第4章壓電陶瓷1.

1、第第4章章 壓電陶瓷材料及應(yīng)用壓電陶瓷材料及應(yīng)用Piezoelectric Ceramics 4.1 壓電陶瓷的基本物理性能壓電陶瓷的基本物理性能 1 壓電效應(yīng)與壓電體壓電效應(yīng)與壓電體 晶體的壓電性晶體的壓電性 正壓電效應(yīng)正壓電效應(yīng) D = d X 逆壓電效應(yīng)逆壓電效應(yīng) x = d E 晶體的壓電效應(yīng)是晶體的壓電效應(yīng)是應(yīng)力和應(yīng)變等機械量應(yīng)力和應(yīng)變等機械量與與電場電場強度和電位移強度和電位移（或（或極化強度極化強度）等電學(xué)量等電學(xué)量之間的之間的耦合效應(yīng)耦合效應(yīng)。 壓電性取決于晶體的對稱性，壓電性對晶壓電性取決于晶體的對稱性，壓電性對晶體對稱性的要求體對稱性的要求無對稱中心無對稱中心Interre

2、lationship of piezoelectric and subgroups on the basis of symmetrySubgroupFerroelectricSpontaneously polarizedPolarization reversible10PyroelectricSpontaneously polarized20PiezoelectricPolarized under stress21Noncentrosymmetric11Centrosymmetric(non-piezoelectric)32SymmetryPoint Groups 只有只有20個點群的晶體具有

3、壓電性個點群的晶體具有壓電性 Category: Dielectrics Piezoelectrics Pyroelectrics Ferroelectrics 鐵電陶瓷經(jīng)極化處理后，才呈現(xiàn)壓電效應(yīng)。鐵電陶瓷經(jīng)極化處理后，才呈現(xiàn)壓電效應(yīng)。 有序化增加：有序化增加：polycrystalline ferroelectric ceramics, poled ferroelectric ceramics, single-crystal ferroelectrics, single-domain single crystals 正壓電效應(yīng)正壓電效應(yīng)，電荷與，電荷與應(yīng)力成比例，用介質(zhì)應(yīng)力成比例，用介質(zhì)電

4、位移電位移D和應(yīng)力和應(yīng)力X表表達如下：達如下： 式中式中D的單位為的單位為C/m2，X的單位為的單位為N/m2，d稱為稱為壓電常數(shù)壓電常數(shù)(C/N)。dXD 逆壓電效應(yīng)逆壓電效應(yīng)，其應(yīng)變，其應(yīng)變x與電場強度與電場強度E(V/m)的關(guān)系的關(guān)系 對于正、逆壓電效應(yīng)，對于正、逆壓電效應(yīng)，比例常數(shù)比例常數(shù)d在數(shù)值上在數(shù)值上相等相等dEx ExXDd/2 壓電陶瓷的介電常數(shù)壓電陶瓷的介電常數(shù) 各向同性的介質(zhì)，各向同性的介質(zhì)，E矢量與矢量與D矢量同向矢量同向 晶體具有各向異性晶體具有各向異性 E矢量與矢量與D矢量不同向矢量不同向 D1 = 11 E1 + 12 E2 + 13 E3 D2 = 21 E1

5、+ 22 E2 + 23 E3 D3 = 31 E1 + 32 E2 + 33 E3jiijiED31 Di = ij Ej ( i, j = 1,2,3) 愛因斯坦求和慣例：愛因斯坦求和慣例：對重復(fù)下標(biāo)求和對重復(fù)下標(biāo)求和 可寫為：可寫為：( ij ), ij張量元張量元，n階張量的張量階張量的張量元數(shù)量為元數(shù)量為3n 晶體的物理性質(zhì)用張量表示，如介電常晶體的物理性質(zhì)用張量表示，如介電常數(shù)是數(shù)是2階張量階張量333231232221131211舊坐標(biāo)系，點舊坐標(biāo)系，點P（x1,x2,x3)新坐標(biāo)系，點新坐標(biāo)系，點P（x1,x2,x3)新舊變換：新舊變換：xi = aij xjxi = aji

