第4節(jié)基本不等式及其應用(3)

1、20第4節(jié) 基本不等式及其應用考試要求 1.了解基本不等式的證明過程；2.會用基本不等式解決簡單的最大(小) 值問題.I基M胃訊售斷:理題教材不陳實氯扁國知識梳理1a+b1 .基本不等式：娜&一2一(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a=b時取等號.(3)其中ab稱為正數a, b的算術平均數，稱為正數a, b的幾何平均數.2 .兩個重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, bCR),當且僅當a=b時取等號.2a+ b.一 .一 .一(2)ab< 2 (a, bCR),當且僅當a=b時取等號.3 .利用基本不等式求最值

2、已知x>0, y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x= y時、x+ y有最小值是2Vp(簡記：積 定和最小).s2如果和x+y是定值s,那么當且僅當xy時，xy有最大正是 為簡記：和定積 最大).常用結論與微點提醒b a1 .-+ ->2(a, b同號)，當且僅當a=b時取等號./>0, b>0).2 a b3 .& fab<-< 一a+b4 .應用基本不等式求最值要注意：”一定，二正，三相等"，忽略某個條件，就會出錯.5 .在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的

3、條件一致.診斷自測息潺辨析.1 .判斷下列結論正誤(在括號內打或“X” )(1)兩個不等式a2+b22ab與abqOb成立的條件是相同的.()(2)函數y= x+1的最小值是2.()x(3)函數f(x) = sin x+ -4的最小值為4.()sin x(4)x> 0且y>0是x+ y>2的充要條件.()y x解析(1)不等式a2 + b2>2ab成立的條件是a, bCR；a+ b.不等式一2一 >年成立的條件是a>0, b>0.一 1 一(2)函數y= x+ x的值域是(一8, 2U2, +oo),沒有最小值.(3)函數f(x) = sin x+i-

4、沒有最小值. sin x(4)x>0且y>0是；+ xx> 2的充分不必要條件.答案 (1)X (2)X (3)X (4)X 教材近化4 ,2 .(新教材必彳第一冊P48T1改編)已知x>2,則x+；的最小值是()x 2A. 2B. 4C.2.2D.64.4 一一一 4 一 一一解析 . x>2,x + x32 =(x-2) + xTT2 +22/ (x 2) X-x2 +2=4+ 2=6.4當x2=即x=4時等號成立. x 2答案 D3.(新教材必彳第一冊P45例1改編)若x<0,則x+1()xA.有最小值，且最小值為2B.有最大值，且最大值為2C.有最小

5、值，且最小值為2D.有最大值，且最大值為2解析 因為 x<0,所以一x>0, x+ 1= -x+ -1 w -2y ( x) .一9=一 xx.ix2,當且僅當x= 1時，等號成立，所以x+1<-2. x答案 D.考題體驗:1 14. (2020湖北八校聯考)已知實數x滿足log1x>1,則函數y= 8x+ 2x時的最大值 為()A. 4B. 8C. 4D. 01 1解析 由 log2x>1 得 0<x<2, - -1<2x-1<0.y=8x+ *=4(2-1)+1+4.一 一 ,i_ .一=4 (12x) + 彳+404 + 4=0,1

6、- 2x，一，1 I 1 ,一一，當且僅當4(12x) =廣，即乂 =:時，取等號，故選D.1 2x 4答案 D5.(多填題)(2019濟寧一中月考)一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形 菜園，墻長18 m,則這個矩形的長為 m,寬為 m時菜園面積最大.，一 _ 11 x+2y解析 設矩形的長為x m,范為y m.則x+2y= 30,所以S= xy=-x (2y)<2 ?2= 225,當且僅當x= 2y,即乂= 15, y= 125時取等號.15151 ,6. (2018天津卷)已知a, bCR,且a 3b + 6 = 0,則2a +d的最小值為.8解析 由題設知a3b= 6,又

