全國1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)經(jīng)管類試題與答案解析

1、全國2013 年 1 月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184說明：本卷中，AT表示矩陣 A的轉(zhuǎn)置，T 表示向量a的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣 A的行列式，A-1 表示 方陣 A的逆矩陣，R(A)表示矩陣 A的秩.選擇題部分注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱、姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上。2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。一、單項(xiàng)選擇題(本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一

2、個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯涂、涂或未涂均無分。1設(shè) A , B 為同階方陣，則必有（D）A| A + B |=| A | + | B |B AB = BAC ( AB)T = AT BTD| AB |=| BA | AB |=| A | B |=| BA | 2設(shè) n 階方陣 A , B , C 滿足 ABC = E ，則必有（C）A ACB = EB CBA = EC BCA = ED BAC = EABC = E Þ BC = A-1 Þ BCA = A-1 A = E 3設(shè) A 為三階方陣，且| A |= 2 ，則| -2 A |=

3、 （A）A -16B - 4C4D16| -2 A |= (-2)3 | A |= -8 | A |= -16 4若同階方陣 A 與 B 等價(jià)，則必有（C）nnA| A |=| B |B A 與 B 相似C R( A) = R(B)D å iiå iia =b=1i =1i5設(shè)a1 = (1,0,0) ,a2 = (2,0,0) ,a3 = (1,1,0) ，則（C）Aa1 ,a2 ,a3 線性無關(guān)Ba3 可由a1 ,a2 線性表示Ca1 可由a2 ,a3 線性表示Da1 ,a2 ,a3 的秩等于 3多a = 1a + 0a12 23 ，a1 可由a2 ,a3 線性表示6設(shè)

4、a1 ,a2 是非齊次方程組 Ax = b 的解， b是對應(yīng)齊次方程組的解，則 Ax = b 一定有一個解是（D）12Aa1 + a2Ba1 - a2C b+ a1 + a2D 3a1 + 3 a2 - bæ 12ö121212Aç a1 + a2 - b÷ =Aa1 +Aa2 - Ab=b +b - 0 = b a +è 33ø3333， 3 13 a2 - b是 Ax = b 的解é2 0 0ùL = ê0 0 0úêú7若 3 階方陣 A 與對角陣ëê

5、;0 0 3úû 相似，則下列說法錯誤的是（B）A| A |= 0B| A + E |= 0C A 有三個線性無關(guān)特征向量D R( A) = 2已知 A 的特征值是 0,2,3 若 | A + E |= 0 ，則 -1是 A 的特征值，矛盾8齊次方程 x1 + x2 - x3 = 0 的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)是（C）A0B1C2D3n - r = 3 -1 = 2 9若a= (1,1, t) 與 b= (1,1,1) 正交，則 t = （A）A - 2B -1C0D1內(nèi)積 2 + t = 0 ， t = -2 é21ùA = ê12ú1

6、0對稱矩陣ëû 是（）A負(fù)定矩陣B正定矩陣C半正定矩陣D不定矩陣21D2 = 3 > 0D1 = 2 > 0 ，12， A 是正定矩陣非選擇題部分注意事項(xiàng)：用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）11設(shè) A , B 均為三階可逆方陣，且| A |= 2 ，則| -2B-1 A2 B |= -32| -2B-1 A2 B |= (-2)3 | B-1 | A2 | B |= -8 | B |-1| A |2 | B |= -8 | A |2 = -8 ´ 22 = -3

7、2 12四階行列式中項(xiàng) a21a32 a13 a44 的符號為 正行標(biāo)按自然數(shù)順序排列為 a13a21a32a44 ，列標(biāo)的逆序數(shù)為 2 ，符號為正本題超出教材范圍é 1-1ùA = êú13設(shè)ë-12 û ，則 A 的伴隨陣 A* = *é2 1ùA = êúë1 1ûé1 2 1ùA = ê0 2 3úêú14設(shè)êë1 0 t úû ，且 R( A) = 2 ，則 t =

