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1、空間向量與立體幾何單元練習(xí)題廣州市第十六中學(xué)吳平生、選擇題(每小題5分,共50 分)1.如圖,在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中,M為AC與BD的交點(diǎn).若A1B1 =a,ADi=b, AA=C,則下列向量中與BiM相等的向量是A. - 1 a+丄b+ C2 2B.小11C. 一ab+c222.下列等式中,使點(diǎn)M與點(diǎn)D.B、A. OM =3OA _2OB -OCB.丄a丄b+c2 2C定共面的是 11 - 1 OM =OA OB OC235C. OM +OA +OB +0C =0D.MA MB MC = 03.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中

2、點(diǎn),則EF DC等于B.C.D.4.若a =(1,,,2),b = (2,-1,1),a與b的夾角為60 0,則,的值為A.17 或-1B.-17C.-1D.15.設(shè)0A =(1,1,2), 0B =(3,2,8), 0C =(0,1,0)則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為A.2B.C.534D.536.下列幾何體各自的三視圖中,有且僅有兩個(gè)視圖相同的是4B A CD 2曰疋9 nI 0 nII n1 2 nA.9.如圖,在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,則 BC 與平面 BB1D1DE£所成角的正弦值為A.B.匕35C.衛(wèi)5D.衛(wèi)5D i '

3、;帕7. 右圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是A.B.C.D.俯視圖8. 如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤.的是A. BD /平面 CB1D1B. AC1 丄 BDC. AC1 丄平面 CB1D1異面直線AD與CB1所成的角為60°3#10. / ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是 A(1,_1,2) , B(5,_6,2), C(1,3,_1),則 AC 邊上的高 BD長(zhǎng)為A.5 B.C.4 D.2 . 5二、填空題(每小題5分,共20分)11.設(shè) a = (x,4,3) , b = (3, -2, y),且 a / b ,則xy12.已知向量

4、a = (0,1,1) , b = (4,1,0),+ b = <29且九>0,貝U人=13.在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A (-2 , 3),B (3, -2 ),沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為日的二面角后,這時(shí)AB =2/1 ,則二的大小為14.如圖,PABCD是正四棱錐,ABC D -A1B1C1D1是正方體,其中PAB =2, PA 一6,則 B!到平面 PAD的距離為/ ZID /|CAB/CiBi三、解答題(共80分)15. (本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正 方形,側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2,且PA與 AB AD的夾角都等于60°,

5、 M是PC的中點(diǎn),設(shè) AB =a, AD =b, AP =c (1) 試用a , b, c表示出向量bM ;(2) 求BM的長(zhǎng).16. (本小題滿分14分)如下的三個(gè)圖中,上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得 多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位:cm) . (1)在正視圖下面,按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;(2)按照給出的尺寸,求 該多面體的體積;(3)在所給直觀圖中連結(jié)BC ',證明:BC ' /面EFG.517.(本小題滿分12分)如圖,在四面體ABCD中,CB =CD , AD _ BD ,點(diǎn)E, F分別是AB, BD的中點(diǎn).求證:(1) 直線 EF

6、 II 面 ACD ;(2) 平面 E F C _ 面 BC D .18.(本小題滿分14分)如圖,已知點(diǎn)P在正方體ABCD - A'B'C'D'的對(duì)角線BD 上,/ PDA=60 .(1) 求DP與CC '所成角的大小;(2) 求DP與平面AA'D'D所成角的大小.DCC'619. (本小題滿分14分)已知一四棱錐PABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC 上的動(dòng)點(diǎn).(1) 求四棱錐P ABCD的體積;(2) 是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD 1AE ?證明你的結(jié)論;(3) 若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D AE B的大小.7#D20.