7、2a>0, 8b>0,所以2a+8b>2、卜8b =2 2亙產1 . 一 . c 11一一一 一 c 1 一一一 . 1=,當且僅當2 =京，即a= -3, b= 1時取等號.故2 +砧的取小值為：.4884答案4|考慮聚焦突破 分黃骯.俅法 考點一利用基本不等式求最值"多維探究角度1配湊法求最值3【例1 1】 (1)(2020樂山一中月考)設0<x<2,則函數y=4x(3 2x)的最大值為8右a>0,則a+o的取小值為.2a十1解析 (1)y= 4x(3 2x) = 22x(3 2x)2c 2x+ (32x)9<22=2，3當且僅當2x=

8、3-2x,即x= 4時，等號成立.33 一39'-'4 0, 2，函數 y= 4x(3-2x) 0Vx<2 的最大值為5.(2)由題意可知 a + 208r7=a+ 2+-41-1>2/ a + 1 乂-47-2=2,當且僅a+2;士當a + 1=T，即a = 3時等號成立.所以a+J7的最小值為7.2+122a 十 12答案(1)9 (2)2規(guī)律方法配湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用配湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：(1)配湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；代數式的變形以配湊出和或積的定值

9、為目標；(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提 角度2常數代換法求最值111【例12 （2019龍巖一模）已知x>0, y>0,且F + 1：1，則x+ y的最小值 x十 1y 2為（）A. 3B. 5C. 7D. 9l11111解析 x>0 , y>0 ,且 x+ 1 + y= 2，；x+1 + y= 2 x+I +- （x + 1 + y）=yx+ 1x+ 1+-T>2 2+2x+ 1=8,當且僅當親，即x=3,y= 4時取等號，,.x+y>7,故x+ y的最小值為7.答案 C規(guī)律方法常數代換法求最值的步驟(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數

10、);把確定的定值(常數)變形為1;把1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式;(4)利用基本不等式求解最值角度3消元法求最值【例13】 若正數x, y滿足x2 + 6xy 1=0,則x+ 2y的最小值是()x>0,21 -x>0,6x '"3B. 3C. 3D. 3一.一 、o-,1 -x2 , x>0,解析因為正數x, y酒足x2+6xy1=0,所以y=4一.由6x y>0,解得 0<x<1.所以 x+ 2y=x+13x = 2x+3；> 2、/2x 土 =232,當且僅當 2x= 3；3x 3 3x , 3

11、3x 33 3x1Px=2, v= *時取等號，故x+ 2y的最小值為斗.答案 A規(guī)律方法 消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系， 然后代入代數式轉化為函數的最值求解.有時會出現多元的問題，解決的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但應注意保留元的取值范圍>-、-x【訓練1】(1)(角度1)已知函數f(x) = -(x<-1),則()X十1 'A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值4C. f(x)有最大值4D. f(x)有最大值一4(多填題)(角度2)若a>0, b>0,且a+ 2b4=0,則ab的最大值為,12, 一，1+2的最小值為a b41 ,(

12、角度3)若a, b, c都是正數，且a+b+c=2,則=;十;的最小值是()a+1 b+cA. 2B. 3C. 4D. 6解析r-x2(1)f(x)=xZ7 =x I Ix21 + 1x+ 1 1=-x 1 + dx+ 1,1 cx+1 + ；-2 x+ 1，,、1C=-(x+1)+_(x+ 1) +2.因為 x<1,所以 x+ 1<0, (x+ 1)>0,所以 f(x)>2H + 2 = 4,，一 , ，1 一 一 , 一一當且僅當一(x+1)= _(x； 1),即x= 2時，等號成立.故f(x)的最小值為4.(2)a>0, b>0,且 a + 2b4=0

