中考數(shù)學(xué)壓軸題的命題研究和反思0001

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題的命題研究與反思一.中考數(shù)學(xué)壓軸題的功能與定位目前福建省中考數(shù)學(xué)試卷都是畢業(yè)、升學(xué)兩考合一試卷，兼顧學(xué)生的基礎(chǔ)性和發(fā)展性，考試具有評(píng)價(jià)、選撥功能。壓軸題的目標(biāo)是選拔功能，意圖通過壓軸題考查學(xué)生的綜合素質(zhì)，尤其是分析問題、解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)挖掘?qū)W生繼續(xù)升學(xué)的潛力，同時(shí)也為初中教學(xué)指明方向。壓軸題設(shè)置常見有探究型問題、開放型問題、運(yùn)動(dòng)變化型問題、操作型問題、應(yīng)用型問題等。壓軸題常以支撐整個(gè)初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)與重要思想方法為載體，突出能力考查，對(duì)學(xué)生的閱讀能力、計(jì)算能力、理解能力、思維能力有較高的要求；壓軸題突出了對(duì)數(shù)形結(jié)合、歸納概括、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、函數(shù)與方程、演繹推理等主要數(shù)

2、學(xué)思想方法的考查。因此壓軸題是區(qū)分度和綜合性的集中體現(xiàn)，也滲透了命題者對(duì)中考方向的理解。二.中考數(shù)學(xué)壓軸題的內(nèi)容與形式研究近幾年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題考查的內(nèi)容，大都可分成以下兩類：1 .以幾何為載體考查函數(shù)或幾何.2 .以函數(shù)為載體考查函數(shù)或幾何其中函數(shù)的載體有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，其中以二次函數(shù)為重點(diǎn)。函數(shù)考查的內(nèi)容有求函數(shù)的解析式、求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì)等。代數(shù)方面涉及的知識(shí)主要有方程、函數(shù)、不等式、坐標(biāo)、和解直角三角形（三角函數(shù)）等。幾何的載體有三角形、四邊形、圓等，其中以三角形、四邊形為重點(diǎn)。幾何考查的內(nèi)容有圖形形狀的判定、圖形的大?。ň€段的長

3、度、圖形的面積的大小或最值等）計(jì)算、圖形的關(guān)系（相似或全等）判定、圖形的運(yùn)動(dòng)等。圖形就運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言有點(diǎn)動(dòng)（點(diǎn)在線段或線上運(yùn)動(dòng)），線動(dòng)（直線或線段的平移、旋轉(zhuǎn)）和面動(dòng)（部分圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）等。幾何中考查代數(shù)，代數(shù)中考查幾何，代數(shù)與幾何融為一體，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，試題具有較強(qiáng)的綜合性、靈活性、和開放性。三.中考數(shù)學(xué)壓軸題的評(píng)析與反思現(xiàn)以筆者所參加的莆田市近幾年的中考和質(zhì)檢命題為范例作說明1 .以幾何為載體考查幾何例1.（2008年莆田市初三質(zhì)檢第25題）（1）探究：如圖1,E、F分別在正方形ABCD勺邊BCCD上，且/EA日45,請(qǐng)猜測并寫出線段DRBEDF之間的等量關(guān)系（不必證明）.

4、AB=AD/EA已1/BAD2（3）應(yīng)用：在條件（2）求此時(shí)CEF勺周長.圖1（2）變式：如圖2,E、F分別在四邊形ABCD勺邊BCCD上，/B+/D=180,則線段BEEF、FD的等量關(guān)系又如何？請(qǐng)加以證明.B中，若/BAD=120°,AB=AD=1,BOCD（如圖3）,試題評(píng)析試題通過先研究簡單圖形-正方形的線段的等量關(guān)系和證明方法，從中掌握分析問題的思路和解決問題的方法步驟，然后引中、拓展，提示規(guī)律，從而解決了一般圖形-四邊形的類似問題，最后又在一個(gè)隱蔽的背景中考查規(guī)律的應(yīng)用。需要學(xué)生掌握通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得的數(shù)學(xué)猜想正確與否的原理、策略與方法，以及結(jié)合演繹推理與合

