九年級(jí)同步第7講：相似三角形綜合-教師版

1、相似三角形綜合內(nèi)容分析1 / 31相似三角形是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).相當(dāng)多的知識(shí)點(diǎn)可以與相似三角形綜合起來(lái)考察.本講將從以下幾個(gè)方面學(xué)習(xí)相似三角形的應(yīng)用，旨在靈活運(yùn) 用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題.知識(shí)結(jié)構(gòu)步同級(jí)年九知識(shí)精講模塊一：平行線與相似三角形1、平行線與相似三角形利用平行線構(gòu)造的相似主要有兩個(gè)基本的模型，即：“A”字型和“ X”字型.例題解析【例1】 過(guò) ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊求證：些2處 ED FB【難度】【答案】略.AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DG /AB交CF于點(diǎn)G .Q DG/ABQ AD是中線,AE AF DG CDED GD BF CBB

2、C 2CD ,DGBFAE AF2 -ED BF【總結(jié)】題考查三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型.九年級(jí)同步 一>Q GM / /BCQ AG:GDQ BD:DCGE 1 ,EB 12【例3】 如圖，在 ABC中，點(diǎn)D在線段BC上,BAD 75 ， CAD 30 ， AD = 2,【例2】 如圖，已知 ABC中，AD、BE相交于G, BD: DC 3:1, AG:GD 1:2 .求BG:GE的值.【難度】【答案】11.【解析】點(diǎn)G作GM /BC交AC于點(diǎn)M .AG GM EG GM , ；AD CD EB CBAG GM 1 1:2 , -,AD CD 3c . DC 1 G

3、M 13:1 ， -, BC 4 BC 12BG:GE的值為11.【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型.5 / 31BD = 2DC,求 AC 的長(zhǎng).【難度】【答案】3.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DM / /AB交AC于點(diǎn)M .Q DM / /AB, BAD ADM 75°；又 Q ADM AMD DAM 180°,CAD 300AMD 75°, AMD ADM ,AD AM 2 .AMBDQ DM /AB,ACBCBD AM 2又 Q BD 2DC ,BC AC 3AC 3 .【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí).【例4】

4、已知：P為 ABC的中位線MN上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交 AC、AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.AD AE 彳求證：1DC EB【難度】【答案】略.【解析】過(guò)點(diǎn) A作GH /BC分別交CE、BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G、H .Q MN是中位線，AM MB , AN NC , MN / /BC .GH /BC/MN .AGBCAM GPMB PCQ GH /BCGH BC ;Q GH / /BCAD AE 1DC EBGP PCGH GPBC PCAD AH AE ，一 DC BC EB【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線、 三角形中位線的相關(guān) 知識(shí).角，交邊AB于點(diǎn)M ,【例5】AD

5、是 ABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線AC于點(diǎn)N,設(shè)AM = x AB,AN = y AC, ( x 0 , y(1)如圖1,當(dāng) ABC為等邊三角形且30時(shí)，求證： AMNsDMA ；(2)如圖2,證明1 x(1) Q【解析】AD是中線,ABC是等邊三角形,BADDAC 30o, ADB 90o;30o,即MDB30o,ADM60oADMDAC30oMADN；AMDAMNAMNsDMA;B作 BQ /MN交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q ,過(guò)C作CP / /MN交AD于點(diǎn)P ,BQ / /CPBDDCDQPDQ AD是中線BD DC, QD DP,Q BQ / /MNQ CP/MNAB

6、 AM AC ANAQAD APADAD DQADAD DPAD【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理、三角形一邊的平行線、 相似三角形的判定等的相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造輔助線是個(gè)難點(diǎn).步同級(jí)年九模塊二：角平分線與相似三角形I知識(shí)精講1、角平分線與相似三角形角平分線類的相似模型如下:分為“內(nèi)角平分線”和“外角平分線”兩種類型，虛線部分為輔助線的作法.ABC的內(nèi)角平分線.求證：ABAC【答案】略.【解析】過(guò)點(diǎn)C作CM / /AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M .Q CM / /ABAB BD，BAD MCM DCQ AD是角平分線BAD DAC ;DACACABACCMBDDC【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線

