第三章多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 1 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量1.1 二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合分布律 二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的分布律表解解 (X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),則(X,Y)的聯(lián)合分布律為3 26(0,0)5 420P XY3 26(0,1)5 420P XY1.2二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 01ijp0(,)1ijP Xx Yy01ijp證證 因?yàn)?所以 性質(zhì)性質(zhì)2 111ijijp1111(,)( )1ijijijijpP

2、 Xx YyP 證證 證證 ,(, )(,)ijijx x y yP X YGPxx yy(,)(,)(,)ijijijijx yGx yGP xx yypY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i)(ij),于是(X,Y)的分布律為(3,2)P XY1111120488121232 二維連續(xù)性隨機(jī)變量二維連續(xù)性隨機(jī)變量 2.1二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) ( , )(,)ijijxx yyF x yP Xx Yyp 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量

3、X和Y具有分布律PX= xi,Y= yj=pij ,(i,j=1,2,.)，則二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 其中和式是對(duì)一切滿足xix,yjy的來求和的.(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oxy2.2二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 F(x,y)分別關(guān)于分別關(guān)于x和和y單調(diào)不減單調(diào)不減. 證證 對(duì)任意的 12xx因?yàn)?2(,)(,)Xx YyXx Yy 所以12(,)(,)P Xx YyP Xx Yy即12( , )(, )F x yF xy 同理可證,對(duì)任意的12yy 有12( ,)( ,)F x yF x y性質(zhì)

4、性質(zhì)3 F(x,y)分別關(guān)于分別關(guān)于x和和y右連續(xù)右連續(xù). 2.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量 解解 (1)由 ( , )1f x y dxdy 得11016xkdx kxdy 所以 k=6(2) 112101(1)664xx yxP XYxdxdyxdxdy 解解 由( , )( , )yxF x yf u v dudv ( , )0f x y 則( , )0F x y 當(dāng)x1,y1時(shí), 221 1111( , )( , )(1)(1)yyxxF x yf u v dudvdudvu vxy 所以(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)11(1)(1)1,1( , )0 xyxyF x y其它 例

5、:設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)具有概率密度其他, 00, 0,2),()2(yxeyxpyx (1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1) yxdudvvupyxF),(),(2)將(X,Y)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo).G是xoy平面上直線y=x下方的部分.),(GYXPXYP 其他, 00, 0,200)2(yxvuyxdudve其他, 00, 0),1)(1 (2yxeeyxGdxdyyxp),( 0)2(312ydxdyyxe 關(guān)于二維隨機(jī)向量的討論,可以推廣到n(n2)維隨機(jī)向量的情況. 設(shè)(X1, X2, Xn)為n維隨機(jī)向量,對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1, x2, xn,n元函數(shù)

6、F(x1, x2, xn)=PX1x1,X2 x2, Xn xn稱為n維隨機(jī)向量(X1, X2, Xn)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量X1, X2, Xn的聯(lián)合分布函數(shù).它具有類似于二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的性質(zhì).2.4 常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 3 邊緣分布邊緣分布 3.1 邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù) 邊緣分布函數(shù)完全由聯(lián)合分布函數(shù)確定. ( )()(,)( ,)lim( , )XyFxP XxP Xx YF xF x y ( )()(,)(, )lim( , )YxFyP YyP XYyFyF x y 解解 (X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù) 0.50.50.5()0.5( )( ,

7、)lim( , )lim10100000Xyxyx yxyFxF xF x yeeexexxx 0.50.50.5()0.5( )(, )lim( , )lim1010.0000Yxxyx yyxFyFyF x yeeeyeyyy 解解 (X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù) 3.2 邊緣分布律邊緣分布律 (1) (X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律.111()(,()(,),iiijijijjjjpP XxP XxYyP Xx Yyp.111()( (),)(,),jjijijijiiipP YyPXxYyP Xx Yyp(2) (X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律1,2,i 1,2,j 解解 PX=i,Y=j=P

8、Y=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij)于是(X,Y)的分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律為Y X1234PY=j11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48PX=i1/41/41/41/41例例: :把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子的白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子的紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)的分布律和關(guān)于X和Y的邊緣分布律.解解 顯然有3 , 2 , 1 , 0323133iCiYPiXPii又因?yàn)槭录=i與事件Y=j相互獨(dú)立,所以有,jYPiXPjY

9、iXP3 , 2 , 1 , 0,323132313333jiCCjjjiii用表格可如下表示其它, 0, 6),(2xyxyxp其它, 010),(66),()(22xxXxxxdydyyxpxp例例: :設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度pX(x)和pY(y).解解其它, 010),(66),()(yyYyyydxdxyxpyp3.3 邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù) 邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)合密度函數(shù)所決定. dxdyyxfxFxFxX),(),()( dydxyxfyFyFyY),(),()( dyyxfxpX),()(dxyxfypY),()( 設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密

10、度函數(shù)為f(x,y)則從而得到X和Y的概率密度函數(shù)分別為00( )( , ),0000yxXxe dy xexfxf x y dyxx000( )( , ).0000yyyYe dxyyeyfyf x y dxyy解解 （X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù) 2211( , )0 xyf x y其它則（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)221211211111( )( , )00 xXxdyxxxfxf x y dy 其它其它（X，Y）關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù) 22111( )0Yyyfy 其它（1）（X,Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù) 2111()211( )( , ),2xXfxf x y dyex （2）（X，Y）關(guān)

