Levy過程與隨機計算讀書報告

1、湖南師范大學(xué)研究生課程論文論文題目Levy過程與隨機計算讀書報告課程名稱Levy過程與隨機計算*級2*級期年月業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計年院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院日（以下內(nèi)容由任課老師填寫）研究生課程論文簡要評語評閱教師簽名：年月日得分：Le過程與隨機計算讀書報告姓名：*學(xué)號：*這學(xué)期我們在鄧?yán)蠋煹膸ьI(lǐng)下學(xué)習(xí)了Levy過程與隨機計算這門課程，通過這門課程的學(xué)習(xí)，我對Levy過程有了初步的了解，并掌握了一些隨機分析和隨機計算的知識。下面就針對Levy過程的一些知識點做一些總結(jié)，其中包括Levy過程的定義，性質(zhì)，定理，和一些例子(如Brownian運動，Gaussian過程，Poisson過程，復(fù)合Pois

2、son過程等)以及它們的Levy特征，還簡單介紹了LevyIt。分解定理。首先，先回顧一下幾個重要知識點：無窮可分：X稱為無窮可分的，若對于VnwN,存在n個相互獨立同分布的隨機變量Y(n),Y2,Yn使得X與Y+丫2+Yn同分布。Lev-yKhich道理：N是Rd上的一個Borel概率測度，N是無窮可分的u存在向量ZRd,正定對稱dd矩陣A,Rd-0±的一個Levy測度V,使得對于Vu=Rd,均有(u)=expi(b,u)-=(u,Au)dei(u,y)-1-i(u,y)自(y)(dy)2R40)其中g(shù)=B(0).Levy特征:X(t)的特征函數(shù)x(u)=E(ei(u,X(t)=e

3、"u)(發(fā)uwRd),我們稱映射“：RdtC為Levy特征一、Levy過程的定義：設(shè)概率空間為(QF,P)為概率空間，X=X(t),t之0為定義在該空間上的一個隨機過程，我們稱X是一個Levy過程，若X滿足以下幾條：L(1):X(0)=0(a.s);L(2):X有獨立平穩(wěn)增量,即對于VnN,0<ti<t2<tn<«,(X(tj書)X(tj),1<j<n)相互獨立；且X(tj2X(tj)與X(tj書-tj)-X(0)同分布；L(3):X是隨機連續(xù)的,即對于Va>0,Vs>0,lilimsP(X(t)-X(s)a)=0.注：在L(

4、1),L(2)滿足的條件下，L等價于a0,與P(X(t)>a)=0.Levy過程的幾條性質(zhì)，定理;1、若X是一個Levy過程，則對于Vt之0,X(t)是無窮可分的(即對于VnwN,X可以表示成n個相互獨立同分布隨機變量的和)。2、若X=(X(t),t20)是隨機連續(xù)的，則對于VuwRd,映射tTGx(u)是連續(xù)的。3、若X是一個LevyM程，則對于VuWRd,t之0,6x(t)(u)=8”其中6x(t)(u)為X(t)的特征函數(shù)，即6x(t)(u)=E(ei(u,X(t),“為X(1)的Levy特征。4、若X=(X(t),t至0)是一個Levy過程,特征為(b,A,v)；則(1)-X=(

5、-X(t),ti0)也是一個Levy過程，并且其特征為(b,A,<),其中對于-AB(Rd),(A)=、(-A);(2)VcR,過程(X(t)+ct,t之0)是一個Levy過程,其特征為(b+c,Av)5、若隨機過程X和Y是隨機連續(xù)的，則X+Y=(X(t)+Y(t),t之0)也是隨機連續(xù)的。6、若e過程X和Y相互獨立，則X+Y=(X(t)+Y(t),t20)也是Levy過程。7、若X=(X(t),t豈0)是隨機連續(xù)的，存在一列Levy過程(Xn,nwN),其中Xn=(Xn(t),t至0)并且對于vt20,Xn(t)依概率斂到X(t),對于Va0,limsupt_0P(Xn(t)-X(t)

