函數(shù)中的數(shù)形結合思想

1、離離.華羅庚華羅庚1 1、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義如果在一個變化過程中，有如果在一個變化過程中，有兩個變量，變量，例如例如x x和和y y，對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應，我們就說，我們就說x x是是自變量，y y是是因變量,此時也稱此時也稱y y是是x x的的函數(shù) 。函數(shù)關系是一種函數(shù)關系是一種特殊的特殊的選擇正確的選擇正確的函數(shù)關系函數(shù)關系圖打圖打11xy11-1xyX是自變量是自變量,y是是X的函數(shù)的函數(shù)(1)(2) （）（） 下列關系式中，下列關系式中，y是是x的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？y=|x| | y|=x y2=x （2）下列各圖中給出了下列各圖中給出了x與與y的對應關的對應關

2、系系,其中其中y與與x之間存在函數(shù)關系的是之間存在函數(shù)關系的是:ABCDyxyyyxxx結論結論:數(shù)與形之間數(shù)與形之間有著緊密的聯(lián)系有著緊密的聯(lián)系,數(shù)數(shù) 形形K0,b0K0,b0K0K0,b0（）直線（）直線y=kx+b(k0)必定經(jīng)過必定經(jīng)過_象限象限.一一二二三三一一三三四四一一二二四四二二三三四四k_0，b_0 k_0，b_0 k_0，b_0 k_0，b_0（）根據(jù)下列一次函數(shù)（）根據(jù)下列一次函數(shù)y=kx+b(k 0)的的草圖回答出各圖中草圖回答出各圖中k、b的符號：的符號：132xyx增大增大y增大增大（）當（）當k0時，時，y隨隨x的增大而的增大而，這時函數(shù)的圖象從左這時函數(shù)的圖象從

3、左到右到右；23 xy增大增大上升上升2xyx增大增大y減少減少（）（） 當當k0時，時，y隨隨x的的增大而增大而_，這時函數(shù)，這時函數(shù)的圖象從左到右的圖象從左到右_ 減小減小下降下降反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=kx-1中中k的的幾何意義是什么？幾何意義是什么？POABPAy=kx-1(k0)S矩形PBOA=|K|S三角形三角形POA=|K|2sAPAP”=2|K|）、如圖是三個反比例函數(shù)在）、如圖是三個反比例函數(shù)在軸上方的圖象，由此觀察得到的大小關系為（）軸上方的圖象，由此觀察得到的大小關系為（）y=k1x,y=k2x,y=k3x、 、 、 D、 K1k2k3K2k3k1K3k2k1K3k1K2

4、 oABCD如下圖如下圖,正比例函數(shù)正比例函數(shù)y=x與反比與反比例函數(shù)例函數(shù)y= x 的圖象相交于的圖象相交于A、兩點，兩點，軸，垂足為，軸，垂足為，軸垂足為，軸垂足為，則四邊形的面積為則四邊形的面積為( )、y=1xy=x圖圖圖圖）E 笛卡兒（笛卡兒（Descartes，Rene），），1596年年3月月31日生于拉埃那，今稱拉埃耶一笛卡兒（圖爾日生于拉埃那，今稱拉埃耶一笛卡兒（圖爾附近）附近）1650年年2月月11日卒于瑞典斯德哥爾摩。日卒于瑞典斯德哥爾摩。法國哲學家，數(shù)學家，物理學家，解析幾何法國哲學家，數(shù)學家，物理學家，解析幾何學奠基人之一學奠基人之一。他認為數(shù)學是其他一切科學。他認為

5、數(shù)學是其他一切科學的理論和模型，提出了數(shù)學為基礎，以演繹的理論和模型，提出了數(shù)學為基礎，以演繹為核心的方法論，對后世的哲學。數(shù)學和自為核心的方法論，對后世的哲學。數(shù)學和自然科學發(fā)展起到了巨大的作用。然科學發(fā)展起到了巨大的作用。我們現(xiàn)在所用的我們現(xiàn)在所用的直角坐標系直角坐標系，通常叫做，通常叫做笛卡笛卡兒直角坐標系兒直角坐標系。是從笛卡兒引進了直角坐標。是從笛卡兒引進了直角坐標系以后，人們才得以用代數(shù)的方法研究幾何系以后，人們才得以用代數(shù)的方法研究幾何問題，才建立并完善了解析幾何學，才建立問題，才建立并完善了解析幾何學，才建立了微積分。了微積分。直線直線y=5x-10過點（過點（ ，0）、（）、

6、（0， ）直線直線y=-x+3與與x軸的交點為軸的交點為 ，與，與y軸的交點軸的交點為為 . 變式變式：直線直線y+2x=1與與x軸的交點為軸的交點為 ，與，與y軸的交點軸的交點為為 . 點點P(-4,-3)到到x軸的距離是軸的距離是 ,到軸的距離是到軸的距離是 ,到原點的到原點的距離是距離是_. 已知：已知：A(2,-5)、B(5,-1)，則線段，則線段AB的長是的長是_. 點點A(2,-5)和點和點B(4,-3) 的中的中點點C的坐標是的坐標是(_,_)2-10(0.5,0)(0,1)（，）（，）（，）34553-4知識點：知識點：直線直線y =kx+b交交y軸于點（，軸于點（，k),交交

