中考數(shù)學(xué)壓軸題專題圓的綜合的經(jīng)典綜合題

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1,已知？ABCD的周長為26,/ABC=120°,BD為一條對角線，。內(nèi)切于ABD,E,F,G為切點(diǎn)，已知。的半徑為J3.求？ABCD的面積.【答案】203【解析】【分析】首先利用三邊及。0的半徑表示出平行四邊形的面積，再根據(jù)題意求出AB+AD=13,然后利用切線的性質(zhì)求出BD的長即可解答.【詳解】設(shè)。0分別切4ABD的邊AD、AB、BD于點(diǎn)G、E、F;平行四邊形ABCD的面積為S;貝US=2SxABD=2X1(ABOE+BDOF+ADOG)=Q(AB+AD+B。；;平行四邊形ABCD的周長為26,.AB+AD=13, .S=3(13+

2、BD);連接OA;由題意得：/OAE=30, .AG=AE=3;同理可證DF=DGBF=BE .DF+BF=DG+BE=133-3=7,即BD=7,，S=百(13+7)=2073.即平行四邊形ABCD的面積為20J§.2.四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,且AE=ECBE=ED,以AD為直徑的半圓過點(diǎn)E,圓心為O.(1)如圖，求證：四邊形ABCD為菱形；(2)如圖，若BC的延長線與半圓相切于點(diǎn)F,且直徑AD=6,求弧AE的長.試題分析：(1)先判斷出四邊形ABCD是平行四邊形，再判斷出AC±BD即可得出結(jié)論;(2)先判斷出AD=DC且DELAC,/ADE=/CDE進(jìn)而得出ZC

3、DA=30°,最后用弧長公式即可得出結(jié)論.試題解析：證明：（1）.四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,且AE=EC,BE=ED,.四邊形ABCD是平行四邊形.二,以AD為直徑的半圓過點(diǎn)E,，/AED=90°,即有AC，BD,四邊形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四邊形ABCD是菱形，4ADC為等腰三角形，AD=DC且DELAC,/ADE=/CDE如圖2,過點(diǎn)C作CG,AD,垂足為G,連接FO.BF切圓O于點(diǎn)F,1.OFXAD,且OF-AD3,易知，四邊形CGOF為矩形，CG=OF=3.2.CG1在RtCDG中，CD=AD=6,sinZADC=-,./CDA=30,，/ADE=

4、15.2303_1802CD點(diǎn)睛：本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.3.如圖，在OO中，直徑ABL弦CD于點(diǎn)E,連接AC,BC,點(diǎn)F是BA延長線上的一點(diǎn),且/FCA=/B.求證：CF是。的切線；（2）若AE=4,tan/ACD=叵,求FC的長.3【答案】（1）見解析【解析】分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出/OCF=90,進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)正切的性質(zhì)求出EC的長，然后利用垂徑定理求出圓的半徑，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出即可.詳解：（1）證明：連接OCAB是。的直徑，/ACB=90；Z

5、OCB+ZACO=90：.OB=OC,，/B=/OCB.又/FCA=/B,/FCA=/OCB,/FCA+/ACO=90；即/FCO=90;，F(xiàn)caoc, .FC是。O切線.4.3AE(2)解：AB，CD,ZAEC=90°,.EC=tanACE設(shè)OA=OC=r,則OE=OA-AE=r-4.在RtOEC中，OC2=OE2+C彥，即r2=(r4)2+(4而)2,解得r=8.OE=r4=4=AE. .CE±OA,，CA=CO8, .AOC是等邊三角形，/FOC=60；/F=30：在RtFOC中，/OCF=90；OC=8,/F=30°,-.OF=2OC=16, 1-FC=O

6、F、OC28.3.點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的判定、垂徑定理的推論以及勾股定理等知識，得出BC的長是解題關(guān)鍵.4.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D,BD=CD連接AD、AC.(1)如圖1,求證：/BAD=/CAD(2)如圖2,過點(diǎn)C作CF±AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E延長CF交。0于點(diǎn)G.過點(diǎn)作EHLAG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CGJ：線段AL的長.12【答案】(1)見解析(2)見解析(3),105【解析】得到/ADB=90°,再證明AB44ACD即試題分析：(1)由直徑所

7、對的圓周角等于90。,可得到結(jié)論；/GAB=/BEG.再證KFEBFE,得到BK,由OF=OB-BF,AK=ABBK,即可得到結(jié)論.(2)連接BE.由同弧所對的圓周角相等，得到IBF=KF=-2(3)連接CO并延長交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM,/AGG/GCM=90°.再證/GAF=/GCM=.通過證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG,再證明/BGC=/MCG=.設(shè)BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.2由OK=1,得至ijOF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得至U3a+2=4a,解出a的值，得至UA

8、F,八一，,HK1AB,GF,FC的值.由tana=tsdHAK=AK=6,可以求出AH的長.再由AH21tanGAFtanBAD-tanBADtanBCF,利用公式tanZGAD=，得到31tanGAFtanBADZGAD=45；則AL=V2AH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1).AB為。的直徑，ZADB=90°,，/ADC=90°.BD=CD,/BDA=ZCD/AD=AD,.AABDACD,./BAD=ZCAD.(2)連接BE.BG=BG,./GAB=/BEG. .CF±AB,./KFA90： .EHXAG,ZAHE=ZKFE=90；/AKH=/EKF,./