7、、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí).九年級(jí)同步【例71如圖，AD是 ABC的外角平分線.求證:AB BDAC CDQ AD是外角平分線,MAD CAD ;AB BM .AB BDAC DC【難度】【答案】略.【解析】過(guò)點(diǎn)B作BM / / AC交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M .AC CDQ BM / /AC , 土 CD , DAC MBM DBMAD , 又 Q MAB MAD ,9 / 31【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí).【例8】在ABC中，11求證：AD ABBAC 120 , AD 平分ACBAC交BC于點(diǎn)D.【答案】略.【解析】過(guò)點(diǎn)C作CM / /AD交BA

8、于點(diǎn)IQ CM / /AD ,AB AD, DAC ACM ,BM CMBADQ AD 平分 BAC ,BAC 120°.BAD CAD 60° ;AC1AD°ACM 60CM AM ., ACMABAB AM是等邊三角形.迫即ABadMC AB AC AC11AB AC【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等邊三角形的相關(guān)知識(shí).步同級(jí)年九B過(guò)點(diǎn)C作CE / AB,交 CAB的平【例9】如圖，在 ABC中， CAB 90 , CFG分線AD于E.11 / 31(1)不添加字母，找出圖中所有的相似三角形，并證明;(2)求證:FCCGADED【難度】【答案】

9、略. ADBsEDC、 CABs GCF .證明：Q CE/ABADBsEDC證明：Q CE/ABCAB ACE 1800,_0_0Q CAB 90 , ACE 90CABs GCFCABACE; Q CFGB(2)由 CABs GCF 得 FC 幽CG ACQ ADBs EDCAB ADEC DEQ CE/AB, EAB CED ,Q CAE EAB ,CAE E , ; CA CEAB ADFC ADAC DECG DE【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).九年級(jí)同步【例10如圖， ABC中，AI、BI分別平分BAC、CE是 ABC的外角 ACD的# / 31平分線，交BI延長(zhǎng)線于

10、E,連接CI.(1) ABC變化時(shí),設(shè) BAC 2 .若用表不BIC和E ,那么 BIC(1) 90°ABC與ICE相似,；(2)略.AC長(zhǎng).(1) Q BACABCACB180°,ABC ACBo180BAC 180°QAI、BI分別平分BAC、ABC,IBC1 ABC , CI 平分 ACB . 2Q IBCICB BIC 180°ICBoACB 90BIC180°IBC ICB 180°ABCQCE是ABC的外角 ACD的平分線,ACEICE1 ICA ACE ACD 2ACBBIC_°ICE E 90，(2) ABC

11、 與 ICE 相似，QICE90° ,ABC 是直)當(dāng)ABC90° 時(shí)，QE ,EBCA. Q BAC當(dāng)BCA90° 時(shí)，QE ,EABC,Q BAC當(dāng)BAC90° 時(shí)，QBAC綜上所述，AC 1或1或2.21三角形時(shí)，分三種情況BAC 2 ,BCA 90° ,BAC 2 ,ABC 90°,2 ,45°.E BAC .30°.AC 2AB 2.E BAC .1130°,AC 1 AB - -22 'AC AB 1【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)及其兩三角形相似分類討論,還考查了三角形角平分線的知識(shí)

12、.步同級(jí)年九模塊三：a2= b c與相似三角形|知識(shí)精講常見(jiàn)及擴(kuò)展模型如下:由圖1可證：AB2由圖2可證：AB2例題解析【例11如圖，Rt ABC中, 2.求證：AD BDgDC .BAC 90 ， ADBC于點(diǎn)D.【答案】略.【解析】Q AD BC ,_ _ oBAD B 90 _oC B 90 ,ABD CAD ,ADB ADC 900.Q BAC 90o ,BAD C .AD BDCD AD1、a2 = b c與相似三角形BDgBC ;22BDgBC , ADBDgDC , AC CDgCB .AD2 BD?CD.【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定等知識(shí).九年級(jí)同步【例12如圖，已知

