應(yīng)用隨機(jī)過程第三章Poisson_過程

1、第 3 章 Poisson Poisson 過程過程主要內(nèi)容主要內(nèi)容: :1. 背景及定義背景及定義2. 與與Poisson過程相關(guān)的分布過程相關(guān)的分布3. Poisson過程的推廣過程的推廣學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求: :1了解了解Poisson過程的基本概念極其背景。過程的基本概念極其背景。2掌握與掌握與Poisson過程相聯(lián)系的、分布。過程相聯(lián)系的、分布。3了解幾種推廣的了解幾種推廣的Poisson過程。過程。 3.1 Poisson 3.1 Poisson 過程過程N(yùn)(t)t0，：在“排隊模型”中刻畫0,t內(nèi)來到的顧客數(shù)；在“風(fēng)險模型”中表示0,t內(nèi)發(fā)生的理賠次數(shù).計數(shù)過程、計數(shù)過程、Poiss

2、on過程過程定義定義 3.1N(t)t0N(t)AN(t)N(s)N(t)N(t) N(s)(s,tA.隨機(jī)過程，稱為若表示時間段0,t內(nèi)某一事件 發(fā)生的次數(shù)，且滿足(1) 取值為非負(fù)的整數(shù);(2) 當(dāng)s t 時，且表示計數(shù)時間內(nèi)事件 發(fā)過，生的次數(shù) 程定義定義 3.2ntN(t)t0( 0)(2)(3),0,t Pt+sN(s)=ne,0,1,2,Poisson.ns tn計數(shù)過程，稱為參數(shù)為的如果(1) N(0)=0；該過程是獨(dú)立增量過程；對任意的（）（N()-）！過，程注釋注釋(1).3.2Poisson由定義（3）知 過程具有平穩(wěn)增量性. EN(t)t, Poissont. Poiss

3、on.(2).=即過程的均值函數(shù)為這里 的直觀意義是單位時間內(nèi)發(fā)生事件的平均次數(shù),被稱為過程的強(qiáng)度或速率Poisson過程的應(yīng)用過程的應(yīng)用1. Poisson過程在排隊論的應(yīng)用過程在排隊論的應(yīng)用Poisson在隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的排隊模型中，可以用過程模擬在一定時間段內(nèi)顧客到達(dá)(或電話呼叫)的數(shù)目.2. Poisson過程在保險理論的應(yīng)用過程在保險理論的應(yīng)用PoissonPoisson過程N(yùn)(t),t0可表示某公路交叉口、煤礦、工廠等在(0,t時間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù).同時保險公司會接到索賠請求，假設(shè)一次事故只導(dǎo)致一次索賠，那么保險公司所接受的索賠數(shù)目可用過程表示.Poisson過程的等價定義：過程的

4、等價定義：N(t)t0(2)(3)0,h0 Pt+hN(t)=1h(h)Pt+hN(t)2(h).oo設(shè)，是一個計數(shù)過程，且滿足：(1) N(0)=0；該過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；當(dāng)時，（N()-）； （N()-）將事件進(jìn)行分解，再運(yùn)用將事件進(jìn)行分解，再運(yùn)用（3）.化為解微分方程化為解微分方程兩邊同乘兩邊同乘etnPn- t再由數(shù)學(xué)歸納法得( t) (t)= e.n!例例 3.3APoissonN(t), t0M(t)pPiosson事件的發(fā)生形成了強(qiáng)度為 的過程.如果每次事件發(fā)生時被記錄下來的概率為p，并用是一個強(qiáng)度為的過程.MMptPoisson因為每次事件發(fā)生時，對它記錄還是沒記錄與其他事

5、件的記錄與否獨(dú)立，而且事件發(fā)生形成了Poisson過程，所以 (t)也具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性.下證 (t)服從的分布. 解答：解答：nm+nnnn(1)MM P()C(1)()!( (1) )()!()( (1) )!()().m nmntntmmntmtp tmpttppemnp teptm nptp temnpteemptemn=0=0=0=0P( (t)=m)=P( (t)=m|N(t)=m+n) （N(t)=m+n）= ！()M.mptptem即 P( (t)=m)！Poisson過程分解定理過程分解定理作業(yè)作業(yè) 例題：例題： 設(shè)南京火車站某個售票窗口，前來購票的乘客數(shù)構(gòu)成了一個Pioss

6、on過程. 設(shè)從凌晨0:00開始，此售票窗口連續(xù)售票，乘客按照10人/時的平均速率到達(dá). 試求： (1) 從1：00到2：00這1小時內(nèi)最多由5名乘客來此購票的概率是多少？ (2) 若已知從2：00到3：00沒有人來買票，那么在未來的1小時內(nèi)，仍無乘客到來的概率是多少？ (3) 若到4：30時共有10名乘客到來，且到5：30時總計已到達(dá)20位乘客的概率是多少？50510 105100(1)Poisson(1)(2)(1)5)(1)5)(1)(10 1)!10.!nnnnnNP NNP NP Nnenen由過程的平穩(wěn)增量性及的分布，知0:00設(shè)為0時刻.解：解： 10(2)Poisson(1)(