13、, . . a+ 2b = 4,11. .ab=2a 2b<2xa+ 2b22=2,當且僅當a=2b,即a=2, b= 1時等號成立,1 2.ab的取大值為2；a + b =1,2 a+2b 1 2b, 2a >12b 2aa+b - 4 =45+ a+ b >45+2 a b9 . 一=4,當且僅當a= b時等號成立,1 2 一 9；a+b的最小值為9.(3)由題意可得b+ c= 2-a>0,所以0<a<2.414.+ . = . a+1b+ca+114 (2 a) + (a+1)= ，一 、，、2-a (2-a)(a+ 1)93a-a2 + a+23 （

14、3-a）- 5（7-4 =_（3 .a）+43 -a>3X、一 : 3,當+5-2XV4+5一.， ，一一41 一一，一一且僅當a=1時等號成立，所以不+b的最小值是3.9 答案 （1）A （2）2 9 （3）B考點二 基本不等式的實際應用【例2】 運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50<x< 100（單位：千米/時）.假設汽油的價格是每升 2元，而汽車每小時耗油x22+而升，司機的工資是每小時14兀. 360（1）求這次行車總費用y關于x的表達式;當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值解（1）所用時間為t=（h）,x 、130x2

15、130y= - X2X 2 + 360 +14XxC 50, 100.一 、,130X 18 2X130所以，這次行車總費用y關于x的表達式是y=-x+-360-x, x 50, 1002 340 13（或 丫=+育，x 50, 100）.130X 18 2X 130（2）y= -+6rx> 26 痂，當且僅當130X18 _2X130x = 360 x，即x=18H0時等號成立.故當x=18航千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為 26/10元.規(guī)律方法 1.設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數.2 .根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最

16、值.3 .在求函數的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍） 內求解.【訓練2】網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從 2019年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷量一、，一，2,x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x= 3 2彳.已知網店每月固定的各種費用支出為 3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是 萬元.2 t解析 由題息

17、知t= 1（1<x<3）,設該公司的月利潤為y萬兀，則y= 48+23 X2xx 32x 3t = 16x4 3 = 16x 十-3 = 45.5 - 16 (3 x) + -23-x 23-x<45.5- 2716= 37.5,11 一，一 一 一，一 ，、， 當且僅當x=號時取等號，即最大月利潤為37.5萬元.答案 37.5考點三基本不等式的綜合應用【例3】（1）（2019惠州調研）在 ABC中，點D是AC上一點，且AC = 4AD, P為BD上一點，向量AP= 2AB+ pAC（Q0,門0）,則4+1 的最小值為（）A. 16B. 8C. 4D. 2（2020長沙,K擬

18、）如圖，在三棱錐 PABC中，PA, PB, PC兩兩垂直，且PA =3, PB=2, PC=1.設 M 是底面 ABC 內一點，定義 f（M） = （m, n, p）,其中 m, n, p分別是三棱錐 M PAB、三棱錐 M PBC、三棱錐 M PCA的體積.若f（M） =；,x, y ,且】十包學8何成立，則正實數a的最小值為2x y解析（1）由題意可知，AP=2AB + 4血，又B, P, D共線，由三點共線的充要條件可得 計4尸1,又因為>0, 即 所以5+ 1=+- X（計4/=8+早+"八 仙 八 仙八 仙>8+2/2yx4= 16,當且僅當人=,嚴:時等號成

19、立，故4+，的最小值為16. y 人 "28人"故選A.(2)PA, PB, PC 兩兩垂直,且 PA= 3, PB=2, PC=1,Vp abc=X Jx 3X 2X 1 = 1 = J+x + y. 3 221.x+ y=5，貝U 2x+ 2y=1. a>0, . .；+：= 1+； (2x+2y)=2 + 2a+ 2y + 2yx>2+22 + 4(當且僅當§= 2ax,即y=«x時，取等號)，因此2+2a+4>/a>8,解得a>1,正實數a的最小值為1.答案(1)A (2)1規(guī)律方法 (1)當基本不等式與其它知識相結