13、等腰三角形ABC 中,AB = AC,高AD, BE相交于點(diǎn) H.2求證：4DH gDA BC .【難度】【答案】略.【解析】Q AD、BE是高,ADBBEC 900.HBDC 90°,CAH C90°.HBDHDHBDs CAD .CDQ ABBDADAC,BADDH gAD【總結(jié)】本題考查即 DH gADAD BC ,BDgDD1 BD DC -BC .21-2；-BC , 4DH gAD BC .“雙高”模型相似的知識(shí).【例13如圖，在直角梯形ABCD 中，AB / CD, ABAD = BD,過(guò)E的直線EF / AB交AD于點(diǎn)F.(1) AF = BE;(2) AF

14、2 = AE - EC.【答案】略.【解析】（1）Q EF/AB,AF不平行EB ,四邊形FABE是梯形.又Q ADDABDBA.四邊形FABE是等腰梯形,AF BE(2) Q AEB CEB 90°,EBA EAB90°,ECB EAB90°.EBA ECB.EB EA .EC EBEB- ECB .EB2 EA?EC,2AFEA?EC .【總結(jié)】本題考查等腰梯形及相似三角形的判定及性質(zhì).BC,對(duì)角線AC BD,垂足為E,15/31的垂直平分線交 AB于點(diǎn) 巳 交AD于點(diǎn)【例14如圖，在 ABC中，AD平分 BAC, ADH,交AC于點(diǎn)G,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F

15、.2.求證：DF CFgBF .【答案】略.【解析】聯(lián)結(jié)AFQ點(diǎn)F在AD的垂直平分線上,AF FD , FAD ADF .Q FAD FAC DACADFBAD23 / 31FAC DAC BAD又Q AD平分 BAC ,BAD又 Q AFC AFB,EBAECB,FACAF FCFB AF_ 2AF CF ?BF ,2DF CF ? BF .【總結(jié)】本題考查線段垂直平分線、外角定理及相似三角形的判定及性質(zhì)知識(shí).ABC ,還需【例15如圖1,在 ABC中，P是邊AB上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié) CP,要使 ACPs要補(bǔ)充一個(gè)條件.(1)補(bǔ)充的條件是【難度】(2)請(qǐng)你參考上面的圖形和結(jié)論，解答下面的問(wèn)題:【解

16、析】(2)QABCBCDD3如圖2,在80°._ 22ABC 中， A 60 , AC AB ABgBC ,求 B 的度數(shù).【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、外角定理等知識(shí).模塊四：內(nèi)接矩形與相似三角形知識(shí)精講1、內(nèi)接矩形與相似三角形相關(guān)模型:常用結(jié)論：JATAHDEBC例題解析【例16如圖,ABC 中，AC 3, BC90 ,四邊形DEFG為正方形，其中D、E在邊AC、BC上，F(xiàn)、G在AB上,求正方形【答案】6037【解析】設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為a ,過(guò)點(diǎn)C作CH AB交AB于點(diǎn)H，易知:DEFG的邊長(zhǎng).DG/CH, DE/ABDG ADDE CDCHACAB

17、ACDGCHDEAB在RtABC 中,AC3, CB4,AB125a12560一, 37正方形DEFG的邊長(zhǎng)為史.37【總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)接正方形的模型,熟練掌握此題涉及的知識(shí)點(diǎn).【例17】 ABC中，正方形 EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn) E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn) G、H分別在AC、AB上，BC = 15, BC邊上的高 AD = 10,求正方形 EFGH的面積.【難度】【答案】36.【解析】設(shè)正方形 EFGH的邊長(zhǎng)為a ,易知:HE/AD, HG/BC .HE BHHG，一 AD BA BCHE HG 1, AD BC a a1 , 10 15AHAB正方形EFGH的面積為36 .【總結(jié)】本題考

