數(shù)學(xué)_第6章數(shù)列已未講

1、GCT-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力測試 模塊精講班 第6章 數(shù)列主講：張乃岳第6章 數(shù)列一、數(shù)列的基本概念二、等差數(shù)列三、等比數(shù)列（ 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)）（ 等差中項、等比中項）一、數(shù)列的基本概念按一定次序排成的一列數(shù)。 數(shù)列： 數(shù)列 的通項公式：簡記作：123,naaaa.na項，首項 ，通項 ().nana().nafn 數(shù)列 的前 項之和：nanSn12naaa事實上， 構(gòu)成一新的數(shù)列。nS 設(shè)數(shù)列 的前 項和為 補重要54(1),n AA. B. C. D. 2468nan,nS1(31)2nnaS且 則 的值 454,a1a解為（ ）.443aSS即 41(31)2a31(31)2a5411

2、401354aa故 12.a1nnnaSS 數(shù)列 各項的和nalim,nnSs s若 則稱 為數(shù)列 各項的和。 na即 123naaaas 并不是所有數(shù)列各項的和均存在。例 2, 2, 2, 2,1, 2, 3, 4,二、等差數(shù)列123,naaaa1. 定義1若 2132aaaad定義2若數(shù)列 滿足： na1nnaad(1, 2, 3)n 1nnaad1nnaad1nnaad 等差數(shù)列的任意一項等于其前一項 加上一個公差，也等于其后一項 減去一個公差。 若等差數(shù)列的首項 公差 ，則有：1,ad1,ad12,ad1(1),and1,a2. 通項公式：1(1)naand更一般： ()nmaanm

3、d 已知等差數(shù)列的某一項及公差，可求任一項。 已知等差數(shù)列的任意兩項，可求公差 。d1nnnass例 等差數(shù)列 中， （第2題）,paq,p qN且則 （ ）. 特殊代入法 A. B. C. D. pq101na,qap,pqpqa解()pqaapq d即 ()qppq d1d pqpaaqd故 qq0C3. 前 項和公式：n1(),2nnaanS1(1)2nn ndSna1(,)naa1(,)ad 4. 等差中項若 成等差數(shù)列， ,a,Ab的等差中項。 A,a b則2abA 若 成等差數(shù)列， ,a,Ab常寫成： 2.abA例 等差數(shù)列 中，公差 （ 例2）2,d 且求 na139980,aa

4、a100.S解139980,aaa2d 24100aaa1399()()()adadad1399()50aaad80502180故100123100Saaaa80180260.C已知數(shù)列 的通項是： 則該數(shù)列前101項的和等于（ ）.補補A. B. C. D. 2501255126012651（2011年）123,naaaa121(1),4nnna解法一由題知，該數(shù)列的前101項為：1,1, 2, 2, 3, 350, 50, 51101S2(12350)512601.法二121(1)4nnna121(1)44nn101S11(35203)(11111)442601. 5. 等差數(shù)列的性質(zhì) 等

5、差數(shù)列的任意連續(xù)項仍為等差數(shù)列。 等差數(shù)列1231,nnaaaaa 每對和相等（ 為奇數(shù)，偶數(shù)均可）n 等差數(shù)列 中，na若 ,pqmn則 .pqmnaaaa 若 為等差數(shù)列， 公差為 為其前 項和，nanSn則 ,nS2,nnSS32nnSS仍為等差數(shù)列。 且公差為 2.n d,dB 等差數(shù)列 中， 則此數(shù)列前20項之和為（ ）.補12324,aaa 123181920aaaaaana18192078,aaa解A. B. C. D. 16018020022020S7824103180.例 等差數(shù)列 中， （P54 例1）求和 na12.S23101164,aaaa67aa解23101164,

6、aaaa21132aa故 6732.aa12121112Saaaa又1126()aa676()aa632192.D 設(shè) 成等差數(shù)列，且 為方程的兩個實根，則補1234,aaaa22520 xxA. B. C. D. 52115214,aa23aa（ ）.解由題知1452aa又1234,aaaa成等差數(shù)列，2314aaaa52例 等差數(shù)列 的前 項和 （ 第3題）則na30,kSk2100,kS3 kS（ ）. 特值代入法 k=1A. B. C. D. 130170210260解由等差數(shù)列的性質(zhì)知，232,kkkkkSSSSS為等差數(shù)列。即 330, 70,100kS為等差數(shù)列。330(100)

7、270kS故3210.kSC三、等比數(shù)列123,naaaa1. 定義1若 3212aaqaa定義2若數(shù)列 滿足： na1nnaqa(1, 2, 3)n 1nnaaq1nnaaq1nnaqa說明 若等比數(shù)列的首項 公比 ，則有：1,aq1,a q21,a q11na q1,a 等比數(shù)列的每一項及公比均不為0.2. 通項公式：更一般： nmnmaaq 已知等比數(shù)列的某一項及公比， 可求任一項。 已知等比數(shù)列的任意兩項， 可求公比 。q11nnaa q3. 前 項和公式：n1(1),1nnaqSq11nnaa qSq1(,)aq1(,)naaq 當(dāng) 時，1q 當(dāng) 時，1q 1.nSna 4. 等比中

