CG教案7-2曲線曲面

1、 曲線曲面的計算機輔助設(shè)計源于曲線曲面的計算機輔助設(shè)計源于20世紀世紀60年代的飛機和汽車工業(yè)。年代的飛機和汽車工業(yè)。1963年美國波音公司的年美國波音公司的Ferguson提出用于飛機設(shè)計的提出用于飛機設(shè)計的參數(shù)三次方程參數(shù)三次方程；1962年法國雷諾汽車公司的年法國雷諾汽車公司的Bzier提出以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面設(shè)計系提出以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面設(shè)計系統(tǒng)統(tǒng)UNISURF，此前，此前de Casteljau大約于大約于1959年在法國另一家汽車公司雪鐵年在法國另一家汽車公司雪鐵龍的龍的CAD系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計，但因為保密的原因而沒有公布；系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計，但因為保密的原因而沒有公布；196

2、4年年Coons提出了一類提出了一類布爾和布爾和形式的曲面；形式的曲面；1972年，年，deBoor和和Cox分別給出分別給出B樣條樣條的標準算法；的標準算法；1975年以后，年以后，Riesenfeld等人研究了非均勻等人研究了非均勻B樣條曲線曲面，美國錫拉樣條曲線曲面，美國錫拉丘茲大學的丘茲大學的 Versprille研究了有理研究了有理B樣條曲線曲面，樣條曲線曲面，20世紀世紀80年末、年末、90年年代初，代初，Piegl和和Tiller等人對有理等人對有理B樣條曲線曲面進行了深入的研究，并形樣條曲線曲面進行了深入的研究，并形成成非均勻有理非均勻有理B樣條樣條(Non-Uniform R

3、ational B-Spline，簡稱，簡稱NURBS)；1991年國際標準組織年國際標準組織(ISO)正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國際標準正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國際標準STEP，NURBS是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種自由型曲線曲面自由型曲線曲面。7.1.1 平面曲線的直角坐標表示形式為：平面曲線的直角坐標表示形式為： )(xfy 0),(yxF或其參數(shù)方程則為：其參數(shù)方程則為：)()(tyytxx)(trr 平面上一點的位置可用自原點到該點的矢量表示：平面上一點的位置可用自原點到該點的矢量表示： 上式稱為上式稱為曲線的矢量方程曲線的矢量方程，其坐標分量表示式是，其坐

4、標分量表示式是曲線的參數(shù)方程。曲線的參數(shù)方程。r(t2)r(t1)OYXZ圖7-1 空間曲線 三維空間曲線可理解為一個動點的軌跡，位置矢三維空間曲線可理解為一個動點的軌跡，位置矢量量r 隨時間隨時間t 變化的關(guān)系就是一條空間曲線。變化的關(guān)系就是一條空間曲線。 )(),(),()(tztytxtrrr矢量方程為：矢量方程為：)()()(tzztyytxx三維空間曲線的三維空間曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程為：為：用用s表示曲線的表示曲線的弧長弧長，以弧長為參，以弧長為參數(shù)的曲線方程稱為數(shù)的曲線方程稱為自然參數(shù)方程自然參數(shù)方程。以弧長為參數(shù)的曲線，其以弧長為參數(shù)的曲線，其切矢切矢為單為單位矢量，記為位矢量

5、，記為t(s)。切矢切矢t(s)t(s)對弧長對弧長 s s求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢dt(s)/dsdt(s)/ds與切矢相垂直，稱為與切矢相垂直，稱為曲率曲率矢量矢量，如圖，如圖7-27-2，其單位矢量稱為，其單位矢量稱為曲線的曲線的單位主法矢單位主法矢，記為，記為n(s)n(s)，其，其模長稱為曲線的模長稱為曲線的曲率曲率，記為，記為k(s)k(s)。曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率半徑曲率半徑，記為記為(s)(s)。 與與t t和和n n相互垂直的單位矢量稱為相互垂直的單位矢量稱為副法矢副法矢，記為，記為b(s)b(s)。由由t和和n張成的平面稱為張成的平面稱為密切平面密

6、切平面；由；由n和和b張成的平面稱為張成的平面稱為法法平面平面；由；由t和和b張成的平面稱為張成的平面稱為從切面從切面。 法平面密切平面從切面tnbP圖7-2 曲線特性分析 n曲率曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢量t(s)對弧長的轉(zhuǎn)動率。n撓率撓率 的絕對值等于副法線方向b(s)b(s)(或密切平面)對于弧長的轉(zhuǎn)動率.曲率和撓率曲率和撓率)(ssTD+)(sTTDO 曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1BqDqD一般曲面可表示為：一般曲面可表示為： 0),(),(zyxFyxfz或或),(),(),(vuzzvuyyvuxx其其參數(shù)表達式參數(shù)表達式為：為： ),(),(),()

7、,(vuzvuyvuxvurrr曲面的曲面的矢量方程矢量方程為：為： 參數(shù)參數(shù)u、v的變化區(qū)間常取為單位正方形，即的變化區(qū)間常取為單位正方形，即u,v0,1。x，y，z都是都是u和和v二元可微函數(shù)。當二元可微函數(shù)。當(u，v)在區(qū)間在區(qū)間0，1之間變化時，之間變化時，與其對應(yīng)的點與其對應(yīng)的點(x，y，z)就在空間形成一張曲面。就在空間形成一張曲面。 u映射映射),(vur空間域空間域 參數(shù)域參數(shù)域vvvurvvurvurvruvurvuurvururvvuuDD+DD+DD),(),(lim),(),(),(lim),(00r 對對 u和和v的一階偏導(dǎo)數(shù)為：的一階偏導(dǎo)數(shù)為： 一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)