9、HAK=/KEF=/BEF. .FE=FE,ZKFE=ZBFE=90；.-.KFEABF.BF=KF=LBK.OF=OB-BF,AK=AB-BK,AK=2OF.(3)連接CO并延長交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/GAB=.AC=CG,點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.1OA=OG,點(diǎn)O在AG的垂直平分線上,.CM垂直平分AG,.-.AM=GM,/AGG/GCM=90：.AFXCG,./AGC+/GAF=90/GAF=/GCM=.AB為。的直徑，ZAGB=90,°/AGB=/CMG=90:1,.AB=AC=CG,AAGBACMG,.BG=GM=AG.2在RtAGB中，tanGABtanGB1AG2

10、/AMC=ZAGB=90，BG/CM,/BGG=ZMCG=設(shè)BF=KF=a,tanBGFtanBF1GF1一，GF=2a,tanGAFtan-GF2AF2AF=4a.OK=1,OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,，3a+2=4a,.a=2,AK=6,.,.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6.HKtana=tanHAK=1AK=>ym2(2m)2=6,解得:m="5.AH=2m=12遍.在RBFC中,AH/GAD=45；.1.HL=AH,BF1，一一，一一。，一，一tanBCF-./BA

11、D+/ABD=90,/FBG/BCF=90,./BCF=/BAD,FC3111/tanGAFtanBAD53dtanBADtanBCF-,.tanZGAD=1,31tanGAFtanBAD>11I23al=V2ah=皿.55.如圖，ABC內(nèi)接于。O,AB是直徑，。的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P,OF/BC交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連結(jié)AF.（1）判斷AF與。O的位置關(guān)系并說明理由;（2）若AC=24,AF=15,求sinB.3【答案】（1）AF與。O相切理由見解析；（2）35【解析】試題分析：（1）連接OC,先證/OCF=90°,再證明OAFOCF,得出ZOAF=ZOCF=9

12、0°即可；OAAE（2）先求出AE、EF,再證明OAEAFE,得出比例式，可求出半徑，進(jìn)而AFEF求出直徑，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）AF與。O相切.理由如下：連接OC.如圖所示.PC是。的切線，OCXPC,ZOCF=90°.OF/BC,，/B=/AOF,/OCB=/COF/OB=OC,./B=/OCB,./AOF=/COF.在OAF和OCF中，.OA=OC,/AOF=/COF,OF=OF,.OAFOCF（SAS,ZOAF=ZOCF=90；，AF與。O相切；(2)AOAFAOCF，/OAE=/COE.OELACAE=-AC=12OAAEOA12,即-

13、AFEF159''2'.EF=7T5212r91/OAF=90°,AOAEAAFE,.OA=20,AB=40,sinB=AC243點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵.6.定義：數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為智慧三角形”.理解：如圖1,已知23是。U上兩點(diǎn)，請在圓上找出滿足條件的點(diǎn)C,使dlBC1為智慧三角形”（畫出點(diǎn)1c的位置，保留作圖痕跡）；r，、，l-一1如圖2,在正方形ABU口中，石是刀。的中點(diǎn)，F(xiàn)是

14、S上一點(diǎn)，且CF=-CD，試判斷Q4EF是否為智慧三角形”，并說明理由；運(yùn)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系工。中，O0的半徑為1,點(diǎn)2是直線J1=3上的一點(diǎn)，若在。上存在一點(diǎn)P,使得，。產(chǎn)。為智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時，直接寫出此時點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）P的坐標(biāo)（述，），（述，3331）.3【解析】試題分析：（1）連結(jié)AO并且延長交圓于01,連結(jié)BO并且延長交圓于02,即可求解；（2）設(shè)正方形的邊長為4a,表示出DF=CF以及EGBE的長，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得4

15、AEF為智慧三角形”；（3）根據(jù)智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解.試題解析：(1)如圖1所示：圖1(2) 4AEF是否為智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長為4a, .E是DC的中點(diǎn)，DE=CE=2a,.BC:FC=4:1,FC=a,BF=4a-a=3a,在RtADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在RtECF中,E盧=(2a)2+a2=5a2,

16、在RtMBF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2, .AE2+EF?=AF2, .AEF是直角三角形，:斜邊AF上的中線等于AF的一半， .AEF為智慧三角形”；(3)如圖3所示：由智慧三角形”的定義可得4OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,由勾股定理可得PQ=J-匚，PM=1X2+3=由勾股定理可求得OM=3，1故點(diǎn)P的坐標(biāo)(-,一33鄴考點(diǎn)：圓的綜合題.7.如圖，已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上,CD是。的切線，ADLCD于點(diǎn)D,E是AB延長線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F,連接OGAC.(1