18、查三角形內(nèi)接正方形的模型，熟練掌握此題涉及的知識(shí)點(diǎn).【例18如圖，已知 ABC中，AC = 3, BC = 4, C 90 ,在 ABC內(nèi)部求做一正方形,問(wèn)怎樣截取可以使正方形的面積最大，并求出此時(shí)正方形的邊長(zhǎng).【難度】【答案】如圖截取，正方形邊長(zhǎng)為 -【解析】設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為易知:EF/CB, DE/AC.DEACDEACBE EFAB CBEF一 1 .CBAEAB在 Rt ABC 中，AC3, CB4,a 1 .412一.7一12正方形DEFC的邊長(zhǎng)為 一 .16區(qū)別.7【總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)接正方形的模型，還考查了最優(yōu)化問(wèn)題，與例九年級(jí)同步【例19如圖， ABC中，四邊形DE

19、FG為正方形，其中 D、E在邊AC、BC上，F(xiàn)、G在AB上 , S ADG S CDE 1 , S BEF 3,求ABC的面積.【難度】【答案】9.【解析】過(guò)點(diǎn)D作DH / /CB交AB于點(diǎn)H ,可得DGH EFB . S dah 4易證 CDEs DAH ,SDE2CD 1DA4CDDACD 1 . Q CDEs CAB,CA 3S CDECD1ScabCA9S CBAS DAH【總結(jié)】本題要靈活應(yīng)用相似三角形的面積比等于相似比的平方.【例20】銳角 ABC中，BC = 6, S abc =12,兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動(dòng)，且MN / BC,以MN為邊向下作正方形 MPQN,設(shè)其邊

20、長(zhǎng)為x,正方形 MPQN與 ABC公共部分的面積為y (y > 0).(1) ABC 中邊 BC 上高 AD =;(2)當(dāng)x =時(shí)，PQ恰好落在邊 BC上(如圖1);(3)當(dāng)PQ在 ABC外部時(shí)(如圖2),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(并寫(xiě)出定義域)；當(dāng) x取何值時(shí)，【難度】【答案】(1)(3)【解析】(3) QMN/CB,ATAD圖1AM MNAB BCAT42x x326 .團(tuán)共 MN ?TD2x32x2 4x32 c 12x 4x x 6，當(dāng) x 3 時(shí)，y 取取大值，ymax 6 .35【總結(jié)】本題要靈活應(yīng)用三角形內(nèi)接矩形求面積，結(jié)合二次函數(shù)的求最值問(wèn)題.步同級(jí)年九模塊五：一線三等角與

21、相似三角形知識(shí)精講1、一線三等角與相似三角形 相關(guān)模型如下圖所示：例題解析【例21】已知，在等腰 ABC中，AB = AC = 10,以BC的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作 EDF B ,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F, AE = 6, AF = 4,求底邊 BC的長(zhǎng).【難度】【答案】4娓.【解析】Q EDCB BED，而 EDC EDF FDC , BBEDEDF FDC .又Q EDF B ,Q AB AC , BEDBs DCF .BED FDC .C .BE BD .DC CF10 6 BDDC 10 4, _1 一又QCD DB -BC , 2DCgBD 24.BC 476 .【總結(jié)】本題是對(duì)“一線三等

22、角”模型的考查.九年級(jí)同步【例22如圖，直角梯形ABCD中，AB / CD, ABCAB BE 3EC CD 4 'AD = 10,求 AED的面積.【解析】Q ABC 900,AB/CD ，DCBABC90°.“ AB又Q ECBE 3CD 4ABEs ECD .90，點(diǎn)E在邊BC上，且AEBAEEDAB 3EC 4Q EDCDEC90°,AEBDECAED 900.在Rt AED中,Q AD 10, AE 6, ED27 / 31【總結(jié)】本題考查一線三等角模型的相似問(wèn)題，還有外角知識(shí)、平行的判定等.【例23】矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形 BDE

