自控課件第四軌跡法

1、2022-4-2022-4-2424第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡一、參量根軌跡 前述以根軌跡增益K1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實(shí)際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K1為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡。 第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡增益K1的位置上。下面舉例說明參數(shù)演化和參量根軌跡的繪制方法。 2022-4-2022-4-2424【例例4-10】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)以試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。 解

2、：對(duì)給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：解：對(duì)給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：右式的特點(diǎn)：左邊寫成兩部分之和，右式的特點(diǎn)：左邊寫成兩部分之和，參變量參變量a a只包含在第二只包含在第二部分中，且是第二部分的一個(gè)單獨(dú)因子。部分中，且是第二部分的一個(gè)單獨(dú)因子。現(xiàn)用第一部分除現(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得：以方程兩邊，則得：4( )( )()G s H ss sa410()()40s sas sa240sa s第一部分第一部分 第二部分第二部分2104ass2022-4-2022-4-2424這是原系統(tǒng)特征方程的這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程等效特征方程，由此可得到一個(gè)等效的，由此可得到一個(gè)等效的開環(huán)傳遞

3、函數(shù)，用開環(huán)傳遞函數(shù)，用G*(S)H*(S)表示：表示：根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點(diǎn)和零點(diǎn)分布情況繪根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點(diǎn)和零點(diǎn)分布情況繪制制a a從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡，如圖從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡，如圖4-164-16所示。所示。等效的含義等效的含義僅在于其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)的原閉環(huán)極點(diǎn)相同，而閉環(huán)零點(diǎn)通常不同。*2( )( )4(2)(2)asasG s Hsssjsj2022-4-2022-4-2424圖圖4-16 4-16 例例4-104-10的參量根軌跡的參量根軌跡2022-4-2022-4-2424用Matlab繪制根軌跡：g=tf(1,0,1,

4、0,4) rlocus(g)圖圖4-17 4-17 例例4-104-10的參量根軌跡，的參量根軌跡，matlabmatlab繪制繪制2022-4-2022-4-24242022-4-2022-4-24242022-4-2022-4-2424 這種獲得等效特征方程及等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(S)H*(S)的方法，稱為黃金法則（Golden rule）。有時(shí)在同一個(gè)問題中，這個(gè)法則可適用多次。 對(duì)于具有兩個(gè)可變參數(shù)的情況，這一法則同樣適用，此時(shí)所得到的是根軌跡族。 例4-11說明了根軌跡族的繪制方法。2022-4-2022-4-2424【例例4-11，課本，課本P135】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求

5、以開已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點(diǎn)環(huán)極點(diǎn)a為連續(xù)可變參數(shù)，以為連續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。跡族。解：系統(tǒng)特征方程為：解：系統(tǒng)特征方程為： 或：或：應(yīng)用黃金法則，得：應(yīng)用黃金法則，得：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出求出G*（s）H*（s）的極點(diǎn)，即方程）的極點(diǎn)，即方程 的根，的根，1( )( )(1)()KG s H ss ssa12110(1)()(1)(1)0Ks ssassas sK21*21(1)10(1)(1)( )( )(1)as sssKas sG s HsssK21(1)0ssK2022-4-2022-4-

6、2424（確切地說是根軌跡，因?yàn)镵1為變量）。為了作出 的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則， 即有：從而得到另一個(gè)等效開環(huán)傳遞函數(shù)： 根據(jù)G1*(s)H1*(s),繪出不同K1值時(shí)的根軌跡，如圖4-18。在圖4-19中用虛線表示這個(gè)根軌跡圖。注意，這些虛線上的點(diǎn)就是G*(s)H*(s)對(duì)應(yīng)于不同K1值的極點(diǎn)，也就是按G*(s) H*(s)作出的根軌跡（當(dāng)a=0）的起點(diǎn)。 21(1)0ssK1210(1)Kss*12( )( )(1)KG s Hsss2022-4-2022-4-2424 這樣，給定一個(gè)這樣，給定一個(gè)K1值，即可按值，即可按G*(s)H*(s)描繪出描繪出a=0 時(shí)的時(shí)的一組根軌跡；給

7、定另一個(gè)一組根軌跡；給定另一個(gè)K1值，就得到另一組這樣的根軌值，就得到另一組這樣的根軌跡跡，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖4-19中實(shí)線所示。中實(shí)線所示。由圖可見，由圖可見，a=0時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)a增大至一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)增大至一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。變?yōu)榉€(wěn)定。0) 1(123Kassasa的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：10111231) 1(11KsaKaasKasas令令s s1 1行全為零，則系統(tǒng)穩(wěn)定的行全為零，則系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為臨界條件為K K1 1=a(a=a(a1)1)。 20