7、4)(3)0|(3)(2)0)(4)(3)0)(1)0).NP NNNNP NNP Ne由過程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性及的分布，得 10(2)Poisson( )(4.5)(0)10,(5.5)(0)20)(4.5)(0)10,(5.5)(4.5)10)(4.5)(0)10) (5.5)(4.5)10)(4.5)10) (1)10)(10 4.5)10N tP NNNNP NNNNP NNP NNP NP N由過程的平穩(wěn)獨(dú)立增量及的分布，得 1010 4.510 110552(10 1)!10!4510.(10!)eeeT2T3T4T5第一個事件到達(dá)第一個事件到達(dá)T1T6第二個事件到達(dá)第二個事件到達(dá)第

8、三個事件到達(dá)第三個事件到達(dá) N(t)t0TX1X2X3X4X5X6Poisson過程的一條樣本路徑是跳躍度為過程的一條樣本路徑是跳躍度為1的階梯函數(shù)：的階梯函數(shù)：3.2 與與Poisson過程相關(guān)的分布過程相關(guān)的分布n0nnn-1TnnT0.XTTn1,2,.nn-1， =1，2，.表示第 次事件發(fā)生的時刻，規(guī)定，表示第 次與第次事件發(fā)生的時間間隔.3.2.1 nn X 和T的分布N(t),t0Poisson n12如果是過程，那么事件發(fā)生的時間間隔 ， ，.是一列相互獨(dú)立的且服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.n 定X理 3.2證明見黑板證明見黑板本定理證明的關(guān)鍵：本定理證明的關(guān)鍵：1(X)( )0);

9、tN t211(X|X)()( )0|X).tsN stN ss注意注意 定理定理3.2的逆命題亦為真，且該逆命題也給出了的逆命題亦為真，且該逆命題也給出了Poisson過程的另一個定價定義（即過程的另一個定價定義（即定義定義3.3），希），希望同學(xué)們務(wù)必記住望同學(xué)們務(wù)必記住.N(t),t0Poisson Tn12n如果是過程，那么事件發(fā)生時刻， ，.服從參數(shù)為 和 的 分布.n定理 3 3. 證明關(guān)鍵之所在：證明關(guān)鍵之所在：n(T)( )n)nttn.tN t，即第 次事件發(fā)生在時刻或之前相當(dāng)于到時刻 已經(jīng)發(fā)生的事件數(shù)至少是例例 3.43.4 3.2.2 事件發(fā)生時刻的條件分布12( )nT

10、TTnN t 考慮在的條件下， ， ，. 的聯(lián)合分布.1N(t)tPoisson0st,(|( )1).sP Ts N tt 定理 設(shè)，0 是過程，則對先看下面的定理：先看下面的定理：11()sAN(s)=1 PN(s)0.st stseestet證明： 對于st,P(Ts,N(t)=1) P(Ts|N(t)=1)=P(N(t)=1)P(A發(fā)生在 時刻之前,(s,t內(nèi) 不發(fā)生)P(N(t)=1)P() (N(t)P(N(t)=1)11PoissonATT這定理說明，由于過程具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性，從而在已知0,t內(nèi)事件 發(fā)生一次的條件下，事件發(fā)生時刻在0,t上是“等可能性的”，即的條件分布是0,t

11、上的均勻分布.問題：問題：自然地，我們會問自然地，我們會問N(t)=n, n1這個性質(zhì)是否可推廣到 的情形？121212N(t)tPoissonTTTN(t)=n!,.,0.nnnnnt設(shè)，0 是過程，則時間相繼發(fā)生時刻 ， ，.,在已知下的條件概率密度為 f(t ,tt )=ttt定理定理 3.43.3 Poisson過程的推廣過程的推廣3.3.1 非齊次非齊次Poisson過程過程Poisson過程過程的強(qiáng)度 是一個不變的常數(shù), 若它不再是常數(shù),而是與時間t有關(guān)的, 從而可將Poisson過程推廣到非齊次非齊次Poisson過程，過程，即即N(t)t0( )0t0(2)(3)P(t+hN(