7、(本小題滿分14分)如圖,已知四棱錐P -ABCD,底面ABCD為菱形,(2)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成最大角的正切值為 一,求二2PA _ 平面 ABCD,. ABC =60 , E,F(xiàn) 分別是 BC,PC 的中點(diǎn).(1)證明:AE _ PD ;面角E AF -C的余弦值.空間向量與立體幾何單元練習(xí)題參考答案、選擇題1 1111. BN rB BM(BA BC)=6 ( a+b)= a+ b+c,故選 A.222 22. 由于 M、A、B、C 四點(diǎn)共面 :二 OM =xOA yOB zOC (x, y, z :二 R)且 x y z = 1.選項(xiàng)(A)、(B)、(C)都不正確

8、.由于 MA MB MC =0= MA 二-MB -MC所以存在 x = _1, y = 1,使 MA 二 xMB y MC . MA , MB ,MC 共面由于M為公共點(diǎn) .M、A、B、C四點(diǎn)共面,故選D.3. V E,F分別是AB , AD的中點(diǎn),.EF1 " 1 ”/ BD 且 EF BD , EF BD ,2 2一 一 1 EF DC BD21 DC = BD2DCcos::-BD , DC =丄 11 cos 120 02故選B.4.B5.B6.7. D8. D9. D10.由于阿卜AB-cos : AB , AC 七'AB AC=4,所以AC一I2BD =JAB

9、-AD2=5,故選A8#二、填空題11.912.313.作Ad x軸于C, BD丄x軸于D,貝U AB = AC CD DBI jDB cos(180 0_ V)= -6 cos 712 亠222AB=(AC 十 CD 十 DB )=AC +CD +V |ac| =3,|cd =5,|db =2, AC CD =0,CD DB =0, AC DB. 2 DB 2(AC CD CD DBDB AC ): 2 2 2.(211)=352齊木1,0尺002 2(0 -0 -6 cos V), . cos * =.由于 0_180,.門-120214.以A, B,為x軸,ADt為y軸,A, A為z軸建

10、立空間直角坐標(biāo)系#設(shè)平面PAD的法向量是m =(x, y,z).AD =(0, 2, 0), AP =(1,1, 2),二 y =0, x y 2z =0,取 z =1 得 m = (2, 0,1),#B! A =(2,0,2), B.到平面PAD的距離d =5#解答題915.解:(1)V M是PC的中點(diǎn), 1 一 一1 一一-BM (BC BP ) AD (AP - AB )2 21b - (c a)21 1 1 =一一a b c2 2 2(2)由于 AB = AD =1, PA =2,二 a = b = 1, c = 2#由于 AB 丄 AD ,NPAB =ZPADo=60a b = 0,

11、 a c = b c = 20cos 60=1#=】(_a b - c)241 2 2 2a 亠 b 亠 c 亠 2( _a.b_a 4 1由于 BM ( _a b c),2c - b c)=丄12 12 - 22 2(0 _1 - 1)42#-v 6二BM =,二BM的長(zhǎng)為216.解:(1)如圖、62/-1(2)所求多面體體積V2842(cm ).3(3)證明:在長(zhǎng)方體ABCD -ABC D 中, 連結(jié) AD ,則 AD/ BC因?yàn)镋, G分別為AA , A D沖點(diǎn),所以 AD / EG,從而 EG / BC .又 BC 二平面 EFG , 所以BC /面EFG .17.證明:(1)V E,

12、F分別是AB,bd的中點(diǎn), EF 是厶 ABD 的中位線, EF/ AD,2 ADu 面 ACD EF億面 ACD 二直線 EF/面 ACD(2)v AD 丄 BD EF/ AD,二 EF 丄 BDv CB=CD,F(xiàn) 是ED的中點(diǎn),二 CF 丄 BD 又 EFG CF=F,二 BD 丄面 EFCv BD =面 BCD 二面 EFC 丄面 BC D .1018.解:如圖,以D為原點(diǎn),D A為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系D -xyz .貝 U DA =(1,0,0), CC =(0 ,0,1).連結(jié) BD, B D r . 在平面BB D D中,延長(zhǎng)D P交B D 于 H .由 D A D H 二 D