6、xj 333231232221131211aaaaaaaaaaij 矢量變換同坐標(biāo)變換形式相似矢量變換同坐標(biāo)變換形式相似 Pi = aij Pj Pi = aji Pj 333231232221131211aaaaaaaaaaij二階張量二階張量：聯(lián)系兩個矢量聯(lián)系兩個矢量 Pi = Tij Qj通過矢量通過矢量P和和Q的一系列變換，可得到的一系列變換，可得到 Tij和和Tij之間之間的變換的變換 Pi = aiK Pk Pk = Tkj Ql Ql = ajlQj Pi = aik Pk = aikTklQl = aikTklailQj或或 Pi = Tij Qj Tij = aikajlTk

7、l 舊舊 新新 變換變換二階張量的變換定律二階張量的變換定律 張量是按坐標(biāo)變換定義的，二階張量的張量是按坐標(biāo)變換定義的，二階張量的變換規(guī)律：變換規(guī)律： Tij = aik ajl Tkl 逆變換：逆變換： Tij = aki alj Tkl 矢量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)的變換矢量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)的變換 二階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)乘積的變換二階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)乘積的變換 三階張量和四階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)三階張量和四階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)的三重積和四重積的變換的三重積和四重積的變換 二階對稱張量：二階對稱張量：Tij = Tji張量的變換定律張量的變換定律:晶體的宏觀物理性質(zhì)都是用張量描述，受兩種晶體

8、的宏觀物理性質(zhì)都是用張量描述，受兩種完全不同的對稱性的制約：完全不同的對稱性的制約：晶體學(xué)對稱性晶體學(xué)對稱性熱力學(xué)關(guān)系熱力學(xué)關(guān)系 晶體學(xué)對稱性晶體學(xué)對稱性（點群）對宏觀物理（點群）對宏觀物理性質(zhì)的影響性質(zhì)的影響 諾埃曼諾埃曼(Neumann)法則法則晶體物理晶體物理性質(zhì)的對稱要素必須包含晶體點群性質(zhì)的對稱要素必須包含晶體點群的對稱要素的對稱要素 熱力學(xué)關(guān)系熱力學(xué)關(guān)系: 賦予物理性質(zhì)本身的固有對稱性賦予物理性質(zhì)本身的固有對稱性對宏觀物理性質(zhì)的影響對宏觀物理性質(zhì)的影響要求描述晶體宏觀要求描述晶體宏觀物理性質(zhì)的二階以上張量都是對稱張量，如物理性質(zhì)的二階以上張量都是對稱張量，如 介電常數(shù)張量元介電常數(shù)

9、張量元 ij = ji 應(yīng)變應(yīng)變 xij = xji 壓電常數(shù)壓電常數(shù) dijk = dikj如：如： 介電常數(shù)張量的對稱性可從熱力學(xué)討論中得出介電常數(shù)張量的對稱性可從熱力學(xué)討論中得出晶體在電場作用下的能量增量晶體在電場作用下的能量增量 dW 為為 dW = EidDi因因 Di = ij Ej dW = ij EidEj注意到電場是保守力場，注意到電場是保守力場，dW 在數(shù)學(xué)上是一個全微分，在數(shù)學(xué)上是一個全微分， W/ Ej = ij Ei , 以及以及 W/ Ei = ji Ej求二階交叉偏微分求二階交叉偏微分 2W/ Ei Ej = ij 2W/ Ej Ei = ji二階偏微分的順序可互

10、換，二階偏微分的順序可互換， ij ji 對各向同性介質(zhì)，對各向同性介質(zhì)， ij 為標(biāo)量為標(biāo)量 對各向異性介質(zhì)，對各向異性介質(zhì)， ij 為二階張量為二階張量 熱力學(xué)關(guān)系熱力學(xué)關(guān)系介電常數(shù)為二階對稱張量，介電常數(shù)為二階對稱張量， ij = ji 獨立非零分量數(shù)獨立非零分量數(shù) 9 6 晶體學(xué)對稱性晶體學(xué)對稱性獨立非零分量數(shù)獨立非零分量數(shù)與晶體的對稱性有關(guān)與晶體的對稱性有關(guān)總總 結(jié)結(jié): 333231232221131211ij 三斜晶系三斜晶系：特征對稱要素為：特征對稱要素為1次旋轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 6個獨立分量個獨立分量 333231232221131211ij單斜晶系單斜晶系：共共3 個點群：個點群：