8、數(shù)ru(u，v)和和 rv(u，v)繼續(xù)對繼續(xù)對u，v求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，得到四個二階偏導(dǎo)數(shù)得到四個二階偏導(dǎo)數(shù) ruu、ruv、rvu、rvv： vv22vu2uv2uu22rvrvrvruvrvrurvururvrurururuv和和 rvu稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù) ，在二階連續(xù)時，兩者相同。，在二階連續(xù)時，兩者相同。 rvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)圖7-3 空間曲面 如圖如圖7-3，曲面上一點的切矢，曲面上一點的切矢ru和和 rv 所張成平面稱為所張成平面稱為曲面在該點的曲面在該點的切平面切平面。曲面上所有過該點的曲線在此點。曲面上所有過該點的曲線在此點的切

9、矢都位于切平面內(nèi)。切平面的法矢就是曲面在該點的切矢都位于切平面內(nèi)。切平面的法矢就是曲面在該點的法矢。的法矢。)()()1()(21ururur+k)(jsin)(icos)(uzuRuRr+qq對于固定的對于固定的u，它是一條直線，當，它是一條直線，當u變化時，就成了面，即變化時，就成了面，即“線動成線動成面面”。 + + + + + vv1rrrr)u,u1(rvr )v1(urvr )v1)(u1()v,u(r111001001110010011100100)1 ()1 (rvrvrvrv+ Coons曲面是已知曲面片的四條邊界曲線，由兩張直紋曲面曲面是已知曲面片的四條邊界曲線，由兩張直紋

10、曲面的和減去一張雙線性插值曲面得到的：的和減去一張雙線性插值曲面得到的： ), 0(), 0()1 (),(1vruvruvur+) 1 ,()0 ,()1 (),(2urvurvvur+ vvrrrruuvur1),1 (),(11100100 +vvrrrruuvvururvrvruuvur1)1 (1) ) 1 ,()0 ,(), 1 (), 0()1 (),(11100100),(),(),(),(321vurvurvurvur+ 這種布爾和形式的曲面是這種布爾和形式的曲面是Coons于于1967年研究的，拼合時整張曲面年研究的，拼合時整張曲面C0連連續(xù)，即位置連續(xù)。要達到續(xù)，即位置連

11、續(xù)。要達到C1連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。 雙線性插值曲面，采用了雙線性插值曲面，采用了“先定義線，然后線動成面先定義線，然后線動成面”的思想。張量積曲面也是采用的思想。張量積曲面也是采用“線動成面線動成面”的思想，是的思想，是CAGD中應(yīng)用最廣泛的一類曲面生成方法中應(yīng)用最廣泛的一類曲面生成方法 。及其上的調(diào)配函數(shù)的分割：參數(shù)及其上的調(diào)配函數(shù)的分割：參數(shù))();(1010vvvvvuuuuuimim映射),(vur空間域空間域 參數(shù)域參數(shù)域vuminjjiijnmnmmnnmvuavvvaaaaaaaaauuuvur001010111100010010)()()

12、()()() )()()(),(定義曲面：定義曲面： 定義在定義在uvuv平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為張量積曲面張量積曲面。 張量積曲面的特點是將曲面問題化解為簡單的曲線問題來張量積曲面的特點是將曲面問題化解為簡單的曲線問題來處理，適用于拓撲上呈矩形的曲面形狀。處理，適用于拓撲上呈矩形的曲面形狀。A Duck (weight)Ducks trace out curve1. 插值、擬合與逼近插值、擬合與逼近u插值插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造線

13、順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為的曲線稱為插值曲線插值曲線。 u擬合擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(但未必通過這些點但未必通過這些點)，所構(gòu)造的曲線為，所構(gòu)造的曲線為擬合曲線擬合曲線。u逼近逼近：在計算數(shù)學中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近在計算數(shù)學中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計算機圖形學中，逼近繼承了似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計算機圖形學中，逼近繼承了這方面的含義，因此這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近插值和擬合都可以視為逼近。 原始數(shù)據(jù)點精確原

14、始數(shù)據(jù)點精確 原始數(shù)據(jù)點不精確原始數(shù)據(jù)點不精確n給定一組有序的數(shù)據(jù)點給定一組有序的數(shù)據(jù)點P Pi i，i=0, 1, i=0, 1, , n, n，構(gòu)造一條，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插插值值，所構(gòu)造的曲線稱為，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線插值曲線。n線性插值線性插值：假設(shè)給定函數(shù)：假設(shè)給定函數(shù)f(x)f(x)在兩個不同點在兩個不同點x1x1和和x2x2的值，用一個線形函數(shù)：的值，用一個線形函數(shù)：y=ax+by=ax+b，近似代替，稱為，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。的線性插值函數(shù)。n拋物線插值拋物線插值：已知在三個互異點：已知

15、在三個互異點 的函數(shù)的函數(shù)值為值為 ，要求構(gòu)造一個函數(shù)，要求構(gòu)造一個函數(shù) 使拋物線使拋物線 在結(jié)點在結(jié)點 處與處與 在在 處處 的值相等。的值相等。cbxaxx+2)()(x321,xxx321,yyy) 3 , 2 , 1( ixi)(xfix插值插值xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b) 線性插值和拋物插值n逼近逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(但未必通過這些點)，所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。n在計算數(shù)學中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。 曲線的逼近逼近逼近n求給定型值點之間曲線

16、上的點稱為曲線的插值曲線的插值。n將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制多邊形控制多邊形或特征多邊形。特征多邊形。 曲線的逼近凸殼（凸包）凸殼（凸包）n凸殼凸殼Convex hull的定義：的定義： 包含一組控制點的凸多邊形邊界。包含一組控制點的凸多邊形邊界。n凸殼的作用凸殼的作用n提供了曲線或曲面與包圍控制點的區(qū)域之間的提供了曲線或曲面與包圍控制點的區(qū)域之間的偏差的測量偏差的測量n以凸殼為界的樣條保證了多項式沿控制點的平以凸殼為界的樣條保證了多項式沿控制點的平滑前進滑前進凸殼n光順(Firing)指曲線的拐點不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：na. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；n