12、t)=1)( )h(h)P(t+hN(t)2)(h).ttoo 一計數(shù)過程，稱作強(qiáng)度函數(shù)為，的，如果 (1) N(0)=0； 過程是獨(dú)立增量過程；N()-， N齊()過-非次Poisson程定義3.4注意注意: 1. 非齊次非齊次Poisson過程不具備平穩(wěn)增量性過程不具備平穩(wěn)增量性. 2.非齊次非齊次Poisson過程可以描述機(jī)器的故障次數(shù)過程可以描述機(jī)器的故障次數(shù) 養(yǎng)雞場的產(chǎn)蛋數(shù)養(yǎng)雞場的產(chǎn)蛋數(shù).0( )( ) Poisson( ),0.tm tdN tt設(shè) ， 并稱之為計強(qiáng)非齊次過程數(shù)的)數(shù)(或累度函均值函類似類似Poisson過程，非齊次過程，非齊次Poisson過程也有一個等價過程也有

13、一個等價定義，首先介紹一個名詞：定義，首先介紹一個名詞：N(t)t0( )0t0(2)(3),0,N(t+s)-N(t)(u) uPoissonN(t+s)-N(t)exp t stts td齊過義：計數(shù)過程，稱作強(qiáng)度函數(shù)為，的，如果(1) N(0)=0；過程是獨(dú)立增量過程；對服從參數(shù)為m(t+s)-m(t)的分布，即m(t+s)-m(t)(=)m(t+！齊)過s非次Poiss非次Poisson程的on程等價定-m(t)例例 3.7見黑板見黑板3.3.2 復(fù)合復(fù)合Poisson過程過程iiN(t)ii 1Yi1,2 .PoissonYi1,2 .X(t)Y,X(t)t0設(shè) ，是一列獨(dú)立且同分布

14、的隨機(jī)變量，N(t),t0是過程，且N(t),t0與 ，獨(dú)立.記 =我們就稱，為.過復(fù)合Poisson程過計數(shù)過當(dāng)數(shù)為過i注：復(fù)合Poisson程未必是程；但Y= c(常)，i= 1,2，.，可化Poisson程.iN(t)ii 1PoissonN(t)YX(t)=YPoisson考慮一保險公司：它接到索賠次數(shù)服從過程，每次的索賠額是獨(dú)立同分布的，且與其發(fā)生時刻無關(guān)，那么該公司在0,t內(nèi)的總索賠額 是復(fù)合.：過程例k12N(t)12. N(t)PoissonkkY .YY .N(t)( )t( ),0PoissonkktYt t例假設(shè)在股票交易市場，股票交易次數(shù)為強(qiáng)度為 的過程，設(shè)第 次交易與

15、第 -1次交易前后股票價格的變化為不妨設(shè) ，獨(dú)立同分布并且與互相獨(dú)立.那么 X代表到時刻 時股票總價格變化，這是投資者計算盈虧決定投資意向的重要指標(biāo).X就是一個復(fù)合過程。 再例再例: 顧客成批到達(dá)的排隊系統(tǒng)顧客成批到達(dá)的排隊系統(tǒng) N(t)ii 121211X(t)YtPoissonN(t), t0X(t);EY , EX(t)t EY , varX(t)tEY .設(shè)=，0是復(fù)合過程，其中的強(qiáng)度為 ，則(1) 有獨(dú)立增量(2) 若有 定理 3.6 選擇選擇: : 如果如果N(t)是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為的的Poisson過程過程, 那么那么c N(t) 的的強(qiáng)度是（強(qiáng)度是（ ）. A. c B. /c

16、C. D. 無法確定無法確定 例例 3.10 填空題填空題 在保險模型中，設(shè)保險公司接到的索賠次數(shù)是強(qiáng)度為在保險模型中，設(shè)保險公司接到的索賠次數(shù)是強(qiáng)度為 每月每月2次次的的Poisson過程過程. 每次索賠餓服從均值為每次索賠餓服從均值為10000的正態(tài)分布，那的正態(tài)分布，那么一年中保險公司平均的索賠額是（么一年中保險公司平均的索賠額是（ ）.PoissonPoisPoissonPoisssonon( )ttt對過程而言，其強(qiáng)度 是一個不變的常數(shù)；而非齊次過程的強(qiáng)度不再是不變的了，而是一個與 有關(guān)的變量，即關(guān)于 的函數(shù)；我們現(xiàn)在想：如果一個隨機(jī)過程的強(qiáng)度是一個的話，那么該過程是什么樣的呢？這就是我們接著學(xué)習(xí)的有的書上也叫做隨機(jī)變量條件過程，混合過程.入引：3.3.3 條件條件Poisson過程過程N(yùn)(t)tPoissonNPo(it)sson.t 設(shè) 是一正的隨機(jī)變量，如果在的條件下，計數(shù)過程，0是參數(shù)定義：條件為 的過程. 我們稱，0過程為ntst0nN( t)P(N(t+s)-N(s)=n|= )=e.n由上述定義立得：對， ！0nt0PoissonPoisson2nd( t)edn 1.條件過程是一般的過程將強(qiáng)度 推廣到一個正的隨機(jī)變量的情形.設(shè) 的分布是，則有全概率公式得，在長度為的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生次事件的概率為 (N(t+s)-N(s)= )(N(t+