11、2、m、2/m,特征對稱要素為沿特征對稱要素為沿x2軸的軸的 2 次軸次軸 利用利用二階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)乘積的變換二階張量的變換相當(dāng)于坐標(biāo)乘積的變換，推出，推出4個獨立非零個獨立非零分量分量。 xi = aij xj, 沿沿x2軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180o, 相當(dāng)于相當(dāng)于: x1 -x1, x2 x2, x3 -x3 ij = aik ajl kl 相當(dāng)于相當(dāng)于 xi xj = aik ajl xk xl, 如如: x1 x2 -x1 x2 12 - 12 變換前后晶體的物理性質(zhì)應(yīng)該保持不變，變換前后晶體的物理性質(zhì)應(yīng)該保持不變， 12 - 12 12 0 得出得出4個獨立的非零分量：個獨立的非零分

12、量： 11， 22， 33， 31 正交晶系正交晶系： 三個點群：三個點群：222、mm2、mmm, 特征對稱特征對稱要素為三條互相垂直的要素為三條互相垂直的2次軸次軸 11、 22、 33 三個獨立非零分量三個獨立非零分量 332211000000 四方、六方、三方晶系四方、六方、三方晶系：特征對稱要素為平：特征對稱要素為平行于行于x3軸的軸的4、6、3 次軸，次軸， 11 33 2個獨立非零個獨立非零分量分量 如：對于四方晶系，如：對于四方晶系，1 2, 2 -1, 3 3 11= 22, 33為非零分量，而為非零分量，而 12 = 23 = 31 = 0331111000000 立方晶系

13、立方晶系：特征對稱要素：特征對稱要素：4個個3次軸，次軸， 11 一個獨立非零分量一個獨立非零分量111111000000 極化的壓電陶瓷的對稱型相當(dāng)于極化的壓電陶瓷的對稱型相當(dāng)于 mm, 相相當(dāng)于當(dāng)于6mm或或4mm 獨立的介電常數(shù)獨立的介電常數(shù) 2個：個： 11 = 22,， 33331111000000 壓電陶瓷的介電常數(shù)與機械邊界條件有關(guān)：壓電陶瓷的介電常數(shù)與機械邊界條件有關(guān)： 機械自由的介電常數(shù)機械自由的介電常數(shù) Xij比機械夾持的比機械夾持的 xij大大 機械自由機械自由 應(yīng)變應(yīng)變 （正壓電效應(yīng)）（正壓電效應(yīng)） 產(chǎn)生次級壓產(chǎn)生次級壓電效應(yīng)（附加的電效應(yīng)（附加的D）3 壓電陶瓷的彈性

14、常數(shù)壓電陶瓷的彈性常數(shù) 應(yīng)力和應(yīng)變張量都是二階對稱張量應(yīng)力和應(yīng)變張量都是二階對稱張量, Xij， xij 可以采用簡化下標(biāo)的形式表示可以采用簡化下標(biāo)的形式表示 111，22 2，33 3，23 4，31 5，12 6 廣義虎克定律：廣義虎克定律： xij = sijkl Xkl, 或或 Xij = cijkl xkl sijkl和和cijkl分別為分別為彈性柔順系數(shù)彈性柔順系數(shù)和和彈性勁度系彈性勁度系數(shù)數(shù)四階對稱張量，獨立非零分量四階對稱張量，獨立非零分量 81 21個個 壓電晶體的彈性常數(shù)與電學(xué)邊界條件有關(guān)，壓電晶體的彈性常數(shù)與電學(xué)邊界條件有關(guān)，電學(xué)電學(xué)短路條件的彈性柔順系數(shù)短路條件的彈性柔

