2020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、2020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)梳理d=r點(diǎn)匕在O。上;=>d<r；=>d=r;=>d>r。初三數(shù)學(xué)與圓有關(guān)的位置關(guān)系專題復(fù)習(xí)學(xué)員姓名年級(jí)初三上課時(shí)間輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)學(xué)科教師課題與圓有關(guān)的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系d>r點(diǎn)P在.。Q夕卜。d<r點(diǎn)R在。.Q內(nèi)；二、直線與圓的位置關(guān)系(1)相交：兩個(gè)公共點(diǎn)，割線v(2)相切：唯一公共點(diǎn)，切線v(3)相離：沒有公共點(diǎn)，相離<切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線。切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一

2、點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)(四點(diǎn)共圓的判定條件)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、外交等于內(nèi)對(duì)角。三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓；內(nèi)心：三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。三、圓和圓的位置關(guān)系1、相離:相離分為處離:.d>R+r和內(nèi)含一:.d<R-r(R>.j)"_.2、相切：相切分為夕卜切:-d=R+r.和內(nèi)切.：d=R-r.”R>.r.)。3、相交：R-r<d<R+r.(.R.r.),.4、兩圓相切、相交的性質(zhì)：如果兩圓相切那.么切點(diǎn)定在連心.線上,.它們是軸對(duì)稱圖.彩，對(duì)稱軸是兩圓的連心線相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。1

3、/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系熱身訓(xùn)練1 .若。O的半徑為4cm,點(diǎn)A到圓心O的距離為3cm,那么點(diǎn)A與。O的位置關(guān)系是（A）A.點(diǎn)A在圓內(nèi)B.點(diǎn)A在圓上C.點(diǎn)A在圓外D.不能確定2 .已知。O的半徑為5,弦AB的弦心距為3,則AB的長是§3 .已知直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則它的外接圓半徑R=6.5,內(nèi)切圓半徑r=2.4 .。的半徑為6,。的一條弦AB為6J3,以3為半徑的同心圓與直線AB的位置關(guān)系是相切.5 .血半彳仝為1的。O的直徑，點(diǎn)A在0O上，/AMN30,B為AN弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN±一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求PA+PB勺最小值。

4、（PAPB）min工題型分類考點(diǎn)一、直線與圓的位置關(guān)系【例1】以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，作半徑為2的圓，若直線yxb與eO相交，則b的取值范圍是（）A.0b272B.2<2b2V2C.2向b2V3D.272b2正試題分析：當(dāng)直線產(chǎn)-“b與圓相切，且部蹴經(jīng)過一i二、四象限時(shí)，如圖.在尸一耳中中，令*=。時(shí)二尸明則與產(chǎn)軸的交點(diǎn)是（0?b）,當(dāng)y=0時(shí),則國的交點(diǎn)是。）,則0M0B,即四是等腰直角三角形.連接圖心口和切點(diǎn)C,則0B3則降也8=2及/即i同理，當(dāng)直線尸一乂他與圓相切，且困數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時(shí)12毒.則若直線y=-x+b與。O相交，則b的取值范圍是-2j2bv2j2.故選D2/1820

5、20屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.【點(diǎn)睛】考查了直線與圓的位置關(guān)系和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解直線與圓的位置關(guān)系與d與r的數(shù)量關(guān)系.【舉一反三】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2,1）為圓心，半徑為1的圓與x軸的位置關(guān)系是.（填相切”、相離”或相交”）【答案】相切【解析】依題意得：圓心到x軸的距離為：1=半彳仝1,所以圓與x軸相切；考點(diǎn)二、切線的性質(zhì)【例2】如圖，已知AB為。O直徑，AC是。的切線，連接BC交。O于點(diǎn)F,取應(yīng)的中點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHXAB于H.（1）求證：AHBEsABC;（2）

6、若CF=4,BF=5,求AC和EH的長.【解析】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明：/CAB=/EHB,由此即可解決問題；（2）連接AF.由ACAFsCBA,推出CA2=CF?CB=36,推出CA=6,AB=/“一人,AF='B2-丹卜工由RtAAEFRtAAEH，推出AF=AH=2區(qū)，設(shè)EF=EH=x.在RtAEHB中，可得（5-x）2=x2+（區(qū)）2,解方程即可解決問題;詳解：（1）.AC是。的切線，CAXAB.EHXAB,/EHB=/CAB.3/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系/EBH=/CBA,.HBEAABC.(2)連接AF.,AB是直徑,/C=ZC,