5、情推理發(fā)展推理能力。本題就改變了傳統(tǒng)幾何證明題的模式（已知，求證，證明），將合情推理與演繹推理有機(jī)融合在一起，解題過程體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，這有助于學(xué)生加深對(duì)問題的理解，提高綜合解題能力，形成創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)課改理念，對(duì)教學(xué)具有積極的導(dǎo)向作用.命題反思幾何考查體現(xiàn)出降低嚴(yán)格邏輯證明的要求，不是簡單化地降低幾何題目的難度，而是按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，注重探究、重視重要的數(shù)學(xué)思想方法考查，從加強(qiáng)與代數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系角度合理設(shè)計(jì)幾何題目的難度；加強(qiáng)對(duì)實(shí)驗(yàn)操作、讀圖作圖、合情推理等能力的要求，強(qiáng)化圖形變換的應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)思想方法以及運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問題能力等特點(diǎn).命題中對(duì)幾何基本圖形進(jìn)行改編常用

6、的策略有：原題條件的弱化或強(qiáng)化、結(jié)論的延伸與拓展、條件與結(jié)論的互換；或?qū)D形進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等操作，使之形成一系列的變式與拓展問題。2 .以幾何為載體考查函數(shù)例2.（2008年莆田市中考25題）閱讀理解：如圖1,在直角梯形ABC邛,AB/CD,ZB=900,點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)/APD=9（0H,易證ABWPCD從而得到BPPCABCD.解答下列問題：（1）模型探究：如圖2,在四邊形ABCD43,點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)/B=ZC=ZAPD寸，求證：BPPCABCD;（2）拓展應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD43,AB=4,BC=10,CD=6/B=/C=600,A0±BC于點(diǎn)O,以O(shè)為原

7、點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)。C重合）.當(dāng)/APD=6（0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；試題評(píng)析本題通過“閱讀理解一模型探究一拓展應(yīng)用"三環(huán)節(jié)問題設(shè)置，實(shí)際上向?qū)W生展示了一個(gè)研究具有一般性問題的較完整的過程：先從這個(gè)一般性問題的“特殊”（圖1為直角情形）入手，至U“一般”（圖2為非直角情形）；再從“一般”（問題（2）上升到新背景中的“特殊”（問題（2），使學(xué)生經(jīng)歷了“特殊一一般一特殊”由淺入深、歸納與演繹交替變化的思維過程.試題在第一環(huán)節(jié)中提供了“易證，AB'ZXPCD的啟示，學(xué)生在解破“易證”中的具有廣泛意義的思考或研究方法（即所謂“

8、一般性方法”）后，就能類比解決后續(xù)的各個(gè)問題.考查學(xué)生利用類比方法進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)的能力.本題的價(jià)值不僅在于環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的精彩設(shè)置，更在于其本身突出地展示著“一般性方法”的深刻含義和普遍適用性，能掌握并善于運(yùn)用一般性方法，就顯示出較高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.（以上是2008年福建省中考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)組的評(píng)析）命題反思本題為代數(shù)幾何綜合題，體現(xiàn)新課改數(shù)學(xué)是一個(gè)整體不可分割的理念，而且突出模型的探究，抽象，概括與應(yīng)用，體現(xiàn)了研究一個(gè)問題時(shí)比較全面的過程：第一，對(duì)問題情景分析的基礎(chǔ)上先形成猜想；第二，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證（或證明成立，或予以否定），第三，在經(jīng)過證明肯定了猜想之后，再做進(jìn)一步的推廣.因此，本題的意義

9、就不只在于考查了相應(yīng)的知識(shí)，更在于考查了活動(dòng)過程，從而也進(jìn)一步加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中的方法與策略的認(rèn)識(shí)及運(yùn)用.這樣的考題有著較好的可推廣性，它在很大程度上可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和方式，具有很好的教育性。此題本身含有更多的“創(chuàng)造成份”，形式又新穎，嘗試了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性考查，體現(xiàn)了新課改理念。題目對(duì)學(xué)生在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有良好的預(yù)測效度，作為高中招生考試題，是非常適宜的例3.(2009年莆田市質(zhì)檢24題)2s(1)如圖1,4ABC的周長為l,面積為s,其內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為r,求證：r；l(2)如圖2,在ABC中，A、BC三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,0)、B(3,0)、C(0,4).若ABC