15、順系數(shù)sijklE 大于電學(xué)開路的大于電學(xué)開路的 sijklD sE sD, cE cD 電學(xué)開路電學(xué)開路 D恒定恒定 內(nèi)部電場內(nèi)部電場 附加應(yīng)變附加應(yīng)變 （次級壓電效應(yīng)）（次級壓電效應(yīng)）(附加應(yīng)變使初級應(yīng)變減?。└郊討?yīng)變使初級應(yīng)變減?。?電學(xué)短路電學(xué)短路 內(nèi)電場不變，不產(chǎn)生附加應(yīng)變內(nèi)電場不變，不產(chǎn)生附加應(yīng)變4 壓電陶瓷的壓電常數(shù)壓電陶瓷的壓電常數(shù) 正壓電效應(yīng)正壓電效應(yīng)：Di = dijk Xjk dijk 壓電常數(shù)，三階對稱張量壓電常數(shù)，三階對稱張量 dijk = dikj，27 18個分量個分量 逆壓電效應(yīng)逆壓電效應(yīng)：xjk = djki Ei 用熱力學(xué)可以證明逆壓電常數(shù)與正壓電常數(shù)相用熱

16、力學(xué)可以證明逆壓電常數(shù)與正壓電常數(shù)相等等 壓電常數(shù)受熱力學(xué)關(guān)系確定的對稱性的約束，比如它壓電常數(shù)受熱力學(xué)關(guān)系確定的對稱性的約束，比如它是三階對稱張量，它的后兩個指標(biāo)是對稱的，是三階對稱張量，它的后兩個指標(biāo)是對稱的， 即即 dijk = dikj 受晶體所屬點群對稱性的影響受晶體所屬點群對稱性的影響 ,對稱操作所對應(yīng)的變換對稱操作所對應(yīng)的變換矩陣為，矩陣為， 則三階張量的變換必滿足下式：則三階張量的變換必滿足下式： 變換前后的張量保持不變，變換前后的張量保持不變， mnpkpjnimijkdaaadmnpkpjnimijkijkdaaaddijaija 具有對稱中心的晶類，即所屬點群包含中心反演

17、者，具有對稱中心的晶類，即所屬點群包含中心反演者，必不可能有壓電效應(yīng)必不可能有壓電效應(yīng) 中心反演對應(yīng)的變換矩陣中心反演對應(yīng)的變換矩陣 壓電常數(shù)張量的任一個分量都有壓電常數(shù)張量的任一個分量都有 100010001ijaijkijkdd0ijkd 極化的壓電陶瓷的對稱性為極化的壓電陶瓷的對稱性為 mm，類似于，類似于 6mm對稱性，非零獨立壓電常數(shù)的數(shù)量減少，對稱性，非零獨立壓電常數(shù)的數(shù)量減少，壓電常數(shù)只有壓電常數(shù)只有d31 = d32, d33, d15 = d24 其壓電常其壓電常數(shù)矩陣是：數(shù)矩陣是：00000000000003332312415ddddd4.2 壓電陶瓷的壓電方程壓電陶瓷的壓

18、電方程 壓電方程是綜合描述晶體的極化、彈性及機電壓電方程是綜合描述晶體的極化、彈性及機電之間壓電耦合作用的方程組之間壓電耦合作用的方程組。 對不同的邊界條件和不同的變量，得到不同的對不同的邊界條件和不同的變量，得到不同的壓電方程組壓電方程組1 壓電方程組壓電方程組 在應(yīng)力在應(yīng)力X1和電場和電場E3作用下，作用下，壓電陶瓷片發(fā)生形變壓電陶瓷片發(fā)生形變 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 彈性應(yīng)變：彈性應(yīng)變： x1(1) s11E X1 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 壓電應(yīng)變：壓電應(yīng)變： x1(2) d31 E3 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 總應(yīng)變：總應(yīng)變： x1 x1(1) x1(2) s11E X1 d31

19、E3 在電場在電場E3和應(yīng)力和應(yīng)力X1作用下，壓電陶瓷片產(chǎn)生作用下，壓電陶瓷片產(chǎn)生電位移電位移 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 產(chǎn)生的介電電位移：產(chǎn)生的介電電位移： D 3(1) = X33 E3 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 產(chǎn)生的壓電電位移：產(chǎn)生的壓電電位移： D 3(2) = d31 X1 當(dāng)當(dāng)E3 0，X1 0, 產(chǎn)生的總電位移：產(chǎn)生的總電位移： D3 D 3(1) D 3(2) = X33 E3 d31 X1 壓電方程組：壓電方程組： D3 X33 E3 d31 X1 x1 s11E X1 d31 E3 對于一般情況：對于一般情況： Di = ijX Ej + di X x = dj Ej +