7、/CAB=/AFC,CAFACBA,-CA2=CF?CB=36,.CA=6,AB=:8。工-力。工=3%舊，aF=aMB*-日F"=25.,NEAT=/EAH.EFUFjEH1AB,EF=EH,AE-AE,.RtaAEFRtaAEH1,AF=AH=2V5.設(shè)EF=EH-m.在RtAEHB中,<5-x>，-工+代)%點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.4/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系【舉一反三】如圖，等腰那BC三個(gè)頂點(diǎn)在。O上，直徑AB=

8、12,P為弧BC上任意一點(diǎn)（不與B,C重合），直線CP交AB延長線與點(diǎn)Q,2/PAB+/PDA=90°,下列結(jié)論：若/PAB=30°,貝U弧BP的長為優(yōu);若PD/BC,則AP平分/CAB;若PB=BD,tau則尸。=6>/3，無論點(diǎn)P在弧上的位置如何變化，CP-CQ為定值.正確的是【答案】.【解析】試題解析:如圖？連接AOOP,/PABTTj/POB=60,.AB=12,.OB=6,一Q中一.60xx6.一 弧AP的長為=2%,故錯(cuò)誤;180,.PD是。O的切線， OPXPD, ,PD/BC, OPXBC,IJIW'=; ./PAC=/PAB, AP平分/CA

9、B,故正確;5/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系若PB=BD,則/BPA/EDPj,Z0P1PD,ZBPI>ZBPO=ZBDP+ZBQP,.ZBOP=ZBPO>，BPBOPO«4j即國m是蓋速三箱用,，PD-括QPVji,故國正碣j .AC=BC,/BAC=/ABC,又./ABC=/APC,/APC=/BAC,又./ACP=/QCA,.ACPsQCA,CP_CACA=CQ,即CP?CQ=CA2(定值)，故正確;故答案為：.考點(diǎn)三、切線的判定【例3】這里是隱藏文字：如圖，已知A、B、C、D、E是。上五點(diǎn)，OO的直徑BE=2J3,/BCD=120,A為

10、？E的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)P,使BA=AP,連接PE.(1)求線段BD的長；(2)求證：直線PE是。O的切線.【解答】(1)解：連接DE,如圖， ./BCD+/DEB=180, ./DEB=180-120°=60；.BE為直徑，/BDE=90,6/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系在RtBDE中，DE=1BE=1X2j3=.5,22BD=>/3DE=翼xj3=3;(2)證明：連接EA,如圖，.BE為直徑，/BAE=90,-a為Be的中點(diǎn)，/ABE=45, BA=AP,而EA±BA, .BEP為等腰直角三角形，/PEB=90, PEXBE, 直線PE

11、是。O的切線.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了圓周角定理.【舉一反三】1.如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點(diǎn)，過A、D、G三點(diǎn)的圓O與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,給出下列說法：（1）AC與BD的交點(diǎn)是圓O的圓心；（2）AF與DE的交點(diǎn)是圓O的圓心；（3）BC與圓O相切，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）B.1D.3A.0C.2【思路分析】連接DG、AG,作GHXAD于H,連接OD,如圖，先確定AG=DG,則GH垂直平分AD,則可判斷點(diǎn)O在HG上，再根據(jù)HGXBC可判定BC與圓O相切；接著利用OG=OD可

12、判斷圓心O不是AC與BD的交點(diǎn)；然后根據(jù)四邊形AEFD為。O的內(nèi)接矩形可判斷AF與DE的交點(diǎn)是圓O的圓心.7/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系【解答】解：連接DG、AG,作GHLAD于H,連接OD,如圖,.G是BC的中點(diǎn)，.AG=DG,GH垂直平分AD,.點(diǎn)O在HG上，1. AD/BC, HGXBC, .BC與圓O相切； .OG=OD, 點(diǎn)O不是HG的中點(diǎn)， 圓心O不是AC與BD的交點(diǎn)；而四邊形AEFD為。O的內(nèi)接矩形， AF與DE的交點(diǎn)是圓O的圓心； .(1)錯(cuò)誤，(2)正確.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的