23、F ,使得另一邊 EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.(1 )設(shè)Rt CBD的面積為S,Rt BFC的面積為多 ,Rt DCE的面積為S3 ,則Si S2 S3 (用“ > "、"="、“ < ”填空)；(2)寫(xiě)出圖中的3對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明.【難度】【答案】(1)=;(2) BFCs CED;BFCs DCB;CEDs DCB .【解析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CH BD交BD于點(diǎn)H ,易得；(3) Q BCD DCE F FBC ,而 BCD F 900FBC DCE .BFCs CED .【總結(jié)】本題主要是考查“一線三等角”模型的相似以及矩形的性質(zhì).步同

24、級(jí)年九29 / 31【例24】在矩形ABCD中，AB = 2, AD = 3, P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)P作APPE,垂直為 P, PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE,當(dāng)APE與 ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng);(2)若設(shè)BP為x,CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少?PE / BD,試求出此時(shí) BP的長(zhǎng).3x0 2|時(shí),.一 .9y取最大值，最大值為 9;8(3)【解析】(1)APE與ADE全等,Q APEADE90°,BAEBAE PAE,ADEAD AP 3.在Rt2ABP 中，AB2_BP APBPAP7AB2 底.(2)易

25、證ABP PCE得PCBPCE1 2-x23 -x2y取最大值,最大值為(3)聯(lián)結(jié)BD交AP于點(diǎn)Q .Q PE/BDAPEAQD90°.QADADQ 900,BAQQAD90°.BAQRt ABPRt DAB.ABADBPABBP【總結(jié)】本題考查三角形全等,相似三角形的判定和性質(zhì),二次函數(shù)求最值的知識(shí),題目比較綜合.模塊六：旋轉(zhuǎn)與相似三角形例題解析E為梯形內(nèi)一點(diǎn),且 BEC 90 ,將 BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到DCF ,聯(lián)結(jié)EF已知 BC = 5, CF則DM : MC的值為（B.C.dT4C.旋轉(zhuǎn)后,CEBCBCDCF 3BEBECDFC在R

26、tCBE 中,BE2【例25如圖，直角梯形 ABCD中， BCD 90 , AD / BC, BC = CD,BEDFQ ECF 900,ECDDCF 90o.又 Q DCFFDC 90oECDFDCCE/DFDM DF 4MC EC 3【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，平行的判定、三角形一邊的平行線的知識(shí).39 / 31【例26】在ABC中,CA= CB,在AED 中，DA = DE,點(diǎn) D、E 分別在 CA、AB 上.(1)如圖1,若ACB ADE90，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是(2)若 ACBADE 120 ,將 AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則 CD與BE的數(shù)量關(guān)系是圖2【答案】(1

27、) CD BE ;2(2)CD EBE。【解析】(1) QACBADE90oDE /BCADAEDCEBCD(2)過(guò)點(diǎn)C作CHAB交AB于點(diǎn)HQ ACB120oCABCAAH30o23ACAB2.33由 ADEs ACB,AD 得:AEACABQ DAECD ACCAB ,-3ACDsABEBE AB 3 'CD 近BE.3【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，等腰三角形的相關(guān)知識(shí).九年級(jí)同步【例27】把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板 DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板 ABC的斜邊中點(diǎn) O重合，其中 ABC DEF 90 , C F 45 , AB =DE = 4,把三角板

28、 ABC固定不動(dòng)，讓三角板 DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線 DE與射線AB相交于點(diǎn)P,射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q.(1)如圖1,當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證 APDs CDQ ,則此時(shí)APgCQ(2)圖3(1) 8； (2)不改變.將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn) O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為90 ,問(wèn)APCQ的值是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)略;(2)易證 APDs得:AP ADCD CQAP?CQCD ? AD .又QAC 4乏,CDADAP?CQ 8.【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關(guān)知識(shí).【例28如圖1,在 ABC中， ACB 90