17、b. 不存在多余拐點和奇異點；nc. 曲率變化較小。光順光順XYXY由一組由一組基函數(shù)基函數(shù)及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來表示：及相聯(lián)系的系數(shù)矢量來表示：niii0aP采用不同的基函數(shù)，曲線的數(shù)學表示方法就不同?；瘮?shù)采用不同的基函數(shù)，曲線的數(shù)學表示方法就不同。基函數(shù)一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線。一旦確定，系數(shù)矢量就完全定義了曲線。2. 計算機輔助幾何設(shè)計計算機輔助幾何設(shè)計(CAGD)中的曲線中的曲線的一般表示形式的一般表示形式規(guī)范基表示規(guī)范基表示具有幾何不變性。具有幾何不變性。即同樣的點在不同坐標系中生即同樣的點在不同坐標系中生成的曲線相同。拋物線方程不成的曲線相同。拋物線方程不具有幾何不變性。

18、具有幾何不變性。則稱為規(guī)范基。，若10nii3. 曲線曲面的光滑連接曲線曲面的光滑連接給定一段曲線，如果在整個參數(shù)定義域內(nèi)處處給定一段曲線，如果在整個參數(shù)定義域內(nèi)處處k次次可微，則稱該曲線為可微，則稱該曲線為Ck參數(shù)連續(xù)參數(shù)連續(xù)。給定兩段內(nèi)部給定兩段內(nèi)部Ck連續(xù)的參數(shù)曲線連續(xù)的參數(shù)曲線r1(u1)，u10,1 和和 r2(u2)，u20,1，則兩段曲線在公共連接點處，則兩段曲線在公共連接點處不同階次的連續(xù)性對應(yīng)不同的要求。不同階次的連續(xù)性對應(yīng)不同的要求。1）位置連續(xù)）位置連續(xù)曲線段曲線段r1(u1) 的末端和的末端和 曲線段曲線段r2(u2)的首端達到位的首端達到位置連續(xù)的條件為：置連續(xù)的條件

19、為： r1(1)= r2(0)位置連續(xù)是位置連續(xù)是C0 連續(xù)連續(xù)。2） 斜率連續(xù)斜率連續(xù)曲線段曲線段r1(u1) 的末端和的末端和 曲線段曲線段r2(u2)的首端達到的首端達到斜率連續(xù)斜率連續(xù)的條件的條件為：為： r1(1)=k r2(0)若若k=1，說明曲線段，說明曲線段r1(u1) 的末端切矢與曲線段的末端切矢與曲線段r2(u2)的首端的首端切方向相同、模長相等，稱為切方向相同、模長相等，稱為C1連續(xù)連續(xù)。若若k1，則說明兩段曲線在公共連接點處的切矢方向相同，則說明兩段曲線在公共連接點處的切矢方向相同，但模長不相等。這種情況是但模長不相等。這種情況是幾何連續(xù)幾何連續(xù)的，稱為的，稱為G1連續(xù)

20、連續(xù)。也稱也稱視覺連續(xù)。視覺連續(xù)。切矢方向與模：切矢方向與模：方向相同，模不同，方向相同，模不同，G1連續(xù)；連續(xù)；方向相同，模相同，方向相同，模相同， C1連續(xù)；連續(xù)；)(1ur)(2vr3）曲率連續(xù)）曲率連續(xù)連續(xù)；滿足該條件，稱為，2112) 1 () 1 ()0(Grrr+)1()0(12rr C C2 2連續(xù)連續(xù)滿足條件滿足條件: : 幾何意義是：曲線段幾何意義是：曲線段r r2 2(u)(u)首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段r r1 1(v)(v)末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。(a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c

21、)2階連續(xù)性 對于曲面片，若兩個曲面片在公共連接線上處處滿足上對于曲面片，若兩個曲面片在公共連接線上處處滿足上述各類連續(xù)性條件，則兩個曲面片之間有同樣的結(jié)論。述各類連續(xù)性條件，則兩個曲面片之間有同樣的結(jié)論。 n n次多項式的全體構(gòu)成次多項式的全體構(gòu)成n n次多項式空間，在其中任選一組次多項式空間，在其中任選一組線性無關(guān)的多項式都可以作為基。線性無關(guān)的多項式都可以作為基。 冪基冪基 u ui i，i=0i=0，1 1，n n，是最簡單的多項式基，相應(yīng)的，是最簡單的多項式基，相應(yīng)的參數(shù)多項式曲線方程為：參數(shù)多項式曲線方程為： 對于給定的對于給定的n+1個數(shù)據(jù)點個數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,2,n，欲構(gòu)

22、造其插，欲構(gòu)造其插值曲線或逼近曲線，必先得到對應(yīng)于各數(shù)據(jù)點值曲線或逼近曲線，必先得到對應(yīng)于各數(shù)據(jù)點Pi的參數(shù)值的參數(shù)值ui，ui 是一個嚴格遞增的序列是一個嚴格遞增的序列U：u0u1 un 。iniiuu0)(aP采用不同的參數(shù)化，得到的曲線也不同。采用不同的參數(shù)化，得到的曲線也不同。常用的參數(shù)化方法有：常用的參數(shù)化方法有： 均勻參數(shù)化均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化等距參數(shù)化) 積累弦長參數(shù)化積累弦長參數(shù)化 向心參數(shù)化向心參數(shù)化 修正弦長參數(shù)化修正弦長參數(shù)化對給定的數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化，將參數(shù)值對給定的數(shù)據(jù)點實行參數(shù)化，將參數(shù)值ui代入前面所述方程，代入前面所述方程，使之滿足插值條件：使之滿足插值條件：;