13、內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了矩形的性質(zhì).B2.已知：如圖，AB是。O的直徑，AB=4,點(diǎn)F,C是。上兩點(diǎn)，連接AC,AF,OC,弦AC平分/FAB,/BOC=60,過點(diǎn)C作CDXAF交AF的延長線于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)D.(1)求扇形OBC的面積(結(jié)果保留兀);(1)AB=4,(2)求證：CD是。的切線.【解答】解：.OB=2,/COB=60一S扇形OBC6042360(2) AC平分/FAB,./FAC=/CAO,AO=CO,./ACO=/CAO,./FAC=/ACO,.AD/OC,CDXAF,.CDXOC,C在圓上，.CD是。O的切線。8/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和

14、圓有關(guān)的位置關(guān)系【點(diǎn)評(píng)】本題考圓的綜合問題，關(guān)鍵是運(yùn)用扇形面積公式及切線的判定方法，屬于中等題型.考點(diǎn)四、三角形的外接圓與圓心例4.如圖，AABC是半徑為2的圓內(nèi)接正三角形，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果用含兀的式子表示）【解答】解：如圖，點(diǎn)O既是它的外心也是其內(nèi)心,.OB=2,/1=30°, .OD=1OB=1,BD=J3,.AD=3,BC=2j3,1Saabc=X23X3=3y3;而圓的面積=兀X2=4兀，所以陰影部分的面積=4兀-43,故答案為：4兀-3/3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓、特殊角的三角函數(shù)值及三角形的面積、圓的面積公式等知識(shí)，熟練掌握正三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

15、.【舉一反三】1.如圖.在那BC中，/A=60°,BC=5cm,能夠?qū)?BC完全覆蓋的最小圓形紙片的直徑是cm.【思路分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)即可求得那BC外接圓的直徑，本題得以解決.9/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系【解答】解：如圖，作ODLBC于點(diǎn)D,則/ODB=90,設(shè)圓的圓心為點(diǎn)O,能夠?qū)ABC完全覆蓋的最小圓是那BC的外接圓, .在AABC中，/A=60°,BC=5cm, ./BOC=120,ZBOD=60,5一BD=,/OBD=30,25.OB=一2一,得OB=53,sin60°310、3.-2O

16、B=2,3即4ABC外接圓的直徑是103cm,3故答案為：”【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓和外心，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.2.如圖，AD為9BC的外接圓。O的直徑，若/BAD=50°,則/ACB=°.【解答】解：連接BD,如圖，,.AD為9BC的外接圓。O的直徑，/ABD=90,/D=904BAD=90-50°=40°,/ACB=/D=4CT.故答案為40.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心:三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.也考查了圓周角定理.10/182020屆蘇科版中

17、考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)五、三角形的內(nèi)切圓與圓心（切線長定理）例5.如圖，在扇形CAB中，CD±AB,垂足為D,OE是AACD的內(nèi)切圓，連接AE,BE,則/AEB的度數(shù)為.E是9DC的內(nèi)心，/AEC=90+1/ADC=135,2AE=AE在AAEC和AAEB中，EAC=EAB,AC=AB .EACAEAB, ./AEB=/AEC=135,故答案為135°.A.56°B.62【舉一反三】1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,點(diǎn)I是那BC的內(nèi)心，/AIC=124°,點(diǎn)E在AD的延長線上，則/CDE的度數(shù)為（）C.68°D.78【解答】解

18、：二點(diǎn)I是9BC的內(nèi)心，/BAC=2/IAC、/ACB=2/ICA,./AIC=124°,./B=180°-(/BAC+/ACB)11/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系=180°-2/IAC+/ICA)=180°-2180°/AIC)=68°,又四邊形ABCD內(nèi)接于。O,/CDE=/B=68°,故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).2 .如圖，直角三角形ABC的內(nèi)切圓分別與AB、BC相切于D點(diǎn)、E點(diǎn)，根據(jù)圖中標(biāo)示的長度與角度，求AD

