五邑大學(xué),近代物理,物理數(shù)學(xué),square_well

1、2022-4-2591一維方勢阱一維方勢阱2022-4-2592一維無限深勢阱：能級最簡單的一維定態(tài)問題是一維無限深勢阱最簡單的一維定態(tài)問題是一維無限深勢阱EOxaaxxaxV, 0 , 0 , 0在勢阱外，勢能無窮大，在勢阱外，勢能無窮大，粒子不可能進(jìn)入，粒子不可能進(jìn)入，波函數(shù)必定恒等于零。波函數(shù)必定恒等于零。在勢阱中，勢能等于零，在勢阱中，勢能等于零，薛定諤方程變成這樣：薛定諤方程變成這樣：022 mE2k微分方程的通解是這樣的微分方程的通解是這樣的 kxBkxAxcossin連續(xù)條件連續(xù)條件 00a由第一個條件可以得到由第一個條件可以得到 B=0第二個條件則給出第二個條件則給出, 3 ,

2、 2 , 1,nnka由此得到粒子的能量由此得到粒子的能量mkEn22222222man體系的能量本征值體系的能量本征值aO2022-4-2593一維無限深勢阱：波函數(shù)利用歸一化條件可以求出系數(shù)利用歸一化條件可以求出系數(shù)220ddanxxaxkxA02dsinaxkxA022dsin22Aa1EOxaaO這就得到了歸一化的波函數(shù)。這就得到了歸一化的波函數(shù)。在勢阱的外面：在勢阱的外面： 0 x在勢阱的里面：在勢阱的里面：2sinnnxaa能量本征函數(shù)能量本征函數(shù)由此可見，粒子的能量取值以及在由此可見，粒子的能量取值以及在勢阱中各處出現(xiàn)的概率都與經(jīng)典理勢阱中各處出現(xiàn)的概率都與經(jīng)典理論的預(yù)言不一樣。

3、論的預(yù)言不一樣。2022-4-2594三維無限深勢阱：薛定諤方程一維無限深勢阱的一個推廣是，一維無限深勢阱的一個推廣是，粒子被限制在邊長分粒子被限制在邊長分別為別為a，b和和c的箱子中運動。的箱子中運動。粒子不能逃出箱外，問題相當(dāng)于粒粒子不能逃出箱外，問題相當(dāng)于粒子在以下三維無限深勢阱中運動：子在以下三維無限深勢阱中運動： 箱子外箱子內(nèi) , , 0V在箱子外，波函數(shù)恒等于零。在箱子外，波函數(shù)恒等于零。在箱子內(nèi)，薛定諤方程是這樣的：在箱子內(nèi)，薛定諤方程是這樣的：022222222mEzyx2k這個方程顯然有分離變量解這個方程顯然有分離變量解 zZyYxX代入薛定諤方程中得到代入薛定諤方程中得到

4、021112222222mEzZZyYYxXX2022-4-2595三維無限深勢阱：分離變量由此得到三個由此得到三個分離變量方程分離變量方程2xXkX 2yYkY 2zZkZ 三個常數(shù)必須滿足關(guān)系：三個常數(shù)必須滿足關(guān)系： 22222mEkkkzyx2k邊界上的連續(xù)條件給出：邊界上的連續(xù)條件給出： 0000ZYX 0cZbYaX滿足第一組條滿足第一組條件的解必定有件的解必定有這樣的形式：這樣的形式：xkXxsinykYysinzkZzsin由第二組條件可以得到由第二組條件可以得到xxnakyynbkzznck, 3 , 2 , 1,zyxnnn于是得到了系統(tǒng)的能級的表達(dá)式：于是得到了系統(tǒng)的能級的

5、表達(dá)式：mkE22222222zyxkkkm2022-4-2596三維無限深勢阱：波函數(shù)這是能級的明這是能級的明顯表達(dá)式顯表達(dá)式222222cnbnanmEzyxn對應(yīng)的波函數(shù)是這樣的：對應(yīng)的波函數(shù)是這樣的：sinsinsinnxyzAk xk yk z歸一化條件是歸一化條件是VVd2a b cnzyx0 0 02ddd1abczyxzzkyykxxkA0002222dsindsindsin2222cbaA82VA這就得到了歸一化的波函數(shù)。這就得到了歸一化的波函數(shù)。在箱子的外面：在箱子的外面：在箱子的里面：在箱子的里面： 0r nrr 8 sinsinsinyxznnnxyzVabc2022-

6、4-2597有限深對稱方勢阱進(jìn)一步的問題是一維有限深對稱方勢阱進(jìn)一步的問題是一維有限深對稱方勢阱Ox2a0V2aE00VE 的態(tài)稱為束縛態(tài)。的態(tài)稱為束縛態(tài)。當(dāng)粒子處于束縛態(tài)時，從經(jīng)典的意義當(dāng)粒子處于束縛態(tài)時，從經(jīng)典的意義上看，粒子不可能跑到勢阱外，上看，粒子不可能跑到勢阱外，在經(jīng)典禁區(qū)中，薛定諤方程為在經(jīng)典禁區(qū)中，薛定諤方程為0220mVE2方程的形式解：方程的形式解：xe無窮遠(yuǎn)邊條件：無窮遠(yuǎn)邊條件： 0limxx 2,e2,eaxBaxAxxx在經(jīng)典允許區(qū)中，薛定諤方程為在經(jīng)典允許區(qū)中，薛定諤方程為022 mE2k方程的解必定具有振蕩的形式：方程的解必定具有振蕩的形式：kxkxkxie ,

7、sin , cos由于勢能具有空間反射不變性，不簡并的束縛態(tài)能量本由于勢能具有空間反射不變性，不簡并的束縛態(tài)能量本征函數(shù)必定有確定的宇稱，因此只能取三角函數(shù)。征函數(shù)必定有確定的宇稱，因此只能取三角函數(shù)。2022-4-2598有限深對稱方勢阱：偶宇稱態(tài)偶宇稱態(tài)：偶宇稱態(tài)：Ox2a0V2aEkxCcos2ax 波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界上是連續(xù)的。波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界上是連續(xù)的。左邊界上的連續(xù)條件給出：左邊界上的連續(xù)條件給出：2cose2kaCBa2sine2kakCBa2tankak右邊界上的連右邊界上的連續(xù)條件給出相續(xù)條件給出相同的結(jié)果。同的結(jié)果。由由k和和 的定義得的定義得02222Vmk做變量替

8、換做變量替換2 , 2akatan202222aVm無論無論 多小，至少存在一個偶多小，至少存在一個偶宇稱的束縛態(tài)，它是系統(tǒng)的基態(tài)。宇稱的束縛態(tài)，它是系統(tǒng)的基態(tài)。20aV當(dāng)當(dāng) 時，開始出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)。時，開始出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)。22022aVm隨著隨著 不斷增大，將依次出現(xiàn)更高的激發(fā)態(tài)。不斷增大，將依次出現(xiàn)更高的激發(fā)態(tài)。20aV2022-4-2599有限深對稱方勢阱：奇宇稱態(tài)奇宇稱態(tài)：奇宇稱態(tài)：Ox2a0V2aEkxDsin2ax 左邊界上的連續(xù)條件給出：左邊界上的連續(xù)條件給出：2sine2kaDBa2cose2kakDBa2cotkak右邊界上的連右邊界上的連續(xù)條件給出相續(xù)條件給出相同的結(jié)果。同的結(jié)果。做與偶宇稱態(tài)相同的變量替換就得到：做與偶宇稱態(tài)相同的變量替換就得到：cot20