23、2 , 1 , 0)(0niuuijinjjipap得一線性方程組：得一線性方程組：解線性方程組，可得系數(shù)矢量的唯一解。解線性方程組，可得系數(shù)矢量的唯一解。然而，冪基多項式曲線方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)然而，冪基多項式曲線方程中的系數(shù)矢量幾何意義不明確，構(gòu)造曲線時，需解線性方程組，造曲線時，需解線性方程組，n n較大時，不可取。較大時，不可取。 其它多項式插值曲線如其它多項式插值曲線如Lagrange、Newton、Hermite等等較之冪基多項式曲線在計算性能等方面有較大改進，但總體上較之冪基多項式曲線在計算性能等方面有較大改進，但總體上多項式曲線存在兩個問題：多項式曲線存在兩個問題

24、：l l次數(shù)增高時，出現(xiàn)多余的拐點；次數(shù)增高時，出現(xiàn)多余的拐點；l l整體計算，一個數(shù)據(jù)點的微小改動，可能引起曲線整體大整體計算，一個數(shù)據(jù)點的微小改動，可能引起曲線整體大的波動。的波動。nnnnnnnnpppaaauuuuuuuuu1010212110200111由于高次多項式曲線存在缺陷，單一低次多項式曲由于高次多項式曲線存在缺陷，單一低次多項式曲線又難以描述復(fù)雜形狀的曲線。所以采用線又難以描述復(fù)雜形狀的曲線。所以采用低次多項低次多項式按分段的方式式按分段的方式在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合在一定連續(xù)條件下拼接復(fù)雜的組合曲線是唯一的選擇。曲線是唯一的選擇。以三次多項式為例：以三次多項式為例：

25、+3032)()(kkkiiiiixfPxdxcxbaxyy1(x)=a1+b1x+c1x2+d1x3y2(x)=a2+b2x+c2x2+d2x3y3(x)=a3+b3x+c3x2+d3x3“線動成面” 如何如何選擇基函數(shù)選擇基函數(shù)使系數(shù)具有幾何意義，且操作使系數(shù)具有幾何意義，且操作方便、易于修改是曲線曲面設(shè)計方法的發(fā)展方向。方便、易于修改是曲線曲面設(shè)計方法的發(fā)展方向。0,1 t)()()(011220112201122+ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnnn7.5.1 樣條描述樣條描述n次樣條參數(shù)多項式曲線的矩陣：7.5 Himerte樣條樣條0,1 t 1)(

26、)()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn基函數(shù)基函數(shù)(blenging function)，或稱混合函數(shù)混合函數(shù)。n7.5.2 三次樣條三次樣條給定n+1個點，可得到通過每個點的分段三次多項式曲線： 0,1 t )()()(232323+zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx7.5.3 自然三次樣條自然三次樣條定義定義：給定n+1個型值點，現(xiàn)通過這些點列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有自然三次樣條具有C2連續(xù)性連續(xù)性。還需要兩個附加條

27、件才能解出方程組.特點特點：1.只適用于型值點分布比較均勻的場合2.不能“局部控制” 7.5.4 三次三次Hermite樣條樣條定義定義：假定型值點Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次三次Hermite樣條曲線樣條曲線：11) 1 (,)0() 1 (,)0(+kkkkRpRpPpPp推導(dǎo)推導(dǎo)：CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx11)(2323n幾何形式n對三次參數(shù)曲線，若用其端點位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。n將P(0)、P(1)、P(0)和P

28、(1)簡記為P0、P1、P0和P1，代入 得 1 , 0)(012233+tatatatatP+1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPahhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC+1111100010100123311220123010011111000Mh是是Hermite矩陣矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量。三次三次Hermite樣條曲線的方程為樣條曲線的方程為：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh通常將TMk稱為Hermite基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）： )(2)(3

29、2)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH+)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk+H(t)t0.60.81-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t) Hermite基函數(shù)特點分析特點分析：1.可以局部調(diào)整，因為每個曲線段僅依賴于端點約束。2.Hermite曲線具有幾何不變性 Bzier曲線曲線是法國雷諾汽車公司的工程師是法國雷諾汽車公司的工程師Bzier于于1962年提出。年提出。1972年在年在UNISURF系統(tǒng)中正式投入使用。系統(tǒng)中正式投入使用。Bzier曲曲線采用一組特殊的基函數(shù)，

30、使得基函數(shù)的線采用一組特殊的基函數(shù)，使得基函數(shù)的系數(shù)系數(shù)具有明確的幾何具有明確的幾何意義。其曲線方程：意義。其曲線方程： 10,)()(0ttftniiiap其中從其中從a0到到an首尾相連的折線稱為首尾相連的折線稱為Bzier控制多邊形控制多邊形。 nitCCtfnijjijjnjii2, 1 ,0,)1()(11+(注：注：Bzier本人也不能解釋該公式的來源本人也不能解釋該公式的來源)a0a1a2a3ai為相對位置矢量為相對位置矢量7.3.1 Bzier曲線曲線10,)()(0ttftPniiia333223210t) t (ft2t3) t (ftt3t3) t (f1) t (f +

31、 + 當當n=3時時: f0(t)f1(t)f2(t)f3(t)110nitCCtfnijjijjnjii2, 1 ,0,)1()(11+00)()(1,ttBPtniniip!)!(!, 1 , 0)1 ()(,iinnCnittCtBininiinni英國的英國的Forest于于1972年將上述年將上述Bzier曲線中的控制多邊形頂曲線中的控制多邊形頂點改為絕對位置矢量的點改為絕對位置矢量的Bernstein基基表示形式：表示形式：33,323,223, 133,0)()1(3)()1(3)()1()(ttBtttBtttBttB當當n=3時時:P0P1P2P3Pi為絕對位置矢量B0,3(

