不與點B,AD與BE交于一點F , AD與CE交于點1H ,說明理由.，二 圖

13、 圖 c,D重合），在BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE ,H , BE與AC交于點G.（1）求證：BE=AD;（2）求 / AFG 的度數(shù)；（3）求證：CG=CH.【知識點四：反證法】反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.【基礎(chǔ)練習(xí)】1、否定 自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反正假設(shè)為（）A. a、b、c都是奇數(shù)B. a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)C. a、b、c都是偶數(shù)D. a、b、c中至少有兩個偶數(shù)2、用反證法證明命題 主角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60。時，反證

14、假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60°B.假設(shè)三內(nèi)角都大于 60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于 60。D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于 60。3、證明：在一個三角形中至少有兩個角是銳角.【知識點五：直角三角形】1、直角三角形的有關(guān)知識.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2、互逆命題、互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題

15、，其中一個命題稱為另一個命題的 逆命題.互逆定理，其中一個定理稱為如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為 另一個定理的 逆定理.【典型例題】1、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假:3）如果 ab=0,那么 a=0, b=0;（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補;（4）在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等2 .使兩個直角三角形全等的條件是（）A. 一個銳角對應(yīng)相等B.兩個銳角對應(yīng)相等C. 一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等3 .等腰三角形的底邊長為6,底邊上的中線長為4,它的腰長為（）A. 7B. 6C. 5D . 44.如

16、圖，矩形紙片ABCD中，AB =4 , AD =3 ,折疊 紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG ,則AG的長為（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 2325.如圖，在 4ABC 中，/ C=90若CD =2 ,那么BD等于（A. 6B. 46 .如圖，在4 X4正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的 ABC則點A到邊BC的距離為（）C. 47 .如圖， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C, D三點在同一直線上，連接BD, AE,并延長AE交BD于F.（1）求證： ACE 9 BCD ;（2）直線AE與BD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論.8.如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙

17、中有一個 ABC , ABC的三個頂點均與小正方形的頂點重合.（1）在圖中畫 BCD ,使 BCD的面積= ABC的面積（點D在小正方形的頂點上）（2）請直接寫出以A、9.如圖，把矩形紙片ABCD(1)求證：B E = BF ;（2）設(shè)AE = a, AB = b, BF =c,試猜想a , b , c之間的一種關(guān)系，并給予證明.【變式練習(xí)】1 .利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A.已知斜邊和一銳角B.已知一直角邊和一銳角C.已知斜邊和一直角邊D,已知兩個銳角2.在 Rt ABC 中，/ C=90° ,AC =9 , BC =12 ,則點C到AB的距離是（

18、A.365B.12253.343.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角 直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2, 5, 1, 2,則最大的 的面積是.4,已知 RtA ABC 中，/ C=90° ,且 BC = 1AB ,則 / A 等于（）2形都是正方形EA. 30°B. 45C. 60°D.不能確定5 .已知：如圖，在 4ABC 中，/A=30°, Z ACB =90 求證：CD ± AB .,M、D分另1J為AB、MB的中點.6 .如圖，在5 X5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1 , / BCD是

19、不是直角？請說明理由.7.正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1.每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：(1)在圖1中，畫 ABC ,使 ABC的三邊長分別為3、2>/2、J5 ;(2)在圖2中，畫 DEF ,使 DEF為鈍角三角形且面積為2.【提高練習(xí)】1 .如圖.矩形紙片ABCD中，已知AD =8 ,折疊紙片使AB邊與對角線ACB落在點F處，折痕為AE ,且EF =3 .則AB的長為()A. 3B.4C. 5D. 6重合，點2.如圖，直線l上有三個正方形a, b, c,若積為()A. 4B. 6C. 16a,D .則b的面n23453 .張老師在一次 探究性學(xué)習(xí)”

20、課中，設(shè)計了如下數(shù)表:(1)請你分別觀察a, b, c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表不：a =, b =, c=;(2)猜想：以a, b, c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的 猜想.4 .如圖，AC = BC=10 cm , / B=15A. 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 6 cma22 132 142 152 1b46810c22+132+142+152+1,AD ± BC于點D ,則AD的長為()5 .如圖，在 ABC中，/ C=90° , / B=15° , AB的垂直平分線交 AB于E,交BC于 D , B

21、D=8 ,則 AC =6 .圖1、圖2分別是10 X8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1 , A、B兩點在小正方形的頂點上，請在圖1、圖2中各取一點C (點C必須在小正方形的頂點上)，使 以A、B、C為頂點的三角形分別滿 足以下要求：(1)在圖1中畫一個 ABC ,使 ABC為面積為5的直角三角形；(2)在圖2中畫一個 ABC ,使 ABC為鈍角等腰三角形.卻7 .已知，如圖， ABC為等邊三角形，AE = CD, AD、BE相交于點P.(1)求證： AEB 9 CDA ;(2)求/ BPQ的度數(shù)；(3)若 BQ，AD 于 Q, PQ=6, PE=2 ,求 BE 的長.【知識點六：線段的垂

22、直平分線】線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等?！镜湫屠}】1 .如圖，在 Rt ABC中，/ C=90° , / B=30° . AB的垂直平分線DE交AB于點D ,交BC于點E ,則下列結(jié)論不正確的是（）A. AE=BEB. AC=BEC. CE=DE1 _2 .如圖，在 ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于一AB2的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M , N,作直線MN ,交BC于點D ,連接AD .若 ADC的周長為1