17、)求證：AC平分/DAO.(2)若/DAO=105,/E=30°求/OCE的度數(shù)；若。的半徑為2J2，求線段EF的長.【答案】(1)證明見解析；(2)/OCE=45;EF=2J3-2.【解析】【試題分析】(1)根據(jù)直線與。相切的性質(zhì)，得OC,CD.又因為AD±CD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD/OC./DAC=/OCA.又因為OC=OA,根據(jù)等邊對等角，得/OAC=/OCA.等量代換得：/DAC=ZOAC根據(jù)角平分線的定義得：AC平分/DAO.(2)因為AD/OC,ZDAO=105,根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，/EOC=ZDAO=105,&#

18、176;在OCE中，/E=30利用內(nèi)角和定理，得：ZOCE=45.°作OG,CE于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG因為OC=2J2，/OCE=45.等腰直角三角形的斜邊是腰長的五倍，得CG=OG=2.FG=2&RtAOGE中，ZE=30°,彳導(dǎo)GE=2J3,貝uEF=GE-FG2、3-2.【試題解析】(1) .直線與。O相切,OCXCD.又;AD±CD,.-.AD/OC./DAC=ZOCA.又OC=OA/OAC=ZOCA./DAC=ZOAC. AC平分/DAO.(2)解：.ADZ/OC,ZDAQ=105,./EOC4DAO=105 /E=30,°

19、/OCE=45.°作OGLCE于點(diǎn)G,可得FG=CG .OC=2j2，/OCE=45.CG=OG=2.FG=2. .在RtOGE中，ZE=30,°,-GE=2V3. .EF=GE-FG=2.3-2.【方法點(diǎn)睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.8.在電同址?中，上AC=AB=4D,E分別是邊/?,平的中點(diǎn)，若等腰Htd/IDR繞點(diǎn)門逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rtd/D】片，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<a<180°),記直線班)與匚F的交點(diǎn)為P(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)0；=1fMT時，線段方劭的長等于

20、,線段。E】的長等于.(2)探究證明如圖2,當(dāng)優(yōu)=135©時，求證：孫=1,且BDICEi.(3)問題解決求點(diǎn)到所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)【答案】(1)人叮；2g|；(2)詳見解析；(3)1+73【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD的長和C6的長；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，/DAB=/EiAC=135°,進(jìn)而求出D1ABE1AC(SA§,即可得出答案；(3)首先作PG，AB,交AB所在直線于點(diǎn)G,則Di,日在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD所在直線與。A相切時，直線BDi與CEi的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時

21、四邊形ADiPEi是正方形，進(jìn)而求出PG的長.【詳解】(1)解：./A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，.AE=AD=2,等腰RHADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAADiEi,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0v/180°,當(dāng)a=90寸，AEi=2,/EiAE=90°,BDi=H+=八=/工+2=；故答案為：245;(2)證明：由題意可知，他=八。="二.甲"力D1EI是由繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)135*得到，."1=怩*g=±JMB=135在力小的和jE1MC中,AD1皿.二組也，AB=AC邛小=小，產(chǎn)iCI入外叫可&qu

22、ot;:?種11附種i=c呵且即小兩.(3)點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是在|。川的上半圓周，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是在|。"的弧HP段.即當(dāng)月份與O4相切時，P行有最大值.點(diǎn)到力用所在直線的距離的最大值為1+、口.【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出PG的最長時P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵.9.如圖，已知AB是。的直徑，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DE，AB于H,交AC于G.求證：AG=GD;當(dāng)/ABC滿足什么條件時，4DFG是等邊三角形？34若AB=10,sin/ABD=，求BC的長.5【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)/ABC=60

23、。時，4DFG是等邊三角形.理由見解析；，一，14(3)BC的長為一.5【解析】【分析】(1)首先連接AD,由DE±AB,AB是。的直徑，根據(jù)垂徑定理，即可得到ADAE,然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，證得/ADE=/ABD,又由弦BD平分/ABC,可得/DBC=/ABD,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)，即可證得AG=GD;(2)當(dāng)/ABC=60時，4DFG是等邊三角形，根據(jù)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角與三角形的外角的性質(zhì)，易求得/DGF=/DFG=60,即可證得結(jié)論；34(3)利用二角函數(shù)先求出tanZABD3,cos/ABD=,再求出DF、BF,然后即可求出45BC

24、.【詳解】(1)證明：連接AD,.DEXAB,AB是。的直徑，ADAE，/ADE=/ABD, .弦BD平分/ABC,/DBC=/ABD, /DBC=/DAC,/ADE=/DAC, .AG=GD;(2)解：當(dāng)/ABC=60°時，4DFG是等邊三角形.理由：二,弦BD平分/ABC,/ DBC=ZABD=30°,.AB是。的直徑，/ ACB=90；/CAB=90-/ABC=30；/DFG=/FAB吆DBA=60°, .DEXAB,/DGF=/AGH=90°-/CAB=60°, .DGF是等邊三角形；(3)解：.AB是。的直徑，/ADB=/ACB=90； /DAC=/DBC=/ABD,3 .AB=10,sin/ABD=一，5 在RtMBD中，AD=AB?sin/ABD=6, BD=VABBD=8，AD3BD4 tan/ABD=-,cos/ABD=一,BD4AB539在RtAADF中，DF=AD?tan/DAF=AD?tan/ABD=6X=,4297