20、合時，往往是提供一個應用基本不 等式的條件，然后利用常數代換法求最值.(2)求參數的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定相關成立的 條件，從而得到參數的值或范圍.【訓練3】(2020廈門聯考)對任意m, nCR+,都有m2-amn+ 2n2> 0,則實數 a的最大值為()A. .,2B. 2 ;2C. 49D.2解析 二,對任意 m, nCR+,都有 m2 amn+ 2n2>0,m2 + 2n2>amn, 即 a& m +2rl = m+ 型恒成立'mn n m 'vm+ 2n->2、m2n = 2V2, 當且僅當m=2n即 m= &

21、#39;2n 時取等號，a<2/2, n m n mn m故a的最大值為2吸，故選B.答案 B、選擇題能力A級基礎鞏固1 .已知a, bCR,且abw0,則下列結論包成立的是（）A. a+ b>2yjabB.ja + b>2C.，+ ： >2D.a2+b2>2ab解析因為a和b同號，所以a+b = a + b >2. baba b a答案 C2 .若x>0, y>0,且x + y=18,則M的最大值為（）A. 9B. 18C.36D.81解析 因為x+y=18,所以>/Xy0歲=9,當且僅當x=y= 9時，等號成立.答案 A3 .（多選題）

22、下列結論錯誤的是（）A.當 x>0 且 xwl, lg x+ jx>21B. "-1C.當x>0時，以+國2.一 1 一D.當0<x0 2時，x無最大值x解析 對于A,當0<x<1時，lg x<0,不等式不成立；，一 , 一 ，1對于B,當x=0時，有x211=1,不等式不成立；對于C,當x>0時,，x+1jx=2,當且僅當x=1時等號成立;1、，對于D,當0<xW2時，y=x1單調遞增，所以當x= 2時，取得最大值，最大 x值為3.答案 ABD一 . x 2x +1 一. . 1 . .一一，一4. （2020玉溪一中月考）已知

23、f（x） =,則f（x）在5，3上的最小值為（）x21 4A.5B.aC.-1D.02 31 x2 2x+ 11解析 因為xC 1, 3 ,所以f(x) = x-=x+1 22 2=0,當且僅當x2 xx1 1 一，一 =1,即x=1時取等號.x1 1又1 e 1, 3 ,所以f(x)在1, 3上的最小值為0.答案 D5 . （2019太原模擬）若P為圓x2 + y2=1上的一個動點，且 A（-1, 0）, B（1, 0）,則|PA|+|PB|的最大值為（）A. 2B. 2 2C.4D.4 2解析由題意知 /APB=90°, .|PA|2+|PB|2=4,=2（當且僅當|PA| =

24、|PB|時取等號）,|FA|+ |PB| 2|PA|2+|PB|2202|PB|<2>/2, . . |PA|+|PB|的最大值為 2a答案 B6 .某車間分批生產某種產品，每批產品的生產準備費用為800元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為x天,且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件8產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（）A. 60 件B.80件C.100件D.120件解析 設每批生產產品x件，則每件產品的生產準備費用是 駟元，倉儲費用是1x8元，總的費用是800+x元，由基本不等式得80°+號2、便0>吟= 20,當且僅 x 85x 8

25、v x 8800=x即x=80時取等號.x 8答案 B7. （2019 汕尾聯考）若直線 ax- by+ 2 = 0（a>0, b>0）經過圓 x2+y2 + 2x- 4y+1=0 一. 1 2 一 一 一.的圓心，則1 + 2的最小值為（）a b95A. 4B.2C.2D.6解析 圓的一般方程化成標準方程得(x+ 1)2+(y 2)2=4,依據圓心(1, 2)在直12 11 21線 axby+2=0 上，得 a +2b=2(a>0, b>0), a+b=(a+2b) & + ° =2b 2a 192x 1+4 + 1 + "b >2乂