29、, BC = 2, A 30 ,點(diǎn)E、F分別是線段 BC、 AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) EF.(1)線段BE與AF的位置關(guān)系是 , ”；BE(2)如圖2,當(dāng) CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 時(shí)(0180 ),聯(lián)結(jié)AF、BE,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,當(dāng) CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 時(shí)(0180 ),延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)D,如果AD 6 2點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)角 的度數(shù).【答案】(1)垂直，B，(2)成立；(3)略.【解析】(1)略；(2)由 ACBs FCE,得：AC EC .CB CEAF AC 一Q BCE ACF ,BCEs ACF .如；BE BC(3)過(guò)點(diǎn)D

30、作DH BC交BC于點(diǎn)H ,Q AD 6 273,BD 2丙 2 .在 Rt DBH 中，B 60°,BH 73 1 , DH 3 氐.CH 3 73,DCH 45°,ACD 45°.ACF 1350 .135° .【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，特殊的直角三角形邊的關(guān)系，題目比較綜合，第3小題 由邊求角要會(huì)添置輔助線.九年級(jí)同步模塊七：函數(shù)與相似三角形例題解析【例29如圖，已知 ABC與 ADE都是等邊三角形，點(diǎn) D在BC邊上(點(diǎn)D不與B、重合)，DE與AC相交于點(diǎn)F.(1)求證： ABDs DCFBC = 1 ,設(shè) BD = x,x為何值時(shí),S AE

31、FS ABDCF = y,求y關(guān)于 7?9的函數(shù)解析式及定義域;略.(1) QABC、ADE是等邊三角形CDFCDF1)得(3)易證60o,FDADAB,ABDsABDs AEFS AEFS ABD2AEABQ ADE是等邊三角形Q ABAF解得x12,x237913EDA 60oDABABDs DCF ;ABDCBDCFABAEADAF2AEAB22AFAD2ADAECF,71 .91時(shí),3AE2AB229S AEFS ABDAF2AE2_ 2AF 492AB 81【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，“一線三等角”模型，相似的性質(zhì)等的相關(guān)知識(shí).,B (0, 2) , P (a, 0) (a &l

32、t; 0),【例30如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn) A (2, 0)聯(lián)結(jié)BP,過(guò)點(diǎn)P作PC PB交過(guò)點(diǎn)A的直線l 于點(diǎn) C (2, b).(1)求b與a之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)a取得最大的整數(shù)時(shí)，求 BC與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo).【難度】【答案】(1) b-a2 a; (2) Q -,0271 1) Q BPO OPCOPC PBOQ BOP PAC 90oBPM PCABPO PBOOPAC即 bOBAP22 a(2) Q a 0a取得最大的整數(shù)時(shí)b 32QOB/ACOB OQ Rn 2 OQ,即大 AC QA 32 OQ2OQ7,0【總結(jié)】本題考查相似的判定及性質(zhì)等知識(shí).九年級(jí)同步例31 函

33、數(shù)y k和yxk 一0)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，我們把函數(shù) y -和y(1)(2)(3)(k 0)叫做互為“鏡子”函數(shù),類似地，如果函數(shù)y = f (x)和y = h (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么我們就把函數(shù)函數(shù)y = 3x - 4的“鏡子"函數(shù)是y = f (x)和y = h (x)叫做互為"鏡子”函數(shù).函數(shù)y x2 2x 3的“鏡子”函數(shù)是如圖所示，一條直線與一對(duì)“鏡子”2/ 八、y 一(x > 0 )2一一 一，、-(x < 0)的圖像分別交x于點(diǎn) A、B、C,如果 CB : AB = 1 : 2,占八、C在函數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1一,求點(diǎn)B的坐標(biāo).2【答案】