20、 s EX d-壓電應(yīng)變常數(shù)，壓電應(yīng)變常數(shù)， 可簡寫為：可簡寫為： D= d X + X E x = sE X + d E 第一類壓電方程組第一類壓電方程組 第二類壓電方程組第二類壓電方程組 第三類壓電方程組第三類壓電方程組 第四類壓電方程組第四類壓電方程組 XsEdxXdEDEjjijXijixcEeXxeEDEjjijxijiXsDgxXgDEDjjijXijixcDhXxhDEDjjijxiji 邊界條件邊界條件： “短路短路”電學(xué)邊界條件：電學(xué)邊界條件：R外外 R內(nèi)內(nèi), 電位移不變電位移不變 “自由自由”機械邊界條件：中間固定，應(yīng)力為零，機械邊界條件：中間固定，應(yīng)力為零，變形自由變形自

21、由 “夾持夾持”機械邊界條件：邊緣固定，應(yīng)變?yōu)榱?，機械邊界條件：邊緣固定，應(yīng)變?yōu)榱?，壓電陶瓷振子的四類邊界條件壓電陶瓷振子的四類邊界條件 類型類型 名稱名稱 特點特點 第一類邊界條件第一類邊界條件機械自由機械自由 電學(xué)短路電學(xué)短路 dX=0 d x 0 dE=0 dD 0 第二類邊界條件第二類邊界條件機械夾持機械夾持 電學(xué)短路電學(xué)短路 dx=0 dX 0 dE=0 dD 0 第三類邊界條件第三類邊界條件機械自由機械自由 電學(xué)開路電學(xué)開路 dX=0 dx 0 dD=0 dE 0 第四類邊界條件第四類邊界條件機械夾持機械夾持 電學(xué)開路電學(xué)開路 dx=0 dX 0 dD=0 dE 0四類壓電方程四類

22、壓電方程 種類種類 邊界條件邊界條件 自變量自變量 因變量因變量 主要壓電常數(shù)主要壓電常數(shù) 方程方程 一一 機械自由機械自由 應(yīng)力應(yīng)力 X 應(yīng)變應(yīng)變 x 壓電應(yīng)變常數(shù)壓電應(yīng)變常數(shù) D=dX+ XE 電學(xué)短路電學(xué)短路 電場電場 E 電位移電位移 D d S=sEX+dE 二二 機械夾持機械夾持 應(yīng)變應(yīng)變 x 應(yīng)力應(yīng)力 X 壓電應(yīng)力常數(shù)壓電應(yīng)力常數(shù) D=ex+ xE 電學(xué)短路電學(xué)短路 電場電場 E 電位移電位移 D e X=cEx-eE 三三 機械自由機械自由 應(yīng)力應(yīng)力 X 應(yīng)變應(yīng)變 x 壓電電壓常數(shù)壓電電壓常數(shù) E= XD-gX 電學(xué)開路電學(xué)開路 電位移電位移 D 電場電場 E g x=gD+s

23、DX 四四 機械夾持機械夾持 應(yīng)變應(yīng)變 x 應(yīng)力應(yīng)力 X 壓電勁度常數(shù)壓電勁度常數(shù) E= xD-hx 電學(xué)開路電學(xué)開路 電位移電位移 D 電場電場 E h X=cDx-hD壓電常數(shù)壓電常數(shù) 壓電常數(shù)是反映力學(xué)量（應(yīng)力或應(yīng)變）與電學(xué)壓電常數(shù)是反映力學(xué)量（應(yīng)力或應(yīng)變）與電學(xué)量（電位移或電場）間相互耦合的線性響應(yīng)系量（電位移或電場）間相互耦合的線性響應(yīng)系數(shù)。數(shù)。 壓電應(yīng)變常數(shù)壓電應(yīng)變常數(shù) d -單位應(yīng)力產(chǎn)生的電位移單位應(yīng)力產(chǎn)生的電位移/單位電場引起的應(yīng)變單位電場引起的應(yīng)變XiEiiExXDd 壓電電壓常數(shù)壓電電壓常數(shù) g單位應(yīng)力引起的電壓單位應(yīng)力引起的電壓 壓電應(yīng)力常數(shù)壓電應(yīng)力常數(shù) e單位電場引起的