8、項若 成等比數(shù)列， ,a,Gb的等比中項。 G,a b則Gab 若 成等比數(shù)列， ,a,Gb常寫成： 2.abG,a b一定同號！B設(shè) ，則 被4除的余數(shù)是（ ）.補A. B. C. D. 0123（2011年）2345673333333S S解（等比數(shù)列求和） 3q 2345673333333S 731(3) 1(3)1641.S被4除的余數(shù)是1.D 若兩個正數(shù)的等差中項為15，等比中項為12， 則這兩數(shù)之差的絕對值等于（ ）.補補A. B. C. D. 791018解（09年）設(shè)兩個正數(shù)為 ，則 ,a b,15,ab成等差數(shù)列 ,12,ab成等比數(shù)列 30ab212144ab 2()ab又

9、2()4abab3242304144|18.ab故 5. 等比數(shù)列的性質(zhì) 等比數(shù)列的任意連續(xù)項仍為等比數(shù)列。 等比數(shù)列1231,nnaaaaa 每對積相等（ 為奇數(shù)，偶數(shù)均可）n 等比數(shù)列 中，na若 ,pqmn則 .pqmnaaaa 若 為等比數(shù)列， 公比為 為其前 項和，nanSn則 ,nS2,nnSS32nnSS仍為等比數(shù)列。 且公比為 .nq,q 若 是公比為 的等比數(shù)列， 且 naq|1,q 則 各項的和為：na1.1asq的總和為（ ）.補補11112222 A. B. C. D. 2222212212解1111,2222是等比數(shù)列，且公比112q 總和為：11asq1112221

10、2 (21)22 .B例 設(shè) 為正整數(shù)，在1與 之間插入 個正數(shù)， A（第8題）（06年）A. B. C. D. 2(1)nn(1)nn使這 個數(shù)成等比數(shù)列，則所插入的 個n1n n2n n正數(shù)的積等于（ ）. 特值代入法 n=1 2(1)nn3(1)nn解設(shè)所插入的 個數(shù)為：n123,naaaa則 123,naaaa1n （）1,成等比數(shù)列123na a aa(1) (1)(1)nnn2(1) .nn（共 個） 2n例 等比數(shù)列 中， （ 例1）求和 na312,a26.aa1,a548,a10a解253aaq設(shè)等比數(shù)列的公比為q即 24812q24q又 231aaq即 1124a13.a9

11、101aaq2635aaaa1248576由 得 當(dāng) 時， 9103 21536.a2q 當(dāng) 時， 9103 (2)1536.a 2q 例 為等比數(shù)列，已知 （ 例2）求 的值。是等比數(shù)列， na243546225,a aa aa a35aa解設(shè)等比數(shù)列的公比為q由題知 234,aaa2243a aa是等比數(shù)列， 456,aaa2465a aa243546225a aa aa a從而 變?yōu)椋?223355225aa aa即 235()25aa故355aa或355.aa 例 三個不相同的非零實數(shù) 成等差數(shù)列， A（第6題）（05年）又 恰成等比數(shù)列，則 等于（ ）.ab2cbac,a b c,a

12、 c bA. B. C. D. 4242解由題知 2acb2abc消 的過程如下： 4ab選 A. 2244abbaba22540aabb2()540aabb4,ab1ab（舍） c消去 得 ,a b同號！先排除C, D.例 等差數(shù)列 中， 且 恰好是某等比數(shù)列的前三項，設(shè)等差數(shù)列的公差為 等比數(shù)列的公比為 na12,a（第5題）公差不為零，1311,aaa那么該等比數(shù)列的公比等于（ ）.解,d.q1311,aaa是某等比數(shù)列的前三項 即 111, (2), (10)aadad是某等比數(shù)列的前三項 2, 22, 210dd22(210)(22)dd解之，得 3d 故31aqa842CA. B.

13、 C. D. 234838a例 設(shè) （ 第1題）（04年）則20042005SS11234(1),nnSn（ ）.A. B. C. D. 2101B解20042005SS2004(12)(34)(20032004)S1002 200520042005 SS200522004S2005)1002(2.1補（06年）11111111223344556677248163264（ ）A. B. C. D. 1530816C31308326330864127308128解11111111223344556677248163264111111(11223344556677)()2481632646111() 22(88344)1121308(1)6463308.64例 （第7題）（07年）2222222222012345671234567891022222222A. B. C. D. 1151D的值是（ ）.225122511151解分母1222222222(12 )(34 )(56 )(78 )(910 )81 (12 )12821255分子1 (37111519) 51155 原式55255 1