8、1é1 2 1ùé1 21 ùA = ê0 2 3ú ® ê0 23 úêúêúêë1 0t úûêë0 0 t -1úû ， R( A) = 2 ，則 t = 115設(shè)三階方陣 A = a1 ,a2 ,a3 ，其中ai 為 A 的列向量，且| A |= 3 ，若 B = a1 ,a1 + a2 ,a1 + a2 + a3 ，則| B |= 3| B |= | A |= 3 ì

9、x1 + x3 = 0í16三元方程組 îx1 - x2 = 0 的通解是 ìx1 = -x3æ-1öïç÷é101ùé101 ùé10 1ùíx2 = -x3kç-1÷ A = êú ® êú ® êúï ç÷ë1 -1 0ûë0-1 -1ûë01 1û ，

10、 îx3 = x3 ，通解是 è 1 ø ， k 是任意常數(shù)é 21ùA = êú17設(shè)ë- 1 4û ，則 A 的特征值是 3，3l- 2-1| lE - A |= l2 - 6l+ 9 = (l- 3)21l- 4， A 的特征值是 3,3 18若三階矩陣 A 的特征值分別為1,2,3 ，則| A + 2E |= 60A + 2E 的特征值分別為 3,4,5 ，| A + 2E |= 3´ 4 ´ 5 = 60 é2A = ê0êêë

11、;00010ùé21úúB = ê0ê0100 ù0 ú19若xúû 與êë0ú- 1úû 相似，則 x = 0第 3頁A 與 B 相似，則 tr( A) = tr(B) ，即 2 + 0 + x = 2 +1 -1， x = 0 é 1- 1ùA = êú20實(shí)對稱矩陣ë- 11 û 的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是 l-11é00ù| lE - A |= l(l- 2)&#

12、234;ú1l-1， A 的特征值是 0,2 ， A 的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是 ë02û 三、計(jì)算題（本大題共 6 小題，每小題 9 分，共 54 分）21計(jì)算四階行列式1234- 1234- 1 - 234- 1 - 2 - 3 4解：1234-1234-1 - 234-1 - 2 - 3 4=1 2 3 40 4 6 80 0 6 80 0 0 8= 1´ 4 ´ 6 ´ 8 = 192é215 ùA = ê04- 2úêú22設(shè)êë4- 31 

13、0;û ， B 是三階方陣，且滿足 AB - A2 = B - E ，求 B 1151153- 2| A - E |= 03- 2 = 03- 2 = -74 ¹ 0- 7- 20解：因?yàn)? - 300 - 7- 20，所以 A - E 可逆，é315 ùA + E = ê05- 2úêú由 AB - A2 = B - E ，得 AB - B = A2 - E ， ( A - E)B = ( A - E)( A + E) ， B =êë4 - 32 úû 23設(shè)a1 = (1

14、,1,2,3) ,a2 = (1,-1,1,1) ,a3 = (1,3,3,5) ,a4 = (4,-2,5,6) ,a5 = (-3,-1,-5,-7) ，試求向量組a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5的秩和一個極大無關(guān)組é1114- 3ùé1114- 3ùêúêúaT ,aT ,aT ,aT ,aT = ê1 -1 3 - 2-1ú ® ê0 - 2 2 - 62 ú12345ê2135- 5úê0-1 1 - 31 ú&

15、#234;úêú解：ë3156- 7ûë0 - 2 2 - 62 ûé1114- 3ùé1 114 - 3ùé1 0 2 1 - 2ùêúêúêú® ê0 - 2 2 - 62 ú ® ê0 1 -1 3 -1ú ® ê0 1 -1 3 -1úê00000 úê0 0000 ú&

16、#234;0 0 0 00 úêúêúêúë00000 ûë0 0000 ûë0 0 0 00 û ，向量組的秩是 2，a1,a2 是向量組的一個極大無關(guān)組第 4頁ìx1 - x2 + 3x3 + 2x4 = 3ïí2x1 - x2 + 2x3 - x4 = 2ï24設(shè)四元方程組 îx1 - 2x2 + 7x3 + 7x4 = t ，問 t 取何值時該方程組有解？并在有解時求其通解é1-1323ù