6、|>a)=0；則X是一個Levy過程。三、Levy過程的一些例子：1、Brownian運動和Gaussian過程：Rd上的(標(biāo)準(zhǔn)的)Brownian運動是一個Levy過程，B=(B(t),t之0)滿足(B1)：對于Vt之0,B(t)N(0,tI),(B2)：B有連續(xù)的樣本軌道。由(B1),我們可知若B是一個標(biāo)準(zhǔn)的Brownian運動，則它的特征函數(shù)為b(u)=E(ei(u,B(t)=exp(-tu2),(對于fu三Rd,t20)。注解：(1)Brownian運動的樣本軌道幾乎處處不可微(2)對于任意R*上的時間序列(3”N),tn笛，有l(wèi)imsupB(tn)=0°a.s.;li

7、minfB(tn)=asn>:：n>:令A(yù)是一個正定對稱dMd矩陣，仃為A的平方根，即。是dxm矩陣滿足gT=A，令bWRd,B=(B(t),t*0)是Rm上的Brownian運動，構(gòu)造Rd上的過程C=(C(t),t20),C(t)=bt+B(t)；則C(t)N(tb,tA)且C是一個Levy過程,也是一個Gaussian過程(即C的所有的有限維分布都是Gauss的)。C的Levy特征為1%(u)=i(b,u)-一(u,Au),即其特征為(b,A,0)。2若b=0,Vt>0,C(t)=B(t),我們常寫作C(t)=BA(t),A為Brownian的協(xié)方差。2、Poisson過

8、程：取值于N-0的參數(shù)為人的Poisson過程N=(N(t),t20)(t)1是一個Levy過程，其中N(t)n)，所以P(N=n)=e,n=0,1,2=定義一列非負(fù)的隨機變量(Tn，NU0)(稱為等待時間)：T0=0,寸n£N,Tn=inft00;N(t)=n,貝UTn服從gamma分布，且對于VnN,間隔時間-Tn服從均值為工的指數(shù)分布，且是相互獨立同分布的。九N=(N(t),t之0)的樣本軌道在有限區(qū)間內(nèi)是分段連續(xù)的，在每一個Tn處都會有一個跳躍度為1的跳。N(t)息是一個鞅，定義過程N=(t),t之0),其中(t)=N(t)八t,貝U*N=(N(t),t之0)是一個復(fù)合Poi

9、s過程，且對于日20,E(N(t):E(N(t)-t)=0,E(N(t)2);t3、復(fù)合Poisson過程：令(Z(n),nWN)是一列取值于Rd的相互獨立同分布的隨機變量，它們的分布測度均為4,令N=(N(t),t之0)是一個參數(shù)為九的Poisson過程，且與(Z(n),nWN)獨立，定義復(fù)合Poisson過程為：Vt>0,Y(t)-Z(1)Z(2)：Z(N(t)所以Y(t)n(盤卅z)。顯然，一個復(fù)合Poisson過程是一個Poisson過程=d=1且每一個Z(n)=1(a.s.)。復(fù)合Poisson過程Y=(Y(t),t20)是一個Levy過程，Y的Levy特征為“Y(u)=(ei

10、(u,y)-1)+z(dy)。Rd若Ni=(N1(t),t至0)和N2=(N2(t),t20)是兩個定義在同一個概率空間上的相互獨立的Poisson過程，到達時間分別為(Tn,MN),j=1,2;則對于一些m,nWN,PmDuTn2)：。.即兩個相互獨立的Poisson過程必須在不同的時間上才會有跳四、Poisson隨機測度跳過程AX=(AX(t),t>0),其中AX=X(t)X(t),t>0,X(t_)是X(t)在t點的左極限。若N是一個a.s.單調(diào)增的Levy過程，AN=UN(t),t20)取值于0,1,則N是一個Poisson過程。令N是一i個Pois過程且選擇0Mti<

11、;t2<°°.則P(AN(t2)AN(t1)=0AN(t1)=1)#P(AN(t2)AN(t1)=0),所以&N不可能有獨立增量。若X是一個Levy過程，對于固定的t>0,AX=0(a.s.).若X是一個復(fù)合Poisson過程，則XAX(s)<七(a.s.).0:：s_t對于V0Mt<叱AWB(Rd0),定義N(t,A)=#0，s£T;：X(s)A="a(X(s),0汐空所以，對于WoWQt至0,函數(shù)AtN(t,A)是一個B(Rd-0)上的計數(shù)測度，因此E(N(t,A)=JN(t,A)(m)dP(6)在B(Rd-0)上是可