19、的長度為何？(D)C.D.3 .如圖，在那BC中，AD是邊BC上的中線，/BAD=/CAD,CE/AD,CE交BA的延長線于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.(1)求CE的長；(2)求證：那BC為等腰三角形.(3)求那BC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.【解答】(1)解：:AD是邊BC上的中線,BD=CD,.CE/AD,.AD為ABCE的中位線，.CE=2AD=6;(2)證明：CE/AD,/BAD=/E,/CAD=/ACE,而/BAD=/CAD,./ACE=ZE,.AE=AC,而AB=AE,.AB=AC,.ABC為等腰三角形.12/18(3)如圖，連接BP、BQ、CQ,在RtAABD中,202

20、0屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系A(chǔ)B=,3242=5,設(shè)。P的半徑為R,OQ的半徑為r,25在RtAPBD中，(R-3)2+42=R2,解得R=一,6PD=PA-AD=至-3=7,66Saabq+Szbcq+Saacq=Saabc,1111一？r?5+-?r?8+-?r?5=一？3?32222一4解得r=一,3一一4即QD=,3PQ=PD+QD=7+-=-.6325答：那BC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為一.2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和三角形的外接

21、圓.13/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系課后作業(yè)1.如圖,BM與。相切于點(diǎn)B,若/MBA=140°,則/ACB的度數(shù)為（A.40°C.60°【思路分析】連接OA、OB,由切線的性質(zhì)知/OBM=90,從而得/ABO=ZBAO=50,由內(nèi)角和定理知/AOB=80,根據(jù)圓周角定理可得答案.【解答】解：如圖，連接OA、OB,.BM是。O的切線，/OBM=90,.ZMBA=140,/ABO=50,.OA=OB,/ABO=/BAO=50,/AOB=80,1/ACB=/AOB=40,2故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)

22、：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.2.如圖，正方形ABCD的邊長為2a,E為BC邊的中點(diǎn)，Ae,De的圓心分別在邊AB、CD上，這兩段圓弧在正方形內(nèi)交于點(diǎn)14/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系【思路分析】作DE的中垂線交CD于G,則G為DE的圓心，H為AE的圓心，連接EF,GH,交于點(diǎn)O,連接GF,FH,HE,EG,依據(jù)勾股定理可得GE=FG=5a,根據(jù)四邊形EGFH4是菱形，四邊形BCGH是矩形，即可得到RtAOEG中，OE=_3a,即可得到EF=-a.42【解答】解：如圖，作DE的中垂線交CD

23、于G,則G為De的圓心，同理可得，H為Ae的圓心，連接EF,GH,交于點(diǎn)O,連接GF,FH,HE,EG,設(shè)GE=GD=x,貝UCG=2a-x,CE=a,RtACEG中，（2a-x）2+a2=x2,解得x=5a,4.GE=FG=5a,4同理可得，EH=FH=5a,4四邊形EGFH是菱形，四邊形BCGH是矩形，GO=BC=a,2.RtOEG中，OE=J（5a）2a2：a,EF=|a'3故答案為：一a.2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相交兩圓的性質(zhì)，相交兩圓的連心線(經(jīng)過兩個(gè)圓心的直線)，垂直平分兩圓的公共弦.注意：在習(xí)題中常常通過公共弦在兩圓之間建立聯(lián)系.3.如圖，在RtAABC中

24、，/C=90°,AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB±,OO經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BC是。的切線；(2)若OO的半徑是2cm,E是Ad的中點(diǎn)，求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀和根號(hào))15/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系A(chǔ)D【思路分析】（1）連接OD,只要證明OD/AC即可解決問題；（2）連接OE,OE交AD于K.只要證明那OE是等邊三角形即可解決問題;【解答】解：（1）如圖，連接OD,DOA=OD,./OAD=/ODA,/OAD=/DAC,./ODA=/DAC,.OD/AC,./ODB=/C=90,.OD±BC,.BC是。O的切線.(2)如圖，連接OE,OE交AD于K.DAe=De,.OEXAD,/OAK=/EAK,AK=AK,/AKO=/AKE=90,.AKOAAKE,.AO=AE=OE,.AOE是等邊三角形，./AOE=60,一SKS扇形OAESVAOE260?22360平行線的判定和性靈活運(yùn)用所學(xué)知【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.16/182020屆蘇科版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：和圓有關(guān)的位置關(guān)系4.如圖，AB