32、t)B1,3(t)B3,3(t)B2,3(t)三次基函數(shù)的圖像三次基函數(shù)的圖像3332232133033 , 33 , 23 , 13 , 032103 ,30)1 ()1 ()1 ()()()()()()(tCttCttCtCGtBtBtBtBPPPPtBPtPBEziii取為幾何矩陣取為幾何矩陣GBEZ取為基矩陣取為基矩陣 MBEZTMGtttGBEZBEZBEZ321100033003630133132103213310363003300011)(PPPPttttp0,1t參數(shù)離散參數(shù)離散 0nit計算型值點計算型值點 0niP連接型值點連接型值點折線折線#define X 0#defi

33、ne Y 1#define Z 2typedef float Vector3;void DisplayCubicBezierCurve(Vector P4, int count) float C34, t, deltat; Vector V, newV; int i, j; for(j=0; j3; j+)/* C=GBEN*MBEN */ Cj0=P0j;Cj1=-3*P0j+3*P1j;Cj2=3*P0j-6*P1j+3*P2j;Cj3=-P0j+3*P1j-3*P2j+P3j; VX=P0X; VY=P0Y; VZ=P0Z; /* 將曲線的起點賦給矢量將曲線的起點賦給矢量V */ det

34、at=1.0/count; t=0.0; for(i=1; i=k-1； 與控制點對應(yīng)，有效基函數(shù)下標應(yīng)滿足：與控制點對應(yīng)，有效基函數(shù)下標應(yīng)滿足：i=n。 故：總有效區(qū)間為故：總有效區(qū)間為tk-1,tn+1。2022-4-241003階B樣條曲線示例1+nt2tT=t0,t1,tn+1,tn+2,tn+32022-4-24101B-樣條基函數(shù)的性質(zhì)n局部性局部性n權(quán)性權(quán)性n連續(xù)性連續(xù)性2022-4-24102B-樣條基函數(shù)的局部性上為零。上取正值，在其它區(qū)間只在區(qū)間),)(,kiikitttN+在每一個區(qū)間上至多只有k個基函數(shù)非零，它們是：)(),.,(),(,2,1tNtNtNkikkikk

35、i+分段多項式從而在整個參數(shù)軸上是的多項式上都是次數(shù)不高于在每個區(qū)間1),)(,+ktttNkiiki2022-4-24103B-樣條基函數(shù)的權(quán)性,1)(110,+nknikittttN上權(quán)性成立。證明：在任意參數(shù)區(qū)間,),111+nkjjtttt+nijkjikikikijjtNtNtNttt01,1)()()(,的局部性得到：，由上式右端根據(jù)遞推公式展開并化簡得到：1)()(1 ,1,+tNtNjjkjiki2022-4-24104B-樣條基函數(shù)的連續(xù)性次參數(shù)連續(xù)。重節(jié)點處至少為在lkltNki1)(,+11, 111,)()() 1()(ikikiikikikitttNtttNktN20

36、22-4-24105B-樣條曲線的分類樣條曲線的分類n根據(jù)節(jié)點矢量的不同形式分類根據(jù)節(jié)點矢量的不同形式分類q均勻均勻B樣條曲線樣條曲線q準均勻準均勻B樣條曲線樣條曲線q分段分段Bezier曲線曲線q非均勻非均勻B樣條曲線樣條曲線采用均勻節(jié)點矢量，即所采用均勻節(jié)點矢量，即所有節(jié)點區(qū)間長度為大于有節(jié)點區(qū)間長度為大于0的的常數(shù)，這樣的節(jié)點矢量定常數(shù)，這樣的節(jié)點矢量定義了均勻義了均勻B-樣條基，從而樣條基，從而定義出均勻定義出均勻B-樣條曲線。樣條曲線。當節(jié)點矢量在首末端點處當節(jié)點矢量在首末端點處有有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為重重復(fù)度，而在內(nèi)部為均勻分布時，可定義準均均勻分布時，可定義準均勻勻B-樣條曲線

37、。樣條曲線。節(jié)點矢量在首末端點處有節(jié)點矢量在首末端點處有K重重復(fù)度，而在內(nèi)部為非重重復(fù)度，而在內(nèi)部為非均勻分布。均勻分布。2022-4-24106均勻B-樣條曲線n均勻節(jié)點矢量均勻節(jié)點矢量n均勻均勻B-樣條基樣條基n均勻均勻B-樣條曲線樣條曲線2022-4-24107例：三次均勻例：三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（1） 樣條曲線次均勻其上可定義滿足：參數(shù)節(jié)點向量+D+BnittiTiinint3),3,.,1 , 0(01404, 1, 3)()(:0104,0+DnttNPtPBtniii，樣條曲線構(gòu)造三次均勻，常令：2022-4-24108nitNktkitNkittNtNkikikii,.

38、,1 , 0)(1)(1)()(1, 11,4,+，：公式計算根據(jù)如下的基函數(shù)遞推+其它此時：0) 1,1)()(4,.,1 , 01 ,4,iittNitnTiin三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（2）2022-4-24109)()(, 0,itNtNkki注：基函數(shù)的平移性三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（3）1階基函數(shù)2階基函數(shù)2022-4-24110+jjiijjiiijjitNPtNPtPnjjjtt34, 034,1)()()()3)(1,),上的曲線段為：即則，在區(qū)間三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（4）如下：計算)(4, 0tN) 1(34)(3)(3 , 03 ,

39、 04 , 0+tNttNttN2022-4-24111三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（5）+其它，0 322)3()21 2) 1)(3()2() 1 , 02)(223 , 0ttttttttttN由前面推導(dǎo)過程得到：2022-4-24112三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（6）+其它04 , 32) 13(3403) 3 , 22) 11)(13() 12)(1(342)3(3)2 , 1 2) 1(342) 1)(3()2(3) 1 , 003423)(2224, 0tttttttttttttttttttttttttN2022-4-24113三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲

40、線（7）)()()()(4,4, 14, 24, 3123tNtNtNtNPPPPjjjjjjjjjjiijjiiiitNPtNPtP34, 034,)()()(+)() 1()2()3(4, 04, 04, 04, 0123jtNjtNjtNjtNPPPPjjjj2022-4-24114三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（8）+322223123)3()2)(1() 1)(1 ()2()1)(1)(2()1)(2()1 (61ssssssssssssssssPPPPjjjjjts引入?yún)?shù)變換：+)() 1()2()3()(4, 04, 04, 04, 0123sNsNsNsNPPPPsPj

41、jjj 1 , 0s2022-4-24115三次均勻三次均勻B樣條曲線（樣條曲線（9）32123)()()(1100033313604133161,)(jtjtjtPPPPtPjjjj代入原參數(shù)得：321231100033313604133161sssPPPPjjjj上式即為區(qū)間tj,tj+1上3次均勻B樣條曲線的矩陣表達式。2022-4-24116P(3)P(4)P(5)當當K3，且采用均勻參數(shù)化時，得到三次均勻，且采用均勻參數(shù)化時，得到三次均勻B樣條曲線：樣條曲線：+321321331036303030141161)(iiittttSddddi3, 1 , 0101+niuuuutiii，

42、iiiiiiiiiiiiiiSSSSSSdddddddd+121212112)0() 1 ()(21)0() 1 ()4(61)0() 1 (在分段連接點處在分段連接點處B B樣條曲線的值和導(dǎo)矢量為：樣條曲線的值和導(dǎo)矢量為： 上式描述的三次均勻上式描述的三次均勻B樣條曲線段的幾何特性如圖所示：樣條曲線段的幾何特性如圖所示：l 曲線段首點位于以曲線段首點位于以didi+1和和di+1di+2為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的1/6處；處；l 其其切失與didi+2平行，模為長度的平行，模為長度的1/2；l 首點二階導(dǎo)矢是以首點二階導(dǎo)矢是以di+1di和和di+1di+2為鄰邊的平行四邊形的

43、對為鄰邊的平行四邊形的對角線。角線。l 曲線末端也有類似的結(jié)論。曲線末端也有類似的結(jié)論。圖圖7-13三次均勻三次均勻B樣條曲線段的幾何特性樣條曲線段的幾何特性圖圖7-13三次均勻三次均勻B樣條曲線段的幾何特性樣條曲線段的幾何特性由圖由圖7-13可以看出：可以看出： 當當di、di+1和和di+2三點共線時，三點共線時，曲線段起點曲線段起點Si(0)處二階導(dǎo)數(shù)處二階導(dǎo)數(shù)Si(0)為為0，Si(0)可能為拐點可能為拐點（如圖（如圖7-14）；）；當當di、di+1、 di+2和和di+3四點共線時，四點共線時， 其所定義的曲線段退化其所定義的曲線段退化為直線段；為直線段；當當di+1和和di+2兩

44、頂點重合時，曲線段起點兩頂點重合時，曲線段起點Si(0)和末點和末點Si(1)分別分別與與didi+1和與和與di+1di+2 相切，且端點曲率為相切，且端點曲率為0（如圖（如圖7-15）；）； 當當di+1、di+2和和di+3三頂點重合時，則曲線段在重點處出現(xiàn)尖三頂點重合時，則曲線段在重點處出現(xiàn)尖點，重點與前點和后點在尖點前后各形成一段直線段（如點，重點與前點和后點在尖點前后各形成一段直線段（如圖圖7-16）。）。l 曲線的上述退化情形在實際設(shè)計中很有用，如圖曲線的上述退化情形在實際設(shè)計中很有用，如圖7-17是應(yīng)是應(yīng)用曲線退化情形設(shè)計的尖點和直線段。用曲線退化情形設(shè)計的尖點和直線段。 對于

45、三次均勻?qū)τ谌尉鶆駼樣條曲線，計算對應(yīng)于參數(shù)樣條曲線，計算對應(yīng)于參數(shù)ui, ui+1這段曲這段曲線上的一點，要用到線上的一點，要用到Ni-3, 3(u)、Ni-2, 3(u)、Ni-1, 3(u)、Ni, 3(u)四個四個基函數(shù)，涉及基函數(shù)，涉及ui-3到到ui+4共共8個節(jié)點的參數(shù)值。個節(jié)點的參數(shù)值。 B樣條曲線的基函數(shù)是樣條曲線的基函數(shù)是局部支撐局部支撐的，修改一個數(shù)據(jù)點，在的，修改一個數(shù)據(jù)點，在修改處影響最大，對其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有修改處影響最大，對其兩側(cè)的影響快速衰減，其影響范圍只有前后各前后各K段曲線，對曲線的其它部分沒有影響。這是計算機輔段曲線，對曲線的其它部分沒

46、有影響。這是計算機輔助幾何設(shè)計所需要的助幾何設(shè)計所需要的局部修改性局部修改性。 B樣條曲線的基函數(shù)是樣條曲線的基函數(shù)是局部支撐局部支撐的，均勻的，均勻B樣條曲線未考樣條曲線未考慮曲線數(shù)據(jù)點的分布對參數(shù)化的影響，當曲線弦長差異較大慮曲線數(shù)據(jù)點的分布對參數(shù)化的影響，當曲線弦長差異較大時，弦長較長的曲線段比較平坦，而弦長較短的曲線段則臌時，弦長較長的曲線段比較平坦，而弦長較短的曲線段則臌漲，甚至于因過漲，甚至于因過“沖沖”而產(chǎn)生而產(chǎn)生“紐結(jié)紐結(jié)”。 給定給定16個頂點個頂點di j（i=1,2,3,4；j=1,2,3,4）構(gòu)成的特）構(gòu)成的特征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。征網(wǎng)格，可以定義一張曲面片。d2