8、22-4-2022-4-2424圖圖4-18 4-18 的根軌跡的根軌跡圖圖4-19 4-19 根軌跡族根軌跡族2110s sK2022-4-2022-4-2424二、多回路系統(tǒng)的根軌跡二、多回路系統(tǒng)的根軌跡 根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適用于多回路系統(tǒng)。 繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：（1）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點(diǎn)分布。的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點(diǎn)分布。（2）由內(nèi)反饋回路的零、極點(diǎn)和內(nèi)回路外的零、極點(diǎn)構(gòu)成整）由內(nèi)反饋回路的零、極點(diǎn)和內(nèi)回路外的零、極點(diǎn)構(gòu)成整個(gè)多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極

9、點(diǎn)。再按照單回路根軌跡的基本個(gè)多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)。再按照單回路根軌跡的基本法則，繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。法則，繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌跡?！纠?-12】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-20所示，試?yán)L制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。 解：（1）首先確定內(nèi)回路的根軌跡2022-4-2022-4-2424圖圖4-20 4-20 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為：內(nèi)回路特征方程為：1( )2( )(1)(2)2C sR ss ssas(1)(2)20s ssas2022-4-2022-4-2424 繪制a變化時(shí)內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特征方程的根軌跡，需要根據(jù)D1(s)構(gòu)造一個(gè)等效系統(tǒng)，新系統(tǒng)的特征方程與D1（s）一樣，而參數(shù)a

10、相當(dāng)于開環(huán)增益，故等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為： 注意注意： 在繪制根軌跡時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中分子分母中若有相同因子時(shí)，不能相消，若有相同因子時(shí)，不能相消，相消后將會(huì)丟掉閉環(huán)極點(diǎn)。 1112( )( )(1)(2)(1)(2)a sasG s H ss sss ss2022-4-2022-4-2424 當(dāng)a變化時(shí)內(nèi)回路的根軌跡如圖4-21所示。 當(dāng)a1=2.5，a1.25時(shí)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點(diǎn)分別為 P1=0； P2,3=-l.5j1.5，此時(shí)內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 1( )2( )(1.51.5)(1.51.5)C sR ss sjsj2022-4-2022-4-2424（

11、2）繪制K變化時(shí)的多回路系統(tǒng)根軌跡 多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：按照前述繪制常規(guī)根軌跡的方法求出出射角、根軌跡與虛軸交點(diǎn)等，繪制根軌跡如圖4-22所示2212( )( )(1.51.5)(1.51.5)(1.51.5)(1.51.5)KG s Hss sjsjKs sjsj2022-4-2022-4-2424圖圖4-21 4-21 內(nèi)環(huán)根軌跡圖內(nèi)環(huán)根軌跡圖當(dāng)當(dāng)a a1 1為約為約2.52.5時(shí)，時(shí)，內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為P P1 1=0=0； P P2,32,3=-l.5=-l.5 j1.5j1.52022-4-2022-4-2424 當(dāng)當(dāng)a取取l.25，K6.25時(shí)，此時(shí)，此多回路系統(tǒng)

12、將有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)多回路系統(tǒng)將有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分布在右半分布在右半S平面，系統(tǒng)變?yōu)槠矫?，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。不穩(wěn)定。 繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根軌跡的方法：軌跡的方法：從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步擴(kuò)展到整個(gè)系統(tǒng)。擴(kuò)展到整個(gè)系統(tǒng)。圖圖4-22 4-22 多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)根軌跡2022-4-2022-4-2424三、 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對(duì)象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負(fù)反饋使之穩(wěn)定，但在利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)

13、行分析時(shí)必須求出正反饋回路的零、極點(diǎn)。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。2022-4-2022-4-2424三、正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡 圖圖4-23所示的局部正反饋回路所示的局部正反饋回路圖圖4-23 4-23 具有局部正反饋的系統(tǒng)具有局部正反饋的系統(tǒng) 10D sG s H s 特征方程特征方程 1sHsG根軌跡方程根軌跡方程正反饋部分正反饋部分研究正反饋部分，研究正反饋部分，2022-4-2022-4-2424其幅值條件和相角條件分別為： 與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比,可見繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條件發(fā)生了改變。 相角相角條件條件11()()21800, 1, 2