7、x軸于（，）軸于（，）bk 1、已知直線、已知直線ykxk與雙曲線與雙曲線y (k0)，則它們在同一坐標系中的圖象大致是則它們在同一坐標系中的圖象大致是( )kxC、點、點P是一個反比例函數(shù)與正比例函數(shù)是一個反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=2x的圖象的交點，的圖象的交點，PQ垂直于垂直于x軸軸,垂足垂足Q的坐標為的坐標為(2,0)(1) 求這個反比例函數(shù)的解析式求這個反比例函數(shù)的解析式.(2) 如果點如果點M(-4,y)在這個反比例函數(shù)的圖象上在這個反比例函數(shù)的圖象上,求點求點M 的坐標及的坐標及MPQ的面積的面積. (3)在在x正半軸上是否存在一點正半軸上是否存在一點B,使使OPB是等腰三角形是等

8、腰三角形?若存在若存在,請求出所有符合條件的點請求出所有符合條件的點B的坐標的坐標;若不存在若不存在,請說明理由請說明理由.kx(2,4)2, 48y=8x(-4,-2)知道知道P(2,y)在直線在直線y=2x上上,則則P點的坐標是點的坐標是_.知道知道P(_)P(_)在函數(shù)在函數(shù)y= y= 上上, ,則則 K=_.K=_.知道知道M(-4,y)M(-4,y)在在 , ,則則M M的坐標是的坐標是_Q(2,0)P(2,y)M(-4,y)OQ(2,0)P(2,4)M(-4,-2)O求直線求直線PM與與X軸的軸的交點交點A,并求并求出出MPQ的的面積面積AQ(2,0)P(2,4)M(-4,y)Oy

9、xB1X-24X設設OB1=X求求B1Q(2,0)P(2,4)M(-4,y)OyxB1B2求求B224Q(2,0)P(2,4)M(-4,y)OyxB1B2B3求求B3解解:(1)設設P點坐標點坐標(2,y),反比例函數(shù)為反比例函數(shù)為y= (k0) 直線直線y=2x過過P(2,y) y=2x2=4, P(2,4)P(2,4)在在y=上，上， y=kx8x(1) 求這個反比例函數(shù)的解析式求這個反比例函數(shù)的解析式.xkQ(2,0)P(2,4)M(-4,y)O(2)M(-4,y)M(-4,y)在在y= y= 的圖象上的圖象上, ,y=-2,y=-2,M(-4,-2)M(-4,-2)設直線設直線PMPM

10、為為y=ky=k1 1x+bx+b1 1( (k10)直線直線PMPM過點過點P(2,4)P(2,4)、(-4,-2)(-4,-2) 4=2k 4=2k1 1+b+b1 1 -2=-4k-2=-4k1 1+b+b1 1解之得解之得k k1 1=1=1 b b1 1=2=2y=x+2y=x+2故直線故直線y=x+2y=x+2交交x x軸于軸于A(-2,0)A(-2,0)S MPQ=SAQP+SAQM=4+8=128x(2) 如果點如果點M(-4,y)在這個反比例函數(shù)的圖在這個反比例函數(shù)的圖象上象上,求點求點M 的坐標及的坐標及MPQ的面積的面積. (3)在在x軸上是否存在一點軸上是否存在一點B,

11、使使OPB是等是等腰三角形腰三角形?若存在若存在,請求出所有符合條件的請求出所有符合條件的點點B的坐標的坐標;若不存在若不存在,請說明理由請說明理由.解題反思：解題反思：點在函數(shù)圖象上點在函數(shù)圖象上,則點的坐則點的坐標滿足函數(shù)關系式。標滿足函數(shù)關系式。求交點求交點坐標就是解方程組。坐標就是解方程組。求三角形的面積時求三角形的面積時,要充分要充分利用利用”數(shù)形結合數(shù)形結合”的思想的思想,即即用用”坐標坐標”求線段求線段,用用”線段線段”求求”坐標坐標”通常將軸上的邊通常將軸上的邊作為底邊作為底邊, ,再利用點的坐標求再利用點的坐標求得底邊上的高得底邊上的高; ;然后利用面積然后利用面積公式求解公式求解, ,有時需要將圖形分有時需要將圖形分割為規(guī)則圖形割為規(guī)則圖形. .待定系數(shù)法待定系數(shù)法(3)在在x軸上軸上B1、B2、B3均可讓均可讓OPBOPB是等腰三角形是等腰三角形設設OBOB1 1=x,=x,那么那么QBQB1 1=x-2,PB=x-2,PB1 1=x,=x,在在RtRtQB1P中中(x-2)2+42=x2, ,解之得解之得X=5, X