26、(5 + 2<4) = 2(當且僅當 a=b=3時取等方).答案 B8. （2020信陽模擬）已知角a, 重合，且都為第一象限的角，B的頂點都為坐標原點，始邊都與x軸的非負半軸B的終邊上分別有點A（1, a）,B(2, b),且 a=12 3則a+b的取小值為（A. 1B. 2解析由已知可得tan a= a,tanC. 3c b片2,D.2 .tan a= tan 2 0,b2X22,則 0<b<2,即 a = *a 由 a>0，b>0 得先>0, 4 b4 b+b七a 4b+ b=b+3F>2牌=小,當且僅當b=3b,即b = ¥時取等b

27、4. b 4b 43號，故選C.答案 C、填空題9 .正數a, b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解析 :a, b是正數，.ab= a+b+3>2/ab+ 3（當且僅當a=b = 3時等號成立）,解得«b3,即ab> 9.答案9, +oo）10 .某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y（單位：萬元）與機器運轉時間 x（單位：年）的關系為y= x2+18x* .一 . 、 . . .25（x e N ）,則每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是 萬元.解析 每臺機器運轉x年的年平均利潤為y=18 x+ 25 ,而x>0

28、,故y018 xxx2每=8,當且僅當x=5時等號成立，此時每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利 潤最大，最大值為8萬元.答案 811 .（一題多解）（2019江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y= x+4（x>0） x''上的一個動點,則點P到直線x+ v= 0的距離的最小值是4解析 法一由題思可設P xo, x0 + (xo>0),x02x0 xoV2=4,當且.4-，4一 八，L- xo+xo + xo 2xo+xo則點P到直線x+ y= o的距離d= 尸 = 尸一22, ，4 一僅當2xo = ；4;,即x0=J2時取等號.故所求最小值是4.xo法二 設P

29、xo,xo （xo>。）,則曲線在點P處的切線的斜率為k= 1 *.令1=1,結合 xo>O 得 xo=V2, ；P(亞，3V2),曲線 y=x+4(x>0)上的點 P 到直 x線x+y= 0的最短距離即為此時點P到直線x+ y=0的距離，故dmin或貴2 =4.答案412 . （2。19天津卷）設x>o, y>o, x+2y=4,貝U "+1）十" 的最小值為 xy解析(x+ 1) (2y+1)2xy+ x+ 2y+ 1 2xy+ 5xyxy=xy=2+xy. x>0, y>0 且 x+ 2y=4,42必y(當且僅當x = 2,

30、y= 1時取等號),c -1、12xy< 4, xy 2 2+互>2 + 5 = 答案22 xy 2 2 2.B級能力提升13 .正數a, b滿足1+9=1,若不等式a+b>-x2 + 4x+ 18m對任意實數x包 a b成立，則實數m的取值范圍是()A. 3, +oo)B. (一00, 3C. (8, 6D. 6, +8)1 9斛析 因為a>0, b>0, 一 +匚=1,a b所以 a + b= (a+ b) '+ 蔓=10+' +粵>10+ 249= 16,當且僅當=整，即 a = 4, 、'ab a ba bb=12時，等號成立

31、.由題意，得16方x? + 4x + 18 m,即x24x 2m對任意實數x包成立，令 f(x) = x24x2,則 f(x) = x24x2=(x 2)2 6,所以f(x)的最小值為一6,所以一6一m,即m> 6.答案 D14 . (2020山東師大附中模擬)已知4ABC的面積為1,內切圓半徑也為 1,若 ABC的三邊長分別為a, b, c,則工+身旭的最小值為()a+b cA. 2B. 2+V2C.4D.2 + 2亞解析 因為ABC的面積為1,內切圓半徑也為1,1.所以2儂+b+c) x 1 = 1,所以 a+b+c=2,a+ b 2 (a+ b+ c) =a+ ba+ b2ca+ b+ 丁 =2+示 + ?)2+班， 當且僅當a+b=42c,即c= 2也一2時，等號成立,所以9 +今b的最小值為 2 + 2 也. a