24、應(yīng)力單位電場引起的應(yīng)力 壓電勁度常數(shù)壓電勁度常數(shù) h引起單位應(yīng)變所需的電場引起單位應(yīng)變所需的電場XiDiiDxXEgxiEiiEXxDexiDiiDXxEh 四種壓電常數(shù)的關(guān)系四種壓電常數(shù)的關(guān)系 d = X g = e sE e = x h = d cE g = X d = h sD h = x e = g cD x33 與與 X33機械自由機械自由 X0，E3 (逆壓電效應(yīng)）逆壓電效應(yīng)） 壓電應(yīng)變壓電應(yīng)變 （次級壓電效應(yīng)）（次級壓電效應(yīng)） 附加壓電電位移附加壓電電位移介質(zhì)電位移：介質(zhì)電位移：D (1) 3 = (1)33 E3壓電應(yīng)變：壓電應(yīng)變：x1 d31E3壓電電位移：壓電電位移：D(2

25、)3 = e31x1 = e31d31E3機械自由條件下，機械自由條件下，E3引起的電位移引起的電位移D3 = D (1) 3 + D(2)3 = ( (1)33 + e31d31) E3 = X33 E3 X33 = (1)33 + e31d31機械夾持，不存在機械夾持，不存在D(2)3, D3 = D (1) 3 = (1)33 E3 = x33 E3 X33 = x33 + e31d31 自由和夾持介電常數(shù)自由和夾持介電常數(shù) 開路和短路彈性柔順常數(shù)和勁度常數(shù)開路和短路彈性柔順常數(shù)和勁度常數(shù) jixijXijdeiiDEdgssiiDEehcc4.3 壓電陶瓷振子的諧振特性與等效電路壓電陶

26、瓷振子的諧振特性與等效電路 壓電振子是被覆有電極的壓電體。壓電振子是被覆有電極的壓電體。 交變電場交變電場 逆壓電效應(yīng)逆壓電效應(yīng) 機械振動機械振動 當(dāng)當(dāng) fE = f固固， 機械諧振機械諧振 輸出電能輸出電能諧振頻率諧振頻率 fr反諧振頻率反諧振頻率 fa壓電振子的等效電路壓電振子的等效電路壓電振子在諧振頻率附近，其阻抗特性和諧壓電振子在諧振頻率附近，其阻抗特性和諧振特性與振特性與 LC電路的阻抗特性和諧振特性相似電路的阻抗特性和諧振特性相似 極化的壓電陶瓷，共有極化的壓電陶瓷，共有5個非零壓電常數(shù)，個非零壓電常數(shù)，d31 = d32, d33, d15 = d24 E3 d33 /P (x3

27、)的的縱向振動縱向振動 d31 、 d32 P (x2,x3)的的橫向振動橫向振動 E1 (or E2) d15 、 d24 繞繞x2或或x1軸的軸的剪切振動剪切振動4.4 壓電陣子的振動模式壓電陣子的振動模式(a) thickness and length(b) radial thickness shear(d) bender不同的振動模式不同的振動模式有不同的諧振頻有不同的諧振頻率表達式率表達式4.5 壓電陶瓷的機電耦合系數(shù)壓電陶瓷的機電耦合系數(shù)(electromechanical coupling factor) 機電耦合系數(shù)機電耦合系數(shù) k 是衡量壓電體機電能量轉(zhuǎn)換能力的是衡量壓電體機電能量轉(zhuǎn)換能力的重要參數(shù)。重要參數(shù)。 k2由機械能轉(zhuǎn)換的電能輸入的總機械能k2由電能轉(zhuǎn)換的機械能輸入的總電能或或 實際上，機電耦合系數(shù)實際上，機電耦合系數(shù) k 是機電相互作用能是機電相互作用能 Uc 與機與機械能械能 Um 和介電極化能和介電極化能 Ue 的幾何平均值之比的幾何平均值之比 k = Uc/(UmUe)1/2 單位體積的彈性能、極化能和機電互作用能為單位體積的彈性能、極化能和機電互作用能為XXsUEm21jiXijeEEU21XEdUiic21EXiiisdk22幾種