10、的內(nèi)心為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓叫旁心圓，圓心叫旁心.請(qǐng)求出(2)中的ABC&：于第一象限的旁心的坐標(biāo)。圖1圖2試題評(píng)析三角形的內(nèi)心為三角形角平分線的交點(diǎn)，由三角形其內(nèi)切圓組成的圖形是初中幾何的基本圖形之一.學(xué)過三角形的內(nèi)切圓后，幾何每個(gè)學(xué)生都做過如下的題目：設(shè)，ABC勺三邊分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,求證:s=1/2(a+b+c)r.此題正是在上述圖形和結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展與延伸：首先第小題的變換2s結(jié)論為：r2s；，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)；接著第(2)小題將第小題的基本圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)耐卣梗疾閷W(xué)生知識(shí)遷移的能力

11、和靈活應(yīng)用知識(shí)的能力；最后第(3)小題又在第(2)小題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸，知識(shí)的應(yīng)用也由形內(nèi)擴(kuò)展到了形外，而解決問題的方法也呈現(xiàn)出多樣性和靈活性，較好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和綜合應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力。整個(gè)試題的設(shè)計(jì)以三角形的內(nèi)切圓為背景，由簡單到復(fù)雜，由單一到綜合，層次分明，梯度合理，拓展適度，延伸自然，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，具有較好的效度和區(qū)分度。（以上引自中國數(shù)學(xué)教育2009年第10期中考試題研究張衛(wèi)東老師的評(píng)析）命題反思本題要求學(xué)生應(yīng)用新定義探索解決問題，需要學(xué)生閱讀題目給出的相對(duì)于學(xué)生來說是新知識(shí)的材料，并在理解的基礎(chǔ)上加以運(yùn)用，以解決新問題.考查了學(xué)生自己閱讀材料獲取新知識(shí)

12、，學(xué)習(xí)理解新知識(shí)和應(yīng)用新知識(shí)的能力，考查層次豐富，不同水平的學(xué)生可以充分展示自己不同的探究深度，較好地考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力。試題在知識(shí)遷移的同時(shí)方法也可以遷移，而且是一題多解，從而讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)、探索、問題解決的整個(gè)過程。這里將考試過程與學(xué)習(xí)過程結(jié)合起來，體現(xiàn)了一種較好的理念。借助問題解決的過程實(shí)現(xiàn)對(duì)所直接考查知識(shí)和技能的再抽象到一般意義下該能力和思想方法的考查，考題顯現(xiàn)出新的問題模式策略，對(duì)于改進(jìn)、提高中考的科學(xué)有效性、引導(dǎo)課堂教學(xué)改革具有積極的作用。3 .以函數(shù)為背景考查函數(shù)或幾何例1.（2008年莆田市中考26題）如圖，拋物線c1:y=x22x3

13、與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l，x軸于點(diǎn)F,交拋物線c1于點(diǎn)E.（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PE長的最大值；（3）當(dāng)PE取最大值時(shí)，把拋物線c1向右平移得到拋物線c2,拋物線c2與線段BE交于點(diǎn)M若直線CM把4BCE的面積分為1:2兩部分，則拋物線c1應(yīng)向右平移幾個(gè)單位長度可得到拋物線c2?例2.（2009年莆田市初三質(zhì)檢第25題.）如圖，拋物線yax23axc（a0）與y軸交于CM與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）,OC=3?OB.（1）求拋物線的解析式；（2）

14、若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。試題評(píng)析以上兩例都是以二次函數(shù)為載體展開，突出了利用函數(shù)思想進(jìn)行科學(xué)探究之過程的考查.強(qiáng)調(diào)了代數(shù)與幾何的有機(jī)聯(lián)系，既關(guān)注了知識(shí)間的縱向聯(lián)系，在知識(shí)塊層面和知識(shí)鏈層面上合理設(shè)計(jì)試題，又關(guān)注了知識(shí)間的橫向聯(lián)系，加強(qiáng)核心觀念和數(shù)學(xué)思想方法的考查，很好的考查了學(xué)生的隨機(jī)應(yīng)變能力和審題能力，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的發(fā)展性要求兩個(gè)題目第小題分別通過由解析式求點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式，嘗試了從不同角度考查學(xué)生采集