11、于Y的邊緣密度函數(shù) 2221()221( )( , ),2yYfyf x y dxey 4 條件分布條件分布 條件分布是條件概率的推廣條件分布是條件概率的推廣.本節(jié)主要討本節(jié)主要討論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量的條件分布論關(guān)于二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密律和關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)度函數(shù). 4 .1 條件分布律條件分布律則在X=3的條件下Y的條件分布律313.13,1112(1|3)1334pP XYP YXP Xp其中如同理在Y=1的條件下X的條件分布律4.2 條件密度函數(shù)條件密度函數(shù) |1133( , )12( |)22312( )02Y XXfyy

12、fyf其它222|111( , )( | )2 1( )0X YYxyxf x yfx yyfy其它5 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 隨機(jī)變量相互獨(dú)立是概率論中非常重要的概念,它是隨機(jī)事件相互獨(dú)立的推廣.本節(jié)主要討論兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的一般性定義,然后對(duì)兩個(gè)離散性隨機(jī)變量和兩個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量相互獨(dú)立進(jìn)行不同的處理.證證 X與Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如表所示: 例例: :把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中.記落入第1號(hào)盒子的白球個(gè)數(shù)為X,落入第2號(hào)盒子的紅球個(gè)數(shù)為Y.求(X,Y)的分布律,并判斷隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立.解解 顯然有3 , 2 , 1 , 03

13、23133iCiYPiXPii 又因?yàn)槭录=i與事件Y=j相互獨(dú)立,所以X和Y是相互獨(dú)立,且有,jYPiXPjYiXP3 , 2 , 1 , 0,323132313333jiCCjjjiii用表格可如下表示解解 (1)10401201( )( , )00Xxydyxxxfxf x y dy其它其它10401201( )( , )00Yxydxyyyfyf x y dx其它其它其他, 00, 0,),()(yxeyxpyx0, 00,),()(0)(xxedyedyyxpxpxyxX0, 00,),()(0)(yyedxedxyxpypyyxY例例: :設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度函數(shù)為試證

14、X和Y相互獨(dú)立.解解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互獨(dú)立.解解 (1)X與Y的密度函數(shù)分別為 1 010( ),( )000 xXYyexfxfyx其它因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它111100(1)( , )xxx yP XYf x y dxdydxe dye 解解 (2)因?yàn)?0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它所以證證 關(guān)于X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為 2111()211( ),2xXfxex 2221()221( ),2yYfyey 則X與Y相

15、互獨(dú)立的充分必要條件是( , )( )( )XYf x yfxfy 即0 6 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解決兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法與一個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法是一樣的,只是前者要比后者復(fù)雜得多.有鑒于此,我們僅僅對(duì)幾種特殊的情形加以討論. 6.1 Z=X+Y的分布的分布 解解 Z為離散型隨機(jī)變量,其可能取值是0,1,2,3，則 (0)(0)(0,0)0.10P ZP XYP XY(1)(1)(0,1)(1,0)0.40P ZP XYP XYP XY(2)(2)(1,1)(2,0)0.35P ZP XYP XYP XY(3)(3)(2,1)0.15P ZP XYP X

16、YZ0123PZ=k 0.100.400.350.15解解 (1)求Z的分布函數(shù) ( )()()( , )( , )z xZxy zFzP ZzP XYzf x y dxdydxf x y dy (2)求Z的密度函數(shù) ( )( )( , )( ,)z xZZddfzFzdxf x y dyf x zx dxdzdz由X與Y的對(duì)稱性,得( )(, )Zfzf zy y dy如果X與Y相互獨(dú)立則有 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx( )()( )ZXYfzfzy fy dy解法一解法一:(1)求Z的分布函數(shù) 2221( )()()( )( )2z xxyZXYxy zFzP ZzP X

17、Yzfx fy dxdydxedy (2)求Z的密度函數(shù) 2222()2211( )( )()22z xxyxz xZZddfzFzdxedyedxdzdz22()4212zzxeedx22212()122441111222222zxzzeedxez 解法二解法二:因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立 222()2411( )( )(),222xz xzZXYfzfx fzx dxedxez 顯然ZN(0,2). 定理表明：定理表明：相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布. 6.2 Z1=maxX,Y和和Z2=minX,Y的分布的分布 解解 11( )()(max, )ZFzP ZzPX Y

18、z(,)()()( )( )XYP Xz YzP XzP YzFxFy即Z1=maxX,Y的分布函數(shù)為1( )ZFz( )( )XYFxFy解解 22( )()(min, )1(min, )ZFzP ZzPX YzPX Yz 1(,)1()()1 1( ) 1( )XYP Xz YzP XzP YzFxFy 即Z2=minX,Y的分布函數(shù)為2( )ZFz1 1( ) 1( )XYFxFy 解解 系統(tǒng)壽命Z=minX,Y (1)求Z的分布函數(shù) 當(dāng)z0時(shí), ( )()(min , )1(min , )ZFzP ZzPX YzPX Yz 1(,)1() ()1 1( )1( )XYP Xz YzP Xz P YzFzFz (2)求Z的密度函數(shù) ( )( )( )1( ) 1( )( )ZZXYXYfzFzfzFzFzfz因?yàn)閄與Y都服從U(0,1000),則 101000( )10000Xxfx其它00( )01000100011000XxxFxxx101000( )10000Yyfy其它00( )01000100011000YyyFyyy所以110100001000( )1000 10001000 10005