12、測的，記N()=E(N(1,)為X的強度參數(shù)，若0j,我們則稱AWB(Rd-0)是從下有界的。結(jié)論：(1)若AWB(Rd-0)是從下有界的，貝Nt之0,N(t,A)“(as).若AWB(Rd-0)是從下有界的，則(N(t,A),t之0)是一個強度為N(A)的Poisson過程。(3)若A,A2,，B(Rd-0)是互不相交的，則隨機變量N(t,A),，N(t,Am)是相互獨立的。令(S,A)是一個可測空間，(C,F,P)是一個概率空間。(S,A)上的隨機測度M是隨機變量(M(B),BwA)使得：(1)M(S)=0;(2)可數(shù)可加性：對于任意一個序列(A,nwN),其中(A,nwN)是A中的互不相

13、交的集合,M(UAn)=SM(An),a.s.；n-Nn.-N(3)分散化獨立性：對于A中互不相交的集合族(Bi，B2,，Bn),隨機變量M(Bi),M(B2),，M(Bn)是獨立的。若當(dāng)M(B)<g,M(B)服從Poisson分布，我們則稱M是Poisson隨機測度。對于VBeA,%(B)=E(M(B)，我們則可以得到(S,A)上的仃有限測度1.給定測度空間(S,A)上的仃-有限測度九，存在概率空間(C,F,P)上的Poisson隨機測度M使得VBeA,九(B)=E(M(B).例子：U=Rd-0,C是一個Borel仃一代數(shù)，令X是一個Levy過程，則是AX一個Poisson點過程，N是

14、其Poisson隨機測度。對于8之0,A是從下有界的，我們定義補償Poisson隨機測度：N(t,A)=N(t,A)-t(A),(N(t,A),t0)是一個鞅。顯然，我們有以下結(jié)論：(1) Ht>0,SWQ,N(t,)(S)是Rd0上的一個計數(shù)測度;(2)對于VA從下有界，(N(t,A),t20)是一個強度為(A)=E(N(1,A)的Poisson過程；(3)(t,A),t至0)是一個鞅值測度，其中(t,A)=N(t,A)-出(A),A是從下有界的。F面看一下Poisson積分，令f為Rd到Rd的Borel可測函數(shù)，A是從下有界的，則對于,>0,0g,我們可以定義f的Poisson

15、積分為隨機變量有限和ff(x)N(t,dx)4)=£f(x)N(t,x)(0).注意每一個Ax.AAf(x)N(t,dx)fbRd值隨機變量。因為N(t,x)#0uAX(u)=x,V0<u<t,我們有工f(x)N(t,dx)=£f(AX(u)/A(AX(u).令(TnA,nwN)是Poisson過程o”三(N(t,A),t之0)的到達時。Poisson積分的另一i種表達形式是”(x)N(t,dx)=£f(AX(TnAAt)on:-N定理：令A(yù)是從下有界的，則有下面幾條成立：(1)對于1之0,Jf(x)N(t,dx)是一個復(fù)合Poisson分布，使得對于

16、A寸uRd,E(expi(u,Jf(x)N(t,dx)=exptf(ei(u,x)-1)2f(dx)，其中2f=N。fAA'(2)若fL1(A*A),我們有E(ff(x)N(t,dx)=tff(x)(dx)AA(3)若fwL2(A,%),我們有Var(Lf(x)N(t,dx)=tf(x)2N(dx).AA若f:RdTRd是Borel可測函數(shù)，則工f(AX(u)14(AX(u)<a.s.0<u<t(ff(x)N(t,dx),t之0)是一個復(fù)合Poisson過程。'A對于任意的fwL1(A,匕),定義補償Poisson積分:_一，If(x)N(t,dx)=Af(x