47、4uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22 首先用首先用di1、di2、di3、di4 (i=1,2,3,4 )構(gòu)建四條構(gòu)建四條V向曲線向曲線C1、C2、C3和和C4（圖中虛線）（圖中虛線）; 參數(shù)參數(shù)v在在0,1 之間取值之間取值vk，對應(yīng)于，對應(yīng)于vk，曲線曲線C1、C2、C3和和C4上可得到上可得到V1k、V2k、V3k和和V4k四個點，該四點構(gòu)成四個點，該四點構(gòu)成u向向的一個特征多邊形，定義一條新的曲線的一個特征多邊形，定義一條新的曲線P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k 當參數(shù)當參數(shù)vk在在

48、0,1 之間取不同值時，之間取不同值時，P(u,vk)沿如圖所示的沿如圖所示的黃色箭頭黃色箭頭方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格方向掃描，即得到由給定特征網(wǎng)格di j(i=1,2,3,4; j=1,2,3,4)定義的雙三次均勻定義的雙三次均勻B樣條曲面片樣條曲面片P(u,v)。3244434241343332312423222114131211321610002121216121103261212161612121610211210210210613261)1 (),(vvvdddddddddddddddduuuvupd24uvV1kd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d3

49、2d33d34C4C3C1C2V2kV3kV4kd41P(u,vK)d22考慮曲線弦長的影響，則曲線的基函數(shù)不再具有同樣的格式，考慮曲線弦長的影響，則曲線的基函數(shù)不再具有同樣的格式，必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點進行弦長參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點進行弦長參數(shù)化，然后根據(jù)基函數(shù)的定義義 用如下的曲線方程計算各段曲線上的點：用如下的曲線方程計算各段曲線上的點： 非均勻非均勻B B樣條曲線考慮了弦長的影樣條曲線考慮了弦長的影響，曲線不會因為節(jié)點分布不均勻而響，曲線不會因為節(jié)點分布不均勻而產(chǎn)生過沖和紐結(jié)。產(chǎn)生過沖和紐結(jié)。 非均勻非均勻B B樣條曲線比均勻樣條曲線比均勻B B樣條曲樣條曲線具有更好

50、的光順性，更符合數(shù)據(jù)點線具有更好的光順性，更符合數(shù)據(jù)點的分布。的分布。,3343+niiuuuuu+3,)()(iijKjjuNdup1, 1 , 0ni7.5.1 非均勻非均勻B樣條曲線曲面樣條曲線曲面非均勻非均勻B樣條樣條均勻均勻B樣條樣條 給定數(shù)據(jù)點給定數(shù)據(jù)點di（i=0,1,n-1）就是控制多邊形的頂點。）就是控制多邊形的頂點。 不過點三次非均勻不過點三次非均勻B樣條開口和閉口曲線需要分別處理。樣條開口和閉口曲線需要分別處理。 對于開口曲線對于開口曲線，n個數(shù)據(jù)點只畫個數(shù)據(jù)點只畫n-3段曲線，需段曲線，需n-2個節(jié)點參數(shù)。而計算個節(jié)點參數(shù)。而計算Ui, Ui+1上的一點，要用到除上的一

51、點，要用到除它們之外的前它們之外的前3個和后個和后3個節(jié)點參數(shù)，所以在首尾各個節(jié)點參數(shù)，所以在首尾各添加添加3個節(jié)點參數(shù)，一共需要個節(jié)點參數(shù)，一共需要n+4個節(jié)點參數(shù)值。為個節(jié)點參數(shù)值。為使曲線過給定數(shù)據(jù)的首末點，令使曲線過給定數(shù)據(jù)的首末點，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部節(jié)點參數(shù)為：；全部節(jié)點參數(shù)為：U0=U1=U2=0；UK，UK1， ，Un；Un+1=Un+2=Un+3=1；用用HartleyJudd方法，即所畫曲線段對應(yīng)的控制多邊方法，即所畫曲線段對應(yīng)的控制多邊形的長度與總控制多邊形的長度之比確定節(jié)點參數(shù)。形的長度與總控制多邊形的長度之比確定節(jié)點參數(shù)。nk

52、kiuunKssKsjjiKijjii, 2, 111111+ +，計算出節(jié)點參數(shù)后，就可以用計算出節(jié)點參數(shù)后，就可以用前述的遞歸函數(shù)計算基函數(shù)前述的遞歸函數(shù)計算基函數(shù)Ni,K(u)的值，得到基函數(shù)的值，的值，得到基函數(shù)的值，就可以代入曲線方程計算各段就可以代入曲線方程計算各段曲線上的點。曲線上的點。圖圖7-22 不過點非均勻不過點非均勻B樣條曲線樣條曲線 對于閉合曲線對于閉合曲線，n個數(shù)據(jù)點畫個數(shù)據(jù)點畫n段曲線，需段曲線，需n1個個節(jié)點參數(shù)曲線；首尾各添加節(jié)點參數(shù)曲線；首尾各添加3個節(jié)點參數(shù)，共個節(jié)點參數(shù)，共n7個節(jié)點參數(shù)。由于不過點閉合曲線，不通過控制個節(jié)點參數(shù)。由于不過點閉合曲線，不通過

53、控制多邊形的首末點，全部節(jié)點參數(shù)為：多邊形的首末點，全部節(jié)點參數(shù)為： U00U1U2UKUK1Un3Un+4Un+5Un+6=1 各節(jié)點的參數(shù)值采用各節(jié)點的參數(shù)值采用HartleyJudd方法。計算出節(jié)點參數(shù)后，方法。計算出節(jié)點參數(shù)后，就可以計算基函數(shù)就可以計算基函數(shù)Ni,K(u)的值，的值，然后用曲線方程計算各段曲線然后用曲線方程計算各段曲線上的點。上的點。對于過點曲線，給定的數(shù)據(jù)點對于過點曲線，給定的數(shù)據(jù)點Pi (i=0,1,n-1)是曲線上的點。是曲線上的點。由曲線方程知，必須先計算出節(jié)點參數(shù)，再計算基函數(shù)由曲線方程知，必須先計算出節(jié)點參數(shù)，再計算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程，