13、A DH設(shè) D H =(m, m,1)(m . 0),由已知:DH ,DA =60 ,D H cos cDA,DH ,可得 2m =2m解得m =,所以D H2=I ,1.t、»(D 因?yàn)?cos : DH ,CC = 21八'2所以:::DH ,CC=45,即DP與CC 所成的角為45(2)平面AA D D的一個(gè)法向量是DC =(0,1,0).CAx020 1 1 .2V2=?2Cy因?yàn)閏os : D H ,D C :=.2 . 20 11 02所以:::DH ,DC =60,可得D P與平面AA D D所成的角為3019.解:(1)由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐 PAB

14、CD的底面是邊長(zhǎng)為11 2 的正方形,側(cè)棱PC丄底面ABCD,且PC=2. A Vpbcds._abcd pc =-3螯3不論點(diǎn)E在何位置,都有 BD丄AE證明如下:連結(jié) AC ,v ABCD是正方形,a BD丄AC/ PC丄底面 ABCD 且BD 平面ABCD A BD丄PC又AC PC二C A BD丄平面PAC不論點(diǎn)E在何位置,都有AE 平面PAC A不論點(diǎn)E在何位置,都有 BD丄AE解法1:在平面DAE內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DG丄AE于G,連結(jié)BG/ CD=CB,EC=EC, A RtAECD 望 RMECB , a ED=EB AD=AB , EDAEBA, a BG丄EAA. DGB為二面角D

15、EA B的平面角 BC 丄 DE , AD / BC , a AD 丄 DE在 R ADE 中 dg 二 AD de 二 ' 2 =bgAE V32 丄22在厶DGB中,由余弦定理得cos. DGB =DG BG 一BD 一12DG BG11解法2: . DGB 二二,.二面角 D AE B 的大小為33以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:貝U D (1,0,0), A(1,1, 0), B(0,1, 0), E(0, 0,1),從而DE =( -1,0,1), DA =(0,1, 0), BA =(1,0, 0), BE 二(0,設(shè)平面ADE和平面ABE的

16、法向量分別為m = (a, b, c), n = (a ', b ', c ')由法向量的性質(zhì)可得:-a c = 0, b = 0 , a' = 0,-1,1)_b ' c' =0令 c =1,c' - _1,貝U a =1,b' - _1 , m =(1,0,1), n =(0, _1, _1)設(shè)二面角D AE B的平面角為則cos - -|m | n |二面角D AE B的大小為320. ( 1)證明:由四邊形ABCD為菱形,.ABC =60 ,可得 ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE _ BC .又 BC II

17、AD,因此 AE _ AD .因?yàn)镻A _平面 ABCD, AE二平面 ABCD,所以PA _ AE .而 PA 二平面 PAD , AD 二平面 PAD 且 PA AD = A,所以 AE _平面 PAD .又 PD 平面 PAD , 所以AE _ PD .(2)解:設(shè)AB =2, H為PD上任意一點(diǎn), 由(1)知AE _平面PAD ,則.EH A為EH與平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中,AE =石,所以當(dāng)AH最短時(shí),.EH A最大,即當(dāng)AH _ PD時(shí),.EH A最大.此時(shí) tan EH A 二生 -,AH AH 2連接AH,EHP因此 AH = 2 .又 AD =2,所以.ADH

18、 =45 ', 所以PA =2 .解法一: 因?yàn)镻A _平面 ABCD, PA二 平面PAC ,所以平面PAC 平面ABCD .13過(guò)E作EO _ AC于O,貝U EO _平面PAC ,過(guò)O作OS _ AF于S,連接ES,貝L ESO為二面角E 一 AF _C的平面角,在 Rt AO E 中,EO 二 AE sin 30 "3 , AO 二 AE cos 302又F是PC的中點(diǎn),在Rt ASO中,so =AO414#又 se = Jeo 2 +so2 = $9 =上,在 Rt ESO 中,84cos /ESOSOSE - . 30-54即所求二面角的余弦值為155解法二:由(1)知AE, 空間直角坐標(biāo)系,又E,AD , AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn), F分別為BC , PC的中點(diǎn),建立如圖所示的所以#P(0 ,0,2

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