17、)N(t,dx)-tfAf(x)N(dx)；AAA顯然，(j；f(x)l(t,dx),t20)是一個鞅；由上述定理可知：對于VuWRd,有A(IIV)E(expi(u,1f(x)N(t,dx)=expt(e-1-i(u,x)h(dx);且對于AA2 2.fWL2(A,E),E(f(x)N(t,dx)=tf(x)N(dx).AA若A,B是從下有界的，fwL2(A,Na)gwL2(B,，)，我們有f(x)N(t,dx)g(x)N(t,dx)=tf(x)g(x)(dx).ABAB若A是從下有界的，定義：Ma""(x)l(t,dx),f乏L2(A1a)L則Ma為A鞅空間m的閉子空間

18、若f為Rd到Rd的Borel可測函數(shù)，A是從下有界的，N是一個Poisson隨機測度且為Levy過程X的調(diào)的計數(shù)測度，強度參數(shù)為定義Y=(Y(t)40),其中Y(t)=Jf(x)N(t,dx)(s)，則丫=(丫代口")在【°刀上A有界變差。又設(shè)疑為其Levy特征，對于VuwRd,Mu=(Mu(t),t之0)是一個鞅，其中Mu(t)=ei(uY(t)"u),則Mu是有界變差的。每一個從屬過程都是有界變差的。五、Levy-It。分解預(yù)備知識:命題2.4.1：設(shè)Mj,j=1,2是兩個右連左極的中心鞅，對于j,Mj是L2的,且對于黃>0,E(V(Mk(t)2)<

19、;s,krj,則E(Mkt)M2(t)-E(xMi(s).M2(s)0<sl注：當(dāng)Mj,j=1,2均為布朗運動時，上述命題是不成立的。例：N=(N(t),t之0)是一個Poisson過程,到達時間為3，nwN)令M是右連左極的中心鞅，則譏之0,E(M(t)N(t)=E(£AM(Tn)MTn0)n三N例：設(shè)A是下方有界的，M是右連左極的平方可積鞅，M在N=(N(t),t>0)的到達時間是連續(xù)的，則M與Ma中的每一個過程均是正交的。定理：若Ap,p=1,2是不交的且是從下有界的，則(fxN(tdx)t至0)與Ai(fxn(tdx)t至0)是相互獨立的隨機過程。'a2若

20、BC>0,使得supIiX(t)|<C我們就稱Levy過程X是有有界跳的。01_定理：若Levy過程X有有界跳，則對Vm=N,E(X(t)m)<".對于寸a>0,考慮復(fù)合Poisson過程(/xN(tdx)t之0)定義一個新的隨機3 a，過程Ya=(Ya(t)，t"),其中Ya(t)=X(t).fxN(t,dx)，X為Levy過程。xa令(Tn，nwN)為Poisson過程(N(t，Ba(0)c)，t至0)的到達時間,則X(t);0Mt<TiYa(t)=，X(TC;t=T1且Ya(t)是一個Levy過程。X(t)-X(T1);T1<t：T

21、2Ya(T2)t=T2定理：一個Levy過程Y有有界的跳u對于一些a0,Y可以表示成Ya的形式。對于任意的a>0,定義一個Lev試程R=(Ya(t),t之0),噌(t)=Ya(t)-E(Ya(t),則*是一個RCLL中心L2鞅，對于-t-0,EYa(t)=tEYa(1).下面的討論令a=1,吊(t)、Y(t)簡寫為Y(t)、Y(t)定理：對于VtA0,Y(t)=Yc(t)+Yd(t),其中Yc與K(t)是相互獨立的Levy過程，Yc(t)有連續(xù)的樣本軌道，Yd(t)=xN(t,dx)-X：1設(shè)口為Poisson隨機測度N的強度參數(shù)，則(1)N是一個Levy測度；(2)對于Vt>0,uwRd,E(expi(u，Yd(t)=exptxJei(u，x)1i(u，x)N(dx)；(3)對于胃之0,1勺江，田，丫二)6=叫,*他).(4)K(t)是一個布朗運動.Levy-Ito分解定理：若X是一個Levy過程，則存在bwRd,存在一個布朗運動Ba(Ba的協(xié)方差矩陣為A)