17、é1-1323 ùé1-1323 ù A, b = ê2-12-1 2ú ® ê01- 4- 5- 4 ú ® ê01- 4- 5- 4 úêúêúêú解：êë1- 2 77t úûêë0-145t - 3úûêë0000t - 7úû ，t = 7 時， R( A, b) = R( A) = 2

18、，該方程組有解，此時ìx1 = -1+ x3 + 3x4ïé1 -1323 ùé1 0-1- 3-1ùïx2 = -4 + 4x3 + 5x4® ê01- 4 - 5 - 4ú ® ê0 1 - 4 - 5 - 4úíx =xêúêúï 33 A, bêë00000 úûêë0 0000 úû ， ïîx4

19、=x4 ，æ -1 öæ 1 öæ 3öç÷ç ÷ç ÷ç- 4÷ç 4÷ç 5÷ç 0 ÷ + k1ç 1 ÷ + k2 ç 0÷ç÷ç ÷ç ÷ç÷ç ÷ç ÷該方程組通解為 è 0 øè 0ø&

20、#232; 1ø ， k1, k2 是任意常數(shù)é- 1 - 4ùé- 1 0ùP = ê 11 úD = ê 02ú-1525設(shè)矩陣ëû ，ëû ，矩陣 A 由矩陣方程 P AP = D 確定，試求 A P-1 = 1 P* = - 1 é 14 ù = 1 é-1 - 4ùêúêú解：| P |3 ë-1 -1û3 ë 11 û ， A = PD

21、P-1 ，5= 1 é-1 - 4ùé-1 0ù é-1 - 4ùA5 = (PDP-1 )(PDP-1 )(PDP-1 )(PDP-1 )(PDP-1 ) = PD5 P-13 ê 11 úê 02ú ê 11 úëûëû ëû= 1 é-1 - 4ùé-10 ùé-1 - 4ù = 1 é 1-128ùé-1 - 4

22、9; = 1 é-129-132ù3 ê 11 úê 032úê 11 ú3 ê-132 úê 11 ú3 ê 3337 úëûëûëûëûëûëû 26求正交變換 X = PY ，化二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = -2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 為標(biāo)準(zhǔn)形é 0-1 1ùA = &#

23、234;-101úêú解：二次型的矩陣為êë 110úû ，l1-1l1-1l 1 -1l2-1| lE - A |= 1l -1 = 1l-1 = (l-1) 1 l -1 = (l-1) 1 l+ 1 -1-1 -1 l0 l-1 l-1011001l2= (l-1)= (l-1)(l2 + l- 2) = (l+ 2)(l-1)21l+1， A 的特征值為l1 = l2 = 1 ， l3 = -2 對于l1 = l2 = 1 ，解齊次線性方程組 (lE - A)x = 0 ：第 5頁é 11-1ù&

24、#233;11-1ùìx1 = -x2 + x3æ-1öæ 1ölE - A = ê 11-1ú ® ê000 úïx = xa = ç 1 ÷a = ç 0÷êúêúí 221ç÷2ç ÷êë-1 -11 úûêë000 úû ， ïx =x ，ç

25、 0 ÷ ，ç 1÷ ，î 33èøè øæ-1öæ 1öæ-1öæ1/ 2öa = ç 1 ÷b =a - (a2 ,b1 ) b = ç 0÷ - - 1 ç 1 ÷ = ç1/ 2÷1ç÷22| b |21ç ÷2 ç÷ç÷ç÷1ç ÷

26、;ç÷ç÷正交化： b1 =è 0 ø ，è 1øè 0 øè 1 ø ，æ-1öæ1/ 2öæ 1 ö11 ç÷12 ç÷1 ç ÷ p1 = | b | b1 =ç 1 ÷p2 = | b | b2 =ç1/ 2÷ =ç 1 ÷ 12 ç÷26 ç÷6 ç ÷單位化：è 0 ø ，è 1 øè 2ø ；l1-11l -1對于 l3 = -2 ，解齊次線性方程組 (lE - A)x = 0 ： -1 -1 lé- 21-1ùé10 1ùìx1 = -x3æ-1ölE - A = ê 1- 2-1ú ® ê0 1 1úïx = -xa = ç- ÷êú