14、,mniiiiszspqq 111|1|miiniiKszsp幅值幅值條件條件2022-4-2022-4-2424 負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180o等相角條件，正反饋系統(tǒng)則是0o等相角條件。 所以通常稱負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡為180o根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡。 2022-4-2022-4-2424 根據(jù)正反饋的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時(shí)需對(duì)常規(guī)根軌跡中與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。 規(guī)則3：實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)偶數(shù)。 規(guī)則4：（n-m）條漸近線的傾角為：2180aqnma計(jì)算公式不變。計(jì)算公式不變。規(guī)則6：根軌跡的

15、出射角和入射角為：2022-4-2022-4-2424 出射角計(jì)算公式：出射角計(jì)算公式：入射角計(jì)算公式：入射角計(jì)算公式：112180()()kmnzkjkijij kqzzzp112180()()kmnpkjkijii kqpzpp2022-4-2022-4-2424【例例4-13】圖圖 4-24所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制其零度根軌跡。試?yán)L制其零度根軌跡。 解：（解：（1）開環(huán)極點(diǎn)）開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-2，有三條根軌跡起于，有三條根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。 （2）實(shí)軸上區(qū)間）實(shí)軸上區(qū)間-2，

16、-1和和0， 為根軌跡段。為根軌跡段。 圖圖4-24 4-24 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)1( )( )(1)(2)KG s H ss ss2022-4-2022-4-2424 （3）漸近線與實(shí)軸相交于-1點(diǎn)，傾斜角由傾角公式計(jì)算, 取q=0、1、2，得a=0o、120 o、240 o。（4）分離點(diǎn)的求法與負(fù)反饋情況完全一樣。在例4-5中已解出兩個(gè)分離點(diǎn)：S1=-0.423，S2=-1.577，并且已確定-0.423是負(fù)反饋情況下的分離點(diǎn)，這里可以確定-1.577是正反饋情況下的分離點(diǎn)。 最后得系統(tǒng)的根軌跡如圖4-25所示。2022-4-2022-4-2424由圖4-25可以看出：該系統(tǒng)在正反饋情況

17、下總存在一個(gè)正實(shí)根，因而該系統(tǒng)在正反饋情況下是不可能穩(wěn)定的。圖圖4-25 4-25 正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡2022-4-2022-4-2424【例4-14:課本P143】繪制圖 4-26所示具有正反饋內(nèi)環(huán)回路系統(tǒng)的根軌跡。解：首先繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡。內(nèi)環(huán)部分的特征方程為或設(shè)內(nèi)環(huán)的開環(huán)極點(diǎn)為圖圖4-26 4-26 具有正反饋內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)具有正反饋內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)22202022202nnnnnnssKKss21,21nnpj 2022-4-2022-4-2424根據(jù)規(guī)則根據(jù)規(guī)則6 6可知，由這一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的根軌跡的出射可知，由這一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的根軌跡的出射角為角為對(duì)內(nèi)環(huán)的特征方

18、程，求出對(duì)內(nèi)環(huán)的特征方程，求出dKdK0 0/ds/ds，得，得于是得到根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：于是得到根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為： S=-S=-n n 0021809090pq220ns2022-4-2022-4-2424 規(guī)則規(guī)則3指出指出:實(shí)軸上存在根軌跡的條件是其線段右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)為偶數(shù)?，F(xiàn)在該系統(tǒng)內(nèi)環(huán)在實(shí)軸上不存在開環(huán)零、極點(diǎn),所以根軌跡可以存在于全部實(shí)軸上。正反饋內(nèi)環(huán)回路的根軌跡如圖4-27（a）所示。 圖圖4-27 4-27 例例4-144-14系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡2022-4-2022-4-2424 由圖可見，隨著回路開環(huán)增益由圖可見，隨著回路開環(huán)增益K0的增大，閉環(huán)極點(diǎn)將從一的增大，閉環(huán)極點(diǎn)將從一對(duì)穩(wěn)定的復(fù)數(shù)極點(diǎn)逐漸成為兩個(gè)穩(wěn)定的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。對(duì)穩(wěn)定的復(fù)數(shù)極點(diǎn)逐漸成為兩個(gè)穩(wěn)定的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng)K0增到增到K0=1時(shí)，回路將有一個(gè)時(shí)，回路將有一個(gè)p=0的極點(diǎn)。如果使的極點(diǎn)。如果使K01，則回路就有位于則回路就有位于S平面右半部的實(shí)極點(diǎn)了。平面右半部的實(shí)極點(diǎn)了。 圖圖4-27 4-27 例例4-144-14系統(tǒng)的根軌跡