54、才能反算出控制多邊形的頂點：的值，代入曲線方程，才能反算出控制多邊形的頂點： +3,)()(iijKjjuNdupn個數(shù)據(jù)點，反求出個數(shù)據(jù)點，反求出n+2個控制頂點，畫個控制頂點，畫n-1段曲線，需段曲線，需n個節(jié)個節(jié)點參數(shù)；首尾各添加點參數(shù)；首尾各添加3個節(jié)點參數(shù)，一共需要個節(jié)點參數(shù)，一共需要n+6個節(jié)點參數(shù)個節(jié)點參數(shù)值；在曲線首端重值；在曲線首端重3段曲線首段的長度，在曲線的末端重段曲線首段的長度，在曲線的末端重3段段曲線末段的長度。所有節(jié)點參數(shù)為：曲線末段的長度。所有節(jié)點參數(shù)為： U00U1U2UKUK1Un2Un+3Un+4Un+5=1 i=1,2,i=1,2,n+5, L,n+5,

55、L為包含附加段在內(nèi)的總長。為包含附加段在內(nèi)的總長。LUUiii11+根據(jù)節(jié)點矢量計算基函數(shù)根據(jù)節(jié)點矢量計算基函數(shù)Ni,K(u)的值，代入曲線方程可以計算的值，代入曲線方程可以計算n個已知的曲線上的點，得如下方程：個已知的曲線上的點，得如下方程： +33,3)()(iijiiKjjipuNdup,2343+niiuuuuu1, 1 , 0ni寫成矩陣形式如下：寫成矩陣形式如下： +123 , 1121033 , 0012123 ,23 , 113 ,13 , 113 , 243 , 343 , 243 , 133 , 233 , 1)()()()()()()()()()()()(nnnnnnnn

56、nnnnnnnnnduNpppduNpdddduNuNuNuNuNuNuNuNuNuN對于開口曲線對于開口曲線，d0=P0, dn+1=Pn-1，上述方程組是，上述方程組是“追趕法追趕法”能夠求解的三對能夠求解的三對角方程。求出角方程。求出d0,d1,dn,dn+1共共n+2個控制頂點，即可以畫出個控制頂點，即可以畫出n-1曲線。曲線。 （閉合曲線省略閉合曲線省略）niKiiniKiiiuNuNdup0,0,)()()(wi，i=0，1，n稱為權(quán)因子； Ni,K(u)是B樣條的基函數(shù)非均勻非均勻B樣條考慮節(jié)點分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的樣條考慮節(jié)點分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的計算曲

57、線一樣，非均勻計算曲線一樣，非均勻B樣條不能精確表達二次曲線曲面，采樣條不能精確表達二次曲線曲面，采用有理用有理B樣條，可以統(tǒng)一表達自由曲線曲面和二次曲線曲面。樣條，可以統(tǒng)一表達自由曲線曲面和二次曲線曲面。 有理有理B樣條曲線的表達式為：樣條曲線的表達式為： 當Ni,K(u)是均勻基函數(shù)時，p(u)為均勻有理B樣條曲線；當Ni,K(u)是非均勻基函數(shù)時，p(u)為非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡稱NURBS)曲線；通過合理的定義權(quán)系數(shù)，NURBS曲線能夠精確地描述二次圓錐曲線。目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標準之中。曲線設(shè)計方法的關(guān)鍵在于曲線設(shè)計方法

58、的關(guān)鍵在于基函數(shù)的選擇基函數(shù)的選擇，選擇合適的基函數(shù)，選擇合適的基函數(shù)能夠使系數(shù)矢量具有更明確的能夠使系數(shù)矢量具有更明確的幾何意義幾何意義，繪圖操作簡單直觀。，繪圖操作簡單直觀?；瘮?shù)和參數(shù)化方法的選擇對曲線的精度、光順性、局部修基函數(shù)和參數(shù)化方法的選擇對曲線的精度、光順性、局部修改性具有決定性的影響。改性具有決定性的影響。整個曲線設(shè)計方法的改進方向是在提高精度、保證光順性的整個曲線設(shè)計方法的改進方向是在提高精度、保證光順性的同時追求同時追求靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性。 iniiuu0)(aP+3,)()(iijKjjuNdupni

59、niitBt1,)()(dp OpenGL中中繪制繪制Bezier曲線曲面是通過曲線曲面是通過定值器定值器完成的完成的。（參考（參考 http:/ ）1. 定義定值器定義定值器指定定值器類型，每個方向的起止范圍、次數(shù)（控制點數(shù)），每指定定值器類型，每個方向的起止范圍、次數(shù)（控制點數(shù)），每個方向步進一個單位對應(yīng)的浮點值個數(shù)，控制點清單。個方向步進一個單位對應(yīng)的浮點值個數(shù)，控制點清單。如如 glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4,&ctrlpoints00);2. 打開定值器打開定值器void glEnable（定值器類型）（定值器類型）;3. 引

60、用定值器引用定值器 glEvalCoord (Ui, Vi);當前生成的點的值域注意與當前生成的點的值域注意與1.中取得一致，如果總的值域為中取得一致，如果總的值域為0,1，則則100個點組成的曲線上第個點組成的曲線上第i點的值域為點的值域為(1-0)*i/100。NURBS 在在OpenGL中，中，GLU函數(shù)庫提供了一個函數(shù)庫提供了一個NURBS接口。接口。用戶需要提供的數(shù)據(jù)包括控制點、節(jié)點等數(shù)據(jù)，控制點描用戶需要提供的數(shù)據(jù)包括控制點、節(jié)點等數(shù)據(jù)，控制點描述曲線的大致形狀，節(jié)點控制述曲線的大致形狀，節(jié)點控制B樣條函數(shù)的形狀。樣條函數(shù)的形狀。繪制一條繪制一條NURBS曲線的步驟：曲線的步驟：（1）提供