23、0 , AB =7 ,則 ABC的周長為（）A. 7B. 14C. 17D . 203 .三角形內(nèi)有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的（）A.三條中線的交點B.三邊垂直平分線的交點C.三條高的交點D.三條角平分線的交點4 .如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超 市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A.在AC, BC兩邊高線的交點處B.在AC , BC兩邊中線的交點處C.在AC, BC兩邊垂直平分線的交點處D.在/A, Z B兩內(nèi)角平分線的交點處/ 戶-O5 .如圖，AD為/ BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M

24、,交AC于N ,試說明MD / AC .6 .如圖所示， ABC中，AB = AC , / BAC=120° , AC的垂直平分線EF交AC于點E,交 BC于點F.求證：BF=2CF.7 .如圖 所示，在 RtA ABC 中，/ ACB =90 ° , AC = BC , D為BC邊上的 中點，CE，AD于點 E, BF / AC交CE的延長線于點F ,求證：AB垂直平分DF .【變式練習(xí)】1 .如圖，在 Rt ABC中，/ B=90° , ED是 AC的 垂直平 分線，交AC于點D ,交BC于點E .已知/ BAE =10° ,則/ C的度數(shù)為（）A.

25、 30°B. 40°C. 50°D, 60°2 .如圖，在 ABC中，已知AC =29 , AB的垂直平分線交 AB于點D ,交AC于點E . BCE的周長等于50 ,則BC的長為（）A. 2lB. 22C. 23D . 243 .如圖，在 ABC中，DE垂直平分 AB , FG 垂直平分 AC ,BC=13cm,則AEG的周長為B. 13cmA. 6.5 cmC. 26 cm4 .已知：如圖， ABC的/ A> / ABC ,邊BC的垂直平分線 DE分另ij交AC,BC于D , E,則AD +BD與BC的關(guān)系是A.大于5 .如圖，A、B表示兩個倉

26、庫，要在A、B 一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等， 碼頭應(yīng)建在什么位置？你能畫圖說明嗎？圖1圖26 .如圖，在 ABC 中，AB = AC , D是 AB的中點，且 DE，AB , BCE的周長為8 cm,且 AC - BC =2 cm ,求AB、BC的長.【提高練習(xí)】1 .如圖，在 ABC中，DE垂直平分AB ,分另I交 AB、BC于D、E點.MN垂直平分AC ,分另交AC、BC于M、N點.(1)若/ BAC =100° ,求 / EAN 的度數(shù)；(2)若/ BAC =70° ,求 / EAN 的度數(shù)；(3)若/ BAC = a(aW90),直接寫出用a

27、表示/ EAN大小的代數(shù)式.3的B2 .如圖2,點D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點，/ A=35° ,則/ D等于（）A. 50°B. 65°C. 55°D, 70°3 .如圖3,在 ABC中，AB=a, AC = b, BC邊上 的垂直平分線DE交BC、BA分別于點D、E,則 AEC的周長等于（）A. a + bB. abC. 2a+bD. a+2b營4 .如圖有一塊直角三角形紙片，/ ACB =90 ° ,兩直角邊AC =4BC=8 ,線段DE垂直平分斜邊AB ,則CD等于（）A. 2B, 2.5C. 3D . 3.55

28、.如圖，/ ABC =50° , AD垂直平分線段BC于點D , / ABC平分線交AD于E,連接EC ;則/ AEC等于（）A. 100°B, 105°C, 115°D , 120°【知識點七：角平分線】角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心?！镜湫屠}】1 .如圖，/ POA = / POB , PD，OA 于點 D , PE，OB 于點 E , OP =13 ,OD=12 , PD=5 ,貝U PE

29、=(B. 12C. 5A. 132.三角形內(nèi)有一點，它到三邊的距離相等，則這點是該三角形的（）A.三條中線交點B.三條角平分線交點C.三條高線交點D.三條高線所在直線的交點3 .如圖，Rt ABC 中，/ C=90 ° , / ABC的 平分線BD交 AC于若CD =3cm,則點D到AB的距離DE是（4 .如圖，OP平分/ AOB , PA ± OA , PB ± OB ,垂足分別為 A ,下列結(jié)論中不一定成立的是（A. PA=PBB. PO 平分/ APBC. OA = OBD. AB垂直平分OP5.如圖，直線a、b、c,表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)擬建一個貨物中

30、轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的地址有（B.四處C.七處6.求作一點P,使PC =（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）7.（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）.設(shè)計了如下方案：（I ） / AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相 同的刻度與M、N重合，即PM = PN ,過角尺頂點P的射線OP就是/ AOB的平分線.（n ） / AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM =ON ,將角尺的直角頂點P介于射線OA、 OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM =PN ,過角尺頂點P的射線OP就是

31、/ AOB 的平分線.（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；（2）在方案（I ） PM =PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM，OA , PN，OB .此方案是否可行？請 說明理由.08 .如圖，AD為 ABC的角平分線，DE，AB, DF，AC ,垂足分別為E, F ,連接EF , EF交AD于點G、 試判斷線段AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.9 .如圖， ABC中，。是BC的中點，D是/ BAC 平分線上的一點，且 DO，BC ,過點D分別作 DM，AB于 M , DN，AC 于 N .求證：BM =CN .【變式練習(xí)】1 .如圖，OP平分/ MON , PA，ON于點A,點 Q是射線 OM上的個動點，若PA=2 ,則PQ的最小值為()A. 1B. 2C. 3D. 42 .如圖所示，點E是/ AOB的平分線上一點，EC ± OA , ED ± OB ,垂足分別是 C、D ,若 OE=