15、“數(shù)”與“形”信息，屬于基礎(chǔ)性的考查。第（2）小題點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)使圖形的形狀發(fā)生了改變，具線段長度或圖形面積也就與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間形成了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.試題通過特殊位置來區(qū)分函數(shù)的不同變化趨勢，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，突出考查了函數(shù)思想在動(dòng)態(tài)幾何中的運(yùn)用，涵蓋了方程和函數(shù)等知識(shí)，確保了試題具有較好的效度和可推廣性。例1中問題（3）表面是拋物線平移，本質(zhì)是線段分割圖形的幾何問題，例2中問題（3）也是幾何圖形的形狀問題，由于圖形的不確定性都需要討論。第（3）小題設(shè)計(jì)成條件探究題，有利于學(xué)生猜想、分析、比較、歸納和推理，又能考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化等思想和方法，以此考查并進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的探索

16、能力、發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新能力。試題開放的形式，探究的過程，都給學(xué)生以較大的發(fā)揮空間，有利于學(xué)生展示在數(shù)學(xué)中所取得的成就.命題反思函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是重要的基礎(chǔ)知識(shí)和重要的數(shù)學(xué)思想.它是其它所有與數(shù)量關(guān)系相關(guān)問題的思想基礎(chǔ)和知識(shí)基礎(chǔ)，諸如眾多的方程問題，不等式問題，幾何圖形中的幾何量的關(guān)系問題，特別是與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的幾何圖形問題，或隱或顯地都以函數(shù)作為指引，作為依據(jù)，作為基礎(chǔ)。函數(shù)的自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和它在數(shù)學(xué)中的地位決定了：函數(shù)不僅與數(shù)學(xué)其它知識(shí)有著密切的聯(lián)系，而且還有著極為廣泛的應(yīng)用.因此，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)間或數(shù)學(xué)與實(shí)際問題間的紐帶和橋梁，是中考數(shù)學(xué)試卷中不可或缺的重要內(nèi)容.其呈現(xiàn)方式靈活多變,

17、特別在壓軸題中，函數(shù)常常起著其他知識(shí)不可替代的作用.二次函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。以二次函數(shù)為背景的試題常受命題者的青睞，能夠全面考查用數(shù)析形的技能與計(jì)算能力，這也是學(xué)生將來學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)所必備的。但受所學(xué)知識(shí)限制，命題一般不會(huì)用以純函數(shù)的形式出現(xiàn)，而是結(jié)合幾何圖形或點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)使幾何圖形發(fā)生變化，從而讓代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合起來.在實(shí)際問題或綜合問題中，一般首先是函數(shù)思想指導(dǎo)下確定或選擇運(yùn)用函數(shù)，然后建立函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解決相應(yīng)的問題，突出考查了函數(shù)思想在動(dòng)態(tài)幾何中的運(yùn)用.試題在考查學(xué)生思維的靈活性、廣闊性方面具有較高的效度。隨著對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念被更為廣泛和

18、更為深入地認(rèn)識(shí)，對(duì)“合情推理”與“數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”的考查也呈增強(qiáng)之勢.這類考題與通常的“知識(shí)型”題目所反映出的考法的不同之處在于：第一，考查目標(biāo)和方向的立意不同，其立意或著眼于“猜想”能力的重要價(jià)值，或著眼于“數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”中的知識(shí)內(nèi)涵，特別是思想方法內(nèi)涵；第二，其載體的選取不同，突出地要求載體既要對(duì)學(xué)生具有現(xiàn)實(shí)性，更要對(duì)學(xué)生具有新穎性和適度的挑戰(zhàn)性，而且要基于核心的知識(shí)內(nèi)容；第三，其呈現(xiàn)方式不同，既要考慮“猜想”得以形成的足夠條件，“活動(dòng)”得以展開的必要導(dǎo)示，又要給學(xué)生留有盡可能大的思考空間或活動(dòng)空間，以更多地發(fā)揮學(xué)生的自主性和獨(dú)到見解。為了實(shí)現(xiàn)這一理念，中考?jí)狠S題中出現(xiàn)了很多通過讓學(xué)生經(jīng)歷某種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)而解決問題的題目。這些題目更多地是借助于歸納和類比，即通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫埃瑢?dǎo)示學(xué)生借助