34、略【解析】(1) y3x(3)分別過(guò)點(diǎn)a、b、C作CC、BB、垂直于x軸，垂足分別為 C、B、A -設(shè)點(diǎn)Bm,Z、m由題意,得點(diǎn)C(x < 0)的“鏡子”函數(shù)上的AA2 xCC4, BBAA22, AB nm, B C易知CC/BB / /AA ,又 CB: AB1:22(m所以，可得23(41).公n化簡(jiǎn)得3m13n解得m T (負(fù)值舍去)4、而 43【總結(jié)】本題主要難在第 3問(wèn)，學(xué)生不知識(shí)怎么下手,要靈活應(yīng)用相似的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.43 / 314S ECFv.S BDC（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí),y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量A【答案】（1） BD 8；1 2x64【解析】（1

35、） Q AD/BC ,ADB8 .EHCFx的取值范圍.DQ tan DBCtanADB過(guò)點(diǎn)A作AHBD交BD于點(diǎn)HQ AB AD,BH HD 4. Q EF / /CD ,BEFs BDCBD 8.BE BFBD BCS BEFS BDCBEBD2 x64BFFCS ECFS BDCW?U64 x【例32如圖，已知梯形 ABCD, AD / BC, AB = AD = 5, tan DBC - . E為射線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF / DC交射線BC于點(diǎn)F,連接EC,設(shè)BE = x,（1）求BD的長(zhǎng);y x64【總結(jié)】本題考查相似三角形的面積比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面 積

36、比可以轉(zhuǎn)化為底邊（或者高）的比.九年級(jí)同步3）隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 如圖，AB BD, CD垂足為F .求證:1AB1CDBD,垂足分別為1一.EFB、D, AC和BD相交于點(diǎn) E, EF BD,【答案】略.【解析】QAB BD,CDBD,EFBD,AB/CD/EFEFABDF EF,一DB CDBFDBEFABEF 1,即DC11AB CD1EF【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線知識(shí)的應(yīng)用.【習(xí)題 2】如圖，在 Rt ABC 中， B 90 , BC = 4cm, AB = 8cm, D、E、F 分別為 AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PQ / BC交AC于點(diǎn)Q,以P

37、Q為一邊作正方形 PQMN ,【難度】【答案】3.4AP = 3cm,求正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積.【解析】QDE是中位線,1 - CDE - BC 2cm .2Q D是AB中點(diǎn),DAQ PQ /ED ,3 PQPQAPAD321八, 一BA 4cm .2PQ .DEQ DNPN1DN 一2S公共PQ?DN【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線等知識(shí)的應(yīng)用.【習(xí)題3】 如圖，已知 ABC和 DEFBAC EDF 90 , DEF 的頂點(diǎn) E點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段 DE與線段 點(diǎn)Q.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP =(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，才時(shí)，

38、P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含 a的代數(shù)工 F是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且與 ABC的斜邊 BC的中點(diǎn)重合.將 DEF繞AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于AQ 時(shí)，求證： BPE CQE ;證：BPEs CEQ ；并求當(dāng) BP = a,CQ _9a 2t表小).FE 圖1【難度】【答案】（1）略；（2） PQ【解析】（1） QE是中點(diǎn)， Q AB AC ,I（2） Q DEF FECQ B C 45o,BP BEaCE CQCE_9 2CE BE -a , 2BC 3 &a .在 Rt ABC 中，AB3AQ -a , AP 2 2在 Rt APQ 中,P（【總結(jié)】本題考查了 “一線三等響E圖25-a .2BE EC . Q AP AQ , BP CQ .B C .BPE CQE .B BPE ,而 B DEF 45°,BPE QEC .BPEs CEQ ,BE9a，2AC 3a,a.、52 a .2丁相似模型.49 / 310課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，已知 AB / EF CD ,找出 S